Lampiran 1 : Perhitungan Basic Reproduction Ratio
Lampiran 1 : Perhitungan Basic Reproduction Ratio ( ) dengan mensubstitusikan titik setimbang bebas
Pandang matriks = [ 0 ],
penyakit = , maka akan didapatkan matriks = [ ]
- yang selanjutnya akan Kemudian pandang matriks = [( + ) − ( + )] dicari invers dari matriks yaitu
1 ( + )
−1
= ( + )] ( + )( + ) [ ( + )
( + )( + ) = ( + ) [
( + )( + ) ( + )( + )]
1 ( + ) =
1 [ ( + )( + ) ( + )] Basic reproduction ratio didapatkan dengan menentukan nilai eigen terbesar dari
−1 −1
dapat dipaparkan sebagai berikut matriks = , maka 1 ( + )
= [ ]
1 [ ( + )( + ) ( + )] = [
] ( + )( + ) + ( + )( + )( + ) ( + )( + ) Sehingga diperoleh = [
0] dengan
( + ) + = ( + )( + )( + ) =
( + )( + )
−1
Dari sini didapatkan nilai eigen terbesar matriks adalah ,dengan ( + ) + = ( + )( + )( + ) Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa ( + ) +
= ( + )( + )( + )
Lampiran 2 : Perhitungan Titik Setimbang Endemik Pandang persamaan (4.4)
∗ ∗
− = 0
∗ ∗
⇔ =
∗ ∗
⇔ = (1) Pandang Persamaann (4.3)
∗ ∗
− ( + ) = 0
∗ ∗
⇔ = ( + )
∗ ∗
⇔ (2) ( + ) = Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (4.2) diperoleh
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
- − ( + ) = 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
⇔ ( − ( + ) = 0
- ) +
∗ ∗ ∗ ∗
⇔ ( ( ) = ( + )
- ) +
∗
( + )
∗
⇔ =
∗
[
- ]
- ∗
⇔ = (
- )
- ∗
⇔ = ( + ( + ) )
- ( + )( + )
∗
⇔ = ( + + ) (3)
Misalkan = +
4
= +
5
dengan demikian diperoleh
1
4 ∗
=
2 Mensubstitusikan persamaan (3) dan persamaan (2) ke persamaan (4.1) sehingga
diperoleh ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= − − − ( + ) = 0 2 ∗ 2 ∗
- ( + + + )
⇔ − ( ) ( ) − − ( +
( + + ) ( + + ) +
2
) ( ) = 0
( + + )
2 ∗
2
( + +
- ) + +
⇔ − − ( + ) ( ) = 0
( + + )( + ) ( + + )
∗
2
( + )( + )
⇔ − − ( + ) ( ) = 0
( + + )( + ) ( + + )
2
2
- ) + + + ( + ) + ( + + ∗
⇔ − [ ] − ( + ) ( ) = 0
( + + ) ( + + )
2
2
( + ) + ( + +
- ) + + ∗
⇔ − [ ] = ( + ) ( ) −
- ( + + )
2
2
2
3
2
2
( + + + + + ) + + + + + + + ∗
⇔ − [ ] = −
- ( + + )
2
2
( + + + + + ) ∗
⇔ − [ ] =
2
3
2
2
- − − − + +
( + + )
- 2
- 3 >2
- − − − ( + + )
- )
- 2
- 3 >2
- − − − (
- )
(4) Misalkan
3
−
4
−
2
=
∗
= + dengan demikian diperoleh
4
= + +
3
= + +
2
2
2
2
2
= −
∗
]
2
2
( + + ) (
] [
2
= [
∗
⇔ −
4
4 Syarat
∗
- 3
- 3 >2
- − − − ) (
- )( + )
- 4
3
4
= + dengan demikian diperoleh
∗
= (
2
−
4
3
−
4
) (
1
1
)
= + +
2
= + +
= −
> 0 adalah
2
4
4
> 0 dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2) diperoleh
∗
( +
eksis atau
2
2
2
2
(5) Misalkan
1
= + +
∗
2
2
= 2 + + +
1 ∗ ∗
> 0 adalah Syarat eksis atau
2
- ( ) > 0
3
4
4 Dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) diperoleh
( ( + + ) + )
∗
= ( + + ) Misalkan = + +
1
= + +
2
dengan demikian diperoleh ( + )
1 ∗ = .
2
Lampiran 3 : Perhitungan Persamaan Karakteristik pada Titik Setimbang
Bebas Penyakit ) (Pada subbab 1 dapat dibentuk persamaan karakteristik dengan Dari matriks − ) = 0 menggunakan det(
− −
− − − − − − = 0
− − − ( − − ) − − − − −
⇔ − − = 0 − − −
( − − − )
⇔ −( + ) ( −( + + ) (( − − − ) (− − − ) − )) = 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- − 3 − − 3 − − − − + ⇔ −( + )(−
- 2
2
- − + + + +
3
− − − 2 − − 2 − − 2 − − − −
3
= 0
3
2
⇔ ( + )( ( − ) + ( + − + + − 2 − − + 2
1
2
3
4
5
3
3
3
2
2
2
- ) + ( − − − − − − + +
2
3
5
5
3
3
3
3
- )) Misalkan, = − +
1
1
2
3
= + 2 − ( ) + +
2
4
2
6
5
3
8
2
2
= − ( ( ) + + + + )
3
2
6
10
3
7
5
9
dengan, = 3
1
= + +
2
=
3
- 2
= 3
4
=
5
- = + +
6
= + +
7
= 2 + +
8
= +
9
3
= +
10
dengan demikian diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut :
3
2
- ( + )( ) = 0
1
2
3
Lampiran 4 : Perhitungan Persamaan Karakteristik pada Titik Setimbang
Endemik ) (Pada subbab 2 dapat dibentuk persamaan karakteristik dengan Dari matriks
1
menggunakan det ( − ) = 0
1
− − − − −
1
2
2
− − − −
1
2
2
= ( ) = 0
1
− − − − − misalkan = +
1
=
2
dengan ( − − )
2
4
3
4
= ( ) +
1
1
4
2
2
untuk = 2 + + +
1
( − − )
2
3
4
4
=
2
4
1
4
=
2
dengan = + +
1
= + +
2
= + +
3
= +
4
= +
5
⇔ −( + ) ((− ) ((( − − − )( ) − (− )(− ))) + (− − −
1
2
1
2
) ((( − − − )( − − − ) − (− )(− )))) = 0
1
2
2
1
3
2
2
⇔ −( + )(( + ) + (− + + + +
2
2
2
2
2
3
- 2
− 2 − + − + +
2
2
2
2
2
2
- 2 − − − − + 2 + − −
1
1
1
1
2
2
2
2
2
- 2 − + − + − − 3 − − 3 −
1
1
1
2
2
2
2
2
- − − − = 0
1
4
4
3
- ⇔ − + 2 + − 2 + 2 + 2 −
2
1
2
3
− 2 − − + − − 2 −
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3 − − 3 − − − −
2
2
2
2
2
2
2
2
− − 2 − 2 − − −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 3 − 3 + 3 − 3 − +
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 + − + − + 3 − + 3 + +
1
1
1
2
2
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3 + 3 − + + + 4 + 6 −
+ + +
1
3
3
3
1
4
3
2
2
⇔ ( − + + + 4 − ) + (6 + − − + +
1
2
1
1
2
3 + 3 − 3 + 3 + + − − − −
1
2
2
2
3 ) + (2 − 2 + 2 + 2 − 2 + − −
2
1
1
1
2
2
2 − 3 − − 2 − 2 − + 3 −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
3
2
3 + 3 + 3 + 4 ) + − + − − −
1
2
1
2
−
−
2
1
−
1
2
−
2
2
- 2
- 2
- 2
1
2
−
2
2
3
- 3
- 3
- 3
−
2 Misalkan
- 3
- 3
- 3
- 4
- 2
- 2
- 3
- 3
- 3
4
= −
1
= 0 dengan.
2
1
− Sehingga diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut :
−
2
− −
2
−
2
−
1
= −2 − 3
3
3
6
5
1
=
4
4
1
2
=
3
2
1
1
=
2
6
= −
1
1
= − + + + 4
2
= 3 + + + 3 + 3 + 6
2
= 2 + 2 + 2 + + 3
2
2
2
3
4
=
4
2
= −3 − −
2
2
= − − 2 − −
3
= −2 − 2 − − 3
2
4
2
− − 2 − 2 −
5
= − −
2
−
3
−
- 3
- 2
- 3
- 4
- 1
- 2
- 2
- 2
- 3
- 2
- 4
Lampiran 5 : Kode Program Matlab Grafik Bidang Fase Pada Titik
Setimbang Endemik Fungsi Model function dy = modelbedafase (t,y) dy=zeros(4,1); global A beta r mu alpha v b ; dy(1)=A-beta*y(1)*y(3)-r*beta*y(1)*y(2)-(mu+v)*y(1); dy(2)=beta*y(1)*y(3)+r*beta*y(1)*y(2)-(b+mu)*y(2); dy(3)=b*y(2)-(mu+alpha)*y(3); dy(4)=v*y(1)-mu*y(4); end Parameter, Nilai Ro dan Plot clc; global A beta r mu alpha v b ; beta=0.002; r=0.779; mu=0.391; b=0.792; v=0.741; alpha=0.95; A=1350; R0=(r*beta*A*(mu+alpha)+(beta*A*b))/(mu+v)*(b+mu)*(mu+alpha); y0=[600,230,220,650]; y1=[650,235,225,619]; y2=[550,220,225,650]; tint=[0 10]; [t1,y11]=ode45(@modelbedafase,tint,y0); [t2,y12]=ode45(@modelbedafase,tint,y1); [t3,y13]=ode45(@modelbedafase,tint,y2); figure(1); plot(y11(:,2),y11(:,3), 'm' , y12(:,2),y12(:,3), 'g' , y13(:,2),y13(:,3), 'b' ); legend( '600,230,220,650' , '650,235,225,619' , '550,220,225,650' ); xlabel( 'E' ); ylabel( 'I' );