presentasi aljabar abstrak I kelompok IX 0

DIRECT PRODUCTS
“Di susun untuk memenuhi tugas kuliah Aljabar Abstrak Dosen pengampu: Dr. Agus Maman
Abadi”

Di susun oleh klpk IX:
Harinda Nurril F

(10709251035)

M.Supratman

(10709251036)

Wahyu Widiyanti

(10709251038)

MAGISTER PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2011

1

Teorema 2.9.4
. Didefinisikan pemetaan

Jika G adalah grup dengan subgrup normal
adalah isomorpik dari

( hasil kali

langsung luar ) ke G jika dan hanya jika G adalah hasil kali langsung dalam dari

Pembuktian :
Didefinisikan

pemetaan

Karena setiap elemen
, maka

Pemetaan
definisi

dalam G mempunyai sebuah representasi

dengan

adalah suatu pemetaan onto.

adalah 1-1 sebab jika

maka oleh
.

pemetaan

Selanjutnya,

menurut

ketunggalan representasi dari suatu elemen dalam bentuk ini diperoleh
. Jadi,

suatu pemetaan 1-1. Kita tinggal menunjukkan bahwa

suatu

homomorpisme
=
=
=
Menurut Lemma 2.9.3 ,

komutatif dengan

Sehingga kita dapat menukarkan

untuk

dengan elemen – elemen yang ada di kanannya dan

diperoleh

. Demikian kita ulangi untuk
sehingga diperoleh,

=

Jadi,

=
=
=

Sehingga

adalah suatu homomorpisme

Dengan kata lain

adalah suatu isomorpik. Dapat disimpulkan bahwa G merupakan hasil

kali langsung dalam dari

kemudian

adalah onto dan 1-1.

Corollary
Jika G adalah grup dengan subgrup normal
langsung dalam dari

jika dan hanya jika G =

. Maka G merupakan hasil kali
dan

2

Pembuktian

Didefinisikan pemetaan

, oleh

x
Pemetaan

adalah 1-1 sebab jika

maka oleh definisi pemetaan

. Selanjutnya, menurut ketunggalan representasi dari suatu elemen
dalam bentuk ini diperoleh

Jadi,

tinggal menunjukkan bahwa

suatu pemetaan 1-1. Kita

suatu homomorpisme
=

=
=
Menurut Lemma 2.9.3 ,

komutatif dengan

Sehingga kita dapat menukarkan
diperoleh

untuk

dengan elemen – elemen yang ada di kanannya dan
. Demikian kita ulangi untuk

sehingga diperoleh,

,

=

=
=
=
Sehingga

adalah suatu homomorpisme , dengan kata lain

Menurut Lemma 2.9.2 , jika

dan

adalah suatu isomorpik.

kemudian berdasarkan elemen

1) Jika
Maka

Karena

maka

2) Jika
Maka
Karena
Sehingga

maka
atau dapat dikatakan

.

3

Soal
dan

1. Jika

dua grup, buktikan bahwa

x

x

Jawab :
Apabila

x
x

Didefinisikan pemetaan
Pemetaan

x

x

oleh

adalah 1-1 sebab jika

pemetaan

maka oleh definisi

. Selanjutnya, menurut ketunggalan representasi dari

suatu elemen dalam bentuk ini diperoleh

Jadi,

pemetaan 1-1. Kita tinggal menunjukkan bahwa

suatu

suatu homomorpisme

=
=
=
Menurut Lemma 2.9.3 ,

komutatif dengan

Sehingga kita dapat menukarkan

dengan elemen – elemen yang ada di kanannya dan

diperoleh

.

Demikian

kita

sehingga diperoleh,

ulangi

untuk

,

=

=
=
=
Sehingga

adalah suatu homomorpisme , dengan kata lain

adalah suatu isomorpik.

(terbukti)

2. Misalkan G suatu grup , A = G x G ,
a. T

G

b. T

G jika dan hanya jika G abelian

dan T = { ( g,g ) | g

G } Buktikan bahwa :

Jawab :
a. Untuk membuktikan bahwa T merupakan grup, maka harus dibuktikan terlebih
dahulu bahwa T merupakan subgrup dari A

4

Diberikan

dimana G merupakan suatu grup , menurut definisi pada

halaman 93 (Buku Herstein) Dengan

dan

diperoleh ,

=
=
=
=
=
Jadi, T merupakan subgrup dari A

Didefinisikan pemetaan

, maka

adalah suatu pemetaan onto.

Kita tinggal menunjukkan bahwa
Diberikan

(rumus)

dalam G mempunyai sebuah representasi

Karena setiap elemen
dengan

dan

suatu homomorpisme,

, dengan

dan

diperoleh

=
=
=
Menurut Lemma 2.9.3 ,

komutatif dengan

Sehingga kita dapat menukarkan

dengan elemen – elemen yang ada di kanannya

dan diperoleh

. Demikian kita ulangi
sehingga

untuk

untuk

diperoleh,

=

=
=
=
Sehingga

adalah suatu homomorpisme, dengan kata lain

adalah suatu isomorpik.

Jadi, terbukti bahwa D merupakan isomorpik dari G
b. A = G x G = { ( g,g ) | g

G}
=
=
=
5

6