3.1. Turunan Fungsi Trigonometri - II-3 Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial

3.1. Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri

dalam rangkaian listrik.

  

= x x x x x x x dx d dx x d tan sec cos sin cos

) sin ( cos 1 sec

2 = = − −

=    

  = x x x x x x x dx d dx x d cot csc sin cos sin

) (cos sin 1 csc

2 − = −

= − =

   

  =

1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus v C = 200sin400t volt. Kita akan melihat

bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2 ×

− =

−

= − −

Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah

dt dv C i

C C

Arus yang melalui kapasitor adalah ( )

, 160 400 ampere cos 400 sin 200

t t dt d dt dv

C i

C C = × × = =

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah

=   

1 sin ) (cos cos sin sin cos cot

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

sin

cos − =

3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri

Inversi, Logaritmik, Eksponensial

Jika x y sin = maka x x x x x x x x x x dx x d dx dy

∆ − ∆ + ∆ = ∆

− ∆ + = = sin sin cos cos sin

) sin sin( sin

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin ∆ x = ∆ x dan cos ∆ x = 1. Oleh karena itu

x dx x d

cos

sin =

(3.1) Jika = x y cos maka

x x x x x x x x x x dx x d dx dy

∆ − ∆ − ∆

∆

− ∆ + = = ) cos sin sin cos cos cos cos( cos

Jik ∆x menuju nol, maka sin ∆ x = ∆ x dan cos ∆ x = 1. Oleh karena itu

x dx x d

(3.2) Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

2 csc

sin

x x x x x x x x dx d dx x d

2 sec

cos

cos ) sin ( sin cos cos sin tan

= =

− − =

   

  =

x x x x x x x x dx d dx x d

6 farad ini.

Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic p = v i = 200 sin 400 t × , 16 cos 400 t = 32 cos 400 t sin 400 t

C C C 16 sin 800 t watt

= Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.

200 v C i C _C p C 100 _C _C t [detik]

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut o perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90 ; jadi arus mendahului tegangan dengan o beda fasa sebesar 90 .

Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif.

2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai i =

− 0,2cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? Hubungan antara tegangan induktor v dan arus induktor i adalah

L L

v = L

di d L v L 2 , 5 , 2 cos 400 t

2 ,

5 , 2 sin 400 t 400 200 sin 400 t

= = × − = × × × = L ( ) dt dt Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.

p v i 200 sin 400 t ( .

2 cos 400 t ) 40 sin 400 t cos 400 t = = × − = −

L L L = − 20 sin 800 t W Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut. v L

200

i L

100 L _L p L _L

0.01

0.02

0.03

0.04 0.05 t[detik]

Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini o merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 , artinya arus ketinggalan dari o tegangan dengan sudut fasa 90 .

Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.

Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

3.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

1 −

1) y = sin x dy

1 x = sin y ⇒ dx cos = ydy ⇒

1 dx cos y x y

1 2 =

1 x

2 − dx

1 x −

− 2) y = cos x dy − 1 dy −

1 x cos y ⇒ dx sin ydy ⇒ ;

= = − = =

2 dx sin y dx

2 1 − x 1 − x y x

1 −

3) y = tan x

2 dy

x = tan y ⇒ ⇒ = cos y ;

dx = dy =

cos y dx 1 x 1 x x y

1 −

1 4) y = cot x

2 − dy

1 −

x = cot y ⇒ ⇒ = − sin y ;

dx = dy =

sin y dx 1 x

1 x y 1 ( sin x )

−

1 − −

5) y sec x ⇒ ⇒ dx dy = x = sec y = =

x cos y

cos y x

x −

1 y

1 2   dy cos y 1 x

  = = ×

2  

2 dx sin y x

 x − 1 

1 =

2 x x −

1 (cos x ) 1 1 −

− 6) y = csc x x csc y ⇒ dx dy

= = =

2 sin y sin y

dy sin y

1 x x

= = − ×

2 y

dx − cos y x x

1 −

2 −

1 − =

x x

1 −

3.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

) sin (tan =

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Jika v = f(x), maka

dx dv v dx dv dv v d dx v d

cos ) (sin ) (sin = =

dx dv v dx dv dv v d dx v d

sin ) (cos ) (cos − = =

= 
=

−

dx dw w dx w d

1 (tan 1 )

−

dx dw w dx w d

1 (cot 1 )

dx dw w w dx w d

1 (cos 1 ) − − =

1 (sec 1 )

1 − =

−

dx dw w w dx w d

1 (csc 1 )

1 − − =

−

2 sec cos sin cos cos

   

dx dv v dx dv x x x v v dx d dx v d

    

= dx dv v v v dx d dx v d

2 csc sin

) cos (cot − =

   

  = dx dv v v dx dv v v v dx d dx v d tan sec cos sin cos

(sec 1 )

2 =

  = dx dv v v v dx d dx v d cot csc sin

(csc 1 ) − =

   

  =

Jika w = f(x), maka

dx dw w dx w d

1 (sin 1 ) − =

−

dx dw w dx w d

=
− =

Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

3.4. Turunan Fungsi Logaritmik Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi

f ( x ) ln x

= didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)

f ( x ) ln x dt ( x )

= = >

∫

y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di selang antara t = 1 dan t = x

pada Gb.11.1.

4 1/t y

3 ln(x+ x) lnx

∆ −

4 x x+Δx

1/(x+Δx) 1/x

Gb.3.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.

Kita lihat pula

x ∆ x   ln( x x ) ln( x )

1 ∆ −

(3.3) dt

=  

∫ x

∆ x ∆ x  t 

Apa yang berada dalam tanda kurung (3.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan

× 1/x). sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x

Namun jika ∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x 1/x); dan jika ∆x

× 1/x). Pada keadaan batas ini (3.3) akan bernilai (1/x). mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x Jadi

d ln x

1 (3.4)

dx x

Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil

contoh: v = 3 x

1 d ( 3 x 4 ) 6 x = = =

d ln v d ln v dv

dx dv dx dx

3 x

4 3 x

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

2 x ) ; y ln ; y ln(cos x ) ; y ln(ln x ) = = = =

y ln( x

2 x

3.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk

(3.5) y e

Persamaan (3.5) berarti , dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua

ln y x ln e x

= = sisinya akan kita dapatkan Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

d ln y 1 dy x atau (3.6)

y e

1 = = = =

dx y dx x x

Jadi turunan dari e adalah e itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang tidak berubah terhadap

operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah

x bentuk fungsi. Turunan-turunan dari adalah y = e

x x x

y ′ = e y ′′ = e y ′ ′′ = e dst.

Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, v = v (x ) . v v

de de dv dv

v e (3.7)

= =

₁

dx dv dx dx

− tan x

Kita ambil contoh: y e =

− ¹ 1 tan x

− − ¹

dy d tan x e

tan x

= =

dx dx

1 x

3.1. Turunan Fungsi Trigonometri - II-3 Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial