distribusi diskrit dan kontinu 7

Distribusi Diskrit dan Kontinu
yang Penting
Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit
• Fungsi probabilitas dari variabel random
diskrit dapat dinyatakan dalam formula
matematik tertentu yang dinamakan fungsi
distribusi diskrit.
• Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini
antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi
binomial, distribusi geometrik dan distribusi
Poisson

Distribusi Uniform Diskrit
• Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi
variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa
semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama
untuk muncul.
• Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilainilai
, , … , � mempunyai probabilitas yang

sama, maka variabel random X disebut mempunyai
distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan
�~� �
, jika fungsi probabilitasnya berbentuk :
�; � =

�

Distribusi Uniform
• Contoh: pada pelambungan sebuah dadu,
semua titik sampel dalam S = {1,2,3,4,5,6}
mempunyai probabilitas yang sama untuk
; =
muncul, yaitu sebesar . Jadi
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Untuk variabel random X yang mempunyai
distribusi uniform diskrit, maka
=

�+

� =

� +

Distribusi Binomial

• Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan,
kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan
menjadi sukses atau gagal , dengan probabilitas
sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka
distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi
binomial.
• Suatu variabel random diskrit X dikatakan
berdistribusi binomial dengan parameter n dan p,
, , maka fungsi
dinotasikan dengan �~��
probabilitasnya berbentuk :
� �
�

�; �, � =
− � � � , untuk x = 0,1,2,…,n
�
x = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p =
probabilitas sukses

Distribusi Binomial
• Contoh : sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Berapa
probabilitas bahwa dalam 5 kali pelambungan
muncul mata dadu 2 sebanyak 3? Jawab : x = 3, n
= 5 , p = , maka b(3;5, ) =

= .

• Jika variabel random diskrit X mempunyai
distribusi binomial dengan parameter n dan p
maka
= ��
� = �� − �

Distribusi Geometrik
Contoh kasus : dalam transmisi gelombang,
probabilitas gelombang yang ditransmisikan
diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa
setiap transmisi gelombang adalah kejadian
independen (saling bebas), dan misalkan X
menotasikan
jumlah
gelombang
yang
ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror
yang pertama.
Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4
gelombang pertama yang ditransmisikan tidak
mengalami eror dan gelombang ke-5 baru
mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan
{OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang
diterima tidak mengalami eror).

Distribusi Geometrik

• Karena setiap transmisi gelombang adalah
kejadian independen, maka
P(X=5) = P{OOOOE} = ,
, = ,
• Variabel random X yang menyatakan
banyaknya percobaan sampai terjadinya
sukses yang pertama kali dikatakan
berdistribusi geometrik dengan parameter p,
dinotasikan dengan �~
, fungsi
probabilitas berbentuk
� =
−� � �
untuk x = , , ,…

Distribusi Geometrik
• Jika X berdistribusi
parameter p, maka
=

�

Geometrik
� =

−�
�

dengan

Distribusi Poisson
• Jika pada distribusi binomial parameter n
cukup besar (secara teoritis n → ∞ ), maka
diperoleh distribusi Poisson dengan parameter
λ= .
• Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan
mempunyai distribusi Poisson dengan
λ , jika
parameter λ, dinotasikan �~� �
fungsi probabilitasnya sbb:

;λ =

λ� � −λ
�!

; untuk x = , , , , …

Distribusi Poisson
• Contoh : jika probabilitas seseorang terkena
penyakit demam adalah 0.005, berapa
probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang
terkena penyakit demam dari 3000 orang?
Jawab : diperoleh λ =
,
= , sehingga

p(18;15) =

8� − 5

!

= .

• Jika variabel random X mempunyai distribusi
Poisson, dengan parameter λ, maka
=
� =

Distribusi Kontinu
• Fungsi densitas probabilitas dari variabel
random kontinu dapat dinyatakan pula dalam
formula matematik tertentu yaitu fungsi
distribusi kontinu.
• Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini
adalah distribusi uniform kontinu, distribusi
normal, distribusi Chi-Square, distribusi
Student s t dan distribusi F.

Distribusi Uniform Kontinu

• Definisi : suatu variabel random kontinu X
mempunyai distribusi uniform kontinu pada
,
,
dinotasikan
dengan
selang
�~� �
, ,
jika fungsi densitasnya
berbentuk:
•

=

,

<

<

,untuk x yang lain

Distribusi Uniform Kontinu
• Jika variabel random kontinu X berdistribusi
uniform kontinu pada interval , , maka :
=

+

� =

−

Distribusi Normal
• Fungsi distribusi dari variabel random kontinu
yang paling luas penggunaannya adalah fungsi
distribusi normal.
• Kurva normal berbentuk seperti lonceng
(bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.

• Kurva normal adalah simetris, dengan mean
dan median berada di tengah-tengah.

Distribusi Normal
• Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam
menggambarkan data yang muncul dalam
kehidupan sehari-hari.
• Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa
Pendidikan Kimia yang mengambil mata kuliah
Statistika Dasar berdistribusi Normal, maka
dikatakan bahwa sebagian besar nilai
mahasiswa berada di sekitar rataan dan
sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya
sangat bagus dan sangat sedikit pula yang
nilainya sangat jelek.

Distribusi Normal
• Definisi : variabel random kontinu dikatakan
berdistribusi normal dengan parameter � dan
� , dinotasikan dengan �~� �, � , jika
fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :

� =

�

�

�−
�

untuk −∞ < � < ∞

Apabila � =
dan � = 1, maka diperoleh
distribusi normal standar, dinotasikan dengan
� , , sering disebut dengan distribusi Z,
fungsi densitasnya sbb :

=

�

�

Distribusi Normal
Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal
biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X
adalah
1
satuan.
Yaitu
∞
∞
=
=
∞
∞

Sifat kurva normal � �, � :
• Asimtotik terhadap sumbu X.
• Simetris terhadap garis = �.

• Mempunyai titik koordinat maksimum �,

�

�

• Mempunyai dua titik belok yg berjarak � dr sb simetri

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan
Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
• Jika variabel random X berdistribusi normal biasa
dengan fungsi densitas probabilitas
, maka
=
�
>

�

dimana
• � −

�<

�

=

�

∞
��

=

=−
<

�

∞
� −�

�

=

=�

��
��

=

−�

=

− �

Titik
Jika digambarkan:

�

Dengan melihat tabel distribusi normal standar,
akan diperoleh nilai-nilai:
• . = .
= .
.
• .
= .
= .
.

Distribusi Chi-Square
• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
Chi-square dengan derajat kebebasan
jika
fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

dengan
∞

�

gamma

= �
�

,

�

�

bilangan
. Fungsi �

�

�
asli

,

>

dan �
=
disebut fungsi

Distribusi Chi-Square
• Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan
disajikan dengan �
, dan jika � berditribusi Chisquare dengan derajat kebebasan
disajikan
.
dengan �~�
• Grafik distribusi Chi-square

• Jika var. random X berdistribusi �
�=
� =

, maka

Distribusi Chi-Square
• Untuk nilai � dan
melalui tabel.

• Contoh �

.

;

=

tertentu, harga ��;� dapat dicari

.

Distribusi Student s
• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
student s
dengan derajat kebebasan
jika fungsi
densitas probabilitasnya berbentuk:
•

=

�

�+

�� � �

+

�
�

�+

,

dengan = , , , …
Distribusi tersebut disajikan dengan
• Grafik distribusi student s

−∞<
atau X~



,

.

Distribusi F
Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat
nilai � = .
dan � = .
dan nilai-nilai
dan tertentu. Contoh: . ; ; = .
Jika variabel random kontinu X berdistribusi F
dengan derajat kebebasan dan maka:
• �=

�

• � =

�

, untuk

� �
� �

�
�

>

, untuk

>

Tabel F untuk � = .

Tabel F untuk � = .