BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
1. BENTUK PANGKAT
1.1 PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a R dan n A maka didefinisikan : n a a a a ... a sebanyak n faktor.
a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat) 4
1 5
dan Contoh 1 : Tentukan nilai dari 2
5
3 = …………..
Jawab : 2 4
1 = ……………..
3
Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari : 4 4 3 4 3
2
2
a)
c)
e) 2 2 7 3
3 5
pq
b)
d) 2 3
3 4 Jawab : a) = ………….
2 2 7
3 b) = …………. 2
3 3 4
2 c) = …………. 5 pq d) = …………..
4
2
e) = ……………
3
Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :
a b R ,
Jika , m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb: m n ab ....
1. a a . .... m n
4.
a a 2.
5. n ... ....
b a m n a ....
3.
Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut : 2 7 2 3
d)
a) x x 7 2 4
x y .
n 2 p
b) 2
e)
q n 2 5 3 4 2 x 2 xy . x y
c)
f)
Jawab : a) x x 2 7 . = ...
2 2 1 p p n n
b)
2 3 3
2
a)
Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :
1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
d) 5 2 2 1 . x
c) 2 3 x
b)
3 5 5
a a n 1
a)
2. Sederhanakan
8 2 3 3 5 4 x y x y
2
o)
2 2 5 p
j)
3
c)
3 4
2
1. a ... 2. a n ...
n R berlaku sifat-sifat :
dan
a R a ,
Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa : Untuk setiap
3 2 6 = ……………….
3
d)
2 3 5 = ………………..
c)
2
3 5 5 = ………………
3
b)
2 3 3 = ……………..
2
3 2 6 Jawab : a)
3
d)
2 3 5
2
b)
2 3 4 2 xy x y .
a
2 4 a
b) 3
3 3 3 k
f) x x 10 3 : k)
p p
a) 4 6
1. Sederhanakan
= ... LATIHAN SOAL
f)
2 5 2
= ....
2 2 4 p q
e)
x y 2 3 = ...
d)
x 2 5 = ....
c)
n n 7 2 = ...
g) 8
k k :
e)
1
8 2 5 3 2 2 p qr pq r
4
n)
3 10 2
3
a a a : .2
12
i)
2 5
d)
l)
3 2 3 p q
m)
d x d d :
2 3 2 4
h) 4
6 2 p p p
c) 5 2
2 5 2 3 p
Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :
a) 5 3
b)
8 3 maka
Seperti kita ketahui jika 2
1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)
a c c b
b a
4
c) 2 3 5 2
4 3 2 bc a
2
8 3
a b c 2 2
a)
2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :
16 2 3 5 3 x y x y
8
j)
4 2 a
2
Maka jika 2 2 ... maka 2 = ...
t t
sehingga
Jawab : a)
2
3 2 x /c)
6 3 5 /
b)
2 1 2 /
a)
Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :
x 1/ n .......
x m n / .......
2 4 .... maka 2 = ...
Jadi :
a ......
a x n ....
/
a x n m n n
, jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :
a x m n /
Misal
3 4 .... maka 3 = ...
e)
7 5 2
b)
LATIHAN SOAL
k
b) 3 2
5 2 3 2 q h
b a b a k)
f) 2 2 4 6
a) a 5
1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :
2 2 2 x y = ...
2
c)
2 3 = ...
1
b)
Jawab : a) 5 3 = ...
2 2 2 x y
c)
2 3
1
g) 3 6 4 7
4
56
a a
i)
x
4 3
d)
6 2 3 5 3 2 p q r pq r
5
m)
2 6 4
n m n m
8
h)
5 4 k
2
c)
3 a b a
2
2 4 3 3 2
l)
2 1 2 / = ....
6 3 2 / c) = .... 2 x
3 5 / b) = ....
Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :
1
3
a)
b) 3 2
x
3 Jawab : a) = ...
1 b) = ..... 3 2 x 3 4 /
Contoh 3: Tentukan nilai dari 3 4 / 3 4 /
16 .......
Jawab : = = ..... = .........
16 LATIHAN SOAL
1. Ubah menjadi bentuk akar 1 2 / 1 3 3 4 / 4 9 / /
a)
b)
c)
d)
e)
3
5 4 x
1 / 2 3 x
3
2. Ubah ke bentuk pangkat 5 2
1
3
3
2 2 x2
5
a)
b) 5
c)
5
d) 3 4
e)
2
3
7
3. Tentukan nilainya 2 3 / 3 2 3 / 3 5 / 3 8 /
27
a)
64
b)
c)
d)
e)
8
32
81 64
4. Sederhanakan dalam bentuk akar 2 3 4 / 1 8 / 6
2
12 2 2 .
18
a)
b)
c)
d)
e)
2 2
2 .
2 2 .
3 b b 4 ac
x
5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari
2 a
2. BENTUK AKAR
2.1 OPERASI BENTUK AKAR
Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b 0 3 3 5 Contoh bentuk akar :
2 , 3 , 5 , 2 , 3 4 , 4 7 dsb 4 , 9 , 8 ,
16
bukan bentuk akar : dsb
a
Catatan : adalah bilangan non negatif, jadi a 0 Operasi Pada Bentuk Akar
a x a a 1.
2.
50
8
2
e)
2 16 3 18 27
b)
18
45
72 180
d)
48
12
a)
2. Sederhanakan
a b c
4 3 2 4
j) 2
9
8
i)
3
9
h)
4 2 x x x
c)
2
3
2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR
x x y
2
d)
3 5
5
3
b)
5 3
2
3
3 20 4 45 2 5
5
2
3
c)
3 2
2
3
a)
3. Sederhanakan
2
g)
ab a b 3.
c)
18
8
c)
4 3 7 3 5 3
b)
3 2 4 2
a)
Contoh 2: Sederhanakan :
d) a 8 3 = ....
x 3 = ....
75 = ....
3 2 4 2 = ...
b)
20 = ...
d) a 8 3 Jawab : a)
c) x 3
75
b)
20
a)
Contoh 1: Sederhanakan :
a c b c a b c 4. a b a b
Jawab : a)
b)
a b
a)
f) 3 12 5 3
8 2 x
e)
2 80
d)
1200
c)
160
b)
72
1. Sederhanakan
4 3 7 3 5 3 = ...
LATIHAN SOAL
c) 2 2 3 2 = ....
b) 5 3 5 3 = ....
3 6 = ....
c) 2 2 3 2 Jawab : a)
b) 5 3 5 3
3 6
a)
Contoh 3 : Sederhanakan :
8 18 = ....
c)
Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar. Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :
a
1. Pecahan Bentuk b b
Diselesaikan dengan mengalikan
b
Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :
2
2
a)
b)
3 3 3
2
2 Jawab : a) = x ... = .....
3
3
2
2 b) = x ... = ..... 3 3 3 3 a
2. Pecahan Bentuk b c
b c
Diselesaikan dengan mengalikan
b c
8 Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan
3
5
8
8 Jawab : = x ... = ....
3
5
3
5 a
3. Pecahan Bentuk b c
b c
Diselesaikan dengan mengalikan
b c
12 3
Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan
6
2 12 3 12 3
Jawab : = x .... = ........
6
2
6
2
LATIHAN SOAL
1. Rasionalkan penyebutnya
12
10
9 7 3
4
3
a)
b)
c)
d)
e)
3 5 2 3 7 5 2
2. Rasionalkan penyebutnya
9
20
5 2 5 4 6
a)
b)
c)
d)
e)
5
7
4
6
11
6 7
13 8 2 3
3. Rasionalkan penyebutnya
14
10
6 8 3 3 2
a)
b)
c)
d)
e)
10
13
2
7 10 2 3 11 7 3 5 4 2
3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA) Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah. f x ( ) p
1. Jika maka f(x) = p
a a f x ( ) g c ( )
2. Jika maka f(x) = g(x)
a a
dimana p suatu konstanta Contoh 1: Tentukan HP dari : 2 x 3 2 x 1 3 x 2
a) 4
8
b) 8
16
Jawab : a) 4
3
8 log
maka
3
2
8
Jadi jika
, bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8? Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).
2
2
8
maka 2 = … Pada
5
2
Jika ....
2
3 maka ....
2
3
dibaca “2 log 8” Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Secara umum dapat dinyatakan : Jika y a
2
b. 128
b. 128
4 4 = ….
3
81
b Jawab : a.
c. c a
2 n
4
x
3
81
Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan : a.
10 .
5 log
a : basis logaritma y : numerus x : hasil logaritma Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak. Jadi jika log 5 maksudnya
1 , y dan a a
maka x = …. syarat :
maka 5 = … Jika ....
5
8 2 3 x
81 2 2 5 x x
8 2
2
1
1 2 1 x 7.
2. 8
25 9 3 x x
6. 5
HP:{............} HP:{............} LATIHAN SOAL Tentukan HP dari : 1. 27
9
..........= .... ...... = ..... x = ... x = ....
2 ............ ... ..... = ....
2
2 2 3 .... .... x .... = ....
2
16 2 1 3 2 x x
b) 8
x x 3.
1
25
3 1 5 x 10.
Seperti telah kita ketahui bahwa : Jika
3.1PENGERTIAN LOGARITMA
3. LOGARITMA
8 2 3 x
32
1
4
8
2 2 1 1 x x 5.
27 4 5 x
8
5 2 x 9. 16
5
5
4.
25 125 3 2 x x
1
8.
2 n n = ….
c. c a
LATIHAN SOAL
7 d.
4 log
5 b.
625 log
3. Tentukan nilainya dari : a.
1 log 4 1
16
2
9 e.
1 3 log
2
2 c.
1 log
1 log
1 log
16
4
2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari : a. log 10.000 = 4 b.
4
1
2
1
16
4 c.
d. log 0,1 e.
7
3
b m n b a n a m log log
6.
log 2. c b c b a a a log log log
b a
b
a5.
c b bc a a a log log log
, maka : 1.
, 1 , a dan c b a
Jika
3
1 log 3 m. 9 log
9 2 /
81
2 l.
1 log 2 1 k. 8 log
8
8 log 2 1 j.
1 log
2 1 i.1 log 3 h.
27
2 g.
1 log 2 f. 16 log
4
1 e.
3
b b = ….
c. r q
4 log 2 1 g.
5 f.
1 log
3 e.
1 log 2 c. log 1000 d. 27 log
8
2 b.
64 log
Contoh 3:Hitunglah : a.
p log ….
b. log 100 = 2 ….
1 log
3
1
Jawab : a. 64 log3 ….
4
81 log
Jawab : a.
log
r q p
b. log 100 = 2 c.
3
4
81 log
Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma : a.
81
2 = x … = 64 x = ….
d.
81
5
1
2 c.
3
1
9
2 b.
5
25
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari : a.
1 log 3 1 = x … = … x = ….
g.
b.
4 log 2 1 = x … = … x = ….
f.
5 = x … = … x = ….
1 log
e.
3 = x … = … x = ….
27 log
d.
c. log 1000 = x … = … x = ….
1 log 2 = x … = … x = ….
8
3.2SIFAT-SIFAT LOGARITMA
a c a a b a log b c log b log b . log c log c 3.
7.
c
1 log b a a b log b
log
4.
8.
b c log a log a
Bukti :
a Sifat 1: Misal log b m b ....
a log c n c ....
a
Maka bc = …. = …. log bc ..... = … + …
m m a mn a mn a n
Sifat 6: Misal
log b x b ...... b ..... nx log b nx m log b m a n log b ........ ......
a c c m c Sifat 8: Misal log b m b ....... log b log a m log a ...... m ......
a b ......
log
Contoh 1: Sederhanakan : 3 5
2
2
2 log 5 log
b.
c. log
3 log 6 log
2
3 25
3 a.
2 log
4
3
2
5
3
2
10 log
16
d. log
3 . log 8 . log
5
e. log
2
f.
2 log
3
8
g. log 256 3
log
3 5 log
5 Jawab : a. = ….
25
3 b. = …..
2
2
2 log 3 log 6 log
2 c. = ….
2
5
3 log 3 . log 8 . log
5 d. = …..
2
10 log
2 e. = …..
2 log
4
3 log
16 f. = ….
2 log
3
8 log 256 g. = ….
Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24 Jawab : log 24 = ….
3
4
5 Contoh 3: Jika log 4 a dan log 5 b , maka tentukan log
9
5
5
2 Jawab : log 9 = log 3 .....
LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan
6
6
6
2
3
15
a. log
8 log 2 log
9
f. log
15 . log 16 . log
9
b.
5
3
3
3
2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :
a. log 20
b. log 500
c. log 40 d.
5 log
2 e. 8 log
3. Jika n dan m
10 log 5 log 25 log
2 log
5 log 3 log
3
2
, maka tentukan : a.
5 log
2 b. 75 log
2
c. 500 log
2 d. 25 log
3
3 j.
10 log 4 log 50 log
h.
2
2
2 g.
. 8 log . 3 log
4 log
4
2
3 c.
18 log 2 log 3 log
2
16 log
3
8 d.
6 log
2 3 log 3 log 2 log
i. 625 log
16 e.
15 log 2 log 6 log 5 log
9
3
8 e. 4 log 125