Lengkap File: Bilangan Rasional, Sejarah dan Pengertiannya
BILANGAN RASIONAL
Sejarah dan pengertiannya
oleh
Sumardyono, M.Pd.
Konsep bilangan rasional pada Standar Isi terkait dengan konsep bilangan bulat dan pecahan,
sebagai berikut:
Kelas VII, Semester 1
Standar Kompetensi
Komptensi Dasar
Bilangan
1. Memahami sifat-sifat operasi
hitung bilangan dan
penggunaannya dalam
pemecahan masalah
1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan
pecahan
1.2 Menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan
bulat dan pecahan dalam pemecahan masalah
Pada makalah ini akan dibahas mengenai tema bilangan rasional secara umum. Sifat-sifat
bilangan bulat dan pecahan tidak dibahas secara khusus. Pembahasan bilangan rasional ini untuk
menjadi wawasan bagi guru dan agar dapat memahami bilangan bulat dan pecahan secara lebih
komprehensif.
“Sejarah” Bilangan Rasional
Sebelum mempelajari bilangan rasional, siswa telah dikenalkan dengan beberapa jenis bilangan,
antara lain: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan bulat, bilangan pecahan atau
pecahan, bilangan positif, bilangan negatif.
Mula-mula yang dikenal manusia adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli (natural
numbers, N). Bilangan asli dibutuhkan manusia untuk membilang sesuatu yang utuh, seperti
banyak orang, banyak hewan, dan semacamnya.
Selanjutnya manusia mengenal bilangan pecahan (fractions) dengan berbagai macam bentuk. Di
Mesir kuno dikenal dengan penyebut 1 atau 2 saja. Di Perancis kuno, dikenal dengan penyebut
kelipatan 6 atau 12. Di bangsa-bangsa lain juga akhirnya mengenal pecahan dengan ragam
bentuk yang berbeda-beda.
Mengenai bilangan prima (prime numbers), telah menjadi kajian intensif orang Yunani kuno,
terutama pada perguruan Pythagoras. Mereka menemukan bahwa bilangan prima adalah
“sumber bilangan asli” di mana semua bilangan asli dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima.
Pada perkembangan selanjutnya, orang membutuhkan bilangan bertanda
oleh karena kuantitas sesuatu dapat “berjalan” ke dua arah yang
berlawanan. Misalnya untuk menjawab pertanyaan “berapa kambing
yang dia punya?”. Padalah faktanya ia berutang 3 ekor kambing dan
tidak memiliki kambing sama sekali. Daripada menjawab “tidak ada”,
jawaban “negatif tiga” akan lebih masuk akal. Dipelopori Brahmagupta
(598-670) dan juga al-Biruni (973-1048), penggunaan bilangan bertanda
menjadi luas diterima orang.
Salah satu perkembangan penting kemampuan berhitung manusia adalah dimulainya
penggunaan angka nol. Walaupun telah disinggung oleh bangsa Maya dan juga oleh
matematikawan India-semisal Brahmagupta, tetapi konsep bilangan
nol (zero) dan penggunaan angka nol belum dipahami manusia
hingga pengenalan dan penggunaan sistem desimal sekitar abad ke12 hingga abad ke-15. Di tangan matematikawan muslim, terutama
al-Kashi (1380-1429), penulisan desimal menjadi trend. Dalam
penulisan desimal ini, angka nol mutlak dibutuhkan. Muncullah
kemudian angka dan bilangan nol.
Dengan bilangan nol, orang sekarang telah memiliki referensi untuk
menjawab pertanyaan “berapa banyak ... ?” Kita menyebutnya
dengan istilah bilangan cacah (whole numbers).
Ditambah pecahan, manusia telah memiliki pengetahuan dalam menyatakan semua kuantitas
hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan asli.
Kemunculan Bilangan Rasional dari Sudut Pandang Matematis
Mula-mula dikenal bilangan asli. Apakah setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai perkalian
bilangan-bilangan lain? Ya, yaitu dengan satu dan jenis bilangan baru yang disebut bilangan
prima.
Untuk 2 + ... = 6 maka dapat ditemukan bilangan asli 4 untuk mengisi titik-titik.
Tetapi bagaimana bila 2 + ... = 2. Daripada menyebut bahwa tidak ada bilangan asli yang
mengisi titik-titik, lebih baik kita memperluas jenis bilangan yang kita kenal. Muncullah
bilangan nol.
Semua bilangan asli dan nol, kita golongkan sebagai himpunan bilangan cacah (whole numbers).
Untuk mengisi titik-titik pada 3 + ... = 2
kita memerlukan bilangan dengan “arah” yang
berlawanan dari biasanya. Muncullah bilangan negatif.
Semua bilangan cacah dan bilangan negatifnya, kita golongkan sebagai himpunan bilangan bulat
(integers)
Selanjutnya, untuk menjawab 2 × ... = 3 maka kita memerlukan jenis bilangan baru yang kita
sebut pecahan. Dalam kasus ini, kita dapatkan pecahan dalam bentuk a /b dengan a dan b
bilangan-bilangan bulat. Satu-satunya kasus di mana kita tidak menemukan adanya pecahan
yang sesuai adalah kasus
0 × ... = a dengan a sebarang bilangan bulat kecuali nol.
Seperti bilangan bulat, pecahan-pun terdiri atas pecahan positif dan pecahan negatif.
Nah, semua bilangan yang telah kita kenal hingga di sini, digolongkan menjadi satu jenis
bilangan yang disebut bilangan rasional.
Pengertian Bilangan Rasional
Apa sesungguhnya bilangan rasional itu? Dapatkah kita menyatakan pengertian bilangan
rasional secara sederhana?
Pengertian bilangan rasional dapat dikaitkan dengan kata “rasio” (ratio) yang menjadi kata dasar
dari “rasional”. Dalam matematika, rasio berarti perbandingan. Umumnya sebuah perbandingan
dinyatakan dengan bilangan bulat.
Perhatikan yang berikut ini merupakan perbandingan.
2:5
3 : 10
Tetapi tidaklah lazim dalam matematika menulis perbandingan seperti.
2,4 : 1,7
Suatu perbandingan terkait dengan notasi pembagian.
Untuk contoh pertama di atas 2 : 5 menyatakan perbandingan a terhadap b, maka kita tulis a =
2/5b atau a/b = 2/5.
Nah, bilangan rasional memiliki pengertian yang serupa, yaitu bilangan real yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
dengan a , b bilangan-bilangan bulat.
Seharusnya jelas bahwa b ≠ 0, karena bila b = 0 maka
bukan bilangan real.
Perhatikan bahwa setiap bilangan real tidak dapat dibagi dengan nol.
Untuk a ≠ 0 maka
Sedang
tidak terdefinisi
bentuk tidak tentu.
Kedua bentuk di atas bukan bilangan real, sebab tidak ada bilangan real r sedemikian hingga 0.r
= a atau 0.r = 0.
Kalimat lain yang ekuivalen, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk
dengan a , b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0.
pertanyaan
Bagaimana kebenaran kalimat berikut? Bilangan rasional adalah bilangan bulat atau bilangan
pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa paling sederhana .
Struktur Himpunan Bilangan Rasional
Dengan mengikuti uraian sebelumnya, maka bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai
bilangan bulat atau pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk biasa atau common fraction
(terdiri atas pembilang dan penyebut). Himpunan bilangan rasional adalah gabungan semua
bilangan bulat dan pecahan “biasa”. Lambang himpunan bilangan rasional adalah Q.
Secara lengkap struktur bilangan rasional sebagai berikut.
BILANGAN RASIONAL
PECAHAN BIA“A
BILANGAN BULAT
BILANGAN BULAT
NEGATIF
BILANGAN
CACAH
NOL
SATU
PECAHAN
MURNI
PECAHAN
TAK MURNI
BILANGAN ASLI
BILANGAN PRIMA
BILANGAN KOMPOSIT
Catatan:
Pecahan murni adalah pecahan dalam bentuk a /b dengan a b.
Salah satu jenis pecahan murni adalah pecahan satuan (kadang disebut pecahan mesir).
Pecahan tak murni adalah pecahan dalam bentuk a /b dengan a b.
Pecahan satuan adalah pecahan biasa dengan pembilang 1. Seperti bilangan satu yang
“membentuk” semua bilangan asli, maka pecahan satuan juga membentuk semua pecahan
biasa.
Pertanyaan
Di mana kedudukan pecahan desimal dan pecahan campuran?
Bilangan Rasional pada Garis Bilangan
Diketahui himpunan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ....
Jika setiap bilangan asli di atas diwakili oleh ruas garis sebanyak 1, 2, 3, 4, 5, ... maka diperoleh.
1
______
2
____________
3
__________________
4
________________________
5
______________________________
dan seterusnya (semua ruas garis dirangkaikan)
Jika semua ruas garis yang mewakili bilangan asli tersebut kita himpitkan pada ujung-ujungnya,
kita peroleh “sebuah garis” yang dinamakan garis bilangan asli.
1
2
3
4
5
...
Jika akhirnya kita menganggap setiap bilangan asli di atas sebagai jarak (dalam satuan tertentu)
ke titik ujung yang sama, maka kita dapat menganggap titik ujung yang sama itu dengan 0
0
1
2
3
4
5
...
Dengan cara serupa untuk arah berlawanan, kita dapat garis bilangan untuk bilangan bulat
negatif (beserta titik nol)
5
...
4
3
2
1
0
Dengan menggabung kedua garis bilangan di atas, kita peroleh garis bilangan untuk bilangan
bulat.
...
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
...
Kenyataannya, pada garis bilangan di atas, setiap titik mewakili sebuah bilangan (real). Garis
bilangan di atas untuk kemudian disebut garis bilangan real atau cukup disebut garis bilangan.
Di mana titik-titik yang mewakili semua bilangan rasional?
Sebuah titik pada garis bilangan merupakan (mewakili) sebuah bilangan rasional jika terdapat
bilangan asli n sedemikian hingga n kali jaraknya terhadap titik nol jatuh di sebuah titik bilangan
bulat.
Contoh. Sebuah titik adalah ¾ jika 4 kali jaraknya terhadap titik 0 jatuh pada titik bilangan 3.
...
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
...
¾
Sifat Bilangan Rasional
Dengan menganggap setiap bilangan bulat sebagai sebuah “pecahan” dalam bentuk pecahan
biasa dengan penyebut 1, maka sifat-sifat bilangan rasional “mengikuti” sifat-sifat pecahan
biasa.
Berlaku sifat-sifat terhadap operasi penjumlahan: identitas 0, tertutup, komutatif, asosiatif.
Negatif dari suatu bilangan rasional adalah juga bilangan rasional.
Berlaku sifat-sifat terhadap operasi perkalian: identitas 1, tertutup, komutatif, asosiatif.
Kebalikan dari suatu bilangan rasional adalah juga sebuah bilangan rasional.
pertanyaan
1. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a 2 + b2 = 1
2. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a 2 + b2 = 2
3. Himpunan bilangan rasional bersifat “padat di mana-mana” (dense every where), yaitu
bahwa untuk setiap 2 bilangan rasional, pasti ada bilangan rasional lain di antara keduanya.
Buktikan hal ini!
Bilangan Rasional dalam Bentuk Desimal
Pandang beberapa bilangan rasional berikut:
2
¾
8/3
22/7
Semua bilangan rasional di atas jika dinyatakan dalam bentuk desimal, diperoleh
¾ = 0,75000... dapat ditulis
0, 750 atau 2,00..0..
8/3 = 2,666... dapat ditulis
2, 6 atau 2,666..6..
22/7 = 3,142857142857142857..... dapat ditulis 3,142857 atau 3,142857...142857...
Terlihat bahwa pada setiap bilangan rasional di atas, bentuk desimalnya memuat pengulangan
angka atau deretan angka tertentu secara terus menerus. Pada ¾
sesungguhnya memuat
pengulangan angka nol. Akan tetapi, biasanya pengulangan angka nol tidak diperhatikan atau
dikatakan tidak ada pengulangan angka (terus menerus). Pada 8/3 terdapat pengulangan angka 6.
Dan pada 22/7 terdapat pengulangan deretan angka “142857”.
Apakah setiap bentuk rasional a /b jika dinyatakan dalam bentuk desimal pasti memiliki angka
atau deretan angka yang berulang? Ya.
Sebaliknya juga benar bahwa setiap bilangan dalam bentuk desimal yang memiliki angka atau
deretan angka yang berulang pasti merupakan bilangan rasional.
Contoh perhatikan bilangan 2, 71717171...
Misal x = 2, 71717171... maka 100x = 271,717171...
sehingga 100x – x = 269. Dari sini
diperoleh x = 269/99 suatu bilangan rasional.
Jadi, bilangan rasional adalah bilangan real yang dalam bentuk desimal memiliki angka atau
deretan angka yang berulang.
Pertanyaan
1. Apakah π bilangan rasional?
2. Nyatakan 2,02820282028...2028...
dalam bentuk pecahan biasa!
3. Temukan deretan angka yang berulang pada bilangan rasional 1/13, 1/17, dan 1/109.
4. Nyatakan 0,999999..... (9 berulang) dalam bentuk pecahan biasa. Apa simpulan Anda?
Bilangan 2
Jika kita dapat menyatakan suatu bilangan dalam bentuk pecahan biasa, maka kita telah
membuktikan bahwa bilangan tersebut merupakan bilangan rasional. Cara lain adalah dengan
membuktikan bahwa bentuk desimal bilangan tersebut memuat angka atau deretan angka yang
berulang secara terus menerus.
Akan tetapi dalam beberapa kasus bilangan, cara-cara tersebut tidak dapat diterapkan. Untuk
mendapatkan keyakinan (bukti matematis) maka diperlukan cara-cara cerdas atau kreatif untuk
membuktikan rasional atau tidak suatu bilangan. Jadi, tidak ada cara umum untuk membuktikan
suatu bilangan merupakan bilangan rasional atau bukan.
Salah satu kasus yang cukup sederhana dan terkenal adalah kasus bilangan dalam bentuk akar,
2.
Apakah bilangan 2 merupakan bilangan rasional?
Perhatikan beberapa angka desimal dari 2 berikut ini.
Tampak bahwa belum ada angka atau deretan angka yang berulang. Apakah kita cukup yakin
bahwa 2 bukan bilangan rasional? Secara matematis, ini tidak cukup. Siapa tahu setelah
desimal ke-1000 misalnya mulai muncul yang berulang? Nah, daripada menulis semua angka
desimal 2 (yang jelas tidaklah mungkin), maka diperlukan cara lain untuk meyakinkan bahwa
2 rasional atau 2 bukan rasional.
Bukti paling sederhana menggunakan metode pengandaian (reductio ad absurdum). Pada bukti
ini konsep yang dipergunakan hanyalah konsep bilangan genap dan konsep FPB.
Andaikan 2 bilangan rasional. Jadi, menurut definisi bilangan rasional maka 2 dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa, misal 2 = a /b dengan a dan b bilangan-bilangan
bulat.
Karena setiap bentuk pecahan biasa memiliki bentuk paling sederhana, maka dapat
diasumsikan a /b adalah bentuk paling sederhana . (jika belum sederhana, buat menjadi paling
sederhana). Bentuk a /b paling sederhana artinya a dan b tidak memiliki faktor prima yang
sama. Dengan kata lain, FPB a dan b adalah 1.
Kuadratkan kesamaan 2 = a /b maka diperoleh:
2 = (a 2)/(b2)
atau
2b2 = a 2. Ini apa
artinya? Setiap bilangan bila dikali dua pasti menjadi bilangan genap, bukan? Jadi, a 2
merupakan bilangan genap. Nah, mungkinkah kuadrat dari suatu bilangan ganjil adalah
bilangan genap? Tentu tetap merupakan bilangan ganjil. Jadi, hanya bilangan genap yang
dikuadratkan menjadi bilangan genap. Contoh, 32 = 9 (tetap bilangan ganjil), 42 = 16 (tetap
bilangan genap). Jadi, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa a pasti merupakan
bilangan genap.
merupakan penggandaan (dikali dua) sebuah bilangan bulat.
Misalkan a = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Ingat, bahwa setiap bilangan genap pasti
Kembali ke 2b2 = a 2 dengan a = 2k diperoleh
2b2 = a 2 2b2 = (2k)2 2b2 = 4k2 b2 = 2k2
Jadi, b2 adalah bilangan genap. Serupa sebelumnya, maka b adalah bilangan genap.
Perhatikan hingga di sini kita dapatkan bahwa a maupun b merupakan bilangan genap. Ini
artinya a dan b memiliki faktor persekutuan 2. Jelas, ini kontradiksi dengan asumsi bahwa
FPB a dan b adalah 1. Karena penalaran kita di atas tidak ada yang salah, maka seharusnya
pengandaian mula-mula yang salah. Ini artinya 2 bukan bilangan rasional.
Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional (irrational numbers).
Selain 2, semua bilangan bentuk akar dari bilangan yang bukan bilangan kuadrat adalah bukan
bilangan rasional.
Beberapa bilangan rasional dan bukan rasional.
Pecahan dengan deretan 108 angka yang berulang di bawah ini merupakan bilangan rasional
1/109.
0,0091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128
44036697247706422018348623853211009174311926605504587155963302752293577981651
37614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321100917431192660
55045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128440366972477064
22018348623853211009174311...
Namun pecahan berikut – yang merupakan pecahan yang sangat penting – tidak memiliki bagian
desimal (berapapun panjangnya) yang berulang – sehingga bukan merupakan pecahan rasional,
= 3,
dengan kata lain termasuk pecahan irasional.
1415926535
8979323846
2643383279
5028841971
6939937510
5820974944
5923078164
0628620899
8628034825
3421170679
8214808651
3282306647
0938446095
5058223172
5359408128
4811174502
8410270193
8521105559
6446229489
5493038196
4428810975
6659334461
2847564823
3786783165
2712019091
4564856692
3460348610
4543266482
1339360726
0249141273
7245870066
0631558817
4881520920
9628292540
9171536436
7892590360
0113305305
4882046652
1384146951
9415116094
3305727036
5759591953
0921861173
8193261179
3105118548
0744623799
6274956735
1885752724
8912279381
8301194912
9833673362
4406566430
8602139494
6395224737
1907021798
6094370277
0539217176
2931767523
8467481846
7669405132
0005681271
4526356082
7785771342
7577896091
7363717872
1468440901
2249534301
4654958537
1050792279
6892589235
4201995611
2129021960
8640344181
5981362977
4771309960
5187072113
4999999837
2978049951
0597317328
1609631859
5024459455
3469083026
4252230825
3344685035
2619311881
7101000313
7838752886
5875332083
8142061717 7669147303
....
Daftar pustaka dan bacaan
Posamentier, Alfred. 2003. Math Wonders, to inspire teachers and students . Virginia (USA):
Associasion for Supervision and Curriculum Development (ASCD)
Vivaldi, Franco. 2008. Essensial Mathematics . London: School of Mathematical Sciences
(Quenn Mary Univ.)
Sejarah dan pengertiannya
oleh
Sumardyono, M.Pd.
Konsep bilangan rasional pada Standar Isi terkait dengan konsep bilangan bulat dan pecahan,
sebagai berikut:
Kelas VII, Semester 1
Standar Kompetensi
Komptensi Dasar
Bilangan
1. Memahami sifat-sifat operasi
hitung bilangan dan
penggunaannya dalam
pemecahan masalah
1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan
pecahan
1.2 Menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan
bulat dan pecahan dalam pemecahan masalah
Pada makalah ini akan dibahas mengenai tema bilangan rasional secara umum. Sifat-sifat
bilangan bulat dan pecahan tidak dibahas secara khusus. Pembahasan bilangan rasional ini untuk
menjadi wawasan bagi guru dan agar dapat memahami bilangan bulat dan pecahan secara lebih
komprehensif.
“Sejarah” Bilangan Rasional
Sebelum mempelajari bilangan rasional, siswa telah dikenalkan dengan beberapa jenis bilangan,
antara lain: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan bulat, bilangan pecahan atau
pecahan, bilangan positif, bilangan negatif.
Mula-mula yang dikenal manusia adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli (natural
numbers, N). Bilangan asli dibutuhkan manusia untuk membilang sesuatu yang utuh, seperti
banyak orang, banyak hewan, dan semacamnya.
Selanjutnya manusia mengenal bilangan pecahan (fractions) dengan berbagai macam bentuk. Di
Mesir kuno dikenal dengan penyebut 1 atau 2 saja. Di Perancis kuno, dikenal dengan penyebut
kelipatan 6 atau 12. Di bangsa-bangsa lain juga akhirnya mengenal pecahan dengan ragam
bentuk yang berbeda-beda.
Mengenai bilangan prima (prime numbers), telah menjadi kajian intensif orang Yunani kuno,
terutama pada perguruan Pythagoras. Mereka menemukan bahwa bilangan prima adalah
“sumber bilangan asli” di mana semua bilangan asli dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima.
Pada perkembangan selanjutnya, orang membutuhkan bilangan bertanda
oleh karena kuantitas sesuatu dapat “berjalan” ke dua arah yang
berlawanan. Misalnya untuk menjawab pertanyaan “berapa kambing
yang dia punya?”. Padalah faktanya ia berutang 3 ekor kambing dan
tidak memiliki kambing sama sekali. Daripada menjawab “tidak ada”,
jawaban “negatif tiga” akan lebih masuk akal. Dipelopori Brahmagupta
(598-670) dan juga al-Biruni (973-1048), penggunaan bilangan bertanda
menjadi luas diterima orang.
Salah satu perkembangan penting kemampuan berhitung manusia adalah dimulainya
penggunaan angka nol. Walaupun telah disinggung oleh bangsa Maya dan juga oleh
matematikawan India-semisal Brahmagupta, tetapi konsep bilangan
nol (zero) dan penggunaan angka nol belum dipahami manusia
hingga pengenalan dan penggunaan sistem desimal sekitar abad ke12 hingga abad ke-15. Di tangan matematikawan muslim, terutama
al-Kashi (1380-1429), penulisan desimal menjadi trend. Dalam
penulisan desimal ini, angka nol mutlak dibutuhkan. Muncullah
kemudian angka dan bilangan nol.
Dengan bilangan nol, orang sekarang telah memiliki referensi untuk
menjawab pertanyaan “berapa banyak ... ?” Kita menyebutnya
dengan istilah bilangan cacah (whole numbers).
Ditambah pecahan, manusia telah memiliki pengetahuan dalam menyatakan semua kuantitas
hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan asli.
Kemunculan Bilangan Rasional dari Sudut Pandang Matematis
Mula-mula dikenal bilangan asli. Apakah setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai perkalian
bilangan-bilangan lain? Ya, yaitu dengan satu dan jenis bilangan baru yang disebut bilangan
prima.
Untuk 2 + ... = 6 maka dapat ditemukan bilangan asli 4 untuk mengisi titik-titik.
Tetapi bagaimana bila 2 + ... = 2. Daripada menyebut bahwa tidak ada bilangan asli yang
mengisi titik-titik, lebih baik kita memperluas jenis bilangan yang kita kenal. Muncullah
bilangan nol.
Semua bilangan asli dan nol, kita golongkan sebagai himpunan bilangan cacah (whole numbers).
Untuk mengisi titik-titik pada 3 + ... = 2
kita memerlukan bilangan dengan “arah” yang
berlawanan dari biasanya. Muncullah bilangan negatif.
Semua bilangan cacah dan bilangan negatifnya, kita golongkan sebagai himpunan bilangan bulat
(integers)
Selanjutnya, untuk menjawab 2 × ... = 3 maka kita memerlukan jenis bilangan baru yang kita
sebut pecahan. Dalam kasus ini, kita dapatkan pecahan dalam bentuk a /b dengan a dan b
bilangan-bilangan bulat. Satu-satunya kasus di mana kita tidak menemukan adanya pecahan
yang sesuai adalah kasus
0 × ... = a dengan a sebarang bilangan bulat kecuali nol.
Seperti bilangan bulat, pecahan-pun terdiri atas pecahan positif dan pecahan negatif.
Nah, semua bilangan yang telah kita kenal hingga di sini, digolongkan menjadi satu jenis
bilangan yang disebut bilangan rasional.
Pengertian Bilangan Rasional
Apa sesungguhnya bilangan rasional itu? Dapatkah kita menyatakan pengertian bilangan
rasional secara sederhana?
Pengertian bilangan rasional dapat dikaitkan dengan kata “rasio” (ratio) yang menjadi kata dasar
dari “rasional”. Dalam matematika, rasio berarti perbandingan. Umumnya sebuah perbandingan
dinyatakan dengan bilangan bulat.
Perhatikan yang berikut ini merupakan perbandingan.
2:5
3 : 10
Tetapi tidaklah lazim dalam matematika menulis perbandingan seperti.
2,4 : 1,7
Suatu perbandingan terkait dengan notasi pembagian.
Untuk contoh pertama di atas 2 : 5 menyatakan perbandingan a terhadap b, maka kita tulis a =
2/5b atau a/b = 2/5.
Nah, bilangan rasional memiliki pengertian yang serupa, yaitu bilangan real yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
dengan a , b bilangan-bilangan bulat.
Seharusnya jelas bahwa b ≠ 0, karena bila b = 0 maka
bukan bilangan real.
Perhatikan bahwa setiap bilangan real tidak dapat dibagi dengan nol.
Untuk a ≠ 0 maka
Sedang
tidak terdefinisi
bentuk tidak tentu.
Kedua bentuk di atas bukan bilangan real, sebab tidak ada bilangan real r sedemikian hingga 0.r
= a atau 0.r = 0.
Kalimat lain yang ekuivalen, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk
dengan a , b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0.
pertanyaan
Bagaimana kebenaran kalimat berikut? Bilangan rasional adalah bilangan bulat atau bilangan
pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa paling sederhana .
Struktur Himpunan Bilangan Rasional
Dengan mengikuti uraian sebelumnya, maka bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai
bilangan bulat atau pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk biasa atau common fraction
(terdiri atas pembilang dan penyebut). Himpunan bilangan rasional adalah gabungan semua
bilangan bulat dan pecahan “biasa”. Lambang himpunan bilangan rasional adalah Q.
Secara lengkap struktur bilangan rasional sebagai berikut.
BILANGAN RASIONAL
PECAHAN BIA“A
BILANGAN BULAT
BILANGAN BULAT
NEGATIF
BILANGAN
CACAH
NOL
SATU
PECAHAN
MURNI
PECAHAN
TAK MURNI
BILANGAN ASLI
BILANGAN PRIMA
BILANGAN KOMPOSIT
Catatan:
Pecahan murni adalah pecahan dalam bentuk a /b dengan a b.
Salah satu jenis pecahan murni adalah pecahan satuan (kadang disebut pecahan mesir).
Pecahan tak murni adalah pecahan dalam bentuk a /b dengan a b.
Pecahan satuan adalah pecahan biasa dengan pembilang 1. Seperti bilangan satu yang
“membentuk” semua bilangan asli, maka pecahan satuan juga membentuk semua pecahan
biasa.
Pertanyaan
Di mana kedudukan pecahan desimal dan pecahan campuran?
Bilangan Rasional pada Garis Bilangan
Diketahui himpunan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ....
Jika setiap bilangan asli di atas diwakili oleh ruas garis sebanyak 1, 2, 3, 4, 5, ... maka diperoleh.
1
______
2
____________
3
__________________
4
________________________
5
______________________________
dan seterusnya (semua ruas garis dirangkaikan)
Jika semua ruas garis yang mewakili bilangan asli tersebut kita himpitkan pada ujung-ujungnya,
kita peroleh “sebuah garis” yang dinamakan garis bilangan asli.
1
2
3
4
5
...
Jika akhirnya kita menganggap setiap bilangan asli di atas sebagai jarak (dalam satuan tertentu)
ke titik ujung yang sama, maka kita dapat menganggap titik ujung yang sama itu dengan 0
0
1
2
3
4
5
...
Dengan cara serupa untuk arah berlawanan, kita dapat garis bilangan untuk bilangan bulat
negatif (beserta titik nol)
5
...
4
3
2
1
0
Dengan menggabung kedua garis bilangan di atas, kita peroleh garis bilangan untuk bilangan
bulat.
...
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
...
Kenyataannya, pada garis bilangan di atas, setiap titik mewakili sebuah bilangan (real). Garis
bilangan di atas untuk kemudian disebut garis bilangan real atau cukup disebut garis bilangan.
Di mana titik-titik yang mewakili semua bilangan rasional?
Sebuah titik pada garis bilangan merupakan (mewakili) sebuah bilangan rasional jika terdapat
bilangan asli n sedemikian hingga n kali jaraknya terhadap titik nol jatuh di sebuah titik bilangan
bulat.
Contoh. Sebuah titik adalah ¾ jika 4 kali jaraknya terhadap titik 0 jatuh pada titik bilangan 3.
...
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
...
¾
Sifat Bilangan Rasional
Dengan menganggap setiap bilangan bulat sebagai sebuah “pecahan” dalam bentuk pecahan
biasa dengan penyebut 1, maka sifat-sifat bilangan rasional “mengikuti” sifat-sifat pecahan
biasa.
Berlaku sifat-sifat terhadap operasi penjumlahan: identitas 0, tertutup, komutatif, asosiatif.
Negatif dari suatu bilangan rasional adalah juga bilangan rasional.
Berlaku sifat-sifat terhadap operasi perkalian: identitas 1, tertutup, komutatif, asosiatif.
Kebalikan dari suatu bilangan rasional adalah juga sebuah bilangan rasional.
pertanyaan
1. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a 2 + b2 = 1
2. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a 2 + b2 = 2
3. Himpunan bilangan rasional bersifat “padat di mana-mana” (dense every where), yaitu
bahwa untuk setiap 2 bilangan rasional, pasti ada bilangan rasional lain di antara keduanya.
Buktikan hal ini!
Bilangan Rasional dalam Bentuk Desimal
Pandang beberapa bilangan rasional berikut:
2
¾
8/3
22/7
Semua bilangan rasional di atas jika dinyatakan dalam bentuk desimal, diperoleh
¾ = 0,75000... dapat ditulis
0, 750 atau 2,00..0..
8/3 = 2,666... dapat ditulis
2, 6 atau 2,666..6..
22/7 = 3,142857142857142857..... dapat ditulis 3,142857 atau 3,142857...142857...
Terlihat bahwa pada setiap bilangan rasional di atas, bentuk desimalnya memuat pengulangan
angka atau deretan angka tertentu secara terus menerus. Pada ¾
sesungguhnya memuat
pengulangan angka nol. Akan tetapi, biasanya pengulangan angka nol tidak diperhatikan atau
dikatakan tidak ada pengulangan angka (terus menerus). Pada 8/3 terdapat pengulangan angka 6.
Dan pada 22/7 terdapat pengulangan deretan angka “142857”.
Apakah setiap bentuk rasional a /b jika dinyatakan dalam bentuk desimal pasti memiliki angka
atau deretan angka yang berulang? Ya.
Sebaliknya juga benar bahwa setiap bilangan dalam bentuk desimal yang memiliki angka atau
deretan angka yang berulang pasti merupakan bilangan rasional.
Contoh perhatikan bilangan 2, 71717171...
Misal x = 2, 71717171... maka 100x = 271,717171...
sehingga 100x – x = 269. Dari sini
diperoleh x = 269/99 suatu bilangan rasional.
Jadi, bilangan rasional adalah bilangan real yang dalam bentuk desimal memiliki angka atau
deretan angka yang berulang.
Pertanyaan
1. Apakah π bilangan rasional?
2. Nyatakan 2,02820282028...2028...
dalam bentuk pecahan biasa!
3. Temukan deretan angka yang berulang pada bilangan rasional 1/13, 1/17, dan 1/109.
4. Nyatakan 0,999999..... (9 berulang) dalam bentuk pecahan biasa. Apa simpulan Anda?
Bilangan 2
Jika kita dapat menyatakan suatu bilangan dalam bentuk pecahan biasa, maka kita telah
membuktikan bahwa bilangan tersebut merupakan bilangan rasional. Cara lain adalah dengan
membuktikan bahwa bentuk desimal bilangan tersebut memuat angka atau deretan angka yang
berulang secara terus menerus.
Akan tetapi dalam beberapa kasus bilangan, cara-cara tersebut tidak dapat diterapkan. Untuk
mendapatkan keyakinan (bukti matematis) maka diperlukan cara-cara cerdas atau kreatif untuk
membuktikan rasional atau tidak suatu bilangan. Jadi, tidak ada cara umum untuk membuktikan
suatu bilangan merupakan bilangan rasional atau bukan.
Salah satu kasus yang cukup sederhana dan terkenal adalah kasus bilangan dalam bentuk akar,
2.
Apakah bilangan 2 merupakan bilangan rasional?
Perhatikan beberapa angka desimal dari 2 berikut ini.
Tampak bahwa belum ada angka atau deretan angka yang berulang. Apakah kita cukup yakin
bahwa 2 bukan bilangan rasional? Secara matematis, ini tidak cukup. Siapa tahu setelah
desimal ke-1000 misalnya mulai muncul yang berulang? Nah, daripada menulis semua angka
desimal 2 (yang jelas tidaklah mungkin), maka diperlukan cara lain untuk meyakinkan bahwa
2 rasional atau 2 bukan rasional.
Bukti paling sederhana menggunakan metode pengandaian (reductio ad absurdum). Pada bukti
ini konsep yang dipergunakan hanyalah konsep bilangan genap dan konsep FPB.
Andaikan 2 bilangan rasional. Jadi, menurut definisi bilangan rasional maka 2 dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa, misal 2 = a /b dengan a dan b bilangan-bilangan
bulat.
Karena setiap bentuk pecahan biasa memiliki bentuk paling sederhana, maka dapat
diasumsikan a /b adalah bentuk paling sederhana . (jika belum sederhana, buat menjadi paling
sederhana). Bentuk a /b paling sederhana artinya a dan b tidak memiliki faktor prima yang
sama. Dengan kata lain, FPB a dan b adalah 1.
Kuadratkan kesamaan 2 = a /b maka diperoleh:
2 = (a 2)/(b2)
atau
2b2 = a 2. Ini apa
artinya? Setiap bilangan bila dikali dua pasti menjadi bilangan genap, bukan? Jadi, a 2
merupakan bilangan genap. Nah, mungkinkah kuadrat dari suatu bilangan ganjil adalah
bilangan genap? Tentu tetap merupakan bilangan ganjil. Jadi, hanya bilangan genap yang
dikuadratkan menjadi bilangan genap. Contoh, 32 = 9 (tetap bilangan ganjil), 42 = 16 (tetap
bilangan genap). Jadi, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa a pasti merupakan
bilangan genap.
merupakan penggandaan (dikali dua) sebuah bilangan bulat.
Misalkan a = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Ingat, bahwa setiap bilangan genap pasti
Kembali ke 2b2 = a 2 dengan a = 2k diperoleh
2b2 = a 2 2b2 = (2k)2 2b2 = 4k2 b2 = 2k2
Jadi, b2 adalah bilangan genap. Serupa sebelumnya, maka b adalah bilangan genap.
Perhatikan hingga di sini kita dapatkan bahwa a maupun b merupakan bilangan genap. Ini
artinya a dan b memiliki faktor persekutuan 2. Jelas, ini kontradiksi dengan asumsi bahwa
FPB a dan b adalah 1. Karena penalaran kita di atas tidak ada yang salah, maka seharusnya
pengandaian mula-mula yang salah. Ini artinya 2 bukan bilangan rasional.
Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional (irrational numbers).
Selain 2, semua bilangan bentuk akar dari bilangan yang bukan bilangan kuadrat adalah bukan
bilangan rasional.
Beberapa bilangan rasional dan bukan rasional.
Pecahan dengan deretan 108 angka yang berulang di bawah ini merupakan bilangan rasional
1/109.
0,0091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128
44036697247706422018348623853211009174311926605504587155963302752293577981651
37614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321100917431192660
55045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128440366972477064
22018348623853211009174311...
Namun pecahan berikut – yang merupakan pecahan yang sangat penting – tidak memiliki bagian
desimal (berapapun panjangnya) yang berulang – sehingga bukan merupakan pecahan rasional,
= 3,
dengan kata lain termasuk pecahan irasional.
1415926535
8979323846
2643383279
5028841971
6939937510
5820974944
5923078164
0628620899
8628034825
3421170679
8214808651
3282306647
0938446095
5058223172
5359408128
4811174502
8410270193
8521105559
6446229489
5493038196
4428810975
6659334461
2847564823
3786783165
2712019091
4564856692
3460348610
4543266482
1339360726
0249141273
7245870066
0631558817
4881520920
9628292540
9171536436
7892590360
0113305305
4882046652
1384146951
9415116094
3305727036
5759591953
0921861173
8193261179
3105118548
0744623799
6274956735
1885752724
8912279381
8301194912
9833673362
4406566430
8602139494
6395224737
1907021798
6094370277
0539217176
2931767523
8467481846
7669405132
0005681271
4526356082
7785771342
7577896091
7363717872
1468440901
2249534301
4654958537
1050792279
6892589235
4201995611
2129021960
8640344181
5981362977
4771309960
5187072113
4999999837
2978049951
0597317328
1609631859
5024459455
3469083026
4252230825
3344685035
2619311881
7101000313
7838752886
5875332083
8142061717 7669147303
....
Daftar pustaka dan bacaan
Posamentier, Alfred. 2003. Math Wonders, to inspire teachers and students . Virginia (USA):
Associasion for Supervision and Curriculum Development (ASCD)
Vivaldi, Franco. 2008. Essensial Mathematics . London: School of Mathematical Sciences
(Quenn Mary Univ.)