Slide: PELATIHAN MATEMATIKA GURU SMK MODEL SENI/PARIWISATA/BISNIS MANAJEMEN (2010)

Peserta pelatihan dapat:
1. Menentukan nilai perbandingan trigonometri
suatu sudut
2. Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat
kutub
3. Menerapkan aturan sinus dan cosinus
4. Menentukan luas suatu segitiga
5. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut
6. Menyelesaikan persamaan trigonometri

B

A


O

Sinargaris OA disebut sisi/kaki awal,
sinargaris OB disebut sisi/kaki tujuan,
dan titik O disebut titik-sudut.

Ditulis 
 = AOB

Suatu sudut dapat dibangkitkan/
digenerasikan/dibentuk dari suatu
sinargaris diputar mengelilingi titik O
menuju suatu sinargaris yang lain.
Sudut  diperoleh dari sinargaris OA
diputar berlawanan arah dengan arah
jarum jam mengelilingi titik O hingga
sampai di sinargaris OB. Sudut 
dikatakan sudut positif.
Sudut  diperoleh dari sinargaris OA
diputar searah dengan arah jarum
jam mengelilingi titik O hingga sampai
di sinargaris OB. Sudut  dikatakan
sudut negatif

Sudut  dan sudut  dikatakan coterminal (kaki-awal dan kaki-tujuannya
sama).

Dalam trigonometri, banyak putaran dan arah putaran tidak dibatasi.
Sudut yang diperhatikan, yaitu sudutsudut yang sisi/kaki awal-nya membuat
beberapa revolusi terhadap titik O, searah
atau berlawanan arah dengan arah jarum
jam, sebelum terhenti pada sisi/kaki
tujuan/terminal-nya.

l2


’’’
O

l1
Sudut  dan sudut ’, keduanya positif,
coterminal, tetapi berbeda.

Sisi/kaki awal l1 sudut a’ membuat suatu revolusi-lengkap terhadap titik O
sebelum berimpit dengan sisi/kaki terminal l2

Dalam suatu sistem koordinat kartesius (rectangular), suatu sudut
dikatakan dalam posisi standar, apabila titik sudutnya berimpit dengan
pusat koordinat dan sisi/kaki awalnya berimpit dengan sumbu x positif.
Apabila sisi/kaki tujuan/terminal dari suatu sudut dalam posisi standar
terletak pada kuadran pertama, maka sudut tersebut disebut sudut
kuadrant-pertama. Analogis terhadap prinsip ini, untuk sudut-sudut
kuadrant-kedua,
kuadran-ketiga, dan kuadran-keempat.
y
y



O
y

x

O

y

x




O

x

O



x

B


O

A
Sudut pusat:  = AOB

Apabila suatu lingkaran dibagi dalam 360 bagian yang
sama, maka setiap sudut pusat yang berkaitan dengan
satu bagian tersebut dikatakan mempunyai ukuran satu
o
derajat,
dinyatakan
dengan
.
Dalam posisi
standar,
suatu 1
sudut
satu derajat diperoleh
1
dengan memutar sumbu-x positif berlawanan arah 360

dengan arah jarum jam sebesar
dari suatu revolusi
lengkap.
Derajat-derajat dibagi-bagi dalam menit-menit dan detikdetik.
1o = 60’ dan 1’ = 60”

y

y



x

O
Sudut lancip
o

0 <  < 90

x

O
Sudut siku-siku

y

 = 90o

o



O

x
Sudut tumpul
90o <  < 180o

y

O

y




360
x

O
y

x

Sudut positif yang
coterminal dengan
sudut 45o

31
O

x

Sudut negatif yang
coterminal dengan
sudut 45o

Sudut  yang coterminal dengan sudut yang
berukuran 780o, sehingga 0o <  < 360o.

y

60o

780O  2 �360O  60O �   60O

780o
x

y
y
30o
750o
x

750O  30O  2 �360O

Sudut positif dan
sudut negatif
yang coterminal
dengan sudut
30o, dalam posisi
standar.

-690o

30o
x

690O  30O  2 �360O

B
1
Satu radian didefinisikan
sebagai besaran yang
ditunjukkan dari suatu
ruasgaris sepanjang 1
diputar berpangkal dari
ujung pertama, sehingga
perjalanan putaran ujung
kedua berupa suatu busur
lingkaran sepanjang 1.


O

1

A

AOB = 1 radian

  s ; s panjang busur, r jari-jari lingkaran
r
Sudut  dengan satuan radian

Rumus Conversi

Keliling suatu lingkaran yang berjari-jari 1 adalah 2.
2 radian = 360o

 

1 radian  180


O

dan  radian = 180o

�57, 29578O

Ruasgaris OA sepanjang 1
diputar dengan titik O
sebagai pusat putaran,
sehingga tempat kedudukan
putaran titik A berupa suatu
busur lingkaran sepanjang 1;
titik B merupakan tempat
terakhir hasil putaran titik
A.

derajat radian

180


1O   radians �0, 0174533 radians
180

25

8

  25  3,125 radians
8
Conversi o ke
radians

45  radian � radians  
180

4


5

12

  12  2, 4 radians
5


Conversi
6
derajat

ke

derajat 6
 � derajat  180  30
180

6

y

y

 
2

  2
x

x

y

y

  3
4

x

x

 
6

A. Dalam posisi standar, carilah sudut positif dan sudut negatif yang
coterminal dengan sudut-sudut berikut:
1. 150O
2. 210O
3.  60O
4. 5
5. 7
6. 9
6
3
4
B. Sketsalah sudut-sudut berikut dalam posisi standar:
1. 156O
2.  105O
3.  318O
4.  3
5.  5
5
4

6. 4
3

C. Conversilah sudut-sudut berikut dalam satuan radians:

1. 150O

2. 210O

3.  240O

4.  45O

5.  120O

6. 300O

D. Conversilah sudut-sudut dalam radians berikut dalam satuan
derajat:
1. 5
2. 7 
3. 3
4.  3
5.  9
6. 
6
6
4
2
4
3
E. Sudut pusat  tertentu oleh suatu busur sepanjang s dan jari-jari
lingkaran sepanjang r. Carilah besar sudut pusat yang diketahui
panjang busur dan jari-jari lingkarannya berikut:

1. s  20cm, r  4cm

2. s  38cm, r  8cm 3. s  6m, r  24cm

Nilai Perbandingan Trigonometri suatu Sudut
A

b

c


C

a

B

sin   BC  a
AB c

csc   AB  c
BC a

sin   AC  b
AB c

csc   AB  c
AC b

cos   AC  b
AB c

sec   AB  c
AC b

cos   BC  a
AB c

sec   AB  c
BC a

tan   AC  b
BC a

cot   BC  a
AC b

tan   BC  a
AC b

cot   AC  b
BC a

A

b

c


C

B

a

sin   BC  a �
AB c �
1
�� csc   sin 
csc   AB  c �
BC a �
cos   AC  b �
AB c �
1
�� sec   cos 
sec   AB  c �
AC b �

tan   BC 
AB
cot   AC 
BC

a�
b�
1
�� cot   tan 
b�
a�

1.

2.

3.
1

15



2
2


8



Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut 

Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut  .

4. Misalkan  suatu sudut lancip sedemikian, sehingga
trigonometri yang lain dari  .
5. Misalkan  suatu sudut lancip sedemikian, sehingga
trigonometri yang lain dari .

sin  

cos 

3
4

1.
2

1

Carilah nilai fungsifungsi trigonometri dari
sudut  .

Carilah nilai-nilai fungsi

. Carilah nilai-nilai fungsi

6. ABC siku-siku di A sebangun dengan DEF siku-siku di D. AB = 2, AC = 3, dan DF = 8. Carilah
nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut lancip pada masing-masing segitiga tersebut.

A

b

c


C

a

B

sin   BC  a �
AB c �
BC
�� sin   AB  cos  � sin   cos (90  )
cos   BC  a �
AB c �

cos   AC  b �
AB c �
AC
�� cos   AB  sin  � cos   sin (90  )
sin   AC  b �
AB c �
tan   BC  a �
AC b �
BC
�� tan   AC  cot  � tan   cot (90  )
cot   BC  a �
AC b �

1. Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut 45o, 30o, dan 60o
2. Lengkapilah gambar segitiga berikut dengan ukuran-ukuran yang sesuai.
(Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri)

….
……..

35
4
26o
……..

….
5
….

….

4

P(x,y)

1
O



x

y
Q

y
�
 y�
1
�� P(x, y)  P(cos ,sin )
cos   x  x �
1
�
sin  

Fungsi-fungsi sinus dan cosinus didefinisikan untuk semua sudut
(positif, negatif, dan nol), dan memperhatikan letak titik P pada
lingkaran berpusat di O dan berjari-jari 1, maka
-1 < sin  < 1

dan

-1 < cos  < 1

 di Kuadran I

P(cos , sin )

1
O


x

y
Q

 di Kuadran II

y  sin   0
x  cos   0

y  sin   0
x  cos   0

P(cos , sin )

y
Q

1
x O



 di Kuadran III

Q

y

x

y  sin   0
x  cos   0


O

1

P(cos , sin )
 di Kuadran IV

y  sin   0
x  cos   0


O

x Q
1

y

P(cos , sin )

sin(  2)  sin  dan cos(  2)  cos 
sin()   sin  dan cos( )  cos 
tan   sin  ,  �  k, k bilangan bulat
cos 
2
cot   cos  ,  �k, k bilangan bulat
sin 
tan   tan(  ) dan cot   cot(  )
tan()   tan  dan cot()   cot 
1 ,  �  k, k bilangan bulat
cos 
2
csc   1 ,  �k, k bilangan bulat
sin 

sec  

sin 2   cos 2   1
tan 2   1  sec 2 
cot 2   1  csc 2 

cos(  )  cos .cos   sin .sin 

sin 2  2.sin .cos 

cos(  )  cos .cos   sin .sin 

cos 2  cos 2   sin 2 

sin(  )  sin .cos   cos .sin 
cos(  )  sin .cos   cos .sin 
tan   tan 
1  tan .tan 
tan   tan 
tan(  ) 
1  tan .tan 
sin(  )  sin(  )  2.sin .cos 
tan(  ) 

sin(  )  sin(  )  2.cos .sin 
cos(  )  cos(  )  2.cos .cos 
cos(  )  cos(  )  2.sin .sin 

cos 2  1  2.sin 2 
cos 2  2.cos 2   1
tan 2  2.tan 2
1  tan 
sin   � 1  cos 
2
2
cos   � 1  cos 
2
2

A


Q

c

b

a  b  c  2r
sin  sin  sin 

OB = r

O
C



a



B

a 2  b 2  c 2  2bc.cos 
b 2  a 2  c 2  2ac.cos 
c 2  a 2  b 2  2ab.cos 

L ABC  12 .ab sin   12 .ac sin   12 .bc sin 
L ABC  r 2 .sin .sin .sin 

T

r

O

X

Titik O disebut khutub
Garis OX disebut sumbu khutub
Panjang OT = r, disebut vektor radius dari T
Sudut antara OX dan OT = , disebut argumen dari
T atau sudut khutub dari T
Bilangan r dan  disebut koordinat-koordinat
khutub dari T dan ditulis T(r,)
Pada umumnya r diambil positif dan 0 <  < 2
Jadi setiap titik pada bidang datar letaknya ditunjukkan oleh
r dan . Sebaliknya setiap pasang r dan  menunjukkan
letak suatu titik dalam bidang datar tersebut.

T(r,)
 + 180O

r


O

O

T’(r,+180 )
Atau T’(r,+)

X

P(r,)

Q(r’,)

r'

r


O

X

Y

r

O

x  r cos  dan
r  � x 2  y2

y  r sin 
dan

  arctan

y
x

x

T(x,y)
atau
T(r,)

y

S

r   x 2  y2

X

,   arccos
  arcsin

x
x 2  y2
y

x 2  y2

Y



T 1, 3

3

r   12  ( 3) 2  2



  arccos 1 �   60O  
2
3

r

O





 T 1, 3 dalam koordinat kartesius





 T 2, 60O  T  2, 3  dalam koordinat khutub
1

X

T  2, 3 
2

O


3

X

x  3cos 6  3.

P  3, 6 

y  3sin 6  3. 12 



3 3
2

3
2

 P  3, 6  dalam koordinat khutub

3


3
2


6

X

O

P



3 3
2



, 23 dalam koordinat kartesius

Y

3
2

O

P



3 3
2

3 3
2

, 23


X

Y
O o
105

3
2

O

X

4

X

Q

Y
3 3
2

P

T

3 3

S

3
O

3

105o

X

O

X