Bagian ini secara singkat menguraikan posisi teoritis utama dan penelitian yang tergolong ke dan menjabat sebagai latar belakang untuk penelitian ini. - TAKSONOMI UNTUK MENILAI PEMAHAMAN KONSEP DALAM ALJABAR MENGGUNAKAN PERNYATAAN GANDA1

  TAXONOMY FOR ASSESSING CONCEPTUAL UNDERSTANDING IN ALGEBRA USING MULTIPLE REPRESENTATIONS

  Pengarang : Regina M. Panasuk Proquest.com

  NAMA PENERJEMAH : NUR HANDIKA NIM : B2AO15015

  Progam Studi: S1 STATISTIKA

  

TAKSONOMI UNTUK MENILAI PEMAHAMAN KONSEP DALAM ALJABAR

MENGGUNAKAN PERNYATAAN GANDA

  Abstrak Siswa aljabar mungkin sering menunjukkan tingkat kecakapan tertentu ketika memanipulasi ekspresi aljabar dan verbalisasi perilaku mereka. Apakah kemampuan ini menyiratkan pemahaman konseptual? Apa indikator yang dapat diandalkan yang akan memberikan pendidik dengan ukuran yang relatif dapat dipercaya dan konsisten untuk mengidentifikasi apakah siswa mempelajari konsep- konsep aljabar luar prosedur? Artikel ini memperkenalkan taksonomi untuk menilai tingkat sekolah menengah siswa aljabar 'pemahaman persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Taksonomi yang berakar pada ide-ide yang berkaitan dengan tingkat abstraksi dan mengurangi tingkat abstraksi, teori operasional dan struktur konsepsi, dan konsep representasi dalam pendidikan matematika. [PUBLIKASI ABSTRAK]

  Pendahuluan

  Siswa aljabar mungkin sering menunjukkan tingkat kecakapan tertentu ketika memanipulasi ekspresi aljabar dan verbalisasi perilaku mereka. Apakah kemampuan ini menyiratkan pemahaman konseptual? Apa indikator yang dapat diandalkan yang akan memberikan pendidik dengan ukuran yang relatif dapat dipercaya dan konsisten untuk mengidentifikasi apakah siswa mempelajari konsep- konsep aljabar luar prosedur? Artikel ini memperkenalkan taksonomi untuk menilai tingkat sekolah menengah siswa aljabar 'pemahaman persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Taksonomi yang berakar pada ide-ide yang berkaitan dengan tingkat abstraksi dan mengurangi tingkat abstraksi, teori operasional dan struktur konsepsi, dan konsep representasi dalam pendidikan matematika.

  Pengantar

  Konsep yang tidak diketahui dan operasi dengan tidak diketahui adalah pusat untuk mengajar dan belajar aljabar sekolah menengah. Siswa sering mengungkapkan tingkat tertentu kemahiran memanipulasi simbol aljabar, dan ketika didorong, dapat verbalisasi dan menjelaskan langkah-langkah yang mereka lakukan, sehingga menunjukkan kesadaran prosedur menurut aturan tetap. Hal ini didokumentasikan dengan baik namun yang demonstrasi yang benar dan tampaknya fasih prosedur tidak selalu menunjukkan pemahaman konseptual (Herscovics, 1996; Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992; Kieran & Chalouh, 1993; Langrall & Swafford, 1997).

  Menganalisa secara obyektif dan menilai pemikiran dan perilaku siswa, dan membuat keputusan tentang belajar konsep aljabar luar prosedur, pendidik perlu indikator yang dapat diandalkan untuk merujuk, dan sederhana, bahasa belum terstruktur untuk berkomunikasi. Makalah ini menjelaskan segmen dari studi longitudinal skala besar pada representasi dalam aljabar dan menunjukkan taksonomi untuk menilai pemahaman konseptual hubungan linear dengan satu tidak diketahui.

  Tiga ide utama menjadi dasar dari penelitian ini: a) peran beberapa representasi dalam menyelidiki pemahaman pembelajaran matematika, dengan fokus khusus pada interpretasi, koneksi dan terjemahan antara representasi dari hubungan struktural yang sama, b) gagasan adaptasi terhadap abstraksi dan pengembangan pemahaman konseptual sebagai proses pertumbuhan dari tingkat abstraksi, dan c) gagasan mengurangi tingkat abstraksi sebagai proses mental menghadapi tingkat abstraksi dari konsep atau tugas yang diberikan. Ide-ide ini dipandu pengamatan peneliti, analisis, dan perumusan taksonomi.

  Pondasi

  Bagian ini secara singkat menguraikan posisi teoritis utama dan penelitian yang tergolong ke dan menjabat sebagai latar belakang untuk penelitian ini. Penalaran aljabar dan pemahaman konseptual dalam aljabar Penalaran aljabar telah digambarkan sebagai proses generalisasi pola dan pemodelan masalah dengan berbagai representasi (Driscoll, 1999; Herbert & Brown, 1997). Langrall dan Swafford (1997) didefinisikan penalaran aljabar sebagai "kemampuan untuk beroperasi pada kuantitas yang tidak diketahui seakan kuantitas dikenal" (hal. 2). Memahami secara umum dan dalam matematika pada khususnya adalah kekuatan logis dimanifestasikan oleh pemikiran abstrak. Pemahaman konseptual dalam aljabar ditunjukkan oleh kemampuan untuk mengenali hubungan fungsional antara variabel dikenal dan tidak dikenal, independen dan dependen, dan untuk membedakan antara dan menginterpretasikan representasi yang berbeda dari konsep-konsep aljabar. Hal ini dicontohkan oleh kompetensi dalam membaca, menulis, dan memanipulasi baik simbol nomor dan simbol aljabar yang digunakan dalam formula, ekspresi, persamaan, dan ketidaksetaraan. Kefasihan dalam bahasa aljabar ditunjukkan oleh penggunaan yakin kosakata dan makna serta operasi yang fleksibel pada aturan tata bahasa (yaitu sifat matematika dan konvensi) juga menunjukkan pemahaman konseptual dalam aljabar

  Representasi

  Sistem simbol dan representasi sangat penting untuk matematika sebagai suatu disiplin sejak matematika adalah "inheren representasional dalam niat dan metode" (Kaput, 1989, hal. 169). Goldin dan Shteingold (2001) menyarankan untuk membedakan sistem internal dan eksternal dari representasi (p. 2).

  Representasi internal yang biasanya berhubungan dengan citra mental orang menciptakan dalam pikiran mereka. Pape dan Tchoshanov (2001) dijelaskan representasi matematika sebagai abstraksi internal ide-ide matematika atau skemata kognitif, bahwa menurut Hiebert dan Carpenter (1992) pelajar konstruksi untuk membangun jaringan mental internal atau sistem representasional. Dengan demikian, representasi internal dan abstraksi berkaitan erat konstruksi mental.

  Menurut Goldin dan Shteingold (2001), representasi eksternal "biasanya tanda atau konfigurasi atau tanda-tanda, karakter, atau benda" dan bahwa representasi eksternal dapat melambangkan "sesuatu selain dirinya sendiri (hal. 3). Sebagian besar representasi eksternal dalam matematika (misalnya, tanda-tanda operasi, simbol, atau komposisi tanda dan simbol yang digunakan untuk mewakili hubungan tertentu) yang konvensional, mereka obyektif ditentukan, didefinisikan dan diterima (p 4.). Banyak peneliti (misalnya, Boul ton-Lewis & Tait, 1993; Diezmann, 1999; Diezmann & Inggris, 2001; Outhred & Saradelich, 1997; Verschaffel, 1994; Swafford & Langrall, 2000) setuju bahwa dalam pendidikan matematika representasi merujuk pada konstruksi, abstraksi dan demonstrasi pengetahuan matematika, serta ilustrasi situasi pemecahan masalah. Hubungan matematika, prinsip, dan ide-ide dapat dinyatakan dalam beberapa representasi struktural setara termasuk representasi visual (yaitu, diagram), representasi verbal (bahasa lisan dan tertulis) dan representasi simbolik (angka, huruf). Kemampuan untuk mengenali, menciptakan, menginterpretasikan, membuat koneksi dan menerjemahkan antara representasi adalah alat komunikasi yang kuat untuk berpikir matematis. Setiap sistem representasi kontribusi untuk komunikasi yang efektif dari ide-ide matematika dengan menawarkan jenis tertentu bahasa untuk mengekspresikan ide- ide matematika dengan cara yang tepat dan koheren, sehingga memberikan berbagai sumber dan jalan untuk mengembangkan pemahaman konseptual matematika. Dreyfus dan Eisenberg (1996) menyatakan bahwa penggunaan fasih dan fleksibel dari beberapa representasi dari "struktural yang sama" (hal. 268) konsep matematika kemungkinan akan terkait dengan pemahaman konseptual yang mendalam.

  Penelitian difokuskan pada siswa yang dihasilkan representasi dan dampak selanjutnya dari representasi ini untuk belajar konsep-konsep matematika menunjukkan bahwa ketika siswa menghasilkan representasi dari konsep atau saat memecahkan masalah (sebagai sarana komunikasi matematika) mereka alami cenderung mengurangi tingkat abstraksi (yang diberikan oleh konsep / masalah) ke tingkat yang kompatibel dengan struktur kognitif mereka (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005; Pape & Tochanov, 2001). Demikian pula, Wilensky (1991) abstrak lebih konkret. Dia berargumen bahwa siswa mencoba untuk 'mengkonkretkan' konsep mereka belajar untuk "datang dengan konsep sedekat mungkin" (hal. 196). Proses 'concretizing' dapat dikaitkan dengan pembangunan sebuah representasi internal dan dapat melibatkan proses mengurangi tingkat abstraksi. Oleh karena itu, tampaknya logis untuk melihat representasi dan mengurangi abstraksi ide terkait erat.

  Abstraksi

  Abstraksi sebagai tindakan mental yang memisahkan properti atau karakteristik dari sebuah objek dari objek mana ia berasal atau terkait dengan dan membentuk citra kognitif atau konsep (abstraksi) dari objek. Dengan demikian, abstraksi dapat dipahami sebagai proses mental yang mempromosikan dasar pemikiran yang memungkinkan seseorang untuk alasan. Konsep abstraksi di bidang penelitian pendidikan matematika telah diperiksa dari perspektif yang berbeda (Ferrari, 2003; Frorer et al, 1997;. Gray & Tinggi, 2007; Heibert & Lefevre, 1986; OhIsson & Lehtinen, 1997; Skemp, 1986 ; Tinggi, 1991). Hazzan dan Zazkis (2005) menyatakan bahwa beberapa jenis konsep yang lebih abstrak daripada yang lain, dan bahwa kemampuan untuk abstrak merupakan keterampilan penting untuk pembelajaran bermakna matematika. Siswa matematika terus terlibat dalam proses abstraksi karena mereka terlibat dalam transformasi persepsi mereka menjadi citra mental dengan cara representasi yang berbeda. Penting untuk penelitian ini adalah gagasan dari tingkat abstraksi (Cifarelli, 1988; Heibert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986; Wilensky, 1991), gagasan adaptasi abstraksi (Piaget, 1970; Von Glaserfeld, 1991), dan gagasan mengurangi tingkat abstraksi (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005). Cifarelli (1988) menunjukkan tingkat abstraksi reflektif yang mencakup pengakuan, representasi, abstraksi struktural, dan kesadaran struktural. Pada tingkat tertinggi (yaitu, kesadaran struktural) siswa mampu memahami struktur masalah dan untuk mewakili metode solusi tanpa menggunakan tingkat yang lebih rendah abstraksi.

  Jika tingkat abstraksi adalah faktor pemahaman konseptual, maka gagasan adaptasi abstraksi menjadi penting, dan proses membangun pemahaman konseptual matematika dapat dilihat sebagai transisi antara tingkat abstraksi dari rendah ke tinggi. Dengan demikian pertumbuhan pemahaman konseptual dimanifestasikan oleh peningkatan kemampuan untuk "mengatasi" (Hazzan, 1991; Hazzan & Zaskis, 2005) yang lebih tinggi dari abstraksi. Contoh berikut menggunakan ide tingkat abstraksi sebagai metafora untuk menggambarkan proses pengembangan pemahaman konseptual dalam aljabar. Asumsikan bahwa operasi pada 'jumlah kata-kata' yang merupakan jumlah tertentu dari benda nyata adalah tingkat pertama abstraksi (abstraksi linguistik). Kemudian, operasi dengan 'jumlah simbol' dapat dianggap sebagai tingkat kedua abstraksi, dan beroperasi pada huruf yang berdiri untuk 'simbol nomor' dapat dilihat sebagai tingkat ketiga abstraksi (abstraksi aljabar). Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa abstraksi dalam matematika merupakan kegiatan mengintegrasikan potongan informasi (fakta) pengetahuan matematika dibangun sebelumnya dan reorganisasi mereka ke dalam struktur matematika baru. Tabel 1 menunjukkan transisi dari beton (sistem nomor, bantu bergambar) untuk abstrak (aljabar simbol).

  Hal ini penting untuk mengenali bahwa gambar segmen garis dari jumlah dan / atau tidak dikenal, karena setiap representasi eksternal, memberikan informasi yang terbatas, dan "menekankan beberapa aspek dan menyembunyikan orang lain" (Dreyfus & Eisenberg, 1996, p. 268). Namun, representasi ini mungkin cukup untuk melengkapi dan meningkatkan proses membangun konsep operasi dengan tidak diketahui. Untuk menggambarkan perilaku peserta didik dalam hal mengatasi tingkat abstraksi, Hazzan (1999) diperkenalkan dan Hazzan dan Zazkis (2005) memaparkan tentang kerangka teoritis mengurangi tingkat abstraksi. Kerangka kerja ini membahas situasi di mana siswa tidak dapat menangani konsep-konsep di tingkat mereka disajikan dengan dan oleh karena itu, mahasiswa mengurangi tingkat abstraksi untuk membuat konsep-konsep ini dapat diakses secara mental (p. 102). Tampaknya masuk akal untuk mengasumsikan bahwa setiap siswa aljabar berjalan melalui proses sosialisasi dengan dan adaptasi berbagai tingkat abstraksi pada tingkat yang berbeda. Wilensky (1991) mengemukakan bahwa semakin tinggi tingkat adaptasi abstraksi yang kurang perlu untuk mengurangi tingkat abstraksi. Dalam hal ini, proses adaptasi abstraksi melibatkan perilaku tertentu yang diwujudkan dalam mengatasi tingkat abstraksi. Dengan kata lain, ketika siswa tidak dapat memanipulasi dengan tingkat abstraksi (kata, angka, simbol) disajikan dalam soal yang diberikan, mereka sadar atau tidak sadar mengurangi tingkat abstraksi dari konsep yang terlibat untuk membuat konsep-konsep ini dalam jangkauan mereka tahap mental yang sebenarnya pengembangan (Vygotsky, 1985, hlm 0,84- 86).

  Gambaran di atas ide-ide dan asumsi tentang representasi, abstraksi dan pemahaman konseptual memberikan dasar untuk mengembangkan studi yang ditawarkan perspektif lain pada proses menilai pemahaman konseptual aljabar siswa hubungan linear dengan satu tidak diketahui.

  Metode

  Sebuah multi-tahun penelitian metode campuran diluncurkan untuk mengeksplorasi tingkat pemahaman siswa sekolah menengah 'hubungan linear dengan satu tidak diketahui. Penyelidikan penelitian telah ditangani melalui analisis survei dan pengamatan proses berpikir siswa saat memecahkan masalah dan menjelaskan solusi mereka selama wawancara.

  Instrumen

  Survei, yang dirancang oleh peneliti (Panasuk, 2006), terdiri dari beberapa bagian yang saling terkait, empat di antaranya dijelaskan dalam makalah ini. Bagian I berisi 12 item dengan lima opsional Likert pilihan respon skala (selalu, sering, kadang-kadang, jarang, tidak pernah), yang berkerumun di sekitar mode pilihan siswa dari representasi (verbal, bergambar, simbolik). Bagian II pernyataan memiliki tiga pilihan dan meminta para siswa untuk memilih respon yang paling dekat mencerminkan praktik pembelajaran mereka saat ini dan paling disukai / mode kurang disukai dari tJxinking (kata, diagram, angka / simbol) ketika memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui.

  Bagian III digambarkan "struktural yang sama" (Dreyfus & Eisenberg, 1996, hal 268.) Hubungan linear dengan satu tidak diketahui yang diajukan dalam tiga representasi yang berbeda: sebagai masalah kata, sebagai diagram di mana kuantitas yang tidak diketahui disajikan sebagai segmen garis, dan sebagai persamaan aljabar (lihat Gambar 1). Para siswa tidak diminta untuk memecahkan masalah, melainkan untuk mengamati dan menjelaskan secara tertulis jika mereka mengenali struktural hubungan yang sama (yaitu, jumlah 10 dan nomor tak dikenal adalah 28) disajikan dalam tiga mode yang berbeda.

  Bagian IV memiliki tiga set masalah: Set W (kata), Set D (diagram) dan Set S (simbol). Setiap set terdiri dari tiga masalah yang terlibat hubungan linear dengan satu tidak diketahui untuk dipecahkan menggunakan satu-twostep penambahan / pengurangan dan perkalian / pembagian. Para siswa diminta untuk memecahkan setiap masalah. Set W memiliki tiga masalah kata yang bisa dimodelkan dengan cara persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Set D berpose tiga hubungan linear yang disajikan dalam bentuk visual melalui diagram mirip dengan masalah (b) pada Gambar 1. Set S berisi tiga persamaan linear dengan satu tidak diketahui diwakili dalam simbol-simbol, mirip dengan masalah (c) pada Gambar 1. Masalah dalam setiap set memiliki rekan-rekan mereka di set lain disajikan dalam modalitas yang berbeda. Untuk setiap bagian dari survei dan untuk setiap Masalah Set (W, D, dan S) coding sistem diciptakan.

  Proses

  Selama periode empat tahun berturut-turut empat tingkatan data dikumpulkan dari 1 1 sekolah di empat pinggiran kota dan dua kabupaten kota berkinerja besar dengan populasi beragam siswa. Sekolah-sekolah tidak dipilih secara acak tetapi didekati oleh peneliti dengan permintaan untuk berpartisipasi dalam penelitian ini. Semua sekolah yang berpartisipasi digunakan kurikulum matematika sama, yang diklaim fasilitasi keterampilan penalaran dan penggunaan beberapa representasi. Sekolah diberikan survei untuk semua siswa aljabar 7 dan 8 (Motal = 753). Masing- masing empat tingkatan survei dianalisis dan dibandingkan untuk menggambarkan kemampuan siswa untuk mengenali struktural hubungan linier yang sama disajikan dalam modalitas representasional yang berbeda dan kemampuan untuk memecahkan masalah yang diajukan dalam kata-kata, diagram dan simbol. Analisis diminta peneliti untuk mengatur semua survei dalam tiga kelompok yang berbeda hipotesis tentang indikator pemahaman konseptual siswa hubungan linear dengan satu tidak diketahui. Kategorisasi survei dipandu pemilihan siswa (N = 18) untuk wawancara, enam siswa dari masing-masing kelompok. Wawancara berpusat di sekitar 'kemampuan untuk' siswa mengatasi 'tingkat abstraksi yang disajikan oleh persamaan linear dengan satu tidak diketahui dan diakui hubungan yang sama disajikan dalam tiga mode representasional yang berbeda. Peneliti juga mengamati bagaimana siswa i) diekstraksi informasi dari situasi dan mampu mewakili informasi dalam berbagai modus, ii) representasi dimanipulasi, dan iv) ditafsirkan dan menguji solusi dari persamaan linear dengan satu tidak diketahui.

  Hasil

  Berdasarkan analisis kemampuan siswa untuk memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui (Bagian rv, Soal Sets) dan kemampuan mereka untuk mengenali struktural hubungan yang sama disajikan dalam modalitas yang berbeda (Bagian III), taksonomi untuk menilai pemahaman konseptual dalam aljabar menggunakan beberapa representasi dirumuskan.

  Tahap 0 Semua siswa yang dibentuk kategori TMS dilaporkan pada Bagian I dan

  Bagian II dari survei bahwa mereka lebih suka menghafal aturan dan mengingat langkah-langkah, berpikir 'dalam jumlah', dan diperlukan untuk menggunakan 'trial and error' ketika memecahkan masalah. Mereka tidak mengakui drat tiga masalah yang berbeda (Bagian ??) mewakili struktural hubungan yang sama. Tujuh puluh tujuh persen dari siswa dalam kategori ini menemukan jumlah yang tidak diketahui dengan benar untuk masalah yang disajikan dalam kata-kata (Bagian IV, Soal Set W), hanya sekitar setengah (56%) dari siswa tersebut ditemukan panjang tidak diketahui segmen untuk masalah disajikan dalam diagram (Masalah Set D), dan 86% ditemukan benar jumlah yang tidak diketahui dalam persamaan aljabar (Soal Set S). Sejumlah besar kategori ini siswa digunakan metode trial and error untuk menemukan solusi.

  Selama wawancara, para siswa ini diminta untuk membuat persamaan aljabar hubungan dinyatakan dalam kata-kata ('jumlah dari dua angka adalah 23, salah satu nomor adalah 9, menemukan nomor lain). Mereka baik menunjukkan pengurangan dalam format kolom, atau menulis persamaan numerik 23-9 = 14. Tak melampaui tingkat angka yang menggambarkan hubungan di mana surat singkatan nomor tak dikenal (misalnya? + 9 = 23). Siswa-siswa ini tampaknya mengalami kesulitan beroperasi dengan kalimat aljabar (persamaan) dan instantiations numerik disukai (Kieran, 1992, hal. 392).

  Yang cukup menarik, para siswa dalam kategori ini baik yang mengalami kesulitan atau tidak dapat memecahkan persamaan yang mewakili hubungan yang sama dalam mode bergambar. Akibatnya, mereka kemampuan dan mungkin tidak sikap yang menguntungkan terhadap representasi bergambar kurang menciptakan penghalang untuk belajar bermakna mereka (Kieran, 1992) dan akibatnya pengembangan pemahaman konseptual. Lanjut menyelidik mengungkapkan kebingungan besar dengan diagram ketika mereka diminta untuk menafsirkan diagram diberikan atau untuk membuat mereka sendiri. Sebagai contoh, ketika diminta untuk menggambar diagram yang akan mewakili pengurangan 9 dari 23, beberapa menarik 23 objek (kotak atau lingkaran), kemudian menarik 9 lebih dari objek yang sama, dan kemudian mengatakan mereka akan mengambil 9. Meringkas di atas, kebutuhan terus-menerus mencoba angka (metode trial and error) ketika menghadapi masalah yang melibatkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui menunjukkan bahwa siswa membuat upaya untuk mengurangi tingkat abstraksi aljabar (simbol huruf) ke abstraksi numerik (jumlah simbol). Ketergantungan pada nomor adalah indikator bahwa siswa aljabar masih diperlukan instantiations untuk beroperasi pada tingkat kenyamanan yang nomor yang diberikan kepada mereka. Satu mungkin berhipotesis bahwa bagi siswa ini proses adaptasi terhadap abstraksi numerik telah mencapai beberapa daya tahan, dan bahwa nomor telah menjadi representasi internal mereka dari benda-benda material. Namun, simbol aljabar (surat) yang berdiri untuk diketahui dalam hubungan linear adalah belum representasi eksternal yang belum diinternalisasikan dan diintegrasikan ke dalam struktur mental yang sebelumnya siswa, dan dengan demikian itu ditolak demi tingkat yang lebih rendah dari representasi (nomor simbol) yang telah menjadi alat komunikasi matematika mereka menguasai sampai saat ini (Javier, 1987; Lesh, et.al., 1987). Ada kemungkinan bahwa mereka mengembangkan keterampilan komputasi dengan tingkat mampu mereproduksi dan / atau meniru prosedur. Namun, penalaran aljabar mereka (seperti yang belum maju ke tingkat abstraksi yang diberikan oleh representasi simbolis dari konsep. Oleh karena itu, sangat tidak mungkin bahwa siswa tersebut dicapai pemahaman konseptual dari persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Tahap 1. Para siswa yang membentuk kategori ini melaporkan bahwa mereka tidak perlu mencoba angka ketika memecahkan persamaan, sehingga tidak perlu mengurangi tingkat abstraksi yang diberikan oleh masalah. Delapan puluh enam persen dari siswa dalam kategori ini mengindikasikan bahwa mereka bisa 'berpikir dalam simbol' dan simbol agak lebih suka diagram dan masalah kata. Para siswa juga melaporkan bahwa mereka lebih suka menggunakan langkah-langkah ketika memecahkan persamaan (82%), dan mampu menghafal aturan (93%). Enam puluh delapan persen melaporkan bahwa tidak perlu atau ingin menggunakan diagram ketika memecahkan masalah, namun ketika disajikan dengan diagram yang ditampilkan hubungan linear dengan satu tidak diketahui mampu menemukan panjang segmen yang tidak diketahui. Delapan puluh sembilan persen dari siswa dalam kategori ini memecahkan semua sembilan masalah termasuk dalam survei Bagian IV Namun demikian, para siswa ini baik tidak mengenali (ditunjukkan 'tidak' dalam survei) bahwa tiga representasi yang berbeda di Bagian UI berpose struktural hubungan yang sama, atau kiri bagian ini kosong. Beberapa siswa dalam kelompok ini berusaha untuk menggambarkan pemikiran mereka, tetapi tidak menghasilkan penjelasan tertulis jelas dalam survei mereka, dan ketika diwawancarai tidak dapat secara verbal menjelaskan hubungan antara representasi. Ketika diberikan dengan diagram (lihat Gambar. 2), mereka bisa menemukan panjang segmen yang tidak diketahui. Namun ketika diminta untuk menulis sebuah pernyataan aljabar yang akan menggambarkan hubungan yang disajikan oleh diagram, mereka menghasilkan jenis yang sama dari pernyataan numerik (misalnya, 23-9 = 14) sebagai kategori pertama siswa. Siswa-siswa ini tahu bagaimana melakukan dan menjelaskan langkah-langkah sementara memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui, yang konsisten dengan tanggapan survei mereka di Bagian I dan Bagian II. Mereka menemukan nilai numerik yang benar untuk diketahui, dan bahkan diganti nilai-nilai ke persamaan untuk memverifikasi solusi. Namun, perilaku mereka bisa telah digambarkan sebagai baik dilatih bertindak atas aturan tetap (misalnya,

  Pertanyaan menyelidik mengungkapkan bahwa tindakan ini siswa yang agak mekanik dari berakar pada logika. Pengamatan ini mendukung teori bahwa banyak siswa aljabar sekolah menengah (terutama mereka yang berada dalam masa transisi dari pra-aljabar aljabar) belajar keterampilan prosedural sebelum mengembangkan konseptual pemahaman (Dubinsky, 1991; Dubinsky & McDonald, 1991; Kieran, 1992; Sfard, 1991 , 1992).

  Singkatnya, siswa yang mampu memanipulasi simbol, diucapkan dan mengikuti langkah-langkah yang benar ketika memecahkan persamaan linear dengan satu tidak diketahui, dan menunjukkan tingkat tertentu kemahiran tanpa mengurangi tingkat abstraksi, kemungkinan besar akan berada dalam proses mengembangkan pemahaman konseptual . Hal ini juga mungkin bahwa mereka berada di jalur pencampuran pengetahuan prosedural dan konseptual (Tinggi, 2008). Mereka menunjukkan keterampilan reproduksi relatif lancar (yaitu, keterampilan proses) yang prasyarat untuk pengembangan pemahaman konseptual. Namun, siswa tersebut hilang satu kemampuan penting. Mereka tidak mampu membuat hubungan antara representasi yang berbeda (kata, diagram, simbol) yang diajukan struktural hubungan linier yang sama. Hal ini penting untuk menekankan bahwa peneliti tidak mengklaim bahwa Tahap 0 dan Fase 1 yang berurutan dan mewakili hirarki. Para siswa yang berada di Tahap 1 belum tentu telah melalui Tahap 0. Tahap 2. Semua siswa dalam kategori ketiga diakui (menjawab "ya"; survei Bagian

  III), dan menjelaskan bahwa masalah kata, diagram dan persamaan (lihat Gambar 1.) Mewakili struktural hubungan linier yang sama. Mereka memecahkan semua sembilan masalah di Bagian IV dengan benar dan mengungkapkan pemahaman makna solusi dan sifat dari hubungan linear. Ketika diperiksa dengan pertanyaan, mereka menunjukkan kemampuan untuk menjelaskan arti penuh dari konsep yang tidak diketahui, hubungannya dengan operasi, dan menunjukkan kemampuan untuk membedakan, menyimpulkan dan menafsirkan representasi yang berbeda dari hubungan linear dengan satu tidak diketahui. Ini adalah bukti bahwa siswa tersebut mampu memanipulasi representasi yang berbeda dan menunjukkan pemikiran yang fleksibel dari sifat-sifat persamaan linear dengan satu tidak diketahui (misalnya, refleksi, simetri, kesetaraan). Ketika diminta untuk menggambarkan diagram mirip dengan yang ditampilkan pada Gambar 2 menggunakan simbol-simbol aljabar, mereka menghasilkan persamaan aljabar (misalnya? + 9 = 23). Ketika diminta untuk menggambar diagram yang akan mewakili persamaan (misalnya, m + 13 = 38, 2n = 26, 3x + 2 + 4 = 27), mereka dihasilkan representasi yang benar. Menurut Cifarelli (1988), para mahasiswa ini dioperasikan pada tingkat lebih tinggi dari abstraksi reflektif, yaitu, kesadaran struktural.

  Mengingat di atas, adalah masuk akal untuk menyatakan bahwa salah satu indikator yang paling signifikan dari pemahaman konseptual hubungan linear dengan satu tidak diketahui adalah kemampuan untuk mengenali struktural hubungan yang sama disajikan dalam modalitas representasional yang berbeda, memberikan penjelasan lisan eksplisit, dan fleksibel transit dari satu representasi yang lain.

  Muncul dari penelitian ini, taksonomi (lihat Tabel 2) dari pemahaman konseptual dalam aljabar dikembangkan. Taksonomi ini sejalan dengan teori-teori yang mendukung beberapa representasi dan tingkat membedakan abstraksi (misalnya, Boulton-Lewis & Tait, 1993; Cifarelli, 1988; Diezmann, & Inggris, 2001; Hazzan, 1999, Hazzan & Zaskis, 2005; Hiebert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986).

  Mengakui perbedaan antara tingkat abstraksi dalam proses pengembangan pemahaman konseptual, tampaknya alat praktis yang berguna bagi para pendidik matematika. Indikator pemahaman konseptual akan ditunjukkan oleh tingkat "kesadaran struktural" (Cifarelli, 1998), kemampuan untuk beroperasi pada "konsepsi objek" (Sfard, 1991; Dubinsky, 1999) tanpa keharusan untuk mengurangi tingkat abstraksi yang disajikan oleh masalah (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005).

  Kesimpulan

  Taksonomi menyediakan guru, pendidik, pakar kurikulum, dan pihak lain yang berkepentingan dengan beberapa struktur organisasi bagi mereka untuk dapat membuat penilaian yang relatif handal apakah siswa mengembangkan atau telah mengembangkan pemahaman konseptual persamaan linear dengan satu tidak diketahui. Kenyataan bahwa seorang siswa mengakui bahwa konsep / hubungan dapat disajikan dalam mode yang berbeda bisa berfungsi sebagai indikator bahwa siswa maju dari keterampilan prosedural untuk keterampilan struktural atau konsep. Dengan demikian, taksonomi membantu untuk memastikan apakah siswa membangun pemahaman konseptual bukannya efisien mengulangi proses. Hal ini juga mungkin memberikan saya guru dengan wawasan tingkat proses berpikir masing-masing siswa dan cara siswa beroperasi dengan abstraksi yang melekat dalam aljabar. Informasi tersebut sangat penting untuk instruksi perencanaan secara alami beragam populasi siswa dengan berbagai kemampuan, preferensi belajar dan sikap. Tentu saja, proses kognitif abstraksi dan mengembangkan pemahaman konseptual yang jauh lebih kompleks daripada taksonomi. Setiap skematisasi memiliki keterbatasan alam. Seperti Raymond Nickerson (1986) mencatat, "Taksonomi adalah, di terbaik, cara mudah mengatur ide-ide dan tidak boleh dilakukan dengan sangat serius. Dunia jarang cukup hanya sebagai dibagi ke dalam kompartemen rapi sebagai kecenderungan kita untuk partisi itu konseptual akan menyarankan" ( p. 358). Namun demikian, hal ini berguna untuk mengatur ide-ide dalam pedoman diklasifikasikan untuk tujuan komunikasi.

  Referensi

  Boulton-Lewis, G. M. & Tait, K. (1993). Representasi dan strategi untuk penambahan anak muda. Di G. Booker (Ed.), Konteks dalam pendidikan matematika. Brisbane: Merga. Cifarelli, V. V. (1988). Peran abstraksi sebagai proses pembelajaran dalam pemecahan masalah matematika. Disertasi doktor, Purdue University, Indiana.

  Diezmann, C. M. (1999). Menilai kualitas diagram: Membuat perbedaan untuk representasi. Dalam JM Truran & KM Truran (Eds.), Prosiding Konferensi Tahunan 22 Matematika Pendidikan Research Group dari Australasia, Adelaide (pp 185-191.): Pendidikan Matematika Research Group dari Australasia.

  Diezmann, C. M. & Inggris, L. D. (2001). Mempromosikan penggunaan diagram sebagai alat untuk berpikir. Di AA Cuoco (Ed.), 2001 Dewan Nasional Guru Matematika Yearbook: Peran representasi dalam matematika sekolah (pp.77-89). Reston, VA: NCTM.

  Dreyfus, T. & Eisenberg. T. (1996). Pada aspek yang berbeda dari pemikiran matematika. Dalam RJ. Sternberg & T. Ben-Zeev (Eds.), Sifat pemikiran matematika. Lawrence Erlbaum Associates, Penerbit.

  Driscoll, M (1999). Membina berpikir aljabar. Panduan untuk guru kelas 6-10. Portsmouth, NH, Heinemann.

  Dubinsky, E. (1991). Abstraksi reflektif dalam pemikiran matematika canggih. Dalam D. Tinggi (Ed.), Advanced Matematika Berpikir. Kluwer Academic Press, hlm. 95-123.

  Dubinsky, E. & McDonald. M. (1991). APOS: Sebuah Teori Konstruktivis Belajar di Sarjana Pendidikan Matematika Penelitian. Baru ICMI Studi Series, Kluwer Academic Press, 275-282.

  Ferrari. RL. (2003). Abstraksi dalam matematika. The Royal Society. http:// www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PM C1693213 / pdf / 12903658.pdf Frorer, P., Hazzan, O. & Manes, M. (1997). Mengungkap wajah abstraksi. International Journal of Komputer untuk Matematika Belajar 2 (3), 217-228. Gray, E. & Tinggi, D. (2007). Abstraksi sebagai proses alami kompresi mental. Pendidikan Matematika Jurnal Penelitian 19 (2), 23-40.

  Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Sistem representasi matematika dan pengembangan konsep-konsep matematika. Dalam FR Curcio (Ed.), Peran representasi dalam matematika sekolah: 20001 buku tahunan. Reston, VA: NCTM.

  

TAXONOMY FOR ASSESSING CONCEPTUAL

UNDERSTANDING IN ALGEBRA USING

_{and consistent measure to identify whether students learn algebraic concepts beyond procedures?}

_{understanding? What is a reliable indicator that would provide educators with a relatively trustworthy}

_{algebraic expressions and verbalizing their behaviors. Do these abilities imply conceptual Algebra students may often demonstrate a certain degree of proficiency when manipulating}

MULTIPLE REPRESENTATIONS

_{verbalizing their behaviors. Do these abilities imply conceptual understanding? What is a reliable often demonstrate a certain degree of proficiency when manipulating algebraic expressions and degree of abstraction and reducing level of abstraction, theory of operational and structural understanding of linear equations with one unknown. The taxonomy is rooted in ideas related to the} The article introduces taxonomy for assessing middle school algebra students' levels of _{indicator that would provide educators with a relatively trustworthy and consistent measure to conception, and the concept of representation in mathematics education. Algebra students may representation in mathematics education. reducing level of abstraction, theory of operational and structural conception, and the concept of with one unknown. The taxonomy is rooted in ideas related to the degree of abstraction and taxonomy for assessing middle school algebra students' levels of understanding of linear equations} identify whether students learn algebraic concepts beyond procedures? The article introduces _{symbols, and when encouraged, can verbalize and explain the steps they perform, thereby school algebra. Students often reveal a certain degree of proficiency manipulating algebraic demonstrating awareness of procedures according to fixed rules. It is well documented however that} Introduction _{The concept of unknown and operations with unknowns are central to teaching and learning middle about learning algebraic concepts beyond procedures, educators need reliable indicators to refer to, To objectively analyze and assess students' thinking and behaviours, and make informed decisions 1993; Langrall & Swafford, 1997). understanding (Herscovics, 1996; Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992; Kieran & Chalouh,} correct and seemingly fluent demonstration of a procedure does not necessarily indicate conceptual _{Three key ideas serve as the foundation of this research study: a) the role of multiple conceptual understanding of linear relationship with one unknown. scale longitudinal study on representations in algebra and suggests the taxonomy for assessing} and simple, yet structured language to communicate. This paper describes a segment of a large _{representations in probing understanding of mathematics learning, with a particular focus on the These ideas guided the researcher's observations, analysis, and formulation of the taxonomy. level of abstraction as a mental process of coping with abstraction level of a given concept or task . understanding as a process of growth of the degree of abstraction, and c) the idea of reducing the relationship, b) the idea of adaptation to abstraction and the development of conceptual} interpretation, connection and translation among representations of the structurally same _{Algebraic reasoning and conceptual understanding in algebra a background for this research study. This section briefly outlines major theoretical positions and research that pertained to and served as} Foundation

  _{Understanding in general and in mathematics in particular is a logical power manifested by abstract the quantity is known" (p. 2). Swafford (1997) defined algebraic reasoning as the "ability to operate on an unknown quantity as if problems with various representations (Driscoll, 1999; Herbert & Brown, 1997). Langrall and} Algebraic reasoning has been described as a process of generalizing a pattern and modeling _{operation upon its grammar rules (i.e. mathematical properties and conventions) are also indicative of algebra demonstrated by confident use of its vocabulary and meanings as well as flexible in formulas, expressions, equations, and inequalities. Fluency in the language competency in reading, writing, and manipulating both number symbols and algebraic symbols used between and interpret different representations of the algebraic concepts. It is exemplified by relationships between known and unknown, independent and dependent variables, and to discern} thought. Conceptual understanding in algebra is demonstrated by the ability to recognize functional of conceptual understanding in algebra. _{is "inherently representational in its intentions and methods" (Kaput, 1989, p. 169). Goldin and Symbol systems and representations are essential to mathematics as a discipline since mathematics} Representations _{Shteingold (2001) suggested to distinguishing internal and external systems of representation (p. 2). representation and abstraction are closely related mental constructs. learner constructs to establish internal mental network or representational system. Thus, internal mathematical ideas or cognitive schemata, that according to Hiebert and Carpenter (1992) the Pape and Tchoshanov (2001) described mathematics representation as an internal abstraction of} Internal representations are usually associated with mental images people create in their minds. _{are conventional; they are objectively determined, defined and accepted (p. 4). operations, symbols, or composition of signs and symbols used to represent certain relationships) "something other than itself (p. 3). Most of the external representations in mathematics (e.g., signs of configuration or signs, characters, or objects" and that external representation can symbolize} According to Goldin and Shteingold (2001), an external representation "is typically a sign or a _{representations including visual representations (i.e., diagrams), verbal representations (written and Mathematical relationships, principles, and ideas can be expressed in multiple structurally equivalent demonstration of mathematical knowledge, as well as illustration of problem solving situations. spoken language) and symbolic representations (numbers, letters). The abilities to recognize, Outhred & Saradelich, 1997; Verschaffel, 1994; Swafford & Langrall, 2000) agree that in} Many researchers (e.g., Boul ton-Lewis &Tait, 1993; Diezmann, 1999; Diezmann & English, 2001; _{mathematics education the term representation refers to the construction, abstraction and fluent and flexible use of multiple representations of "structurally the same" (p. 268) mathematical communication tools for mathematical thinking. Each representational system contributes to effective concept is likely to be associated with deep conceptual understanding. develop conceptual understanding of mathematics. Dreyfus and Eisenberg (1996) suggested that a mathematical ideas in a precise and coherent way, thus providing multiple sources and avenues to communication of mathematical ideas by offering a certain type of language to express} create, interpret, make connections and translate among representations are powerful _{to a level that is compatible with their cognitive structure (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005; communication) they natural tend to reduce the level of abstraction (given by the concept/problem) representations of a concept or while solving problems (as a means of mathematical representations on learning mathematical concepts suggests that when students generate} The research focused on students' generated representation and subsequent impact of these _{make the unfamiliar more familiar, and the abstract more concrete. He argued that students try to Pape & Tochanov, 2001). Similarly, Wilensky (1991) asserted that it is expected that students would Abstraction representations and reducing abstraction as closely related ideas. can involve the process of reducing the level of abstraction. Therefore, it seems logical to view process of 'concretizing' can be associated with the construction of an internal representation and} 'concretize' the concepts they learn to "come to the concept as close as possible" (p. 196). The _{The concept of abstraction in the field of mathematics education research has been examined from thoughts that allow one to reason. object. Thus, abstraction can be understood as a mental process that promotes the basis of which it belongs or is linked to and forms a cognitive image or a concept (an abstraction) of the} Abstraction as a mental action separates a property or a characteristic of an object from the object to different perspectives (Ferrari, 2003; Frorer et al., 1997; Gray & Tall, 2007; Heibert & Lefevre, 1986;

  _{degree of abstraction (Cifarelli, 1988; Heibert & Lefevre, 1986; Skemp, 1986; Wilensky, 1991), the notion of adaptation to abstraction (Piaget, 1970; Von Glaserfeld, 1991), and the notion of reducing images by means of different representations . Essential to this research are the notion of the process of abstraction because they are engaged in transformation of their perceptions into mental for a meaningful learning of mathematics. Mathematics students are continuously involved in the types of concepts are more abstract than others, and that the ability to abstract is an important skill} OhIsson & Lehtinen, 1997; Skemp, 1986; Tall, 1991). Hazzan and Zazkis (2005) assert that certain _{resorting to lower levels of abstraction. student is able to grasp the structure of the problem and to represent solution methods without structural abstraction, and structural awareness. At the highest level (i.e., structural awareness) the Cifarelli (1988) suggests the levels of reflective abstraction that include recognition, representation,} level of abstraction (Hazzan, 1999; Hazzan & Zaskis, 2005). _{conceptual understanding is manifested by the increased ability to "cope with" (Hazzan, 1991; be viewed as a transition between the levels of abstraction from lower to higher. Thus the growth in abstraction becomes critical, and the process of building mathematics conceptual understanding can} If the degree of abstraction is a factor of conceptual understanding, then the idea of adaptation to _{Hazzan & Zaskis, 2005) a higher degree of abstraction. of abstraction (algebraic abstraction). Thus, one can assert that abstraction in mathematics is an activity of integrating pieces of information (facts) of previously constructed mathematics knowledge abstraction, and operating on letters that stand for 'number symbols' can be viewed as the third level abstraction). Then, operating with 'number symbols' can be thought as the second level of words' which represent certain quantities of real objects is a first level of abstraction (linguistic process of developing conceptual understanding in algebra. Assume that operating on 'number} The following example uses the idea of the levels of abstraction as a metaphor to describe the _{& Eisenberg, 1996, p. 268). Yet, this representation might be sufficient to supplement and enhance representation, provides limited information, and "stresses some aspects and hide others" (Dreyfus It is important to recognize that a line segment image of a number and/or unknown, as any external concrete (number system, pictorial aids) to abstract (algebraic symbols).} and reorganizing them into a new mathematics structure. The Table 1 shows the transition from _{abstraction. The framework addresses the situations in which students are unable to deal with the concepts at the level they are presented with and therefore, the students reduce the level of To describe learners' behaviors in terms of coping with levels of abstraction, Hazzan (1999)} the process of building the concept of operations with unknowns. _{introduced and Hazzan and Zazkis (2005) elaborated on a theoretical framework of reducing level of abstraction. In other words, when students are unable to manipulate with the level of abstraction every algebra student goes through the process of familiarization with and adaptation to different (words, numbers, symbols) presented in a given problem, they consciously or unconsciously reduce process of adaptation to abstraction involves certain behavior manifested in coping with level of adaptation to abstraction the less the need for reducing the level of abstraction. In this sense, the levels of abstraction at a different rate . Wilensky (1991) suggested that the higher the rate of} abstraction to make these concepts mentally accessible (p. 102). It seems plausible to assume that _{perspective on the process of assessing algebra students' conceptual understanding conceptual understanding provided the basis for developing the study that offered another The above overview of the ideas and assumptions about representations, abstraction and actual mental stage of development (Vygotsky, 1985, pp .84-86).} the level of abstraction of the concepts involved to make these concepts within the reach of their _Method oflinear relationship with one unknown. _{students' understanding of linearrelationship with one unknown. The research inquiries have been A multi-year mixed method research study was launched to explore the levels of middle school The survey, designed by the researcher (Panasuk, 2006), consisted of several interrelated parts, Instrument problems and explaining their solutions during the interviews.} addressed through analysis of the survey and observation of students' thinking process while solving _{when solving linear equations with one unknown. practices and most preferable/less preferable mode of tJxinking (words, diagram, numbers/symbols) and asked the students to select the response that most closely reflects their current learning preferred mode of representation (verbal, pictorial, symbolic). Part II statements had three choices response choices (always, often, sometimes, rarely, never), which were clustered around students'} four of which are described in this paper. Part I contained 12 items with five optional Likert scale _{one unknown posed in three different representations: as a word problem, as a diagram where the}

  Part III illustrated "structurally the same" (Dreyfus & Eisenberg, 1996, p. 268) linear relationship with