I MADE WISNU PRASETYA

  I MADE WISNU PRASETYA KONSEP DASAR ELIZABETH CLARA PENGANTAR : 

  Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit

  diketahui dengan pasti , terutama kejadian yang akan datang.

  

  Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat

  kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.

  

  Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P. KONSEP DAN DEFINISI DASAR 

  Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.

   Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan

  outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S . Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S) .

   Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel. CONTOH : 

  Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak.

   Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas

pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB,

RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam

ruang sampel S adalah n(S) = 8.

  

Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring

yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah

DEFINISI PROBABILITAS

  

Bila kejadian A terjadi dalam m (sample yang

diminta) dari n (jumlah keseluruhan sample) yang

mungkin terjadi dan masing-masing n mempunyai

kesempatan yang sama untuk muncul, maka

probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan : n ( A ) m P ( A )

  

 

n ( S ) n

  

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS

KEJADIAN A :  P(A)  1

  , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1

P(A) = 0 , artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi

  (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi.

  P(A) = 1 , artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan CONTOH (1): Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Gambar? Jawab : 

  Misal G = Gambar , A = Angka 

  Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {GG, GA, AG, AA} = 4 

  Kejadian A = muncul paling sedikit satu Gambar adalah A = {GG, GA, AG} =3 Jadi, 

  Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Gambar adalah n ( A )

  3 n ( A )

  3 P ( A ) P ( A )  

    SOAL 1:

Dua dadu ditos bersama-sama. Tentukan peluang dari:

a. Muncul dadu pertama bermata 3, b. Muncul dadu berjumlah 9.

  Jawab:

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

  Probabilitas Kejadian Majemuk : A ∩ B adalah kejadian jika A terjadi atau B terjadi A ∪ B adalah kejadian jika A terjadi atau B terjadi, atau A dan B terjadi 1. Kejadian Majemuk A atau B atau kedua-duanya.

  Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka

probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua

titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

  Peristiwa Saling Lepas P (A ∩ B) = 0

  A B

• Peristiwa Tidak Saling Lepas

  A AB B ) ( ) ( ) (

  B P A P B A P    CONTOH (2):

  Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Hitunglah :

A. P (jumlah 6 atau 12)

  

B. P (dadu pertama mata 3 atau dadu kedua mata 5)

Jawab: A. P (A) = (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) = P (B) = (6,6) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

   = + - 0

    B.

  P (A) = (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) =

P (B) = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) =

P (A ∩ B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) =

  =

  SOAL 2:

Pada pengetosan sebuah dadu satu kali, berapakah peluang

muncul mata dadu prima atau mata dadu ganjil? Jawab:

2. Kejadian Majemuk A dan B

  

  Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi.

  

  Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.

  

  Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

  

P ( A B ) P ( A ) . P ( B )   CONTOH (3):

Sebuah dadu dan sebuah koin ditos bersama-sama. Berapakah peluang muncul mata 4 pada dadu dan

  gambar pada koin ? Jawab : A kejadian muncul mata 4 pada dadu, maka: A = (4,A) (4,G) = B kejadian muncul gambar pada koin, maka: B = (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) =

  Karena A dan B kejadian saling bebas, maka: P (A ∩ B) = P (A) . P (B) = .

  = .

  SOAL 3:

  Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, berapakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua? Jawab:

  DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER:

Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling

komplementer, maka berlaku :

  P ( A )'

  1 P ( A )   CONTOH (4): 

  Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama.

  Jawab : 

  Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36

   Sehingga,

Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36 SOAL 4:

Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam ditos bersama-sama.

  Hitunglah peluang pada dadu muncul bukan mata 3! Jawab: PROBABILITAS BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY):

  Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi.

  Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

  P ( A B ) 

  P ( B A ) , jika P ( A ) 

   P ( A ) CONTOH (5):

  Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

  a) Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia

  menyukai pasta gigi rasa strawbery?

  

b) Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia

  menyukai pasta gigi rasa jeruk?

  c) Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi

  rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?

  d) Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi

  JAWAB:

  Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.

  Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia

   menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah

40 P ( S R )

  40

  2  100

  P ( S R )    

60 P ( R )

  60

  3 100

   Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah

  

30

P ( J W )

  30

  3

  

AYO……. SIAPA YANG BISA

MENJAWAB SOAL C DAN D?????

  Jawab: CONTOH (6):

  Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa

  

mengembalikan yang pertama ke dalam kotak . Berapakah peluang

  kedua sekering itu rusak? Jawab :

  Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak

  Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B) P(A  B) = P(A). P(BA)

  = 5/20 . 4/19 SOAL 5:

Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika

akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua

kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya kedua bola

merah!

  ATURAN BAYES :

Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam

ruang sampel S.

  B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

  S B A1 A2 A3

  

PROBABILITAS KEJADIAN B

ADALAH :

  P(B) = P(BA ). P(A ) + P(BA ). P(A ) + P(BA ). P(A ) _{1 1 2 2 3 3}

3 P ( B A ). P ( A )

  = _{i i}  _{i  1} disebut Hukum Probabilitas Total Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling

lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang

sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian

  :

  bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut P ( B A ). P ( A ) P ( B A ) i i

  

i

  P ( A B )   i n

  P ( B ) P ( B A ). P ( A ) i i

   i _

  1 disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes). CONTOH (7):

Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola

merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak

secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang

terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

  JAWAB: P(bola yang terambil berwarna merah) =

  P ( M ) P ( 1 ). P ( M 1 ) P ( 2 ). P ( M 2 ) P ( 3 ). P ( M 3 )   

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  3  . . . .

  5      

  3

  2

  3

  2

  3

  6

6 P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

  1

  1

  1 .

  P ( 2 ). P ( M 2 )

  1

  3

  2

  6 P (

  2 M ) .

  33

    

  3

  3 P ( M )

  3

  6

  6