UNIT PELAJARAN 1 POLINOMIAL 1 HASIL PEMB

UNIT PELAJARAN 1
POLINOMIAL 1

HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengenal apa itu polinomial dan sifat-sifatnya;
2. Melakukan operasi-operasi tambah, tolak dan darab ke atas polinomial;
3. Melakukan pemfaktoran ke atas polinomial.

PENGENALAN

P

olinomial adalah satu konsep yang sangat penting dalam aliabar.
Ia merupakan perkara yang perlu dikuasai sebelum seseorang itu
pergi lebih lanjut lagi dalam mempelajari aljabar. Dalam unit pela-

jaran yang pertama ini, anda akan mempelajari tentang sifat-sifat polinomial,
bagaimana melakukan operasi tambah, tolak dan darab ke atas polinomial.
Setreusnya, anda juga akan mempelajari bagaimana melekukan pemfaktoran ke atas polinomial.

1

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 2

1.1

PERKARA-PERKARA ASAS DALAM POLINOMIAL

Sebelum kita melangkah lebih lanjut dalam membincangkan tentang polinomial dan operasi-operasinya, ada beberapa perkara asas yang perlu diberi
definisi terlebih dahulu.
Takrifan 1.1 Ungkapan aljabar adalah satu ungkapan yang boleh terdiri
daripada sebarang nombor atau huruf atau gabungan kedua-dua nombor
dan huruf yang mungkin melibatkan operasi-operasi tambah, tolak, darab
dan bahagi.
Contoh 1.1 12; x; 3y; 5

2y; 4y 2 + 6xz;

5
dan sebagainya adalah ungkapanx

unkapan aljabar.
Takrifan 1.2 Sebutan adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan aljabar yang dihubungkan dengan operasi penambahan.
Contoh 1.2 Ungkapan aljabar 5x2
sebutan iaitu 5x2 ; 3xy; 6y dan

3xy + 6y

9 adalah terdiri daripada 4

9. Ungkapan itu juga boleh ditulis sebagai

5x2 + ( 3xy) + 6y + ( 9).

Cuba nyatakan sebutan-sebutan dalam
ungkapan 6n5 - 10n3 + n +1

Takrifan 1.3 Faktor adalah sebarang kuantiti dalam satu ungkapan aljabar
yang dihubungkan dengan operasi pendaraban.
Contoh 1.3 Faktor-faktor dalam sebutan kedua di atas iaitu 3xy ialah 3; x

dan y.

3 juga boleh disebut sebagai pekali berangka bagi xy.

Jadi dalam sebutan 6y, faktor-faktornya adalah 6 dan y serta 6 adalah
pekali berangka bagi y.

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 3

Apabila pekali berangka dalam sesuatu sebutan atau ungkapan itu tidak
ditulis seperti xy, ini bermaksud pekali berangkanya adalah 1. Jika
bermakna pekali berangkanya adalah

1.2

x, ini

1.

APA ITU POLINOMIAL?

Takrifan 1.4 Polinomial adalah satu ungkapan aljabar yang berbentuk:

an xn + an 1 xn

1

+ : : : + a1 x + a0

di mana n ialah integer bukan negatif dan a0 ; a1 ; : : : ; an 1 ; an , ialah nombornombor nyata yang juga dipanggil pekali polinomial.
Perhatikan yang polinomial itu terdiri daripada satu pembolehubah sahaja iaitu x. Pembolehubah-pembolehubah yang lain seperti y dan t juga
biasa digunakan.
Contoh 1.4 Contoh-contoh polinomial:
(a) 8t
(b) 3x + 10
(c) 6y 2 + 5y + 10
10y + 4y 3

(d) 7
(e)

1 5
y
2

1
x + 5x2 + 100x3
4

Contoh 1.5 Contoh-contoh bukan polinomial:
(a) x1=4
(b) 3y

2

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 4

2
+ 3x 4
x

p
(d) (t2 3t + 6
(c)

(e)

2 + x + x2
3x 1

Dalam definisi di atas, polinomial hanya ada satu pembolehubah sahaja.
Walaubagaimana pun, pembolehubah dengan lebih daripada satu pembolehubah boleh wujud. Misalnya, 6xy+3y 4x 6, 5p3 10pqr+10q 7r dan
sebagainya.. Polinomial –polinomial ini disebut sebagai polinomial dalam
beberapa pembolehubah. Walaubagaimana pun, dalam unit pelajaran ini
tumpuan lebih diberi kepada polinomial dalam satu pembolehubah sahaja.

1.3

DARJAH SEBUTAN DALAM POLINOMIAL DAN DARJAH POLINOMIAL

Takrifan 1.5

(a) Darjah bagi sebutan dalam polinomial bagi polinomial yang mempunyai satu pembolehubah sahaja ialah kuasa bagi pembolehubah
tersebut. Jika terdapat dua atau lebih pembolehubah dalam sesuatu
sebutan, maka darjah bagi sebutan itu ialah hasiltambah kuasa-kuasa
pembolehubah-pembolehubah itu.
(b) Darjah bagi polinomial adalah darjah bagi sebutan yang tertinggi wujud dalam polinomial itu.
Contoh 1.6 Bagi polinomial 5x3 +6x2 9x+8, darjah bagi sebutan 5x3 ialah
3, darjah bagi sebutan 6x2 ialah 2, darjah bagi sebutan 9x ialah 1 manakala
darjah bagi sebutan 8 ialah 0. Perlu ingat, 8 = 8x0 di mana x0 = 1. Oleh
itu darjah bagi sebarang sebutan yang terdiri daripada sebarang nombor
sahaja adalah 0:

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 5

Contoh 1.7 Bagi polinomial 6x3 y 5 + 2xy 4 + x6 y 2 z 3 + 5, darjah bagi sebutan
6x3 y 5 ialah 8, darjah bagi sebitan 2xy 4 ialah 5, darjah bagi sebutan x6 y 2 z 3
ialah 11 manakala darjah bagi sebutan 5 ialah 0.
Contoh 1.8
Polinomial

Darjah Polinomial

5

0

5x

2

7x2 + 10x

1
9

2

6x5 + 5y + 1

5

1 8
t
t7 + 6t4 + t2 9t
2
6x3 y 5 + x6 y 2 z 3 + 5

8
11

Cuba ini !

Darjah bagi polinomial 10s10

1.4

100s5 + 1000 ialah . . . . . . . . . . . .

MENCARI NILAI BAGI SESUATU POLINOMIAL

Polinomial dengan hanya satu pembolehubah boleh diwakili oleh satu simbol seperti P (x). Dengan simbol ini memudahkan kita untuk menentukan

nilai bagi suatu polinomial itu dengan nilai-nilai x yang berbeza. Misalnya,
P (4)mewakili nilai polinomial P (x) apabila x = 4:
Contoh 1.9 Jika diberi P (x) = 3x2 + 10x
12 = 48 + 40

12 = 76

Contoh 1.10 JIka P (x) = x5 + 3x3
dan (iv)P (3)

12, maka P (4) = 3(4)2 + 10(4)

6x + 9; cari (i)P (0); (ii)P (1); (iii)P ( 2)

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 6

Selesaian
(i) P (0)

= (0)5 + 3(0)3

=0+0

6(0) + 9

0+9

=9
(ii) P (1)

= (1)5 + 3(1)3
=1+3

6(1) + 9

6+9

=7
(iii) P ( 2)

(iv) P (3)

= ( 2)5 + 3( 2)3

6( 2) + 9

=

32 + ( 24) + 12 + 9

=

35

= (3)5 + 3(3)3

6(3) + 9

= 315
1.4.1

Latihan Formatif 1.1

1. Tentukan sama ada ungkapan aljabar berikut adalah polinomial dengan satu pembolehubah atau bukan.
(a) 7x

1

(b) 5x
(c) 2x + 8
(d) 7=x + 1=7
(e) 5t2
(f) 2y 3

1
2

11y

8

(g) 4x1=4 + 2x + 5
p
(h) 5p4 + p 4
(i)

1 6
t
2

+ 3t

9

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 7

(j)

10 + x4
3x 12

x

2. Nyatakan darjah dan pekali berangka bagi setiap sebutan bagi polinomialpolinomial ini:
(a) p + 12
(b) a4

4a3 + 6a2

(c) 3x6

4a + 4

5x4 + x2

10

20x50 + 10x30

(d)

2x

3. Nyatakan darjah bagi polinomial-polinomial berikut:
(a) y

1

(b) x7
(c)

1 10
p
2

6x3 + x2
+ 3p2

(d) 6x4

9

11

50x2 + 14x + 6

(e) 7x6 y 3

4x4 y 2 + x2 y

4. Diberi P (x) = 4x5
(a) P (0)
(b) P (1)
(c) P ( 1)
(d) P (2)
(e) P ( 2)

3x

x3 + 3x2

5x; cari:

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 8

1.5

OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN BAGI POLINOMIAL

Polinomial-polinomial boleh ditambahkan atau ditolakkan dengan menggabungkan sebutan-sebutan yang serupa. Sebutan-sebutan serupa adalah
sebutan-sebutan yang mempunyai pembolehubah yang sama dan darjah
yang sama juga. Sebutan-sebutan serupa boleh digabungkan dengan menambahkan pekali-pekali berangkanya.
Contoh 1.11 5x3 + 3x + 2x3 + 5x + 4 = 7x3 + 8x + 4
Perhatikan yang 5x3 dan 2x3 digabungkan menjadi 7x3 kerana mereka
adalah sebutan serupa dan 3x digabungkan dengan 5x mejadi 8x dan 4
tidak digabungkan dengan mana-mana sebutan oleh kerana bukan sebutan
serupa dengan yang lain.
Contoh 1.12 Permudahkan ungkapan berikut: (6x2

3x + 4) + (4x3

5x2 +

5x + 8)
Selesaian

6x2
= 6x2

3x + 4 + 4x3
5x2

5x2 + 5x + 8

3x + 5x + 4 + 8 + 4x3

= x2 + 2x + 12 + 4x3

(Hapuskan tanda kurungan)
(Susun semula sebutan)
(Gabungkan sebutan serupa)

= 4x3 + x2 + 2x + 12
Contoh 1.13 Permudahkan ungkapan berikut: (x5
2x3

4)

6x3 + 3x

1)

(x5

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 9

Selesaian

Berhati-hati bila
menolakkan
ungkapan kedua!

x5

6x3 + 3x

= x5
=

x5

1

x5 + 2x3 + 4

6x3 + 2x3 + 3x

1+4

4x3 + 3x + 3

t2

Latihan 1.1 Permudahkan ungkapan berikut: (4t
(Jawapan:

3t3

3z + 2); (Jawapan: 3z 3

Latihan 1.3 Permudahkan (5xy
(Jawapan: 7xy + 7x

1.6

(3t2

2t + 2t3 ):

4t2 + 6t )

Latihan 1.2 Permudahkan ungkapan berikut: ( z 3
( 4z 3 + 3z 2

t3 )

4z 2

3x + 2y

4z

2z 2 ) + (z 2

7z + 1)

1)

10) + (2xy + 10x

9y + 10):

7y )

OPERASI PENDARABAN BAGI POLINOMIAL

Sesuatu polinomial itu boleh didarabkan dengan polinomial yang lain. Dalam
proses pendaraban ini, setiap sebutan dalam polinomial pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam polinomial kedua. Beberapa contoh
adalah diberi berikut:
Contoh 1.14 Darabkan
(a) 3x(5x)
(b) 3a( a)
(c)

7y 4 (3y 3 )

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 10

Selesaian
(a) 3x(5x) = 3 x 5 x = 3 5 x x = 15x2
(b) 3a( a) = 3a( 1a) = 3 a ( 1) a = 3 ( 1) a a =
7y 4 (3y 3 ) = ( 7) 3 y 4 y 3 =

(c)

3a2

21y 7

Contoh 1.15 Darabkan:
(a) x(2x + 3)
(b) 4p(3p2 + 2p
(c) 2s2 (s3

6)

6s2 + 11s

4)

Selesaian
(a) x(2x + 3) = x(2x) + x(3)

(boleh juga tulis sebagai x 2x + x 3

) = 2x2 + 3x
(b) 4p(3p2 + 2p

= 4p(3p2 ) + 4p(2p) + 4p( 6)

6)

= 12p3 + 8p2
(c) 2s2 (s3

6s2 + 11s

4)

24p

= 2s2 (s3 ) + 2s2 ( 6s2 ) + 2s2 (11s) + 2s2 ( 4)
= 2s5

12s4 + 22s3

8s2

Contoh 1.16 Darabkan:
(a) (4x

3)(x

(b) (t2 + 2t

2)

3)(t + 4)

Selesaian
(a) (4x

3)(x

2)

= 4x(x) + 4x( 2)
= 4x2

8x

= 4x2

11x + 6

3x + 6

3(x)

3( 2)

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 11

(b) (t2 + 2t

3)(t + 4)

= t2 (t) + t2 (4) + 2t(t) + 2t(4)
= t3 + 4t2 + 2t2 + 8t
= t3 + 6t2 + 5t

3t

3(t)

3(4)

12

12

Contoh 1.17 Darabkan:
(a) (p + 5q)(2p

3q)

(b) (3x2y + 5x

2y)(xy + 4)

Selesaian
(a) (p + 5q)(2p

3q)

= p(2p) + p( 3q) + 5q(2p) + 5q( 3q)
= 2p2

3pq + 10pq

= 2p2 + 7pq
(b) (3x2 y + 5x

2y)(xy + 4)

15q 2

15q 2

= 3x2 y(xy) + 3x2 y(4) + 5x(xy) + 5x(4)
2y(xy)

2y(4)

= 3x3 y 2 + 12x2 y + 5x2 y + 20x

2xy 2

= 3x3 y 2 + 17x2 y + 20x

8y

Contoh 1.18 Cari penyelesaian bagi berikut:
(a) (3x + 4)2
(b) (3x

4)(3x + 4)

Selesaian
(a) (3x + 4)2

= (3x + 4)(3x + 4)
= 3x(3x) + 3x(4) + 4(3x) + 4(4)
= 9x2 + 12x + 12x + 16
= 9x2 + 24x + 16

2xy 2

8y

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 12

(b) (3x

4)(3x + 4)

= 3x(3x) + 3x(4)
= 9x2 + 12x
= 9x2

4(3x)

12x

4(4)

16

16

Perhatikan yang 5 (a) adalah dalam bentuk:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2

iaitu (3x + 4)2 = (3x)2 + 2(3x)(4) + 42 = 9x2 + 24x + 16
Perhatikan juga yang 5 (b) adalah dalam bentuk:

B)(A + B) = A2

(A

iaitu (3x

4)(3x + 4) = (3x)2

(4)2 = 9x2

B2

16

Cuba ini
dalam minda
anda!

Cari (a) (y +2)2

(b) (x 5)2

2)(y

2)

1.6.1

Latihan Formatif 1.2

(c) (x 5)(x+5)

1. Permudahkan ungkapan-ungkapan berikut:
(a) ( 6x + 2) + (x2 + x
(b) (3x2
(c) 7y 3
(d) (0:5p4
(e) (9x8

5x + 10)
( 3y 2

3)

(2x2 + 8x

40)

2y + 1)

0:6p2 + 0:7) + (2:3p4 + 1:8p
7x4 + 2x2

5) + (8x7 + 4x4

3:9)
2x)

(d) (y +

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 13

(f) (1=4x4 + 2x3
(g) (5a2

5=8x2 + 7)

8a) + (7a2

9a

(h) ( 4 + x2 + 2x3 )
(i) (5ab2
(j) (2x2

( 3=4x4 + 3=8x2 + 7)

13)

(7a

5)

x + 3x3 )

( 6

4a2 b + 5a3 + 2) + (3ab2
3xy + y 2 ) + ( 4x2

6xy

( x2

5x3 )

2a2 b + 3a3 b

5)

y 2 ) + (x2 + xy

y2)

2. Cari hasildarab bagi ungkapan-ungkapan berikut:
(a) 3x( 4x2 )
(b) (7x + 2)2
(c) (x + 6)(x + 3)
(d) (m + 7)(m

7)

(e) (3t

2)(4t2

(f) (x4

2x + 3)(x3 + x

(g) (8

5t + 1)

s)(8 + s)

(h) (5y 2 + 2)(5y 2
(i) (p + q)(p2 + pq
(j) (3a4

1.7

1)

2)
q2)

1 3 2
b)
2

PEMFAKTORAN POLINOMIAL

Kita tahu bahawa 15 boleh difaktorkan sebagai 3 5 atau (3)(5). Begitu juga
dengan polinomial seperti x2 + 7x boleh difaktorkan sebagai x(x + 7). Dalam
kedua-dua kes, kita bertanya sendiri, “ Apakah yang telah didarabkan bagi
mendapat hasil itu?”
Ada beberapa kaedah bagi pemfaktoran polinomial-polinomial.

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 14

(a)

Kaedah pemfaktoran apabila setiap sebutan dalam polino-

mial mempunyai faktor sepunya
Untuk melakukan pemfaktoran bagi polinomial yang mempunyai dua atau
lebih sebutan, terlebih dahulu cari faktor sepunya terbesar bagi semua sebutan.
Contoh 1.19
(a) Faktorkan 3x3 + 6x2

12x.

Selesaian Bagi ungkapan di atas, 3x adalah faktor sepunya terbesar bagi
semua sebutan. Oleh itu 3x3 + 6x2
faktor bagi 3x3 + 6x2

12x = 3x(x2 + 2x

12x. adalah 3x dan x2 + 2x

Semak: Darabkan 3x dengan x2 + 2x
3x3 + 6x2

4): Jadi faktor-

4.

4 iaitu (3x)(x2 + 2x

4) =

12x.

(b) Faktorkan 5x2 + 15
Selesaian 5x2 + 15 = 5(x2 + 3)
(c) Faktorkan 8m3
Selesaian 8m3

16m

16m = 8m(m2

(d) Faktorkan 14p2 y 3
Selesaian 14p2 y 3
(b)

2)

8py 2 + 2py

8py 2 + 2py = 2py(7py 2

4y + 1)

Kaedah pemfaktoran apabila ungkapan dalam bentuk A2

B2:
Jika polinomial adalah dalam bentuk A2
adalah A

B dan A + B.

Contoh 1.20

B 2 , maka faktor-faktornya

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 15

(a) Faktorkan x2
Selesaian x2

36

36 = x2

62 = (x

6)(x + 6):

[Perhatikan di sini,

A = x dan B = 6]
9y 2

(b) Faktorkan 1
Selesaian 1

9y 2 = 12

(c) Faktorkan 4x2
Selesaian 4x2

(3y)2 = (1

25y 2

25y 2 = (2x)2

(d) Faktorkan 147x3
Selesaian 147x3

3y)(1 + 3y)

(5y)2 = (2x

5y)(2x + 5y)

27xy 2

27xy 2 = 3x(49x2

9y 2 ) = 3x[(7x)2

(3y)2 ] = 3x(7x

3y)(7x + 3y)
(c)

Kaedah pemfaktoran bagi polinomial dengan ungkapan berben-

tuk ax2 + bx + c, di mana a,b dan c adalah pemalar-pemalar dengan a 6= 0
Polinomial yang mempunyai ungkapan berbentuk ax2 + bx + c dipanggil
ungkapan kuadratik.
Contoh 1.21 Dalam pendaraban (x + 2) dengan (x + 4), kita perolehi

(x + 2)(x + 4) = x x + x 4 + 2 x + 2 4
= x2 + 4x + 2x + 8
= x2 + 6x + 8

Jadi, x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4): x + 2dan x + 4 adalah faktor-faktor bagi
x2 + 6x + 8.

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 16

Contoh 1.22 Dalam pendaraban (2x

(2x

1) dengan (3x + 2) kita perolehi

1)(3x + 2) = 2x 3x + 2x 2 + ( 1) 3x + ( 1) 2
= 6x2 + 4x
= 6x2 + x

Jadi, 6x2 + x

2 = (2x

bagi 6x2 + x

2

1)(3x + 2): 2x

3x

2

2

1 dan 3x + 2 adalah faktor-faktor

Daripada kedua-dua contoh di atas, kita dapati pemfaktoran bagi ungkapan kuadratik ax2 + bx + c adalah satu proses mencari dua faktor dalam
bentuk px + q dan rx + s yakni

ax2 + bx + c = (px + q)(rx + s)

Proses pemfaktoran ini sebenarnya adalah lawan kepada pendaraban dua
polinomial.
Contoh 1.23
(a) Faktorkan x2 + 5x + 6
Selesaian Pastikan yang ungkapan tidak mempunyai sebutan sepunya. Perhatikan sebutan x2 = x x. dan sebutan pemalar ialah 6 dan sebutan
ditengah-tengah ialah 5x. Kita mesti mencari pasangan nombor yang
apabila didarabkan mendapat 6 dan apabila ditambahkan mendapat
5. Satu pasangan yang sesuai ialah 2 dan 3 oleh kerana 2 3 = 6 dan

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 17

2 + 3 = 5. Juga boleh digambarkan seperti berikut:
x

+2
& %
% &

x

+3

x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6

Oleh itu faktor-faktornya adalah x + 2 dan x + 3: Jadi, x2 + 5x + 6 =
(x + 2)(x + 3):
(b) Faktorkan x2

5x + 6

Selesaian
x

2
& %

(perhatikan ( 2)( 3) = 6) dan

3x + ( 2x) =

5x)

% &
x
x2

3
3x

2x + 6

= x2

5x + 6

Jadi, x2

5x + 6 = (x

(c) Faktorkan y 2

8y

Selesaian Bagi pemalar

2)(x

3)

20
20, mesti diungkapkan sebagai satu hasildarab

satu nombor positif dan satu nombor negatif.. Pasangan nombor yang
mungkin adalah nombor-nombor 4 dan
dan 10; 1 dan 20 serta 1 dan

5; 4 dan 5; 2 dan

10; 2

20. Tetapi pasangan yang sesuai ialah

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 18

2 dan

10 sebab apabila ditambahkan mesti menghasilkan

y

8. Jadi,

+2
& %

(perhatikan (2)( 10) =

20) dan

10y + 2y =

8y)

% &
y
y2

10
10y + 2y
= y2

20

8y

20

Oleh itu, y 2

8y

(d) Faktorkan t2
Selesaian t2
t2 + 5t

20 = (y + 2)(y

10)

24 + 5t

24 + 5t disusun ikut tertib meneurun terlebih dahulu menjadi
24. Bagi pemalar

24, mesti diungkapkan sebagai satu hasil-

darab satu nombor positif dan satu nombor negatif. Pasangan nombor
yang mungkin adalah
dan 8; 3 dan

1 dan 24, 1 dan

8; 4 dan 6 serta 4 dan

pasangan yang sesuai ada lah

24; 2 dan 12; 2 dan

12; 3

6. Walaubagaimana pun,

3 dan 8 sebab apabila ditambahkan

mesti menghasilkan 5. Jadi,
t

3
& %

(perhatikan ( 3)(8) =

24) dan8t + ( 3t) = 5t)

% &
t

+8

t2 + 8t + ( 3t)

24

= t2 + 5t

24

Oleh itu, t2

24 + 5t = t2 + 5t

(e) Faktorkan a2 + 4ab

21b2

24 = (t

3)(t + 8):

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 19

Selesaian Di sini kita anggap

21b2 sebagai pemalar dan mesti diungkap

sebagai satu hasildarab nombor positif dan nombor negatif. Pasangan
nombor yang mungkin adalah
b dan

3b dan 7b; 3b dan

21b. Pasangan yang sesuai adalah

7b; b dan 21b serta

3b dan 7b oleh kerana

apabila ditambahkan mesti menghasilkan 4b. Jadi,
a

3b
& %

(perhatikan ( 3b)(7b) =

21b2 dan 7ab + ( 3ab) = 4ab )

% &
a

+7b

a2 + 7b + ( 3b)

21b2

= a2 + 4ab

21b2

Oleh itu a2 + 4ab
(f) Faktorkan x2

21b2 = (a

3b)(a + 7b):

x+5

Selesaian Pemalar 5 boleh diungkapkan sebagai hasildarab 1 dan 5 serta
1 dan

5. Tiada pasangan yang sesuai sebab apabila ditambahkan

menghasilkan 5 dan

6 masing-masing. Yang kita mahu ialah

(pekali bagi x). Oleh itu x2
(g) Faktorkan 2x3

1

x + 5 tidak boleh difaktorkan.

20x2 + 50x

Selesaian Perhatikan 2x3

20x2 + 50x mempunyai faktor sepunya bagi se-

tiap sebutan iaitu 2x yakni

2x3

20x2 + 50x = 2x(x2

10x + 25)

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 20

manakala x2

2x3

10x + 25 boleh difaktorkan menjadi (x

20x2 + 50x = 2x(x2
= 2x(x

(h) Faktorkan 3x2

10x

5)(x

10x + 25)
5)(x

5) atau 2x(x

5)2

8

Selesaian 3x2 boleh diungkapkan sebagai 3x x . Bagi pemalar
diungkapkan sebagi hasildarab
2 dan

5) Jadi,

1 dan 8; 1 dan

8, boleh

8; 2 dan 4 serta

4. Jadi kita mesti cuba semua kombinasi bagi menghasilkan

10x.
3x

1
& %
% &

x

+8

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(8)+x( 1) = 24x x = 23x
(Bukan!)
3x

+1
& %
% &

x

8

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x( 8) + x(1) =

24x + x =

23x (Bukan!)
3x

2
& %
% &

x

+4

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x(4) + x( 2) = 12x

2x =

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 21

10x (Bukan!)
3x

+2
& %
% &

x

4

Dengan mendarab silang menghasilkan 3x( 4) + x(2) =
10x (Ya!). Jadi, 3x2

10x

8 = (3x + 2)(x

12x + 2x =

4)

Semak! (3x+2)(x 4) = 3x(x)+3x( 4)+2(x)+2( 4) = 3x2 12x+2x 8 =
3x2

10x

8:

(i) Faktorkan 10x2 + 37x + 7
Selesaian 10x2 boleh diungkapkan sebagi hasildarab 10x x atau 2x 5x
manakala pemalar 7 boleh diungkapkan sebagi hasildarab 1 dan 7
sahaja. Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk dapatkan 37x:
10x

+1
& %
% &

x

+7

Dengan mendarab silang menghasilkan 10x(7) + x(1) = 71x (Bukan!)
x

+7
& %
% &

5x

+1

Dengan mendarab silang menghasilkan 5x(7)+2x(1) = 35x+2x = 37x
(Ya!). Jadi 10x2 + 37x + 7 = (5x + 1)(2x + 7):

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 22

(j) Faktorkan 24y 2

76y + 40

Selesaian Polinomial ini ada faktor sepunya iaitu 4. Jadi 24y 2
4(6y 2

19y + 10). Seterusnya cari faktor-faktor bagi 6y 2

76y + 40 =
19y + 10. 6y 2

boleh diungkapkan sebagai 6y y atau 3y 2y manakala 10 boleh diungkapkan sebagai hasildarab 1 dan 10; 1 dan

10; 2 dan

2 dan 5.Kita gunakan kaedah cuba jaya untuk menghasilkan
6y

5 serta
19y.

10
& %
% &

y

1

Dengan mendarab silang menghasilkan 6y( 1)+y( 10) =
3y

16y (Bukan!)

5
& %
% &

2y

2

Dengan mendarab silang menghasilkan 3y( 2)+2y( 5) =
3y

16y (Bukan!)

2
& %
% &

2y

5

Dengan mendarab silang menghasilkan 3y( 5)+2y( 2) =
Jadi, 6y 2
4(3y

19y + 10 = (3y

2)(2y

(k) Faktorkan 6p2

5)
13pq

28q 2

2)(2y

5). Oleh itu, 24y 2

19y (Ya!).
76y + 40 =

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 23

Selesaian 6p2 boleh diungkapkan sebagai 6p p atau 3p 2p manakala sebu28q 2 boleh diungkapkan sebagai

tan terakhir

7q:4q; 7q:

4q; 14q:

2q; 14q:2q dan lain-lain. Kita gunakan kaedah cuba jaya dan katakana
kita ambil pasangan 3p dan 2p serta

4q dan 7q. Kita perlukan men-

13pq:

dapat hasil

3p

4q
& %
% &

2p

+7q

Dengan mendarab silang menghasilkan 3p(7q)+2p( 4q) = 13pq (Bukan!).
3p

+4q
& %
% &

2p

7q

Dengan mendarab silang menghasilkan 3p( 7q) + 2p(4q) =
(Ya!). Oleh itu, 6p2

1.7.1

13pq

28q 2 = (3p + 4q)(2p

Latihan Formatif 1.3

1. Faktorkan selengkapnya:
(a) 3x2

6x

(b) 2p3 + 8p2
(c) 10y 5

10p

25

(d) 24x4 + 30x2
(e) 15y 5

12y 4 + 27y 3

(f) 12 + 24x

3y 2

7q):

13pq

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 24

(g) 7a4 b3 + a3 b2

5a2 b

(h) y(y + 3) + 7(y + 3)
2. Faktorkan selengkapnya
(a) x2

100

(b) 4t2

1

(c) 4

25k 2
36m2

(d) 81
(e) 49m2

16n2

(f) 100p2

169q 2

(g) 4p3

4p

(h) 162x2 y

32y 3

3. Faktorkan selengkapnya
(a) x2 + 6x + 8
(b) p2

5p + 4

(c) x2

7x

60

(d) 5b2 + 25b
(e) 3x2 + x
(f) 6t2
(g) 2m2

120
4

23t + 7
m

1

(h) 15x2 + 19x + 6
(i) 12m2 + mn
(j) 47

20n2

56y + 9y 2

(k) 18x2

6xy

24y 2

(l) 14g 4

19g 3

3g 2

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 25

1.8

Latihan Sumatif

1. Kenal pastikan sebutan-sebutan dalam setiap polinomial berikut:
(a) 3x2 + 6x
(b)

5

4y 5 + 7y 2

3y + 2

2. Bagi setiap polinomial berikut, nyatakan (i) darjah dan pekali bagi setiap sebutan dan (ii) darjah bagi polonomial
(a) 15t5 + 4t2 + 6
(b)

2x5 + x4

(c) x5 y

3x2 + x

7xy + 9x2

3. Jika P (x) = 2x5 + x4

8
3x2 + x + 1, cari nilai berikut:

(a) P (0)
(b) P (1)
(c) P ( 1)
(d) P (2)
(e) P ( 21 )
4. Tambahkan atau tolakkan bagi polinomial-polinomial berikut;
(a) (3x4

x3 + x

4) + (x5 + 7x3

(b) (3x4

5x3 + 3x2 ) + (4x5 + 4x3 ) + ( 5x5

(c) (5x2

4x + 1)

(d) (3x5

4x4 + 2x2 + 3)

3x

5)
5x2 )

(3x2 + 7)
(2x5

4x4 + 3x3 + 4x2

5)

5. Panjang bagi satu segi empat tepat adalah berukuran 3 m lebih daripada lebarnya yang berukuran w m.

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 26

(a) Cari satu polinomial bagi perimeter segi empat tepat itu
(b) Cari satu polinomial bagi luas segiempat tepat itu.
6. Cari hasildarab bagi berikut:
(a) 3x( 4x2 )
(b) (7x + 1)2
(c) (m + 5)(m
(d) (x + 4)(x
(e) (4x2

7)

5x + 1)(3x

(f) (x4
(g) (2

5)

2x + 3)(x3 + x + 1)
x)(2 + x)

(h) (13x

3)(x

(i) (3x2 + 4)(3x2
(j) (p

2)

13)
4)

q)(p2 + pq + q 2 )

7. Faktorkan selengkapnya:
(a) 2x4 + 6x3
(b) 9x2

4

(c) x2 + 4x

12

(d) y 2 + 14y + 49
(e) 6x2

5x + 1

(f) 25m2
(g) x4

20m + 4

81

(h) 9x3 + 12x2
(i) 3x2

45x

27

(j) 12a2 + 84ab + 147b2

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 27

1.9

JAWAPAN

1.9.1

Latihan Formatif 1.1

1. (i) Bukan (ii) Ya (iii) Ya (iv) Bukan (v) Ya (vi) Ya (vii) Ya (viii) Bukan
(ix) Ya (x) Bukan
(ii)a4 : 4; 1

2. (i)p; 1; 1 12 : 0; 12
(ii)3x6 : 6; 3

4 : 0; 4

5x4 : 4; 5 x2 : 2; 1

20x50 : 50; 20 10x30 : 30; 10
3. (i)1

(ii)7

4. (i)0

(ii)

1.9.2

(iii)10
5

4a : 1; 4

10 : 0; 10

(iv)

2x : 1; 2

(iv)4

(iii)5

(v)9

(iv)122

(v)

98

Latihan Formatif 1.2

1. (a)x2 5x 1
0:6p2 + 1:8p

24a

3x4 + 2x2

2x

6a2 b + 5a2 + 3a3 b

2. (a) 12x3

(f )x4 + 2x3

5

3

(j)

(b)49x2 +28x+4

23t2 + 13t

(d) 2:8p4

x2

(g)12a2

x2

8xy

(c)x2 +9x+18

y2
(d)m2 49

(e)12t3

2

(f )x7 + x5

3x4 + 3x3

(i)p3 + 2p2 q

4

(c)7y 3 +3y 2 +2y 1

(h)4x3 + x + 2

8

(i)8ab2

(b)x2 13x+50
3:2

(e) 9x8 + 8x7

1.9.3

4a3 : 3; 4 6a2 : 2; 6

q3

2x2 + 5x
(j)9a8

3

s2

(g)64

(h)25y 4

3a4 b3 + 41 b6

Latihan Formatif 1.3

1. (a)3x(x
5)

2)

(e)3y 2 (5y 3

(f )12(1 + 2x)

(b)2p(p

(c)5(2y 5

1)(p + 5)

4y 2 + 9y

5)

(d)6x2 (4x2 +

1)

(g)a2 b(7a2 b2 + ab

5)

(h)(y + 7)(y + 3)

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 28

2. (a)(x 10)(x+10)

(b)(2t 1)(2t+1)

(c)(2 5k)(2+5k)

(d)9(3

2m)(3 + 2m)
(e)(7m 4n)(7m+4n)
1)

(h)2y(9x

(b)(p

1)(p

(e)(3x + 4)(x

(f )(3t 1)(2t 7)

4)

(c)(x + 5)(x

5n)

(k)6(3x

4y)(x + y)

12)

(d)5(b

1)

(g)(2m+1)(m 1)

4n)(4m

1.9.4

(g)4p(p 1)(p+

4y)(9x + 4y)

3. (a)(x + 2)(x + 4)
3)(b + 8)

(f )(10p 13q)(10p+13q)

(h)(3x+2)(5x+3)

(l)g 2 (7g + 1)(2g

(i)(3m+

3)

Latihan Sumatif

1. (a)3x2 ; 6x; 8

(b)

4y 5 ; 7y 2 ; 3y; 2

2. (a)15t5 : 5; 15 4t2 : 2; 4 6; 0; 6

(b)

2x5 : 5; 2 x4 : 4; 1

3x2 :

2; 3 x : 1; 1
(c)x5 y : 6; 1
3. (a)1

7xy : 2; 7 9x2 : 2; 9

(b)2

(c)

4. (a)x5 + 3x4 + 6x3
6

(d)x5

3x3

4

2x

(d)71
9

(b)

(b)w2 + 3w

6. (a) 12x3

(b)49x2 +14x+1

(j)p3

7. (a)2x3 (x + 3)
7)2

x5 + 3x4

x3

2x2

(c)2x2

4x

(c)m2 25

(d)x2 3x 28

(e)12x3

2

(f )x7 +x5 2x4 +x3 +x+3
16

(e)7=8

2x2 + 8

5. (a)4w + 6

23x2 + 13x

8 : 0; 8

(e)(3x

pq 2

(g)4 x2

(h)13x2 172x+39

(i)9x4

(c)(x + 6)(x

(d)(y +

q3
(b)(3x

1)(2x

2)(3x + 2)
1)

2)

UNIT PELAJARAN 1. Polinomial 1 | 29

(f )(5m 2)2
3)(x + 3)

(g)(x2 +9)(x 3)(x+3)
(j)3(2a + 7b)2

(h)3x(3x 5)(x+3)

(i)3(x