82 Soal dengan Pembahasan, 250 Soal Latihan
Galeri Soal
82 Soal dengan Pembahasan, 250 Soal Latihan
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
MatikZone’s Series Nopember 2012
Email : matikzone@gmail.com
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Soal-soal Lingkaran dan Penyelesaiannya
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari-jari r = 5.
Jawab:
2 2 Persamaan lingkaran dengan pusat P(0,0) dan jari- jari r adalah 2 x + y = r ,
(Bentuk Baku)
maka persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari-jari r = 5 adalah:
2 2 x 2 + y = r 2 2 ⇒ 2 x + y = 5 2 ⇒ 2 x + y = 25
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(3,5) dengan jari-jari r = 9.
Jawab:
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari- jari r adalah
x − a )( + y − b ) = r ,
(Bentuk Baku)
maka persamaan lingkaran yang berpusat di P(3,5) dengan jari-jari r = 9 adalah:
x − a )( + y − b ) = r
⇒ ( x − 3 )( + y − 5 ) = 81
2 2 2 2 ⇒ 2 ( x − 3 )( + y − 5 ) = 9 at au ⇒ x − 6 x + 9 + y − 10 y + 25 − 81 = 0
2 2 2 ⇒ 2 ( x − 3 )( + y − 5 ) = 81 ⇒ x + y − 6 x − 10 y − 47 = 0
(Bent uk Umum)
2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2 x + y = 10
Jawab:
() 10 , sehingga P(0,0) dan r = 10
2 2 2 2 x 2 + y = 10 ⇒ x + y =
2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2 (
x + 5 )( + y − 4 ) = 49
Jawab:
2 2 2 2 ( 2 x + 5 )( + y − 4 ) = 49 ⇒ ( x − () − 5 )( + y − 4 ) = 7 , sehingga P(– 5, 4) dan r = 7
2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2 x + y − 2 x − 6 y + 6 = 0
Jawab:
Cara 1:
2 Persamaan lingkaran dalam bentuk umum 2 x + y + Ax + By + C = 0 dapat diubah dalam bentuk baku (dengan melengkapkan bentuk kuadrat) sebagai berikut:
A B +
+ + y = + − C
2 2 2 2 2 2 2 x 2 + y − 2 x − 6 y + 6 = 0 ⇒ x − 2 x + () − 1 + y − 6 y + () − 3 = − 6 + ()() − 1 + − 3
x − 1 )( + y − 3 ) = 4
sehingga diperoleh P(1, 3) dan r = 2
Cara 2:
2 Persamaan lingkaran dalam bentuk umum 2 x + y + Ax + By + C = 0 mempunyai titik
1 pusat 1
P − A , − B dan jari-jari r =
y 2 6 6 0 mempunyai P
− () − 2 , − () − 6 = P () 1 , 3
maka lingkaran
dan r =
2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2 2 x + 2 y + 3 x − 7 y − 1 = 0
sehingga diperoleh
2 Diketahui lingkaran dengan persamaan 2 x + y + ax + by + 19 = 0 melalui titik
A ( − 2 , 9 ) dan B () 4 , 3 , maka nilai a + b = ….
Jawab:
( − 2 , 9 ) dan B () 4 , 3 dilalui L ≡ x + y + ax + by + 19 = 0 , maka
2 Titik 2 A
2 , 9 ) : () − 2 + 9 + a () − 2 + b . 9 + 19 = 0 ⇒ 4 + 81 − 2 a + 9 b + 19 = 0 ⇒ − 2 a + 9 b = − 104 ...(1)
2 B 2 ()
4 , 3 : 4 + 3 + a . 4 + b . 3 + 19 = 0 ⇒ 16 + 9 + 4 a + 3 b + 19 = 0 ⇒ 4 a + 3 b = − 44 …(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
− 2 a + 9 b = − 104 x 2 − 4 a + 18 b = − 208
4 a + 3 b = − 44 x 1 4 a + 3 b = − 44 + 21 b = − 252 ⇒ b = − 12
Subtitusi b = − 12 ke (2) diperoleh:
4 a + 3 ( − 12 ) = − 44 ⇒ 4 a − 36 = − 44 ⇒ 4 a = − 8 ⇒ a = − 2
sehingga a + b = − 2 + () − 12 = − 14
2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2 L ≡ x + y − 6 x + py + 9 = 0 yang melalui titik T (5, 1).
Jawab:
Lingkaran melalui T (5, 1) maka
2 5 2 + 1 − 6 . 5 + p . 1 + 9 = 0 ⇒ 25 + 1 − 30 + p + 9 = 0 ⇒ p = − 5
2 sehingga persamaan lingkaran menjadi 2 L ≡ x + y − 6 x − 5 y + 9 = 0 , diperoleh
P − () − 6 , − () − 5 = P 3 , dan
Jadi, P 3 , dan r =
9. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(–5, 6) dan B(3, 2) dimana AB adalah diameter lingkaran tersebut.
Jawab:
Cara 1:
Misalkan P adalah titik tengah garis AB dimana A ( x 1 ,y 1 ) dan B ( x 2 ,y 2 ) , maka
P x 1 + x 2 y 1 + y 2 koordinat titik ,
Misalkan titik pusat lingkaran adalah P ( x 0 ,y 0 ) maka:
1 1 1 1 x 0 = ( x A + x B ) = ( − 5 + 3 ) = − 1 dan y 0 = ( y A + y B ) = ( 6 + 2 ) = 4 2 2 2 2
Jadi P ( − 1 , 4 )
Jari-jari r = AP = ( − 5 + 1 )( + 6 − 4 ) = 16 + 4 = 20 Atau
. AB =
Persamaan lingkaran dengan pusat P ( − 1 , 4 ) dan jari-jari r = 20 adalah:
( x + 1 )( + y − 4 ) = 20 ⇒ x + 2 x + 1 + y − 8 y + 16 − 20 = 0
Cara 2:
Persamaan lingkaran melalui titik A ( x 1 ,y 1 ) dan B ( x 2 ,y 2 ) , dimana AB adalah diameter lingkaran adalah: ( x − x 1 )( x − x 2 )( + y − y 1 )( y − y 2 ) = 0
Jadi persamaan lingkaran melalui titik A(–5, 6) dan B(3, 2) dimana AB diameter lingkaran adalah:
2 ( 2 x + 5 )( x − 3 )( + y − 6 )( y − 2 ) = 0 ⇒ x + 2 x − 15 + y − 8 y + 12 = 0
10. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2).
Jawab:
Cara 1:
2 2 Misalkan persamaan lingkaran: 2 (
x − a )( + y − b ) = r
……………………………………...(1) Titik A, B, C pada lingkaran sehingga memenuhi persamaan (1)
2 , − 4 )( : 2 − a )( + − 4 − b ) = r
5 , − 1 )( : 5 − a )( + − 1 − b ) = r
2 2 C 2 ()(
2 , 2 : 2 − a )( + 2 − b ) = r
Dari (2) dan (4)
2 − a )( + − 4 − b ) = r
2 − a )( + 2 − b ) = r
− 4 − b − 2 − b = 0 ( )( )
⇔ ( − 4 − b − 2 + b )( − 4 − b + 2 − b ) = 0
12 + 12 b = 0
Subtitusi b = – 1 ke (2) dan (3) diperoleh:
2 − a )( + − 4 + 1 ) = r ⇔ ( 2 − a ) + 9 = r
5 − a )( + − 1 + 1 ) = r ⇔
( 2 − a )( − 5 − a ) + 9 = 0
( 4 − 4 a + a )( − 25 − 10 a + a ) + 9 = 0
6 a − 12 = 0
Subtitusi a = 2 dan b = – 1 ke persamaan (2)
2 − 2 )( + − 4 + 1 ) = r ⇔ 9 = r
Jadi persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2) adalah:
x − 2 )( + y + 1 ) = 9 dengan P(2, -1) dan r = 3
Cara 2:
2 Misalkan persamaan lingkaran: 2 x + y + Ax + By + C = 0
………………………………….(1) Titik A, B, C pada lingkaran sehingga memenuhi persamaan (1)
2 , − 4 ) : 2 + () − 4 + 2 A − 4 B + C = 0 ⇔ 2 A − 4 B + C = − 20
5 , − 1 ) : 5 + () − 1 + 5 A − B + C = 0 ⇔ 5 A − B + C = − 26
2 C 2 ()()()
Dari (2) dan (4)
2 A − 4 B + C = − 20 2 A + 2 B + C = − 8
− ⇒ B = 2 − 6 B = − 12
Subtitusi B = 2
ke (2) dan (3) diperoleh:
2 A − 8 + C = − 20 ⇔ 2 A + C = − 12
5 A A − C 2 + C = − 26 ⇔ 5 + = − 24 −
− 3 A = 12 ⇒ A = − 4
Subtitusi A = − 4 dan B = 2 ke persamaan (4)
2 ()() − 4 + 2 2 + C = − 8 ⇔ C = − 8 + 8 − 4 = − 4
Jadi persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2) adalah:
11. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) dan menyinggung garis
Jawab:
Jarak titik T ( x 1 ,y 1 ) terhadap garis ax by c
ax + by + c
1 + 1 + = 0 adalah d =
Jarak titik P(4, 2) terhadap garis 2 x + y = 4 ⇔ 2 x + y − 4 = 0 adalah jari-jari lingkaran, sehingga:
Persamaan lingkaran adalah:
x − 4 )( + y − 2 ) =
( x − 8 x + 16 )( + y − 4 y + 4 ) =
( x − 8 x + 16 )( + 5 y − 4 y + 4 ) = 36
2 ⇒ 2 5 x + 5 y − 40 x − 20 y + 64 = 0
12. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) melalui titik T(3, -1).
Jawab:
Jarak titik A ( x 1 ,y 1 ) dan B ( x 2 ,y 2 ) adalah d = ( x 1 − x 2 )( + y 1 − y 2 )
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik P(4, 2) dan T(3, -1), sehingga
Persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) dan jari- jari r = 10 adalah:
x − 4 )( + y − 2 ) = () 10 ⇒ ( x − 4 )( + y − 2 ) = 10
13. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(-5, 6) dan garis tangen sumbu X.
Jawab:
Jari-jari lingkaran r = 6 Persamaan lingkaran:
P(-5,6)
( x + 5 )( + y − 6 ) = 6 ⇒ ( x + 5 )( + y − 6 ) = 36
14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(3, -4) dan garis tangen sumbu Y.
Jawab:
Jari-jari lingkaran r = 3 Persamaan lingkaran:
( x − 3 )( + y + 4 ) = 3 ⇒ ( x − 3 )( + y + 4 ) = 9
P(3,-4)
15. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(-2, 5) dan garis tangen x = 7.
Jawab:
P(a, b) P(a, b) P(a, b)
P(a, b) P(a, b) P(a, b)
y =p
a x =p
Lingkaran dengan pusat P(a, b) dan garis tangen x = p maka r = a − p Lingkaran dengan pusat P(a, b) dan garis tangen y = p maka r = b − p
Jari-jari lingkaran r = |– 2 – 7| = 9 Persamaan lingkaran:
P(-2,5)
( x + 2 )( + y − 5 ) = 9 ⇒ ( x + 2 )( + y − 5 ) = 81
16. Sisi-sisi persegi mempunyai persamaan sebagai berikut:
A x–y=1 B Tent ukan persamaan:
x +y=1 x+y=2
a. Lingkaran dalam b. Lingkaran luar
C x–y=0 D
Jawab:
AB : x − y = 1 .......... .......... ( 1 ) CD : x − y = 0 .......... ........ ( 2 )
AC : x + y = 1 .......... ......... ( 3 ) BD : x + y = 2 .......... ........ ( 4 )
Dari (1) dan (3) Dari (1) dan (4) Dari (2) dan (4) x − y = 1 x − y = 1 x − y = 0
A () 1 , 0 2 D () 1 , 1
a). Lingkaran dalam
A x–y=1 B
x +y=1 x+y=2
C x–y=0 D
1 Titik pusat adalah titik tengah garis AD, P
Persamaan lingkaran:
x − 1 ) + − y =
⇒ ( x − 1 ) + − y =
Titik pusat adalah titik tengah garis AD,
Jari-jari r = AD =
Persamaan lingkaran:
1 ) + − y = ⇒ ( x − 1 ) + − y =
17. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik T (-3, 4) dan sepusat dengan
2 lingkaran 2 x + y + 8 x − 4 y − 1 = 0 .
Jawab:
2 Lingkaran 2 x + y + 8 x − 4 y − 1 = 0 mempunyai pusat
− ()() 8 , − − 4 = P ( − 4 , 2 ) .
2 Jarak titik T (-3, 4) dan P (-4, 2) adalah 2 r = ( −
Persamaan lingkaran dengan P (-4, 2) dan r = 5 adalah:
x + 4 )( + y − 2 ) = () 5 ⇒ ( x + 4 )( + y − 2 ) = 5
18. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y, jika pusatnya terletak pada garis 5 x − 4 y = 3 .
Jawab:
YY
P(a, b)
P(a, b)
b P(a, b)
Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu X, maka jari- jari r = b Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu Y, maka jari-jari r = a
Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka jari-jari r = b = a
Misalkan lingkaran menyinggung sumbu Y di
titik (0, b) dan menyinggung sumbu X di titik r
(a, 0). Titik pusat lingkaran adalah P (a, b).
Karena lingkaran menyinggung kedua sumbu
X koordinat, maka a = b = r
Titik P (r, r) pada 5 x − 4 y = 3 maka:
() r , r : 5 r − 4 r = 3 ⇒ r = 3
Persamaan lingkaran dengan P (3, 3) dan jari-jari r = 3 adalah:
x − 3 )( + y − 3 ) = 9
19. Selidikilah apakah persamaan-persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan, jika bukan sebutkan alasannya.
2 2 2 a). 2 ( x − 1 )( + y − 7 ) − 36 = 0 x + y b). − 4 x − 8 y + 25 = 0
Jawab:
2 a). 2 (
x − 1 )( + y − 7 ) − 36 = 0
x − 1 )( + y − 7 ) − 36 = 0 ⇒ ( x − 1 )( + y − 7 ) = 36
Adalah persamaan lingkaran dengan P(1, 7) dan r = 6
2 b). 2 x + y − 4 x − 8 y + 25 = 0
2 2 2 x 2 + y − 4 x − 8 y + 25 = 0 ⇒ x − 4 x + 4 + y − 8 y + 16 = − 25 + 4 + 16
2 2 ⇒ ( x − 2 )( + y − 4 ) = − 5
Bukan persamaan lingkaran, karena tidak mungkin 2 r = − 5
2 Tentukan batas nilai p agar persamaan 2 x + y + px + 2 y + 26 = 0 menunjukkan sebuah lingkaran.
Jawab:
Persamaan x + y + Ax + By + C = 0 menunjukkan lingkaran jika
2 Untuk persamaan 2 x + y + px + 2 y + 26 = 0
2 + − 26 > 0 ⇒ − 25 > 0 ⇒ p − 100 > 0 ⇒ (
p − 10 )( p + 10 ) > 0
Pembuat nol:
( p − 10 )( p + 10 ) = 0 ⇒ p = 10 atau p = − 10
Cek nilai p yang memenuhi: Jika p = - 11 maka (- 11 - 10)(- 11 + 10) = - 21 (-1) = 21 > 0 (memenuhi) Jika p = 0 maka (0 - 10)(0 + 10) = - 10 (10) = - 100 < 0 (tidak memenuhi) Jika p = 11 maka (11 - 10)(11 + 10) = 1 (21) = 21 > 0 (memenuhi)
++++ ----- ++++
Nilai p yang memenuhi adalah p < – 10 atau p > 10
2 Sehingga 2 x + y + px + 2 y + 26 = 0
merupakan persamaan lingkaran jika p < – 10 atau p > 10.
2 21. Diketahui lingkaran 2 L
1 ≡ x + y + 6 x − 10 y + 18 = 0 . Akan dibuat lingkaran baru L dengan titik pusat adalah titik pusat lingkaran 2 L dicerminkan terhadap sumbu X 1
dan jari-jarinya diperbesar menjadi 2 kali jari- jari L 1 . Tentukan persamaan lingkaran tersebut!
Jawab:
1 ≡ x + y + 6 x − 10 y + 18 = 0 mempunyai pusat
1 − ()() 6 , − − 10 = P 1 ( − 3 , 5 )
Jari-jari r 1 =
P 1 ( − 3 , 5 ) dicerminkan terhadap sumbu X, diperoleh P 2 ( − 3 , − 5 ) .
Persamaan lingkaran dengan P (-3, -5) dan jari-jari r = 8 adalah:
x + 3 )( + y + 5 ) = 64
(-3, 5) Y
(-3, -5)
22. Diketahui koordinat titik A(3, -1) dan B(6, 2) jika didefinisikan kedudukan titik P(x, y ) sedemikian sehingga PA = 2 PB . Tentukanlah tempat kedudukan titik P.
Jawab:
P(x, y), A(3, -1) dan B(6, 2)
2 PA 2 = (
x − 3 )( + y + 1 )
2 PB 2 = (
x − 6 )( + y − 2 )
Diperoleh:
PA = 2 PB
x − 3 )( + y + 1 ) = 2 ( x − 6 )( + y − 2 )
x − 3 )( + y + 1 ) = 4 ( x − 6 ) + 4 ( y − 2 )
Tempat kedudukan titik P adalah lingkaran dengan persamaan
2 x 2 + y − 14 x − 6 y + 50 = 0 .
Series 1
(x, y) P
23. Diketahui koordinat titik A(3, -4) dan B(-1, 2). P(x, y) sedemikian sehingga besar sudut APB 0 90 . tentukan tempat kedudukan titik P.
Jawab:
∠ 0 APB = 90
APB siku siku di P ∆ −
Dalil Phytagoras:
AP + BP = AB
[ ( x − 3 )( + y + 4 ) ] + [ ( x + 1 )( + y − 2 ) ] = ( − 1 − 3 )( + 2 + 4 )
2 2 2 x 2 − 6 x + 9 + y + 8 y + 16 + x + 2 x + 1 + y − 4 y + 4 = 16 + 36
2 2 2 x + 2 y − 4 x + 4 y − 22 = 0 2 x 2 + y − 2 x + 2 y − 11 = 0
Tempat kedudukan titik P adalah lingkaran dengan persamaan
2 x 2 + y − 2 x + 2 y − 11 = 0 .
Series 1
(-1, 2) B
24. Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran yang diberikan.
2 a). T(1, 3) terhadap lingkaran 2 x + y = 15
b). T(3, 5) terhadap lingkaran (
x + 3 )( + y − 5 ) = 36
2 2 c). T(4, 2) terhadap lingkaran x + y + 6 x − 10 y − 2 = 0
Jawab:
2 2 Kedudukan titik 2 T ( x 1 ,y 1 ) terhadap lingkaran x + y = r adalah:
x 1 ,y 1 ) di dalam lingkaran jika x 1 + y 1 < r
x 1 ,y 1 ) pada lingkaran jika x 1 + y 1 = r
x 1 ,y 1 ) di luar lingkaran jika x 1 + y 1 > r
2 2 Kedudukan titik 2 T ( x 1 ,y 1 ) terhadap lingkaran ( x − a )( + y − b ) = r adalah:
x 1 ,y 1 ) di dalam lingkaran jika ( x 1 − a )( + y 1 − b ) < r
x 1 ,y 1 ) pada lingkaran jika ( x 1 − a )( + y 1 − b ) = r
x 1 ,y 1 ) di luar lingkaran jika ( x 1 − a )( + y 1 − b ) > r
( x 1 ,y 1 ) terhadap lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 adalah:
2 Kedudukan titik 2 T
x 1 ,y 1 ) di dalam lingkaran jika x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C < 0
x 1 ,y 1 ) pada lingkaran jika x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C = 0
x 1 ,y 1 ) di luar lingkaran jika x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C > 0
Sehingga:
2 T(1, 3) : 2 1 + 3 = 1 + 9 = 10 < 15
2 T(1, 3) terletak di dalam lingkaran 2 x + y = 15
2 2 T(3, 5) : 2 (
2 T(3, 5) terletak pada lingkaran 2 (
x + 3 )( + y − 5 ) = 36
2 T(4, 2) : 2 4 + 2 + 6 . 4 − 10 . 2 − 2 = 16 + 4 + 24 − 20 − 2 = 22 > 0
2 T(4, 2) terletak di luar lingkaran 2 x + y + 6 x − 10 y − 2 = 0
2 25. Titik T(p, 5) terletak pada lingkaran 2 2 x + 2 y = 82 , maka nilai p adalah….
Jawab:
2 2 2 2 2 x + 2 y = 82 ⇒ x + y = 41
T(p, 5) terletak pada lingkaran, maka:
() p , 5 : p + 5 = 41 ⇒ p = 41 − 25 ⇒ p = 16 ⇒ p = ± 4
2 26. Lingkaran 2 x + y − 4 x + 2 y + c = 0 mempunyai jari-jari 3, maka nilai c adalah …
Jawab:
2 Jari-jari 2 x + y − 4 x + 2 y + c = 0 lingkaran adalah:
() − 4 + () 2 − c
27. Tentukan kedudukan garis − 6 x + 2 y + 4 = 0 terhadap lingkaran
Jawab:
Cara 1:
Kedudukan garis y = mx + c terhadap lingkaran L adalah:
a). Memotong Lingkaran di 2 titik jika D > 0
b). Menyinggung Lingkaran jika D = 0 (memotong L di 1 titik)
c). Tidak memotong Lingkaran jika D < 0
Garis − 6 x + 2 y + 4 = 0 ⇒ y = 3 x − 2
2 2 Subtitusi y = 3 x − 2 ke lingkaran x + y − 4 x + 2 y + 2 = 0 .
2 2 2 x 2 + ( 3 x − 2 ) − 4 x + 2 ( 3 x − 2 ) + 2 = 0 ⇒ x + 9 x − 12 x + 4 − 4 x + 6 x − 4 + 2 = 0
10 x − 10 x + 2 = 0
2 2 D = b − 4 ac = () −
2 2 Jadi garis y = 3 x − 2 memotong lingkaran x + y − 4 x + 2 y + 2 = 0 di 2 titik.
Cara 2:
Misalkan pusat L adalah P ( x 1 ,y 1 ) maka
ax + by + c = 0
ax 1 + by 1 + c
PQ = d =
a). Garis memotong lingkaran jika d < r
b). Garis menyinggung lingkaran jika d = r c). Garis tidak memotong lingkaran jika d > r
2 Pusat lingkaran 2 x + y − 4 x + 2 y + 2 = 0 adalah P(2, -1) dan jari-jarinya r = 3
Jarak P ke garis − 6 x + 2 y + 4 = 0 ⇒ − 3 x + y + 2 = 0 adalah:
2 Jadi garis 2 y = 3 x − 2 memotong lingkaran x + y − 4 x + 2 y + 2 = 0 di 2 titik.
28. Tentukan nilai c agar garis y = − 2 x + c menyinggung lingkaran
Jawab:
2 Subtitusi 2 y = − 2 x + c ke lingkaran x + y − 4 x − y + 3 = 0 .
2 x + c ) − 4 x − ( − 2 x + c ) + 3 = 0 ⇒ x + 4 x − 4 cx + c − 4 x + 2 x − c + 3 = 0
Garis menyinggung lingkaran jika D = 0
2 2 D 2 = b − 4 ac = ( −
0 = ( c − 7 )( c − 2 )
Jadi, c = 7 atau c = 2
2 29. Lingkaran yang persamaannya 2 x + y − Ax − 10 y + 4 = 0
menyinggung sumbu X. Nilai A yang memenuhi adalah….
Jawab:
2 Persamaannya lingkaran 2 x + y − Ax − 10 y + 4 = 0
menyinggung sumbu X berarti menyinggung sumbu X berarti
x , 0 ⇒ x + y − Ax − 10 y + 4 = 0 ⇒ x + 0 − Ax − 10 . 0 + 4 = 0
x − Ax + 4 = 0
Lingkaran menyinggung sumbu X berarti:
D = 0 ⇒ 2 b − 4 ac = 0
2 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2 x + y = 13 di titik T(2, -3).
Jawab:
gs
T(x1, y1)
( x 1 ,y 1 ) pada lingkaran x + y = r adalah
2 2 Persamaan garis singgung di titik 2 T
2 Persamaan garis singgung di titik (2, -3) pada lingkaran 2 x + y = 13 adalah:
2 x + ( − 3 ) y = 13 ⇒ 2 x − 3 y − 13 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya 2 x − 3 y − 13 = 0
2 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2 ( x − 1 )( + y − 3 ) = 25 di titik
T(1, -2).
Jawab:
Persamaan garis singgung di titik T ( x 1 ,y 1 ) pada lingkaran ( x − a )( + y − b ) = r
( x 1 − a )( x − a )( + y 1 − b )( y − b ) = r
adalah 2
2 Titik (1, -2) pada lingkaran 2 (
x − 1 )( + y − 3 ) = 25 karena
2 Persamaan garis singgung di titik (1, -2) pada lingkaran 2 ( x − 1 )( + y − 3 ) = 25
adalah:
( )( 1 − 1 x − 1 )( + − 2 − 3 )( y − 3 ) = 25
− 5 y + 15 = 25 y = − 2 Jadi persamaan garis singgungnya y = − 2
32. Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran
2 x 2 + y + 6 x − 4 y − 45 = 0 .
Jawab:
Persamaan garis singgung di titik T ( x 1 ,y 1 ) pada lingkaran
x + y + Ax + By + C = 0 adalah x 1 x + y 1 y + ( x 1 + x ) + ( y 1 + y ) + C = 0
2 Titik (4, -1) pada lingkaran 2 x + y + 6 x − 4 y − 45 = 0 karena
2 Persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran 2 x + y + 6 x − 4 y − 45 = 0 adalah:
4 x + () − 1 y + ( 4 + x ) + ( − 1 + y ) + − 45 = 0
4 x − y + 12 + 3 x + 2 − 2 y − 45 = 0
7 x − 3 y − 31 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya 7 x − 3 y − 31 = 0
2 33. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y + 4 x − 6 y − 7 = 0 di titik yang berabsis 2.
Jawab:
2 Titik singgung berabsis 2 maka x = 2, subtitusi ke 2 x + y + 4 x − 6 y − 7 = 0
⇒ ( y − 5 )( y − 1 ) = 0
⇒ y = 5 atau y = 1
Terdapat 2 titik singgung yaitu T 1 () 2 , 1 dan T 2 () 2 , 5
Untuk T 1 () 2 , 1 persamaan garis singgung:
2 x + y + ( 2 + x )( − 1 + y ) − 7 = 0 ⇒ 2 x + y + 4 + 2 x − 3 − 3 y − 7 = 0
Untuk T 2 () 2 , 5 persamaan garis singgung:
2 x + 5 y + ( 2 + x )( − 5 + y ) − 7 = 0 ⇒ 2 x + 5 y + 4 + 2 x − 15 − 3 y − 7 = 0
4 x + 2 y − 18 = 0
2 34. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 ( x + 4 )( + y − 1 ) = 34 di titik yang
berordinat 4.
Jawab:
2 Titik singgung berordinat 4 maka y = 4, subtitusi ke 2 ( x + 4 )( + y − 1 ) = 34
x + 4 )( + 4 − 1 ) = 34 ⇒ x + 8 x + 16 + 9 − 34 = 0 ⇒ 2 x + 8 x − 9 = 0
( x + 9 )( x − 1 ) = 0
x = − 9 atau x = 1
Terdapat 2 titik singgung yaitu T 1 ( − 9 , 4 ) dan T 2 () 1 , 4
Untuk T 1 ( − 9 , 4 ) persamaan garis singgung: ( − 9 + 4 )( x + 4 )( + 4 − 1 )( y − 1 ) = 34 ⇒ − 5 x − 20 + 3 y − 3 − 34 = 0
− 5 x + 3 y − 57 = 0
Untuk T 2 () 1 , 4 ( persamaan garis singgung:
1 + 4 )( x + 4 )( + 4 − 1 )( y − 1 ) = 34 ⇒ 5 x + 20 + 3 y − 3 − 34 = 0
5 x + 3 y − 17 = 0
2 35. Lingkaran 2 x + y − 2 px + q = 0
berjari-jari 2 menyinggung garis x – y = 0. Tentukan nilai p.
Jawab:
2 Jari-jari lingkaran 2 x + y − 2 px + q = 0 adalah:
Lingkaran menyinggung garis x – y = 0 atau y = x. Subtitusi y = x dan 2 q = p − 4 ke lingkaran:
2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y = 25 dengan gradient 2.
2 2 Persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y = r dengan gradien m adalah: y 2 = mx ± r 1m +
2 Persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y = 25 dengan gradien m = 2 adalah:
Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y = 2 x + 5 5 dan y = 2 x − 5 5
37. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x + 2 y − 4 = 0 pada
lingkaran ( x − 4 )( + y − 2 ) = 5 .
Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran ( x − a )( + y − b ) = r dengan gradien m
adalah:
x − a ) ± r 1m +
Cara 1:
Misalkan gradient garis singgung adalah m 1 dan gradient garis x + 2 y − 4 = 0 adalah m 2 .
Garis x + 2 y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4 ⇒ m 2 = −
Garis dengan gradient x + 2 y − 4 m dan tegak lurus dengan = 1 0 mempunyai hubungan: m m 1 . 2 =–1 1
m 1 . − =–1 2
m 1 =2
Jadi persamaan garis singgung:
Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y = 2 x − 1 y = 2 x − 11
dan
Cara 2:
2 Lingkaran 2 ( x − 4 )( + y − 2 ) = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari r = 5
Seperti cara pertama, diperoleh gradient garis singgung m 1 = 2.
Persamaan garis dengan m 1 = 2 adalah y = 2 x + c ⇒ 2 x − y + c = 0
Jarak garis singgung ke pusat P(4, 2) adalah r = 5
Jadi persamaan garis singgung yang bergradien 2 adalah y = 2 x + c ⇒ y = 2 x − 6 ± 5
yaitu: y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11
2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y + 4 x + 10 y + 21 = 0 yang
sejajar dengan garis − 6 x + 2 y − 17 = 0 .
Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 dengan gradien m
adalah:
y + B = m + x A ± r 1 + m 2 atau
+ x A ±
Misalkan gradient garis singgung adalah m 1 dan gradient garis − 6 x + 2 y − 17 = 0
adalah m 2 .
Garis − 6 x + 2 y − 17 = 0 ⇒ y = 3 x +
Garis dengan gradient 1 − 6 x + 2 m dan sejajar dengan y − 17 = 0 mempunyai hubungan: m 1 = m 2 =3
Jadi persamaan garis singgung:
2 y 2 + B = m A + x
− C ⋅ 1 + m ⇒ y + 5 = 3 ( x + 2 ) ± 4 + 25 − 21 1 + 3
y = − 5 + 3 x + 6 ± 8 ⋅ 10
Diperoleh persamaan garis singgung y = 3 x + 1 ± 4 5
2 39. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2 x + y + 2 x + 4 y − 4 = 0 yang membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu X positif.
Jawab:
Garis singgung membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu X positif, maka
mgs 0 = tan 60 = 3
2 Lingkaran berpusat di P(-1, -2) dengan 2 r = ()() −
Persamaan garis singgung:
Jadi persamaan garis singgung: y = 3 x + 3 − 8 dan y = 3 x + 3 + 4
2 40. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y − 4 x + 2 y − 15 = 0 yang
2 sejajar garis singgung lingkaran 2 x + y = 5 di titik (2, 1).
Jawab:
2 Persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y = 5 di titik (2, 1) adalah: x 2
1 x + y 1 y = r ⇒ 2 x + y = 5 ⇒ y = − 2 x + 5 mempunyai gradien m = –2
2 Garis singgung lingkaran 2 x + y − 4 x + 2 y − 15 = 0 sejajar dengan y = − 2 x + 5 maka m gs = –2.
2 Lingkaran berpusat di P(2, -1) dengan 2 r = ()()
Persamaan garis singgung:
x − a ) ± r 1 + m ⇒ y + 1 = − 2 ( x − 2 ) ± 20 1 + 4
y = − 2 x + 3 ± 100
y = − 2 x + 3 ± 10
Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y = − 2 x + 13 dan y = − 2 x − 7
2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y = 4 yang melalui titik T(3, 2).
Jawab:
g1 A
T ( x 1 ,y 1 )
A dan B adalah t it ik singgung,
juga t it ik pot ong garis polar dengan lingkaran.
g2 B Garis polar/ kut ub
Cara 1:
Persamaan garis polar yang melalui titik T ( x 1 ,y 1 ) di luar lingkaran adalah:
Lingkaran Persamaan Garis Polar
( 2 x − a )( + y − b ) = r ( x 1 − a )( x − a )( + y 1 − b )( y − b ) = r
2 2 x + y + Ax + By + C = 0 A B
2 Persamaan garis polar lingkaran 2 x + y = 4 yang melalui titik T(3, 2) adalah
Subtitusi ke persamaan llingkaran Subtitusi ke persamaan llingkaran
Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran):
Untuk 3 x = 0 ⇒ y = − . 0 + 2 = 2 ⇒ T 1 () 0 , 2
Untuk x = ⇒ y = − . + 2 = − + = −
Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran.
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0
Cara 2:
Persamaan garis singgung lingkaran x + y = r dengan gradien m adalah y 2 = mx ± r 1m + Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2
Maka Maka
m ( 5 m − 12 ) = 0
m = 0 atau
Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = m (x – 3) + 2 (bukan ke
2 y = mx ± r 1m + ):
Untuk m = 0 ⇒ y = 0 ( x − 3 ) + 2 = 0 + 2 = 2 ⇒ y = 2
Untuk m = ⇒ y = () x − 3 + 2 ⇒ y = x −
⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 12 x − 5 y − 26 = 0 dan
Cara 3:
2 2 2 Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x + y = r dengan gradien m adalah
y = mx ± r 1m +
Garis singgung lingkaran x + y = 4 melalui titik T(3, 2) maka:
⇒ m ( 5 m − 12 ) = 0
m = 0 atau m =
Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2 Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan y
Untuk m = 0 ⇒ y = 0 ( x − 3 ) + 2 = 0 + 2 = 2 ⇒ y = 2
Untuk m = ⇒ y = ( x − 3 ) + 2 ⇒ y = x −
⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan x 12 − 5 y − 26 = 0
Cara 4:
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik (x 1 ,y 1 ) adalah
y –y 1 = m (x – x 1 ), dengan:
2 2 ( 2 y 1 − b )( x 1 − a ) ± r ( y 1 − b )( + x 1 − a ) − r
2 Lingkaran 2 x + y = 4 mempunyai pusat P(0, 0) dan berjari-jari 2 melalui titik T(3,
2) mempunyai PGSL y – 2 = m (x – 3), dengan:
Jadi persamaan garis singgungnya y − 2 =
( x − 3 ) , yaitu
dan − 2 = (
x − 3 ) ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Cara 5:
Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(3, 2) adalah
2 Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran 2 x + y = 4
2 2 2 2 ⇒ 2 x + 4 + 4 mx − 12 m + m x − 6 m x + 9 m − 4 = 0
( 1 + m )( x + 4 m − 6 m )( x + − 12 m + 9 m ) = 0
Syarat menyinggung adalah D = 0
( 4 m − 6 m )( − 4 1 + m )( − 12 m + 9 m ) = 0
2 3 4 2 3 ⇒ 4 16 m − 48 m + 36 m + 48 m − 36 m + 48 m − 36 m = 0 ⇒ 2 − 20 m + 48 m = 0
2 ⇒ − 5 m + 12 m = 0 ⇒
m ( − 5 m + 12 ) = 0
⇒ 12 m = 0 atau m = 5
Untuk m = 0 ⇒ y = 2 + 0 . ( x − 3 )
Untuk m =
⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0
Cara 6:
2 Lingkaran 2 x + y = 4
berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari r = 2
Persamaan garis singgung yang melalui titik T(3, 2) dan bergradien m adalah:
y = mx + 2 − 3 m
⇒ mx − y + ( 2 − 3 m ) = 0
Jari-jari r adalah jarak P(0, 0) dengan garis mx − y + ( 2 − 3 m ) = 0
m 2 + () −
⇒ m ( 5 m − 12 ) = 0
m = 0 atau m =
Diperoleh
PGS 1: 0 . x − y + ( 2 − 3 . 0 ) = 0 ⇒ − y + 2 = 0 ⇒ y = 2
Catatan: cara 1 adalah yang paling “aman”, karena cara 2, 3, 4, 5 dan 6 kadang akan menemui masalah di tengah jalan. Silakan untuk mencoba soal berikut:
2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 ( x − 1 )( + y − 2 ) = 16
yang melalui titik T(5, 4). (diambil dari beberapa referensi)
42. 2 2 2 Diketahui 2 L 1 ≡ x + y + 2 x + 6 y − 26 = 0 dan L 2 ≡ x + y − 4 x − 12 = 0 . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran serta melalui titik asal O.
Jawab:
B Tali busur sekutu
Persamaan tali busur sekutu AB adalah: L 1 –L 2 =0
Persamaan lingkaran yang melalui titik A dan titik B adalah:
L 3 :L 1 +pL 2 =0 atau L 3 :L 1 + p (L 1 –L 2 )=0
dimana p adalah parameter.
Sehingga persamaan tali busur sekutu AB adalah 3 x + 3 y − 7 = 0
3 ≡ L 1 + p ( L 1 − L 2 ) = 0 ⇒ x + y + 2 x + 6 y − 26 + p ( 3 x + 3 y − 7 ) = 0
L 3 melalui (0, 0) ⇒ 26 −
26 + p ( − 7 ) = 0 ⇒
Jadi persamaan L 3 adalah:
L 3 ≡ x + y + 2 x + 6 y − 26 − ( 3 x + 3 y − 7 ) = 0
7 x + 7 y − 64 x − 66 y = 0
2 43. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 x + y = 100 di titik (8, -6) menyinggung lingkaran dengan pusat (4, -8) dan jari- jari r. Nilai r = …
Jawab:
2 Titik (8, -6) terletak pada lingkaran 2 x + y = 100 . Persamaan garis g yang
2 menyinggung lingkaran 2 x + y = 100
di titik (8, -6) adalah:
8 x − 6 y = 100 ⇒ 4 x − 3 y − 50 = 0
Panjang jari- jari lingkaran yang menyinggung garis g sama dengan jarak pusat lingkaran (4, -8) ke garis 4 x − 3 y − 50 = 0 , yaitu:
44. Garis singgung yang ditarik dari titik T(1, -2) menyinggung lingkaran
2 x 2 + y + 3 x − 4 y = 0 di titik A. Panjang garis AT adalah…
Jawab:
g1 A
T ( x 1 ,y 1 ) Panjang garis singgung AT adalah:
2 P 2 (a,b) AT = x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C
g2
2 Lingkaran 2 x + y + 3 x − 4 y = 0
Panjang garis AT adalah
2 AT 2 = 1 + () −
2 2 2 2 2 Untuk 2 L ≡ ( x − a )( + y − b ) = r maka AT = ( x 1 − a )( + y 1 − b ) − r
2 45. Garis singgung lingkaran 2 L
1 ≡ x + y − 2 x − 4 y − 4 = 0 di titik T(6, 2) menyinggung lingkaran L 1 di titik A dan B. Persamaan lingkaran L 2 yang berpusat di T dan melalui titik A dan B adalah…
Jawab:
2 Lingkaran 2 L
2 Mempunyai titik pusat P(1, 2) dan jari-jari 2 r = 1 + 2 + 4 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3
Titik T(6, 2) di luar lingkaran L 1 . Garis singgung dari titik T menyinggung L 1 di titik A dan B.
Lingkaran L 2 berpusat di T dan berjari-jari r 2 = AT = BT
Jarak kedua titik pusat: 2 2 2 PT 2 =
( x p − x T )( + y p − y T ) = ( 1 − 6 )( + 2 − 2 ) = 25 + 0 = 5
2 2 2 Jari-jari L 2 2 : r
2 = PT − r 1 = 5 − 3 = 25 − 9 = 16 = 4
Persamaan lingkaran L 2 :
x − x T )( + y − y T ) = r 2 ⇒ ( x − 6 )( + y − 2 ) = 4
⇒ ( x − 6 )( + y − 2 ) = 16
L 1 r1
r2
46. Garis 3 x − 4 y + 1 = 0 memotong lingkaran yang berpusat di titik P(-1, 2) di titik R dan Q. Jika panjang RQ = 6 maka persamaan lingkaran tersebut adalah….
Jawab:
Garis g ≡ 3 x − 4 y + 1 = 0 memotong
g lingkaran di titik R dan Q.
P(-1,2)
Panjang tali busur RQ = 6. r
3 Panjang apotema (PS) sama dengan jarak
3 X titik P(-1, 2) ke garis g.
PS =
Panjang jari- jari lingkaran:
2 2 2 r 2 = RS + PS = 3 + 2 = 9 + 4 = 13
Persamaan lingkaran adalah:
x − x P )( + y − y P ) = r 2 ⇒ ( x + 1 )( + y − 2 ) = () 13
x + 1 )( + y − 2 ) = 13
2 Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran 2 L
Garis singgung Persekutuan Dalam Garis singgung Persekutuan Luar
Panjang garis singgung persekutuan dalam
gs A A 2 = 2 1 2 = d − ( r 1 + r 2 ) , dengan d = jarak P 1 dan P 2 (jarak dua titik pusat
lingkaran)
Panjang garis singgung persekutuan luar 2 gs 2 = A
1 A 2 = d − ( r 1 − r 2 ) , dengan d = jarak P 1 dan P 2 (jarak dua titik pusat
lingkaran)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
2 Lingkaran 2 L
Mempunyai titik pusat P 1 (-1, -4) dan jari-jari
2 r 2 = ()() −
2 Lingkaran 2 L
2 ≡ x + y − 10 x − 12 y + 57 = 0
Mempunyai titik pusat P 2 (5, 6) dan jari-jari
2 r 2 = 5 + 6 − 57 = 25 + 36 − 57 = 4 = 2
Jarak P 1 dan P 2 adalah:
2 d 2 = ()(
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:
2 2 gs 2 = d − ( r 1 + r 2 ) = 136 − ( 4 + 2 ) = 136 − 36 = 100 = 10
L 1 Diketahui persamaan lingkaran:
L 3 dan
L 2 Tentukan persamaan L 3 (kedudukan ketiga lingkaran
seperti gambar di samping)
Jawab:
2 Lingkaran 2 L
2 Mempunyai titik pusat P 2 1 (0, -4) dan jari-jari r = 0 + () −
2 Lingkaran 2 L
2 Mempunyai titik pusat P 2 2 (4, 2) dan jari-jari r = 4 + 2 − 7 = 16 + 4 − 7 = 13
Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakan titik tengah garis P1P2.
Koordinat titik pusat: P 3
2 2 Jari-jari: L 3 : r 3 = 2 r 1 = 2 13
Persamaan lingkaran adalah:
L 3 ≡ ( x − x P 3 )( + y − y P 3 ) = r 3 ⇒ ( x − 2 )( + y + 1 ) = () 2 13
⇒ ( x − 2 )( + y + 1 ) = 52
2 Jadi 2 L
3 ≡ ( x − 2 )( + y + 1 ) = 52
49. Diketahui lingkaran L 1 dan L 2 konsentris (sepusat) dengan r 2 >r 1 . Titik pusat lingkaran P(2, -2). Garis g memotong L 2 di titik A(5, -6) dan B(6, 1). Jika garis g menyinggung L 1 , tentukan persamaan L 1 .
Jawab:
Titik pusat L 1 adalah P(2, -2)
Persamaan garis g yang melalui titik A(5, -6) dan B(6, 1) adalah
⇒ y + 6 = 7 x − 35 ⇒ 7 x − y − 41 = 0
Jari-jari lingkaran L 1 sama dengan jarak titik P ke garis g, yaitu
Persamaan lingkaran adalah:
2 2 2 2 2 5 L 1 ≡ ( x − x P )( + y − y P ) = r 1 ⇒ ( x − 2 )( + y + 2 ) =
x − 2 )( + y + 2 ) =
Jadi L 1 ≡ ( x − 2 )( + y + 2 ) =
50. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(-6, 2), B(2, -4) dan C(-2, 4). Segitiga ABC siku-siku di C. tentukan persamaan lingkaran luar segitiga ABC.
Jawab:
AP
Segitiga ABC siku-siku di C berarti sudut C menghadap diameter lingkaran AB sehingga titik pusat lingkaran terletak di tengah-tengah AB.
− 6 + 2 2 − Koordinat titik pusat lingkaran: 4
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P ke A atau ke B:
2 2 2 r 2 = ( x P − x A )( + y P − y A ) = ( − 2 + 6 )( + − 1 − 2 ) = 16 + 9 = 25 = 5
Persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalah:
x − x P )( + y − y P ) = r 1 ⇒ ( x + 2 )( + y + 1 ) = 5
⇒ ( x + 2 )( + y + 1 ) = 25
51. 2 2 2 Jika 2 L 1 ≡ x + y − 2 x + 4 y + 1 = 0 dan L 2 ≡ x + y − 4 x − 4 y − 17 = 0 adalah persaaan-persamaan lingkaran, tentukan kedudukan kedua lingkaran itu.
Jawab:
Kedudukan 2 lingkaran adalah: a). Saling asing / tidak berpotongan luar, jika R + r < PQ
b). Bersinggungan luar, jika R + r = PQ c). Bersinggungan dalam, jika R – r = PQ
d). L 1 di dalam L 2 / tidak berpotongan dalam, jika R – r > PQ
e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r
RP
Tidak Berpot ongan Luar
Bersinggungan Luar
Bersinggungan Dalam
PQ r
Tidak Berpot ongan Dalam
Berpot ongan
2 Lingkaran 2 L
2 Mempunyai pusat P(1, -2) dan jari-jari 2 R = 1 + () −
2 Lingkaran 2 L
2 ≡ x + y − 4 x − 4 y − 17 = 0
2 Mempunyai pusat Q(2, 2) dan jari- jari 2 r = 2 + 2 + 17 = 4 + 4 + 17 = 25 = 5
Jarak PQ:
( x Q − x P )( + y Q − y P ) = ()( 2 − 1 + 2 + 2 ) = 1 + 16 = 17
Jadi L 1 berpotongan dengan L 2
52. Jika lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu X dicerminkan pada y = – x , maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah…
Jawab:
Dari lingkaran yang diketahui: - Pusat lingkaran (3, 4) - Lingkaran menyinggung sumbu X
Maka jari- jarinya adalah r = 4 Lingkaran dicerminkan pada garis y = – x , maka matrik transformasinya adalah:
1 0 Misalkan pusat lingkaran (3, 4) dtransformasikan ke (x, y) , maka:
y − 1 0 4 − 3
Jadi titik (3, 4) ditransformasikan ke titik (-4, -3).
Hasil transformasi lingkaran semula adalah lingkaran dengan pusat (-4, -3) dan jari- jari 4, yaitu:
x − () − 4 ) + ( y − () − 3 ) = 4 ⇒ ( x + 4 )( + y + 3 ) = 16
53. Lingkaran L berpusat di titik P(2, 0) dan melalui titik Q(-2, 2). Garis g melalui titik pusat dan memotong sumbu Y di titik R(0, -2). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus g.
Jawab:
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak P ke Q
Q Gradien garis g yang melalui titik P dan R
adalah:
gs1
Garis gs1 dan gs2 adalah garis singgung
gs2
lingkaran yang tegak lurus garis g.
Misalkan gradien garis gs1 dan gs2 adalah m1 maka
Persamaan garis gs1 dan gs2 adalah 2 y 2 − y
P = m 1 ( x − x P ) ± r 1 + m ⇒ y − 0 = − 1 ( x − 2 ) ± 2 5 . 1 + () − 1
y = − x + 2 ± 2 10
Diperoleh persamaan:
gs 1 ≡ y = − x + 2 + 2 10 ⇒ y + x − 2 − 2 10 gs 1 ≡ y = − x + 2 − 2 10 ⇒ y + x − 2 + 2 10
54. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, 3) dan (1, 6) dan pusatnya terletak pada garis 2 x + 5 y + 2 = 0
Jawab:
Misal pusat lingkaran adalah P(a, b) dan persamaan lingkaran adalah
2 x 2 + y − 2 ax − 2 by + c = 0
Lingkaran melalui titik (2, 3) dan (1, 6), maka
2 (2, 3): 2 2 + 3 − 2 a . 2 − 2 b . 3 + c = 0 ⇒ − 4 a − 6 b + c = − 13 …………………….. (1)
2 (1, 6): 2 1 + 6 − 2 a . 1 − 2 b . 6 + c = 0 ⇒ − 2 a − 12 b + c = − 37 …………………… (2)
Dari (1) dan (2)
− 4 a − 6 b + c = − 13 − 2 a − 12 b + c = − 73
2 a + 6 b = 24
− a + 3 b = 12 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...( 3 )
P(a, b) pada garis 2 x + 5 y + 2 = 0
2 a + 5 b + 2 = 0 ⇒ 2 a + 5 b = − 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......( 4 )
Dari 2.(3) dan (4)
− 2 a + 6 b = 24 2 a + 5 b = − 2
11 b = 22 b = 2
Subtitusi b = 2 ke (4)
2 a + 5 . 2 = − 2 ⇒ 2 a = − 12 ⇒ a = − 6
Subtitusi a = – 6 dan b = 2 ke (1)
− 4 () − 6 − 6 . 2 + c = − 13 ⇒ 24 − 12 + c = − 13 ⇒ c = − 13 − 12 = − 25
Jadi persamaan lingkaran itu ialah
2 2 2 x 2 + y − 2 ax − 2 by + c = 0 ⇒ x + y − 2 () −
6 x − 2 . 2 y + () − 25 = 0
2 ⇒ 2 x + y + 12 x − 4 y − 25 = 0
55. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari r = 13 dan menyinggung garis
2 x − 3 y + 1 = 0 pada (1, 1).
Jawab:
Misalkan pusat lingkaran P(a, b) maka persamaan lingkaran adalah
x − a )( + y − b ) = r
Jarak titik P(a, b) ke garis 2 x − 3 y + 1 = 0 adalah jari-jari lingkaran
Diperoleh 13 = 2 a − 3 b + 1 ⇒ a =
2 2 Titik (1, 1) pada lingkaran 2 ( x − a )( + y − b ) = r yang berjari-jari r = 13 maka
1 − a + 1 − b = 13 ⇒ 1 − 2 a + a + 1 − 2 b + b − 13 = 0
a + b − 2 a − 2 b − 11 = 0 .......... .......... .......... .......... .........( 3 )
Subtitusi (1) ke (3)
( b + 2 )( b + 2 ) = 0 ⇒ b = − 2
Subtitusi b = – 2 ke (1) : a =
Subtitusi (2) ke (3)
( b − 4 )( b − 4 ) = 0 ⇒ b = 4
Subtitusi b = 4 ke (2) : a =
Persamaan lingkaran dengan P1(3, -2) dan r = 13 adalah:
L 1 ≡ ( x − 3 )( + y + 2 ) = 13
x − 3 )( + y + 2 ) = 13
Persamaan lingkaran dengan P2(-1, 4) dan r = 13 adalah:
L 2 ≡ ( x + 1 )( + y − 4 ) = 13
⇒ ( x + 1 )( + y − 4 ) = 13
Perhatikan gmbar di bawah:
f(x)=(2x+1)/3 Series 1
L2
P2(-1, 4)
P1(3, -2)
-3 -4
L1 -5
2 Persamaan garis singgung lingkaran 2 x + y + 2 x − 6 y + 6 = 0 yang sejajar sumbu Y adalah …
Jawab:
Dari persamaan lingkaran x + y + 2 x − 6 y + 6 = 0 , diperoleh:
Titik pusat P(-1, 3) dan jari-jari r = 2
Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan x = a atau x – a = 0. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(-1, 3) ke garis x – a = 0.
1 . () − 1 + 0 . 3 − a − 1 − a
a = − 3 atau a = 1
Jadi, persamaan garis singgungnya x = – 3 atau x = 1.
57. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(-3, 2) dengan jari-jari 4 yang sejajar sumbu X adalah …
P(a, b)
P(a, b)
gs2
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r yang sejajar
sumbu Y adalah: x = a ± r
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r yang sejajar
sumbu X adalah: y = b ± r
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(-3, 2) dan jari- jari 4 yang sejajar sumbu X adalah:
y = 2 ± 4 ⇒ y = 6 atau y = − 2
58. Lingkaran yang menyinggung garis x + y = 2 di titik T (1, 1) dan melalui titik S (3,
3) mempunyai jari-jari =…
Jawab:
Cara 1:
Misalkan pusat lingakaran P(a, b), persamaan lingkaran adalah
2 2 L 2 ≡ ( x − a )( + y − b ) = r
L melalui (3, 3) :
( 3 − a )( + 3 − b ) = r ⇒ a + b − 6 a − 6 b + 18 = r .......... .......... ........( 1 )
L menyinggung garis x + y = 2 di (1, 1) :
2 2 2 2 2 ( 2 1 − a )( + 1 − b ) = r ⇒ a + b − 2 a − 2 b + 2 = r .......... .......... ........( 2 )
Jari-jari L sama dengan jarak P ke garis x + y = 2
r = .......... .......... ......( 3 )
a + b + 2 ab − 4 a − 4 b + = 4 .......... .......... ( 4 )
Dari (1) dan (2):
a + b − 6 a − 6 b + 18 = r
− 4 a − 4 b + 16 = 0
a + b = 4 .......... .......... .......... .......... .......( 5 )
Subtitusi (5) ke (3)
Jadi jari-jari lingkaran = 2
Cara 2:
Dari (2) dan (4)
( a − b )( a − b ) = 0
Subtitusi (6) ke (5)
Jadi titik pusatnya P () 2 , 2
Jari-jari lingkaran adalah jarak P dengan T atau jarak P dengan S.
x T − a )( + y T − b ) = ( 1 − 2 )( + 1 − 2 ) = 1 + 1 = 2
Jadi jari-jari lingkaran = 2
Cara 3:
Persamaan garis melalui T (1, 1) dan S (3, 3) adalah:
Garis y = x bergradien 1 dan garis x + y = 2 bergradien – 1, artinya kedua garis
saling tegak lurus di T(1, 1). Maka y = x berhimpit dengan diameter lingkaran.
Titik P terletak pada y = x atau pada diameter ST.
3 + 1 3 + 1 P , = P () 2 , 2
Jari-jari lingkaran adalah jarak P dengan T atau jarak P dengan S.
x T − a )( + y T − b ) = ( 1 − 2 )( + 1 − 2 ) = 1 + 1 = 2
Jadi jari-jari lingkaran = 2
2 59. 2 Diketahui lingkaran L
1 ≡ x + y = 4 . Lingkaran L2 bersinggungan di luar dengan L1. Perbandingan jari-jari L1 dan L2 adalah 1 : 2. Tentukan persamaan L2 jika titik pusatnya terletak pada sumbu X.
Lingkaran L1 berpusat di titik P1(0, 0) dan berjari-jari r1 = 2.
Misalkan r2 = jari-jari L2 maka r1 : r2 = 1 : 2 maka r2 = 2r1 = 4
Titik pusat L2 : P(-6, 0) dan P(6, 0)
Persamaan lingkaran L2:
( x + 6 )( + y − 0 ) = 4 ⇒ x + y + 12 x + 20 = 0
i)
( x − 6 )( + y − 0 ) = 4 ⇒ x + y − 12 x + 20 = 0
ii)
2 2 2 Jadi, persamaan lingkaran L2: 2 x + y + 12 x + 20 = 0 x + y − 12 x
dan
60. Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 4) dan menyinggung lingkaran L1:
2 x 2 + y = 9 adalah…
Jawab:
2 Lingkaran L1: 2 x + y = 9 mempunyai pusat Q(0, 0) dan jari-jari = 3
2 Jarak PQ adalah: 2 PQ = (
Jari-jari L2 adalah: r 2 = PQ − r 1 = 5 − 3 = 2
Persamaan lingkaran L2 adalah:
x − 3 )( + y − 4 ) = 2 ⇒ ( x − 3 )( + y − 4 ) = 4
2 2 ⇒ x + y − 6 x − 8 y + 21 = 0
61. Persamaan garis yang sejajar garis x − 2 y = 10 dan membagi lingkaran
2 x 2 + y + 4 x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama adalah …
Jawab:
2 Lingkaran 2 x + y + 4 x + 3 = 0 mempunyai pusat P(-2, 0).
Garis x − 2 y = 10 mempunyai gradien m =
Garis yang memotong lingkaran menjadi dua bagian yang sama berarti garis melalui 1
titik pusat lingkaran P(-2, 0) dan gradien garis adalah (sejajar) mg = 2
Persamaan garis:
62. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 dan melalui titik A(6, 4) dan B(5, 5).
Jawab:
2 2 Misalkan persamaan lingkaran adalah 2 ( x − a )( + y − b ) = 5 dan berpusat di P(a, b).
A(6, 4) :
( 6 − a )( + 4 − b ) = 5 ⇒ a + b − 12 a − 8 b + 27 = 0 .......... .......... .......... .......... ( 1 )
B(5, 5) :
5 − a )( + 5 − b ) = 5 ⇒ a + b − 10 a − 10 b + 25 = 0 .......... .......... .......... ........( 2 )
Dari (1) dan (2) Dari (1) dan (2)
2 a 2 + b − 10 a − 10 b + 25 = 0 −
− a + b + 1 = 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..( 3 )
Subtitusi (3) ke (2)
2 2 2 a 2 + b − 10 a − 10 b + 25 = 0 ⇒ ( b + 1 ) + b − 10 ( b + 1 ) − 10 b + 25 = 0
⇒ b + 2 b + 1 + b − 10 b − 10 − 10 b + 25 = 0 ⇒ 2 2 b − 18 b + 16 = 0
( b − 1 )( b − 8 ) = 0
b = 1 atau b = 8
Subtitusi nilai b ke (3)
b = 1 ⇒ a = 1 + 1 = 2 P 1 () 2 , 1
b = 8 ⇒ a = 8 + 1 = 9 P 2 () 9 , 8
Persamaan lingkaran:
1 () 2 , 1 , r = 5 ⇒ L 1 ≡ ( x − 2 )( + y − 1 ) = 25
2 () 9 , 8 , r = 5 ⇒ L 2 ≡ ( x − 9 )( + y − 8 ) = 25
2 63. Lingkaran 2 x + y − 12 x − 10 y + 27 = 0 memotong sumbu X di J dan K. tentukan persamaan lingkaran yang memiliki diameter JK.
Jawab:
2 Lingkaran L1: 2 x + y − 12 x − 10 y + 27 = 0 mempunyai titik pusat P(6, 5) dan r =
Lingkaran memotong sumbu X atau y = 0 maka
2 2 2 x 2 + y − 12 x − 10 y + 27 = 0 ⇒ x + 0 − 12 x − 10 . 0 + 27 = 0 ⇒ 2 x − 12 x + 27 = 0
( x − 3 )( x − 9 ) = 0
x = 3 atau x = 9
Titik J(3, 0) dan titik K(9, 0).
Persamaan lingkaran melalui titik J(3, 0) dan K(9, 0) dengan JK diameter lingkaran adalah:
( x − x J )( x − x K )( + y − y J )( y − y K ) = 0 ⇒ ( x − 3 )( x − 9 )( + y − 0 )( y − 0 ) = 0
2 ⇒ 2 x − 12 x + 27 + y = 0
2 ⇒ 2 x + y − 12 x + 27 = 0
2 2 64. Tentukan nilai r agar lingkaran 2 L
1 ≡ x + y = r berada di dalam lingkaran
2 ≡ x + y + 8 x − 6 y − 75 = 0 dan tidak bersinggungan.
Jawab:
1 ≡ x + y = r mempunyai pusat P(0, 0) dan jari – jari r
2 ≡ x + y + 8 x − 6 y − 75 = 0 mempunyai pusat Q(-4, 3) dan jari-jari R = 10
2 PQ 2 = ( −
Syarat L1 di dalam L2 dan tidak menyinggung adalah: R – r > PQ, maka:
R − r > PQ ⇒ 10 − r > 5 ⇒ − r > − 5
2 2 2 2 Jadi, agar 2 L
1 ≡ x + y = r berada di dalam L 2 ≡ x + y + 8 x − 6 y − 75 = 0 dan tidak bersinggungan haruslah r < 5
65. Lingkaran L menyinggung garis y = 2x – 1 dan garis y = 2x – 11. Tentukan persamaan lingkaran L jika L melalui titik T(2, 1).
Jawab:
2 2 Misalkan 2 L ≡ (
x − a )( + y − b ) = r dan pusat P(a, b)
Jari-jari lingkaran adalah jarak P(a, b) dengan garis singgung.
Terhadap garis y = 2x – 1
⇒ r = 4 a + 2 b − 4 a + 2 b − 4 ab + 1 .......... .......... .......... ...( 1 )
Terhadap garis y = 2x – 11
2 a − b − 11 2 a − b − 1 2 2 2
⇒ r = 4 a b 44 a 22 b 4 ab 121 .......... .......... .....( 2 2 ) 2 + − + − +
Dari (1) dan (2):
b = 2 a − 6 …………………………………………..(3)
Subtitusi (3) ke persamaan r
Lingkaran melalui T(2, 1)
x − a )( + y − b ) = r ⇒
( 2 − a )() + 1 − b = 5
2 ⇒ 2 a + 4 a − 24 a + 36 − 4 a − 4 a + 12 + 5 − 5 = 0 ⇒ 2 5 a − 32 a + 48 = 0
( 5 a − 12 )( a − 4 ) = 0
a = atau a = 4
Subtitusi nilai a ke (3)
Persamaan lingkaran adalah:
2 12 2 L 1 ≡ − x
+ + y = 5
2 ≡ ( x − 4 )( + y − 2 ) = 5
66. Lingkaran L dengan jari-jari 2 menyinggung garis y = 2 dan garis 12x – 5y – 26 = 0. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Jawab:
2 2 Misal persamaan lingkaran adalah 2 L ≡ ( x − a )( + y − b ) = r dengan pusat P(a, b).
Jari-jari lingkaran adalah jarak P(a, b) dengan garis singgung.
Terhadap garis y = 2
b = 0 atau b = 4 .......... .......... .......... .......... .....( 1 )
Terhadap garis 12x – 5y – 26 = 0
12 a − 5 b − 26 12 a − 5 b − 26
Subtitusi nilai b ke (2)
Untuk b = 0
a ( 3 a − 13 ) = 0
a = 0 atau a =
Untuk b = 4
144 a − 1104 a + 2116
676 = 144 a − 1104 a + 2116
⇒ 2 144 a − 1104 a + 1440 = 0
3 a − 23 a + 30 = 0
( a − 6 )( 3 a − 5 ) = 0
a = 6 atau a =
Diperoleh 4 titik pusat lingkaran, yaitu:
P 1 () 0 , 0 , P 2 , 0 , P 3 () 6 , 4 , dan P 4 , 4
Persamaan lingkarannya adalah:
2 13 L 2
1 ≡ ( x − 6 )( + y − 4 ) = 4
2 ≡ − x + ( y − 4 = 4 )
Gambar:
67. Tentukan persamaan garis singgung sekutu (di titik singgung yang sama) lingkaran
1 ≡ ( x − 3 )( + y − 3 ) = 9 dan L 2 ≡ ( x − 9 )( + y − 11 ) = 49
Jawab:
1 ≡ ( x − 3 )( + y − 3 ) = 9 ⇒ x + y − 6 x − 6 y + 9 = 0 .......... .......... .......... .........( 1 )
2 ≡ ( x − 9 )( + y − 11 ) = 49 ⇒ x + y − 18 x − 22 y + 153 = 0 .......... .......... .......... ( 2 )
Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran yang beringgungan adalah:
gs ≡ L 1 − L 2
Jadi persamaan garis singgung sekutunya adalah 3 x + 4 y − 36 = 0
68.
2 Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam 2 L
1 ≡ ( x − 2 )( + y − 3 ) = 16
dan L 2 ≡ ( x − 12 )( + y − 3 ) = 4 .
Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ.
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Koordinat titik E adalah E ,
R + r
1 ≡ ( x − 2 )( + y − 3 ) = 16 mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
2 ≡ ( x − 12 )( + y − 3 ) = 4 mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
4 . 12 + 2 . 2 4 . 3 + 2 . Koordinat titik E adalah 3 52 18 26
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:
26 Garis singgung melalui titik E , 3
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah:
Untuk m = ⇒
Untuk m = − ⇒
Jadi, persamaan garis
3 26 singgung persekutuan
4 4 dalam L 1 dan L 2 ⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0 adalah:
• g 1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0 • g 2 ≡ 3 x + 4 y − 38 = 0
69. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran
1 ≡ ( x − 5 )( + y − 6 ) = 16 dan L 2 ≡ ( x − 15 )( + y − 4 ) = 4 .
Jawab: Jawab:
g2
Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis PQ
Rx Q − rx P Ry Q − ry P
Koordinat titik S adalah S
R − r
1 ≡ ( x − 5 )( + y − 6 ) = 16 mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
2 ≡ ( x − 15 )( + y − 4 ) = 4 mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
4 . 15 − 2 . 5 4 . 4 − 2 . 6 5 0 Koordinat titik S adalah 4
= S , = S ( 25 , 2 )
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:
Garis singgung melalui titik S ( 25 , 2 )
2 − 6 = m ( 25 − 5 ) ± 4 1 + m
⇒ m ( 24 m + 10 ) = 0
m = 0 atau m = −
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S ( 25 , 2 ) adalah: y − 2 = m ( x − 25 )
Untuk m = 0 ⇒
y − 2 = 0 ( x − 25 )
Untuk m = − ⇒
y − 2 = − ( x − 25 )
Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
y = 2 dan 5 x + 12 y − 149 = 0
70. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran
L 1 ≡ ( x − 4 )( + y − 2 ) = 5 dan L 2 ≡ − x + + y = 5 .
1 ≡ ( x − 4 )( + y − 2 ) = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R = 5
L 2 ≡ − x + + y = 5 mempunyai pusat Q , − dan jari- jari r = 5
Untuk R = r, PQ sejajar kedua garis singgung.
Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2 (garis singgung persekutuan luar)
Persamaan garis singgung L1 dengan gradien 2 adalah:
y = 2 x − 11 atau y = 2 x − 1
Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 . (lihat soal no. 65)
71. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan antara lingkaran
1 ≡ ( x − 1 )( + y − 1 ) = 9 L 2 ≡ ( x − 6 )( + y − 1 ) = dan 4 .
Jawab:
1 ≡ ( x − 1 )( + y − 1 ) = 9 mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3
2 ≡ ( x − 6 )( + y − 1 ) = 4 mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2
Terdapat 2 garis singgung persekutuan luar dan 1 garis singgung persekutuan dalam.
Garis singgung persekutuan luar
Titik potong kedua garis singgung: Rx Q − rx P Ry Q − ry P
= S ( 16 , 1 )
R − r
R − r
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
Garis singgung melalui titik S ( 16 , 1 )
1 − 1 = m ( 16 − 6 ) ± 2 1 + m ⇒ 2 0 = 10 m ± 2 1 + m
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S ( 16 , 1 ) adalah: y − 1 = m ( x − 16 )
Untuk m =
( x − 16 )
Untuk m = −
( x − 16 )
Jadi y =
Garis singgung persekutuan dalam
Cara 1:
PGS ≡ L 1 − L 2 = 0
x − 1 )( + y − 1 ) = 9
x − 6 )( + y − 1 ) = 4
()( x − 1 − x − 6 ) = 5
2 x 2 − 2 x + 1 − x + 12 x − 35 = 5
10 x = 40 x = 4
Cara 2:
Rx Q + rx P Ry Q + ry P
Titik singgung kedua lingkaran adalah E ,
R + r
= E () 4 , 1
3 + 2 3 + 2 E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.
( 4 − 1 )( x − 1 ) ( )( + 1 − 1 y − 1 ) = 9 ⇒ 3 ( x − 1 ) = 9
3 x = 12
1 16 Jadi persamaan garis singgung persekutuan L1 dan L2 adalah: y = x + 1 −
72. Tentukan persamaan lingkaran dalam segitiga yang mempunyai titik-titik sudut A(2, 1), B(14, 1), dan C(8, 9).
Jawab:
Segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama kaki, yang mana AC = BC. Titik D adalah titik tengah garis AB dan CD garis tinggi segitiga ABC.
Dari gambar diperoleh: AB = 12, CD = 8, AC = BC = 10
Luas ∆ ABC = ⋅ AB ⋅ CD = ⋅ 12 ⋅ 8 = 48
S = ⋅ K = ( AB + BC + AC )( = 12 + 10 + 10 ) = 16
Jari-jari lingkaran dalam adalah r = =
L 48
S 16
Pusat lingkaran P(a, b) terletak pada CD atau garis x = 8 sehingga a = 8 dan b = 1+r = 1 + 3 = 4 , dengan demikian P(8, 4)
Atau
Jari-jari r adalah jarak P dengan garis AB dengan persamaan y = 1.