TAP.COM - BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG DALAM TEORI PROBABILITAS ...
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi
probabilitas
diskrit
jumlah
keberhasilan
dalam
n
percobaan
ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan
memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial.
Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi
Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar,
maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah,
karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan
memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi,
bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak
bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel
distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk
maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.
Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan
memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi
binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai
nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu
variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam
suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi
probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson
memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat
menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p)
untuk x = 1, 2, 3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat
Universitas Sumatera Utara
2
besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai
binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus
pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan
untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar
belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial
mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ.
Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan
Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi
Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p.
1.3 Pembatasan Masalah
Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari
sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang
diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila
ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat
dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut
dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan
sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka
ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai
tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.
1.4 Tujuan
Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan
Poisson dengan menggunakan parameter distribusinya masing-masing.
Universitas Sumatera Utara
3
1.5 Tinjauan Pustaka
Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang
digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan
tentang metode analisis yang penulis gunakan.
James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20
tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas
bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu
percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q
(gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses
dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial
yang dirumuskan sebagai berikut:
f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =��� �pxqn-x=
Dengan:
p = probabilitas sukses
n!
x! (n − �)!
pxqn-x
q = 1- p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas nilainilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku
berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut:
(q + p)n = qn + �n1 �qn-1 p + �2n �qn-2 p2 +...+ pn
Di mana 1, ��1 �, ��2 �, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini
disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai
berikut:
Mean
Varians
μ = np
σ2 = n pq
Deviasi standarσ = �n p q
Universitas Sumatera Utara
4
Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu
distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling
dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan
sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi
gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat
memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal”
bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas
dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.
Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali
percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi
acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi
dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing
mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan
kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang
berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali,
x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan
keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i
keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak
Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak :
P( x = i ) = � ni �piqn-i
Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa
distribusiBinomial
sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap
probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk
variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk
dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang
Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam
situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas
menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial
dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n
Universitas Sumatera Utara
5
percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas
sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p
adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah
untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.
Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa
langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar.
f (x)= �(� = �) =
Dengan:
� � � −�
e = 2,71828...
�!
x= 0, 1, 2, ...
Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut
Mean
Varians
Deviasi standar
�=λ
�2 = λ
� = √�
1.6 Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan:
1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n
dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p.
2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih
lagi.
3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan
distribusi probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
6
1.7 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p
2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p
3. Menarik kesimpulan dari hasil kajian.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi
probabilitas
diskrit
jumlah
keberhasilan
dalam
n
percobaan
ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan
memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial.
Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi
Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar,
maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah,
karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan
memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi,
bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak
bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel
distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk
maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.
Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan
memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi
binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai
nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu
variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam
suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi
probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson
memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat
menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p)
untuk x = 1, 2, 3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat
Universitas Sumatera Utara
2
besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai
binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus
pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan
untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar
belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial
mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ.
Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan
Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi
Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p.
1.3 Pembatasan Masalah
Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari
sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang
diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila
ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat
dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut
dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan
sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka
ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai
tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.
1.4 Tujuan
Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan
Poisson dengan menggunakan parameter distribusinya masing-masing.
Universitas Sumatera Utara
3
1.5 Tinjauan Pustaka
Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang
digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan
tentang metode analisis yang penulis gunakan.
James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20
tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas
bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu
percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q
(gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses
dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial
yang dirumuskan sebagai berikut:
f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =��� �pxqn-x=
Dengan:
p = probabilitas sukses
n!
x! (n − �)!
pxqn-x
q = 1- p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas nilainilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku
berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut:
(q + p)n = qn + �n1 �qn-1 p + �2n �qn-2 p2 +...+ pn
Di mana 1, ��1 �, ��2 �, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini
disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai
berikut:
Mean
Varians
μ = np
σ2 = n pq
Deviasi standarσ = �n p q
Universitas Sumatera Utara
4
Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu
distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling
dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan
sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi
gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat
memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal”
bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas
dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.
Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali
percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi
acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi
dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing
mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan
kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang
berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali,
x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan
keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i
keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak
Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak :
P( x = i ) = � ni �piqn-i
Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa
distribusiBinomial
sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap
probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk
variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk
dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang
Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam
situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas
menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial
dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n
Universitas Sumatera Utara
5
percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas
sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p
adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah
untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.
Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa
langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar.
f (x)= �(� = �) =
Dengan:
� � � −�
e = 2,71828...
�!
x= 0, 1, 2, ...
Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut
Mean
Varians
Deviasi standar
�=λ
�2 = λ
� = √�
1.6 Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan:
1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n
dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p.
2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih
lagi.
3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan
distribusi probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
6
1.7 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p
2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p
3. Menarik kesimpulan dari hasil kajian.
Universitas Sumatera Utara