65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan Galeri Soal
Galeri Soal
65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
April 2012
Email : matikzone@gmail.com
MatikZone’s Series
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh
isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan
jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya
1.
y
Dari gambar di samping, tentukan:
a). lim− f ( x ) , lim+ f ( x) dan lim f ( x) jika ada.
f(x)
x →2
4
3
x →2
x→ 2
b). lim− f ( x) , lim+ f ( x ) , dan lim f ( x) jika ada.
x →5
2
5
x →5
x→5
x
Jawab:
Limit kanan dan limit kiri
*) lim+ f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x)
x→a
mendekati L.
*) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x)
x →a
mendekati L.
Definisi limit
lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim + f ( x) = lim − f ( x ) = L
x →a
x →a
x →a
y
f(x)
L
a
x
kiri
kanan
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa:
a). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) = 3
x→ 2
x →2 −
x →2 +
b). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x) = 4 , limit kiri dan limit kanan tidak sama maka
x →5 −
x →5 +
lim f ( x) Tidak Ada
x→5
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2.
4 x − 1; jk x < 2
Jika diketahui f (x ) = 2
maka tentuka nilai dari lim− f ( x ) , lim+ f ( x) ,
x →2
x →2
x + 3; jk x ≥ 2
dan lim f ( x)
x→ 2
Jawab:
• lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 (limit kiri, dari kiri, digunakan
x →2 −
x→ 2 −
fungsi pertama)
• lim f ( x ) = lim x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7 (limit kanan, dari kanan,
x →2 +
x→ 2 +
digunakan fungsi kedua)
• lim f ( x ) = 7 (limit kiri = limit kanan)
x→ 2
3.
Tentukan nilai limit dari:
a). lim 788
c). lim (5 x − 6 )
b). lim 7 x
d). lim
x→ 9
x →3
x →−3
x →8
5x − 6
x+1
x−2
x→ 2 x + 2
8− x
f). lim
x →−4 x + 4
e). lim
Jawab:
Untuk lim f ( x ) diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh
x→a
ditinggalkan)
Ø Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c
x→a
Ø Jika f (a) =
c
maka lim f ( x ) Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga
x→a
0
(cek grafik)
0
maka lim f ( x) = 0
x →a
c
0
Ø Jika f (a) =
maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.
0
Ø Jika f (a) =
Sehingga:
a). lim 788 = 788
x →9
b). lim 7 x = 7.8 = 56
x →8
c). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9
x →3
5 x − 6 5( −3) − 6 − 15 − 6 − 21 21
=
=
=
=
x +1
− 3 +1
−2
−2
2
x−2 2−2 0
e). lim
=
= =0
x→ 2 x + 2
2+2 4
8 − x 8 − (− 4) 12
f). lim
=
=
Tidak ada (berdasar grafik)
x →−4 x + 4
−4+4
0
d). lim
x →−3
Limit
www.matikzone.wordpress.com
4.
Penyelesaian dengan faktorisasi
x−2
2−2
0
= 2
= BTT, maka
x − 5 x + 6 2 − 5 .2 + 6 0
x−2
x−2
1
1
1
lim 2
= lim
= lim
=
=
= −1
x→ 2 x − 5 x + 6
x→ 2 (x − 2)( x − 3)
x →2 ( x − 3)
2 − 3 −1
a). lim
x→ 2
2
x 2 + 3x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0
=
=
=
BTT, maka
x →−1 x 2 − 5 x − 6
( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0
2
b). lim
x 2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2 ) = lim ( x + 2) = − 1 + 2 = 1 = − 1
= lim
x →−1 x 2 − 5 x − 6
x →−1 ( x + 1)( x − 6)
x→ −1 (x − 6)
− 1− 6 − 7
7
3
2
3
2
x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0
c). lim
=
= BTT, maka
x→ 0
2x − 7x 2
2.0 − 7.0 2
0
3
2
2
x − 5x + 3x
x x − 5x + 3
x 2 − 5x + 3 0 − 5.0 + 3 3
lim
=
lim
=
lim
=
=
x→ 0
x →0
x→ 0
2x − 7x 2
x (2 − 7 x )
(2 − 7 x )
2 − 7.0
2
3
2
2
2
2
x + x − 8x + 4
( x − 2)(x + 3x − 2) = lim x + 3x − 2 = 2 + 3.2 − 2 = 8
d). lim 3
= lim
2
x→ 2 x − 2 x − x + 2
x→2
x→2
( x − 2 )(x 2 − 1)
x 2 −1
22 −1
3
4−x
4− x
− (x − 4)
lim 3
= lim
= lim
x→ 4 x − 64
x →4 ( x − 4 )(x 2 + 4 x + 16)
x→ 4 (x − 4)(x 2 + 4 x + 16 )
e).
1
1
1
= lim − 2
=− 2
=−
x →4
(x + 4 x + 16) 4 + 4.4 + 16 48
lim
(
lim
f).
x→
3
2
8x 3 − 27
= lim
2
3
4x − 9
x→
2
)
(2x )3 − 33
(2 x )2 − 3 2
(
(2x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9 ) = lim
3
(2 x − 3)(2 x + 3)
x→
2
= lim
x→
)
3
2
4x 2 + 6 x + 9
2x + 3
2
=
5.
3
3
4. + 6. + 9
2
2
=
3
2. + 3
2
27
=
6
9
1
=3
2
2
Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)
lim
a).
x→ 2
lim
x→ 2
3 − 4x + 1 3 − 8 +1 0
=
= BTT, maka
x−2
2−2
0
3 − 4x + 1
3 − 4x + 1 3 + 4x +1
9 − (4 x + 1)
= lim
⋅
= lim
x
→
2
x
→
2
x−2
x−2
(x − 2) 3 + 4 x + 1
3 + 4x +1
8 − 4x
− 4(x − 2)
= lim
= lim
x→ 2
x →2
(x − 2) 3 + 4 x + 1
(x − 2 ) 3 + 4 x + 1
(
(
= lim
x→ 2
Limit
9 + 9 +9
=
3+ 3
(3 +
−4
4x + 1
)
)
=
−4
3 + 4 .2 + 1
(
=
−4
4
2
=− =−
3+ 3
6
3
)
)
www.matikzone.wordpress.com
x + 2 − 2x −1 0
= BTT, maka
0
2x − 3 − x
lim
b).
x →3
x + 2 − 2x − 1
x + 2 − 2x −1 x + 2 + 2x −1
= lim
.
x →3
2x − 3 − x
2x − 3 − x
x + 2 + 2x −1
( x + 2) − (2x −1)
= lim
x→3
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
− x +3
= lim
x→3
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
lim
x→3
= lim
x→3
= lim
x→3
= lim
(
)(
)
(
)(
)
Jika disubtitusi, masih
didapat 0/0
(
)(
(
− x +3
2x − 3 + x
.
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
2x − 3 + x
(
2x − 3 + x
x + 2 + 2x −1 ((2x − 3) − (x))
(− x + 3)(
)(
)
(
)
)
)
Dikali
sekawan
penyebut
)
− (x − 3) 2x − 3 + x
x + 2 + 2x −1 (x − 3)
)
− ( 2x − 3 + x )
= lim
( x + 2 + 2x −1)
− ( 2.3 − 3 + 3) − ( 3 + 3)
2
=
=
=−
( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5 + 5 2
x→3
Dikali sekawan
pembilang
(
x→3
lim
c).
x →−3
9 − x2
4 − x2 + 7
= lim
x→−3
(9 − x )(4 +
= lim
9 − x2
4+
x2 + 7
4 − x2 + 7 4 +
x2 + 7
x2 + 7
2
.
) = lim (4 +
3
3
=−
5
5
(
9 − x2 4 + x2 + 7
x→−3
16 − x 2 + 7
= lim
(
)
)
)
x2 + 7 = 4 + 9 + 7 = 4 + 4 = 8
9−x
(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)
x →−3
6.
x →−3
2
3
1
lim
−
= .....
x→1 1 − x
1− x3
(
a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
Jawab:
3
1+ x + x2
3
1
lim
−
=
lim
−
2
3
x→1 1 − x
1 − x x →1 (1 − x ) 1 + x + x
1− x3
(
)
(
)
(
)
1+ x + x2 − 3
= lim
2
x →1 (1 − x ) 1 + x + x
( x + 2)( x − 1)
= lim
2
x→1 (1 − x )(1 + x + x )
(
)
)
x2 + x − 2
= lim
2
x→1 (1 − x ) 1 + x + x
( x + 2) = 1 + 2 = 3 = 1
= lim
2
x→1 1 + x + x
1 + 1 + 12 3
(
(
Limit
)
)
www.matikzone.wordpress.com
7.
lim
x→ 0
x2
= .....
1 − 3 1 + x2
Jawab:
(
(
)
)
(
)
2
2
3
x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2
1+ 1+ x2 + 3 1+ x2
x
x
lim
= lim
.
= lim
2
2
3
2
3
2
x →0
x→0
x→0
1
−
1
+
x
3
2
3
2
1− 1 + x
1 − 1 + x 1 + 1 + x + 1 + x
2
x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2
2
= lim − 3
2
3
2
= lim
1
+
1
+
x
+
1
+
x
2
x→ 0
x →0
−x
= −(1 + 1 + 1) = −3
2
(
2
)
(
8.
(
)
)
(
)
Jika lim ( x + 1) = lim ( 2 x − 3) , maka tentukan nilai dari lim ( x 2 − 16)
x→ n
x→ n
x→n
Jawab:
lim ( x + 1) = lim (2 x − 3) ⇒ n + 1 = 2n − 3 ⇒ n = 4 maka
x→ n
x→ n
lim ( x 2 − 16) = lim ( x 2 − 16) = 4 2 − 16 = 16 − 16 = 0
x→ n
9.
x→ 4
2x2 + 5x + 2 3
= , maka nilai a adalah …
x →−2 x 2 + ax − 10
7
Jika lim
Jawab:
2x 2 + 5x + 2
lim 2
, karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai
x →−2 x + ax − 10
3
limitnya adalah , maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh
7
2
(− 2 ) − 2a − 10 = 0
⇒ 4 − 10 = 2 a
⇒
2a = −6
⇒
a = −3
2 x 2 + 5x + 2
( x + 2 )(2 x + 1) = lim 2 x + 1
= lim
x → − 2 x 2 − 3 x − 10
x → − 2 ( x + 2 )( x − 5 )
x → −2 x − 5
2(− 2 ) + 1 − 3 3
=
=
=
− 2−5
−7 7
lim
10.
Limit
lim
x→ 2
x+2 2+2 4
x+ 2
=
= berarti lim
tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:
x→ 2 x − 2
x−2 2−2 0
www.matikzone.wordpress.com
y
f(x)=(x+2)/(x-2)
8
6
Limit kiri ≠ Limit kanan
4
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
-2
-4
-6
11.
x 2 + 2 x − 1 3 2 + 2.3 − 1 14
x 2 + 2x − 1
=
=
berarti
lim
tidak ada. Demikian juga
x →3
x →3
x2 − 9
32 − 9
0
x2 − 9
2
x 2 + 2x −1
x 2 + 2 x − 1 (− 3) + 2(− 3) − 1 2
untuk lim
,
karena
lim
=
= . Grafiknya
x →−3
x →−3
x2 − 9
x2 − 9
0
(− 3)2 − 9
adalah:
lim
7
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
6
5
4
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Limit kiri ≠ Limit kanan
12.
Limit
f ( x ) adalah dengan SUBTITUSI,
Untuk menentukan nilai lim
x →∞
www.matikzone.wordpress.com
Ø
Ø
Ø
Ø
∞
maka lim f ( x) = ± ∞
x →∞
c
c
Jika f (x ) =
maka lim f ( x) = 0
x →∞
∞
∞
Jika f (x ) =
(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan
∞
penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Jika f (x ) = ±
Jika f (x ) = ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan
penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan
variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Soal-soal:
lim 9 = 9
a. x →∞
b.
c.
d.
lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9 = ∞
x →∞
lim
7 x + 9 7.∞ + 9
=
=∞
8
8
lim
6
6
6
= 2
= =0
x +1 ∞ + 1 ∞
x →∞
x →∞
2
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)
2x
∞
a). lim 2
=
BTT maka
x →∞ 3x + x − 1
∞
x 2 , maka pembilang dan
2
penyebut dibagi dengan x
adalah
2x
2
lim 2 x
2x
x2
x
x →∞
lim 2
= lim
=
lim
=
x →∞ 3 x + x − 1
x→ ∞ 3x 2
x
→
∞
1
1
x
1
3+ x −
lim 3 + lim 1 x − lim 1 2
2
+
−
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
x
x
x2
x2 x2
0
0
=
= =0
3+0−0 3
Lihat Teorema Limit
2x2
∞
=
BTT, maka
2
x →∞ 3x + x − 1
∞
b). lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2x 2
lim 2
2x2
2
x2
x →∞
lim 2
= lim
=
lim
=
x →∞ 3 x + x − 1
x→ ∞ 3x 2
x
→
∞
1
1
x
1
3+ x −
lim 3 + lim 1 x − lim 1 2
2
+
−
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
x
x
x2
x2 x2
2
2
=
=
3+0−0 3
2x3 + 5x
∞
=
BTT maka
2
x →∞ 3x + x − 1
∞
c). lim
2 x3 5x
+ 2
2x + 5
2
2x3 + 5 x
x
x
x = ∞+0 = ∞
lim 2
= lim 2
= lim
x →∞ 3 x + x − 1
x →∞ 3 x
x
→∞
x 1
3 + 1 − 1 2 3+ 0− 0
+ 2− 2
x
x
2
x
x
x
14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan
variabel pangkat tertinggi.
( 4x − 5x + 1 − 4x + 7 x − 2 ) = ∞ − ∞ BTT, maka
lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )
( 4 x − 5 x + 1 + 4x
= lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )⋅
( 4 x − 5 x + 1 + 4x
a). lim
2
2
Dikalikan sekawan
x →∞
2
2
2
2
x →∞
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
(4x
2
) (
− 5x + 1 − 4x2 + 7x − 2
2
2
2
2
)
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2
− 12x + 3
2
2
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2
−12 x + 3
x
x
= lim
x →∞
2
4 x 2 − 5 x 2 + 1 2 + 4 x 2 2 + 7x 2 − 2 2
x
x
x
x
x
x
− 12 + 3
x
= lim
x →∞
4 − 5 + 1 2 + 4+ 7 − 2 2
x
x
x
x
− 12 + 0
=
4 −0 +0 + 4 +0 −0
12
12
=−
= − = −3
4
2 4
Limit
2
2
)
+ 7x − 2 )
+ 7x − 2
Sama nilainya dengan
(diambil
suku
yang
memuat pangkat tertinggi
dari
pembilang
dan
penyebut):
lim
x →∞
− 12 x
4x 2 + 4x 2
VPT pembilang adalah x,
2
dan VPT penyebut
x
(setara), maka pembilang
dan
penyebut
dibagi
dengan x (jk dlm akar
menjadi
x2)
Lihat catatan 2
www.matikzone.wordpress.com
b). lim
(
x + 6 − x + 3 = ∞ − ∞ , BTT maka:
lim
(
x + 6 − x + 3 = lim
x →∞
x →∞
)
)
x→∞
(
= lim
x →∞
(
x+ 6 − x+3
(
)
(
3
x + 6 + x+ 3
)
x +3)
x+6 + x+3
x+6 +
)
3
= lim
x →∞
(
x
x +6 + x +3
x
x
x
x
)
3
= lim
x →∞
=
(
( 1+ 6 x+
0
1+ 1
x
1+ 3
x
)
)
=0
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
ax n + bx n−1 + ...
Ø Jika f ( x ) =
px m + qx n−1 + ...
maka lim f ( x ) = lim
x →∞
x→ ∞
ax n
px m
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari
penyebut.
Ø
Ø
Limit
Jika f ( x ) = ax 2 + bx + c −
Jika f ( x ) = ax + b −
∞, jk a > p
b − q
px 2 + qx + r maka lim f ( x) =
, jk a = p
x →∞
2 a
− ∞, jk a < p
∞ , jk a > p
px + q maka lim f ( x) = 0, jk a = p
x →∞
− ∞ , jk a < p
www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
5x3 − x
5
a). lim
=
(pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)
x →∞ x − 3 x 3
−3
b). lim
( 9x
c). lim
(
x →∞
x →∞
2
)
− 15 x + 2 − 9 x 2 − 7 x + 1 =
− 15 − (− 7) − 8
4
=
= − ( nilai a = p )
6
3
2 9
)
2 x − 4 − 2 x + 5 = 0 ( nilai a = p )
16. Teorema Limit
Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang
mempunyai limit di a, maka berlaku:
a. lim c = c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x )
x→ a
b. lim x = a
n
x→ a
n
x →a
x→ a
c. lim f ( x) = f ( a)
f ( x)
f ( x ) lim
h. lim
= x→ a
; lim g ( x ) ≠ 0
x→ a g ( x)
g ( x) x→ a
lim
x→a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a)
i. lim ( f ( x )) n = ( lim f ( x )) n
e. lim( f (x) + g( x)) = lim f ( x) + lim g( x)
j. lim
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→a
x→a
x→a
x→ a
f. lim( f ( x) − g( x)) = lim f ( x) − lim g( x)
x→a
x→a
x→a
n
f ( x ) = n lim f ( x) ; lim f ( x ) ≥ 0
x→ a
x→ a
x→a
Soal-soal:
a). a. lim 25 = 25
b. lim 36 = 36
x→ 6
c. lim 9 = 9
x→ 0
x →−2
b). lim x = 3 = 81
4
4
x →3
c). lim x 3 − 5 x + 7 = 2 3 − 5.2 + 7 = 5
x→ 2
e). lim 5 x = 5 lim x = 5.( −2) = −10
x →−2
x →−2
f). lim 5 x + 3 x 2 = lim 5 x + lim 3 x 2 = 5.4 + 3.4 2 = 20 + 48 = 68
x→ 4
x→4
x→ 4
g). lim 5 x − 3x = lim 5x − lim 3x 2 = 5.4 − 3.4 2 = 20 − 48 = −28
2
x→ 4
x →4
x →4
(
)(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim (5 x − 1) = 8.4 = 32
(5x + 3x ) = lim (5x + 3x ) = 8 = 2
i). lim
h). lim 5x + 3x
2
2
x→1
x →1
2
x→1
(5 x − 1)
x →1
2
x→1
(
lim (5 x − 1)
x→1
)
4
j). lim (5 x + 2) = lim (5 x + 2) = (5.1 + 2 ) = 7 3 = 343
3
x→1
3
x →1
3
k). lim 3 5 x + 2 = 3 lim (5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 7
x→1
Limit
x→1
www.matikzone.wordpress.com
(
)
5x − 3x 2 lim 5x − lim 3x 2 5.(−5) − 3.(−5) 2 − 25 − 75 −100
5x − 3x 2 lim
x →∞
x→∞
l). lim
=
= x→∞
=
=
=
x→−5 2 x + 7
lim (2x + 7)
lim 2x + lim 7
2.(−5) + 7
−10 + 7
3
x →∞
17.
x→∞
x→∞
Limit Fungsi Trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar.
Beberapa persamaan khusus:
sin x
x
= lim
=1
x→ 0
x →0 sin x
x
tan x
x
b. lim
= lim
=1
x→ 0
x
→
0
x
tan x
sin ax
ax
a
c. lim
= lim
=
x→ 0
x → 0 sin bx
bx
b
a. lim
tan ax
ax
= lim
=
x→ 0
x → 0 tan bx
bx
tan ax
sin ax
e. lim
= lim
=
x→ 0 sin bx
x → 0 tan bx
d. lim
a
b
a
b
Soal-soal:
x
0
0
a). lim
=
= =0
x→ 0 cos x
cos 0 1
1
1
b). lim1 sin x + cos x = sin π + cos π = 1 + 0 = 1
2
2
x→ π
2
sin 2 x
sin 2 x 2
sin 2 x
= lim
. = 2. lim
= 2 .1 = 2
x
→
0
2
x
→
0
x
x
2
2x
3 x + sin 4 x 0
d). lim
= BTT, maka
x→ 0 5 x − tan 2 x
0
c). lim
x→ 0
(jika x → 0 maka 2 x → 0 )
(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
sin 4 x
sin 4x
3x + sin 4 x
3+
lim 3 + lim
3x + sin 4 x
x
x→0
x = lim
x = x→0
x = 3+ 4 = 7
lim
= lim
x→0 5x − tan 2 x
x →0
5x − tan 2 x x→0 5 − tan 2 x lim 5 − lim tan 2 x 5 − 2 3
x
x→0
x→0
x
x
x
1 − cos 4 x 0
e). lim
= BTT, maka
x→ 0
x sin x
0
1− cos4x
1− cos4x 1 + cos4x
1 − cos2 4x
sin 2 4x
= lim
.
= lim
= lim
x →0 x sin x
x →0 x sin x
1 + cos4x x→0 (x sin x)(1+ cos4x) x→0 ( x sin x)(1 + cos4x)
sin 4x.sin 4x
1
4x.4x
sin 4x sin 4x 4x
1
4x
= lim
.
.
= lim
.
.
.
.
x→0
x sin x
1+ cos4x 4x.4x x→0 4x
4x sin x (1 + cos4 x) x
1
= 1.1.4. .4 = 8
2
cos x 0
= BTT, maka
π
f). limπ
Diketahui rumus trigonometri: cos x = sin − x
π
0
x→
2 x −
2
2
lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
π
π
π
π
sin − x
sin− x −
− sin x −
sin x −
cosx
2 = lim
2 = − lim 2 = −1
= lim 2 = lim
limπ
π
π
π
π x→π
π
π
π
π
x→
x→
x→
x→
x−
x−
x−
x−
2 x −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos x − cos a 0
= , BTT maka
x−a
0
1
1
1
− 2 sin ( x + a )sin (x − a)
sin (x − a)
cos x − cos a
1
2
2
2
lim
= lim
= −2 lim sin (x + a ). lim
x →a
x→a
x →a
x →a
x −a
x −a
2
x−a
1
= −2 sin a. = − sin a
2
g). lim
x→ a
x 3 − (a + 1)x 2 + ax 0
= , BTT maka
x 2 − 1 + tan ( x − 1) 0
(
h). lim
x→1
lim
x→1
)
(
)
x3 − (a +1)x 2 + ax
x x 2 − (a +1)x + a
x(x −1)(x − a)
=
lim
= lim
2
x −1 + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1)
lim x(x − a)
x(x − a)
1−a 1
x→1
= lim
=
=
= (1 − a)
x→1
tan(x −1)
tan(x −1) 2 +1 3
(x + 1) +
lim(x +1) + lim
(x−1)→0 ( x −1)
(x −1) x→1
(
)
tan x − tan y
= 0 BTT maka
i). lim
x→ y
0
x x
1 − + 1 − tan x tan y
y
y
tan x − tan y
1
= lim 1 tan x − tan y = lim
lim
tan( x − y )
x→y
x→ y x 1 + tan x tan y x → y y x
x x
1 −
−
1 − + 1 − tan x tan y
y y
y
y y
y
−y
= lim
tan (x − y ) = lim
tan (x − y )
x→y ( y − x)
x → y (x − y )
tan( x − y )
= − y lim
( x − y )→0 ( x − y )
= −y
Limit
www.matikzone.wordpress.com
18.
Apakah fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 ?
Jawab:
Kekontinuan Suatu Fungsi
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika:
a.
f (a) ada
Ciri:
b.
lim f ( x) ada
Grafiknya merupakan lengkungan (kurva)
yang tidak terputus.
x→ a
c.
lim f ( x) = f (a)
x→ a
Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1)
x→1
19.
x2 − 9
Apakah fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 , kontinu di x = 3 ?
3;
x =3
Jawab:
x2 − 9
Fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena
3;
x =3
2
x −9
( x − 3)( x + 3)
a. lim
= lim
= lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6
x →3 x − 3
x→ 3
x→ 3
( x − 3)
b. f(3) = 3
maka lim f ( x ) ≠ f (3)
x →3
20.
Tentukan nilai lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
untuk fung[si f ( x ) = 2 x 3
h
Jawab:
3
f ( x) = 2x 3 ⇒ f ( x + h) = 2(x + h) = 2( x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h 3 ) = 2 x 3 + 6 x 2 h + 6xh2 + 2h3
lim
h →0
21.
(
)
f (x + h) − f ( x)
2 x 3 + 6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3 − 2x 3
6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3
= lim
= lim
h →0
h →0
h
h
h
2
2
h 6 x + 6 xh + 2h
= lim
= lim 6 x 2 + 6xh + 2h 2 = 6x 2 + 0 + 0 = 6 x 2
h →0
h →0
h
(
Tentukan nilai lim
h →0
)
(
)
f ( x + h) − f ( x )
untuk fungsi f ( x ) = x 2 + 3 x
h
Jawab:
f (x ) = x 2 + 3 x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
[
][
]
[
] [
]
f (x + h) − f (x)
(
x + h)2 + 3(x + h) − x 2 + 3x
x 2 + 2xh+ h2 + 3x + 3h − x2 + 3x
lim
= lim
= lim
h→0
h →0
h→0
h
h
h
2
2xh+ h + 3h
h(2x + h + 3)
= lim
= lim
= lim (2x + h + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3
h→0
h →0
h→0
h
h
22. Limit Barisan Bilangan
x
1
1. lim 1 + = e
x →∞
x
x
1
3. lim 1 − = e −1
x→ ∞
x
2. lim (1 + x ) x = e
4. lim (1 − x ) x = e −1
1
1
x →∞
x →∞
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
1 1
+ + ... (bilangan Euler)
2! 3!
Soal-soal:
x
a. lim
x →∞ x + 1
x +1
x + 1 −1
= lim
x→ ∞
x+1
x +1
1
x+1
= lim
−
x→ ∞ x + 1
x +1
x +1
1
= lim 1 −
x→ ∞
x + 1
x +1
= e −1
Atau
x +1
x +1
x+1
x +1
1
1
x
x + 1− 1
x +1
lim
=
lim
=
lim
−
=
lim
1
−
x →∞ x + 1
x→ ∞
x →∞ x + 1
x →∞
x +1
x +1
x + 1
−( x +1)
1
= lim 1 −
x →∞
x + 1
b. lim (1 − 3x ) = lim (1 − 3x )
x →∞
1
x
2
c. lim 1 +
x→ ∞
3+ x
−
x →∞
−2 x
1 −3
.
3x 1
−1
− (x +1 )
1
= lim 1 +
x→ ∞
− ( x + 1)
1
= lim (1 − 3x ) − 3x
x → ∞
2
= lim 1 +
x →∞
3+ x
3+ x
( −4 )+6
2
−3
−1
= e −1
1
= lim (1 + (− 3x )) −3 x
x →∞
3+ x
2
2
= lim 1 +
x →∞
3+ x
−4
−3
= e−3
6
2
1
+
3 + x
−4
3+ x
6
2
2
2
6
−4
−4
= lim 1 +
.
lim
1
+
= e .(1 + 0 ) = e
x→ ∞ 3 + x
x →∞ 3 + x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Catatan:
a. a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
b. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
c. a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2
(
(
d. (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Bentuk Sekawan:
a. a − b sekawannya a + b
b. a + b − c sekawannya a − b − c
c. a b − c sekawannya a b + c
d. a + b + c − d sekawannya a + b − c − d
e. a + b − c sekawannya a + b + c
)
)
e. (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
( a) = a ⋅
g. ( a + b ) =
f.
2
2
a =a
dan lain sebagainya..
a +b⋅ a+b =a +b
Catatan 2:
a
a
=
b
b
dan lain- lain.
a.
b.
a
=
x
a
x
2
=
a
x2
c.
ax + b
=
x2
ax + b
x
4
=
ax + b
=
x4
ax b
+
x4 x4
Keterangan:
Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.
2; jk x ≤ 0
1. Jika f (x ) = 2
, tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) jk ada.
x→ 0
x ; jk x > 0
x →0 −
x →0 +
3 x + 2; jk x < 1
2. Jika f (x ) =
, tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) .
x→1
x + 4; jk x ≥ 1
x →1−
x →1+
4 x + 1; jk x ≤ 1
3. Jika f (x ) = 2
, tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) .
x→1
2 x + 3; jk x > 1
x →1−
x →1+
− 1; jk x < −1
4. Jika f (x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ) .
x →−1
x →−1 −
x →−1 +
1; jk x > −1
2; jk x < −1
5. Ditentukan f (x ) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1
0; jk x ≥ 1
Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f (x )
x →−1
x→1
6. Tentukan nilai dari: a. lim x − 1
x →1+
b. lim x 2
x →−1 +
1
c. lim 2
x
x →0 +
7. Tentukan nilai dari: a. lim 4 x
x →4 −
b. lim x
x →−2 −
3
c. lim
2x
x →0 −
8. Diketahui fungsi f (x ) = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit
kanan). a. lim f (x )
b. lim f (x )
x→1
c. lim f ( x )
x →3
9. Selidikilah, apakah lim
x →0
d. lim f (x )
x →16
x→ 0
1
ada? (cari limit kiri dan limit kanan).
x
10. Tentukan lim f ( x ) dan lim f (x ) dari gambar berikut:
x →−2
x→ 4
y
f (x )
3
2
1
-2
Limit
4
x
www.matikzone.wordpress.com
Carilah Nilai Limit Berikut:
x+5
x →−1 x − 2 x − 24
11. lim 1000
x →5
27. lim
12. lim 12345
2
x→1
13. lim 2 x + 5
28. lim
14. lim 3 x 2 + 5 x − 10
29. lim
x →−2
x→ 0
[
16. lim (4 x − 7 ).3 (3 − x )
x →−5
17. lim
x→ 4
]
x
x+ 2
3x −1
x
18. lim
x→ 4
x + 2 x − 3
3x 2 − 5 x + 10
x→ 0 x 3 + 6 x − 45
x−3
x
x →3
15. lim ( x − 4 )( x + 1)
x →−3
6−x
x+6
x →−3
2x − 3
2x
+
x
6 − 7x
30. lim
x→ 2
9x
31. lim
+ 5 x + 14
x →−2 8 + 5 x
32. lim
( x − 3)( x − 5)
33. lim
( x − 3)( x − 5)
2x − 1
x →5
2x + 2 + 5x
x→ 7
19. lim
20. lim
x→ 2
6x + 9
7 x − 10
x→1
35. lim
(
36. lim
( 2x
x →−4
21. lim 4 x − 11
x→ 9
22. lim
x −7
23. lim
x −6
− x3
x→ 4
x →3
2
37. lim
x→ a
2
x→1
24. lim
x→ 2
x→ 4
8 − 2x + − 5x + 5
2
)
+ 3x − 2 − 2x 2 − 4x + 3
)
x+9
2x −1
7x
x →m m
38. lim
x 2 + 3x + 6
x3 +1
39. lim
x→ n
1
25. lim
x→ 2 x − 2
26. lim
x + 3 + 5x + 4
15 − 6 x − 2 x − 1
34. lim
x2 + x
n
x+4
x − 2 x − 24
2
(
)
40. Jika lim (x + 1) = lim (2 x − 3) , maka tentukan nilai dari: lim x 2 − 16
x→ n
41. Jika lim
x→ 7
Limit
x →n
x→ n
x2 − 6x − 7
4x2 − 7x − 2
=
a
,
berapakah
nilai
dari
lim
?
x→ a 3 −
x 2 − 10 x + 21
4x + 1
www.matikzone.wordpress.com
2 x 2 + 5x + 2 3
42. Jika lim 2
= , maka a = …
x →−2 x + ax − 10
7
43. Jika lim
x →3
3x 2 + ax − 1 11
= , maka a = …
x 2 − ax − 30 13
x −1
x −1
49. lim
x −1
x→1 1 −
x
50. lim
46. lim
x −1
x −1
51. lim
x→0
x+ x
47. lim
x −1
1− x
52. lim
x−4
x −2
48. lim
x2 + 5x − 6
x −1
44. lim
x→1
2x + 6
x →−3 x + x − 6
3x2 − 5x
x→ 0
x
45. lim
x→1
x→1
x→1
2
x→ 4
x
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
1
1
a. lim 2
+
x→ 0 x − x
x
2
1
3
1
b. lim 2
−
−
c. lim
3
x→ 0 x − 1
x
→
1
x −1
1 − x 1− x
2
3
d. lim 2
− 2
x→ 2 x − 4
x + 2x − 8
2x + 2
x →−1 x 2 − 3x − 4
61. lim
3x2 − 6x
x→ 2
x−2
62. lim
54. lim
x→ 0
x n +3 + 6 x n+1 − x n
x n+ 4 + 2 x n
2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3
x→1
x2 − 1
55. lim
56. lim
(x − 2) 2 − 1
57. lim1
2x −1
2
2x + 3x − 2
63. lim
x 3 + x 2 − 8x + 4
x3 − 2x2 − x + 2
64. lim
x3 + x2 − 6x
x 3 − 2 x 2 + 6 x − 12
x 2 + 3x − 4
58. lim 2
x→1 x − 2 x + 1
65. lim
x3 − 8
x−2
x2 + 2x
59. lim 3
x→ 0 x + x 2 + 3x
66. lim
x3 − 1
1− x
67. lim
x−3
x 3 − 27
68. lim
4− x
x 3 − 64
x →3
x→
2
60. lim
x→ 0
x−3
x 4 − 6x 2
x3 + 2x 2
(Ebtanas IPS 99)
x→ 2
x→ 2
x→ 2
x→1
x →3
x→ 4
Limit
www.matikzone.wordpress.com
69. lim
x −1
x −1
70. lim3
8 x 3 − 27
4x 2 − 9
x→1 3
x→
2
x2 + x 1
84. lim
−
x→ 0
x
x
x
x2
85. lim
−
x →−1
x +1
**
71. lim
x→ 4
72. lim
x→1
x →−3
x→ 0
4 − x2 + 7
2x2 − 5x
87. lim
x→ 0 3 − 9 + x
x −1
x −x
4
73. Diketahui g ( x ) = 1+ 2 x , maka nilai
lim
9 − x2
86. lim
x2 − 2x − 8
x−2
x + 1
1
g (1 + x ) − g (1 − x )
= .....
x
4 − x2 −9
x →5
5− x
88. lim
89. lim
x + 4 − 2x + 1
x−3
90. lim
x − 3x + 2
2x + 5 − x + 7
x + 4 − x −4
x− 5
91. lim
x − 2 − 10 − x
6x − 5x + 6
x −2
2x +1 + 2 − x
92. lim
x + 2 − 2x −1
2x − 3 − x
3 + x + 5x −1
3 + x − 5x −1
93. lim
3 − x − 3x −1
5x −1 − x + 3
94. lim
x −1
x→1 2 − 3 x + 1
74. lim
x →3
x →5
2
75. lim
x→ 2
76. lim
x→ 6
77. lim
x →3
78. lim
x→1
x→ 0
80. lim
x →3
81. lim
x →10
82. lim
x →3
83. lim
x→1
Limit
x→1
x →−2
x →−3
x + 2x + 3 − x − 2x + 3
2
79. lim
x→ 2
2
2x − x + 3
3x + 6 − x
x 2 − 5x + 6
3− x − x − 3
95. lim
1+ x − 1− x
x
5x + 1 − 4
x2 − 9
96. lim
4x
1 + 2x − 1 − 2x
x −1 − 3
x − 10
97. lim
1− x
1 − x − x −1
x + 3 − 3− x
x − 2x + 3
x2 −9
x2 + 3 − x − 1
1− x2
x→ 0
x→ 0
x→1
98. lim
x→ 0
x2
1 − 3 1 + x2
x−3 x +2
x→1 2 x − 8 x + 6
99. lim
www.matikzone.wordpress.com
100.
lim
x x−p p
x−
x→p
3
101.
103.
104.
lim
x→1
102.
p
x 2 − 2.3 x + 1
( x − 1)2
xn − 1
lim
x→1 x − 1
**
**
1
f ( x ) − . f ( 2)( x + 2)
4
Diketahui f (x ) = 3 x 2 − 2 x , tentukan lim
x→ 2
x−2
Diketahui f (x ) =
3
( f ( x ) − f (2) )
, tentukan lim
2
x
→
2
x
x−2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
6 − 8x
x →∞ x + 5
105.
lim
2
x →∞ x
117.
lim
106.
lim
6
x →∞ 5 x 10
118.
lim
107.
lim
−9
2 x 25
119.
lim
108.
lim
7
x →∞ 2 x + 5x
120.
3x − 2
lim
x →∞ 5 + x
109.
lim
121.
lim
110.
lim 4 x + 99
122.
lim
x →∞
x →∞
3
−3
x − 20
3
x →∞
10 + 3x
x →∞ 9 x − 5
x →∞
10 + 3x
3 − 9x
3
7 − 5x 2
x →∞ 3x + 12 x 2
5 x 3 − 11x 2
x →∞ 3x + 12 x 3
111.
lim x 2 + 9 x − 15
123.
lim
112.
3x
lim
x →∞ 100
113.
7x + 4
lim
x →∞
55
124.
x 2 + 5x − 3
lim
x →∞ (3 − x )( x − 1)
114.
lim
x 2 − 25
x →∞
12
125.
lim
115.
x +5
lim
x →∞ 2 x − 1
126.
lim
116.
lim
4x − 3
x →∞ 2 x + 5
127.
lim
Limit
x →∞
(5x − 1)(2 x + 3)
x →∞ (3 + 12 x )( x − 1)
x →∞
x →∞
(x − 1)(x − 3)
2 x 2 + 3x − 15
(4 x − 1)3
2x3 − 1
4(2 x + 3)
x →∞ 3 x 3 + 5 x
3
www.matikzone.wordpress.com
128.
lim
129.
lim
130.
lim
131.
132.
x →∞
4 x 4 + 8x
2x 2
4 x 2 + 3x − 1
x →∞ 3x 2 + 5x − 2
x + 3x3
x →∞ 3 x 3 − 2
lim
x →∞
lim
146.
x + 4 − 2x + 1
lim
x →∞
x
−
3
147.
lim
2
)
+2
2
148.
lim
lim
x (2 x + 1)
5x − 4x3
150.
lim
lim
x →∞
134.
135.
6x + 2x3
lim
x →∞ ( x − 3)( x + 1)
3
137.
138.
(x
lim
x →∞
lim
x →∞
140.
lim
143.
144.
Limit
−2 x +2
x( x − 1)( x + 1)
2
2
2x 3 + 7 x − 5
x →∞
x2 − x
lim
142.
)(
151.
lim
139.
141.
x →∞
149.
2( x − 1)
lim
x →∞ x 3 + 1
136.
x →∞
6x + x3 − 5x4
x →∞
x3 − 2x 4
lim
2
133.
x →∞
(2 x − 5)4
(3 x
x →∞
153.
154.
155.
156.
2x 2 + x
6 x + 3x
152.
)
3
2x + x4
2x − 3
9x 4 + x
x →∞ x 2 − x 3
3x2 − 5
lim
x →∞ 2 x 3 + x − 1
157.
158.
159.
160.
161.
3x 2 + 5x − 7
lim
x →∞ 10 x 3 + 5 x
162.
x →∞
lim
x →∞
2
x 2 − 17
x →∞
x 2 − 17
x 6 + 5x 3 − 5 + 3x6 − 2
x−2
4x 2 − 2x − 6 − x 2 + 1
x 2 + 5x −1
3x4 − 9x + 1
( x + 6 − x +3)
lim ( x + 3 − x + 2 )
lim ( 2 x − 1 − x + 4 )
lim ( 4 x + 2 − x − 3 )
lim ( x + 5 − x )
lim ( 3 x + 1 − 3 x − 1 )
lim ( x + 1 − 2 x − 3 )
lim (3 x + 6 − 2 1 − x )
lim ( ax + b − px + q )
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
untuk: a = p, a > p dan a < p
3x + 5
2x + 4x + 5
lim
x 2 + 5x − 1
3x 2 − 9
145.
163.
( x + x + 1 − 2x + x )
lim ( 4 x + 6 x − 1 − 5 x − x + 9 )
lim ( x + 2 x − 1 − ( x − 2 )(2 x + 9 ) )
lim ( 4 x − 5 − x − 3x )
lim ( 2 x + x − 5 − x − 3 x + 12 )
lim
2
2
x →∞
2
2
x →∞
2
x →∞
2
2
x →∞
2
2
x →∞
x 6 + 5x3 − 5
www.matikzone.wordpress.com
164.
165.
( (3x + 1)(x − 5) −
lim ( (3x − 5 )(x + 4 ) −
( 4x
179.
lim
(x
180.
1 + 4x 2 − 1 + 9x2
lim
x →∞
x
2
181.
( x − 3)( x + 3) )
1+ x2 − 4 + x2
lim
x →∞
x
182.
lim x x 2 + 2 − x
183.
4 3
lim 2 − + 2
x →∞ x
x
184.
x + 3 2x + 5
lim
−
x →∞ 2 x − 1
x−7
185.
− 4x 2
3x
lim 2
−
x →∞ 2 x + 9 x − 5
x + 5
186.
lim
187.
lim
x →∞
x 2 + 7x +1
3x 2 − 7x +1
168.
169.
lim ( x + 3) −
170.
lim
167.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
)
lim x − 4 x 2 − 7 x − 1
x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
(
)
lim
x →∞
)
(
lim ((x + 2 ) − 4 x − 7 x + 8 )
lim (x + 5 − x − x − 9 )
166.
)
178.
lim
( 3x + 3x − 5 − x + 4)
lim ( x + 6 x + 5 − x − 4 )
lim ( x − 1 − 2 x − 3)
lim ( 4 x + 3 x − 5 − (2 x − 3))
lim ( 9 x + x − 4 − (3 x + 5))
lim ( 2 x − 3 x + 5)
lim ( x − 3x − 2 x + 8 )
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
+ 3 x 2 − 1 − 4 x 4 + 5x 2 + 1
− 4 − x3 + 8
((
3
x →∞
3
4
x 2 + x3 x
x2
33 x 2 − x 2 x
6 + x2 x
))
)
**
**
x →∞
lim 3 x − x − 4 − 3 x + 2 x − 5
x →∞
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
x+5
x→ 0 cos x
188.
lim sin x + 5 cos x
192.
lim
189.
lim (sin 2 x. cot x )
193.
lim
194.
lim
195.
lim
π
x→
2
x→ 0
190.
sin x 5 cos x
limπ
+
3 sin x
x→ 6
2
191.
lim
Limit
x→ 0
cos x
2x
x→ 0
tan 2 x
sin 5 x
sin 3x
x→ 0
5x
x→ 0
x sin 5 x
sin 2 3x
www.matikzone.wordpress.com
1
x
2
lim
x→ 0 sin 3x sin 2 x
tan 2
196.
2
197.
198.
199.
200.
lim
x→ 0
2x
sin 2 x
x→ 0
216.
217.
lim
x
sin
cos 2 x
lim
π
x → 1 − sin x
(x
lim
(x
(x
lim
215.
tan 2 x
x sec 2 x
lim
4
cos 2 x
π − 4x
4
sin 2 3x
x→ 0
(3 x )2
x→ 0
limπ
x→
214.
lim
lim
213.
x
x
cos
2
2
x→1
x→1
x→ 0
)
− 1) sin ( x − 1)
− 1)sin 2( x − 1)
1
3
2
2
− 1 2 tan (x − 1)
1
2
− 2 sin 2 ( x − 1)
1 − cos x
x sin x
201.
lim
2x
x→ 0 cos x
218.
lim (sec x − tan x )
202.
lim
sin 2 2 x
x→ 0
x2
219.
lim
203.
lim
cos x − cos 3 x
x2
220.
lim
x→ 0
π
x→
2
x→ 0
sin x − tan x
x3
(3 x + 3 y ) + tan (x + y )
9x + 9 y
x →− y
204.
lim
sin 3 x + sin 4 x
x→ 0
x
221.
lim (x cot 2 x )
205.
1 − cos 2 x
lim
x→ 0
x
222.
lim
206.
lim
1 + cos x
x →π sin 2 x
223.
limπ
207.
lim
x→ 0
x→ 0
x −1
x→1 tan π x
x→
1 − cos 2 x
2x2
224.
limπ
x→
( )
4
4
tan x − 1
cos 2 x
cos 2 x
x( tan x − 1)
2
208.
lim
x→ 0
sin 2 x
x + sin 2 3 x
2
225.
lim
226.
lim
209.
sin 4 x tan 2 3x + 6 x 3
lim
x→ 0
2 x 2 sin 3x cos 2 x
210.
lim
cos x − cos 3 x
x→ 0
1 − cos x
227.
211.
lim
228.
212.
cos 5x − cos 9 x
lim
x→ 0
1 − cos x
Limit
cos x − cos a
x→ a
x−a
x→ 0
sin 2 x
3 − 2x + 9
sin 4 x
x→ 0 1 − 1 − x
1 1
sin 1 − cos1 −
x
x
lim
x→1
x −1
sin ( x − 2 )
x→ 2
x−2
lim
www.matikzone.wordpress.com
sin ( x − π )
x →π
x−π
229.
lim
230.
lim
231.
lim
232.
(3 x + 1) sin ( x − 1)
x + 2x − 3
2
x→1
sin
(
x →3
x +1 − 2
x−3
233.
limπ
x→
234.
4
x−
limπ
2 tan x
sec x
x→
2
π
4
246.
tan 2 x − tan x
lim
x→ 0 sin 2 x − sin x
247.
1 − tan x
limπ
x→ π
− x
4
4
248.
1 − cos 4 x
limπ
x → x sin x
2
π
4
249.
sin(cos x )
limπ
cos x
x→
2
250.
lim
tan 2 x. tan 3x
x→ 0
5x 2
lim
236.
lim
237.
lim
238.
x 2 + 3x
lim
x→ 0 sin x
x→ 0
1 + cos x
1 + sin x
1 − cos 2 x
x→ 0 1 − cos x
x→ 0
240.
lim
241.
lim
1 − cos 2
251.
252.
lim1
x→ π
2
1
x
2
(
lim
)
254.
lim1
2
1 + cos 2 x
cos x
π
3( x − a )
x→ a sin ( x − a ) + 2 x − 2 a
255.
lim
256.
x 3 − ( a + 1) x 2 + ax
lim 2
x→1 x − 1 + tan( x − 1)
x3 + 3x2 + 2x
257.
lim
sin 8 x + sin 2 x
x→ 0
4 x cos 3 x
258.
lim
sin 2 x
3 − 2x + 9
259.
lim
x→ 0
(x
2
)
− 5 x + 6 sin ( x − 2)
242.
(x − x − 2)
(x − 1)sin 6 x
lim
243.
lim
244.
lim
x→ 2
2
2
2
Limit
sin x − cos x
1 − sin 2 x
sin x 2 − 1
x→1
x −1
253.
x→
sin 3x − sin 3 x. cos 2 x
4x 3
cos x − sin x
1
x− π
4
π
4π
sin 3 x + + sin x −
3
3
limπ
2π
x →−
2x +
3
3
2x 2
lim
1
x→ π
4
235.
239.
sin 5 x − sin 2 x
lim
x→ 0 sin 8 x − sin 3 x
)
1 − sin x
lim
π π
x→
−x
2
2
sin x − sin
245.
x→ 0
x→ 0
(
)
1 + cos x
x →π
x −π
sin 2 x(1 + cos x )
x→ 0 tan x (1 + 3 sec x )
3 sin 2 x − 2 sin 3 x
x→ 0
x(1 − cos 3x )
www.matikzone.wordpress.com
260.
x3
lim
x→ 0 sin 2 x − tan 2 x
264.
x −3
lim
x →3 x − sin ( x − 3) − 3
261.
lim
tan x − sin x
x→ 0
x3
265.
lim
266.
tan x − tan y
lim
**
x→y x
x
− 1 + − 1 tan x tan y
y
y
262.
1 − cos (x + 3)
x →−3 x 2 + 6 x + 9
263.
1 − 1 − sin 2 ( x − a )
lim
x→ a ( x − a ) tan 5( x − a )
lim
x→ 0
sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin 18 x
3 sin x − sin 3x
Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:
267.
f (x ) =
268.
f (x ) =
269.
f (x ) =
270.
271.
f (x ) =
f (x ) =
x 2 −1
x2 + x
x
2x − 3
274.
1; unt x < 0
f (x ) =
1 − x; unt x ≥ 0
275.
2 x; unt x < 0
f (x ) =
− x; unt x ≥ 0
276.
x; unt x < 0
f (x ) = 1; unt x = 0
x 2 ; unt x > 0
277.
x2 − 1
f (x ) =
x −1
278.
x2 − 1
; unt x ≠ 1
f (x ) = x − 1
2; unt x = 1
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
x2 + 2x + 3
x3 − 1
2x 2 − 5x − 3
x2 + x − 2
272.
f (x ) =
x2 + 1
x 2 + 3 x − 10
273.
f (x ) =
2x +1
x − x+1
2
Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
279.
f ( x ) = 5 , pada x = 1
280.
f (x ) = 5 x − 10 , pada x = – 3
281.
f (x ) =
8
, pada x = 3
x−3
282.
f (x ) =
1
, pd x = 3 dan x = –2
x − x−6
Limit
2
www.matikzone.wordpress.com
283.
f (x ) =
3x − 12
, pada x = 4
x − 7 x + 12
284.
f (x ) =
3x 2 + 3x − 6
, pada x = – 2
2 x 2 − 2 x − 12
2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
x +1
285.
x
lim
x →∞ x + 1
286.
2
lim 1 +
x →∞
3+ x
287.
x +5
lim
x →∞ x + 3
288.
2x + 2
lim
x →∞ 2 x + 6
2 x +3
291.
3x + 1
lim
x →∞ 3x + 5
2 x+ 3
292.
2 − 5x
lim
x →∞ 1 − 5 x
7x + 2
293.
6x + 5
lim
x →∞ 6 x − 1
294.
x + 3x + 2
lim 2
x →∞ x + 5x + 1
−2 x
x+6
x
289.
a
lim 1 +
x →∞
x
ax
290.
1
lim 1 +
x →∞
x
2x
2
Hitunglah nilai dari lim
h →0
2 +1
x +1
f ( x + h) − f ( x )
dari fungsi-fungsi berikut:
h
295.
f (x) = 9
296.
f (x) = 5x
302.
f (x ) = x 3
297.
f (x ) = 8 x − 10
303.
f (x ) = 2x 3
298.
f (x ) = x 2
304.
f (x ) = x
299.
f (x ) = 3x 2
305.
f (x ) = 2 x
300.
f (x ) = −2 x 2 + 1
306.
301.
f (x ) = 2 x + 3 x
f (x ) = 2 x + 1
Limit
x
2
www.matikzone.wordpress.com
Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
( ax
2
)
+ ax − (2 x − 1) =
9
, carilah nilai a yang memenuhi.
4
307.
Jika lim
308.
Diketahui lim f ( x ) = 6 . Nilai lim
309.
Diketahui lim f ( x ) = 16 dan lim g (x ) = −2 . Maka nilai lim
310.
Buktikan bahwa lim x sin
311.
a a2
Buktikan bahwa lim n 2 1 − cos =
n →∞
n 2
312.
Diketahui lim
313.
Hitunglah a dan b jika diketahui lim
314.
Jika lim
315.
Hitunglah nilai a + b, jika lim
x →∞
x→ 2
x→ 2
x →10
f ( x )( x + 5 ) + f 2 ( x ) − 3
adalah ...
x +1
x →10
x →10
x →∞
(
)
f (x ) + 3g ( x ) adalah ...
4
2
=2
x
p−5
= −2 . Maka nilai p adalah...
x →−1 x + 4
x →3
x →∞
( ax
2
ax − b
= −2 .
x2 − 9
)
+ bx − 1 − 4 x 2 − 7 x + 2 = 4 , maka tentukan nilai a + b.
x→ 4
ax − 3 − bx + 5 1
= .
x−4
3
Catatan:
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
Limit
www.matikzone.wordpress.com
65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
April 2012
Email : matikzone@gmail.com
MatikZone’s Series
Blog : www.matikzone.wordpress.com
HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh
isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan
jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya
1.
y
Dari gambar di samping, tentukan:
a). lim− f ( x ) , lim+ f ( x) dan lim f ( x) jika ada.
f(x)
x →2
4
3
x →2
x→ 2
b). lim− f ( x) , lim+ f ( x ) , dan lim f ( x) jika ada.
x →5
2
5
x →5
x→5
x
Jawab:
Limit kanan dan limit kiri
*) lim+ f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x)
x→a
mendekati L.
*) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x)
x →a
mendekati L.
Definisi limit
lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim + f ( x) = lim − f ( x ) = L
x →a
x →a
x →a
y
f(x)
L
a
x
kiri
kanan
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa:
a). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) = 3
x→ 2
x →2 −
x →2 +
b). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x) = 4 , limit kiri dan limit kanan tidak sama maka
x →5 −
x →5 +
lim f ( x) Tidak Ada
x→5
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2.
4 x − 1; jk x < 2
Jika diketahui f (x ) = 2
maka tentuka nilai dari lim− f ( x ) , lim+ f ( x) ,
x →2
x →2
x + 3; jk x ≥ 2
dan lim f ( x)
x→ 2
Jawab:
• lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 (limit kiri, dari kiri, digunakan
x →2 −
x→ 2 −
fungsi pertama)
• lim f ( x ) = lim x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7 (limit kanan, dari kanan,
x →2 +
x→ 2 +
digunakan fungsi kedua)
• lim f ( x ) = 7 (limit kiri = limit kanan)
x→ 2
3.
Tentukan nilai limit dari:
a). lim 788
c). lim (5 x − 6 )
b). lim 7 x
d). lim
x→ 9
x →3
x →−3
x →8
5x − 6
x+1
x−2
x→ 2 x + 2
8− x
f). lim
x →−4 x + 4
e). lim
Jawab:
Untuk lim f ( x ) diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh
x→a
ditinggalkan)
Ø Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c
x→a
Ø Jika f (a) =
c
maka lim f ( x ) Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga
x→a
0
(cek grafik)
0
maka lim f ( x) = 0
x →a
c
0
Ø Jika f (a) =
maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.
0
Ø Jika f (a) =
Sehingga:
a). lim 788 = 788
x →9
b). lim 7 x = 7.8 = 56
x →8
c). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9
x →3
5 x − 6 5( −3) − 6 − 15 − 6 − 21 21
=
=
=
=
x +1
− 3 +1
−2
−2
2
x−2 2−2 0
e). lim
=
= =0
x→ 2 x + 2
2+2 4
8 − x 8 − (− 4) 12
f). lim
=
=
Tidak ada (berdasar grafik)
x →−4 x + 4
−4+4
0
d). lim
x →−3
Limit
www.matikzone.wordpress.com
4.
Penyelesaian dengan faktorisasi
x−2
2−2
0
= 2
= BTT, maka
x − 5 x + 6 2 − 5 .2 + 6 0
x−2
x−2
1
1
1
lim 2
= lim
= lim
=
=
= −1
x→ 2 x − 5 x + 6
x→ 2 (x − 2)( x − 3)
x →2 ( x − 3)
2 − 3 −1
a). lim
x→ 2
2
x 2 + 3x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0
=
=
=
BTT, maka
x →−1 x 2 − 5 x − 6
( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0
2
b). lim
x 2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2 ) = lim ( x + 2) = − 1 + 2 = 1 = − 1
= lim
x →−1 x 2 − 5 x − 6
x →−1 ( x + 1)( x − 6)
x→ −1 (x − 6)
− 1− 6 − 7
7
3
2
3
2
x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0
c). lim
=
= BTT, maka
x→ 0
2x − 7x 2
2.0 − 7.0 2
0
3
2
2
x − 5x + 3x
x x − 5x + 3
x 2 − 5x + 3 0 − 5.0 + 3 3
lim
=
lim
=
lim
=
=
x→ 0
x →0
x→ 0
2x − 7x 2
x (2 − 7 x )
(2 − 7 x )
2 − 7.0
2
3
2
2
2
2
x + x − 8x + 4
( x − 2)(x + 3x − 2) = lim x + 3x − 2 = 2 + 3.2 − 2 = 8
d). lim 3
= lim
2
x→ 2 x − 2 x − x + 2
x→2
x→2
( x − 2 )(x 2 − 1)
x 2 −1
22 −1
3
4−x
4− x
− (x − 4)
lim 3
= lim
= lim
x→ 4 x − 64
x →4 ( x − 4 )(x 2 + 4 x + 16)
x→ 4 (x − 4)(x 2 + 4 x + 16 )
e).
1
1
1
= lim − 2
=− 2
=−
x →4
(x + 4 x + 16) 4 + 4.4 + 16 48
lim
(
lim
f).
x→
3
2
8x 3 − 27
= lim
2
3
4x − 9
x→
2
)
(2x )3 − 33
(2 x )2 − 3 2
(
(2x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9 ) = lim
3
(2 x − 3)(2 x + 3)
x→
2
= lim
x→
)
3
2
4x 2 + 6 x + 9
2x + 3
2
=
5.
3
3
4. + 6. + 9
2
2
=
3
2. + 3
2
27
=
6
9
1
=3
2
2
Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)
lim
a).
x→ 2
lim
x→ 2
3 − 4x + 1 3 − 8 +1 0
=
= BTT, maka
x−2
2−2
0
3 − 4x + 1
3 − 4x + 1 3 + 4x +1
9 − (4 x + 1)
= lim
⋅
= lim
x
→
2
x
→
2
x−2
x−2
(x − 2) 3 + 4 x + 1
3 + 4x +1
8 − 4x
− 4(x − 2)
= lim
= lim
x→ 2
x →2
(x − 2) 3 + 4 x + 1
(x − 2 ) 3 + 4 x + 1
(
(
= lim
x→ 2
Limit
9 + 9 +9
=
3+ 3
(3 +
−4
4x + 1
)
)
=
−4
3 + 4 .2 + 1
(
=
−4
4
2
=− =−
3+ 3
6
3
)
)
www.matikzone.wordpress.com
x + 2 − 2x −1 0
= BTT, maka
0
2x − 3 − x
lim
b).
x →3
x + 2 − 2x − 1
x + 2 − 2x −1 x + 2 + 2x −1
= lim
.
x →3
2x − 3 − x
2x − 3 − x
x + 2 + 2x −1
( x + 2) − (2x −1)
= lim
x→3
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
− x +3
= lim
x→3
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
lim
x→3
= lim
x→3
= lim
x→3
= lim
(
)(
)
(
)(
)
Jika disubtitusi, masih
didapat 0/0
(
)(
(
− x +3
2x − 3 + x
.
2x − 3 − x x + 2 + 2x −1
2x − 3 + x
(
2x − 3 + x
x + 2 + 2x −1 ((2x − 3) − (x))
(− x + 3)(
)(
)
(
)
)
)
Dikali
sekawan
penyebut
)
− (x − 3) 2x − 3 + x
x + 2 + 2x −1 (x − 3)
)
− ( 2x − 3 + x )
= lim
( x + 2 + 2x −1)
− ( 2.3 − 3 + 3) − ( 3 + 3)
2
=
=
=−
( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5 + 5 2
x→3
Dikali sekawan
pembilang
(
x→3
lim
c).
x →−3
9 − x2
4 − x2 + 7
= lim
x→−3
(9 − x )(4 +
= lim
9 − x2
4+
x2 + 7
4 − x2 + 7 4 +
x2 + 7
x2 + 7
2
.
) = lim (4 +
3
3
=−
5
5
(
9 − x2 4 + x2 + 7
x→−3
16 − x 2 + 7
= lim
(
)
)
)
x2 + 7 = 4 + 9 + 7 = 4 + 4 = 8
9−x
(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)
x →−3
6.
x →−3
2
3
1
lim
−
= .....
x→1 1 − x
1− x3
(
a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
Jawab:
3
1+ x + x2
3
1
lim
−
=
lim
−
2
3
x→1 1 − x
1 − x x →1 (1 − x ) 1 + x + x
1− x3
(
)
(
)
(
)
1+ x + x2 − 3
= lim
2
x →1 (1 − x ) 1 + x + x
( x + 2)( x − 1)
= lim
2
x→1 (1 − x )(1 + x + x )
(
)
)
x2 + x − 2
= lim
2
x→1 (1 − x ) 1 + x + x
( x + 2) = 1 + 2 = 3 = 1
= lim
2
x→1 1 + x + x
1 + 1 + 12 3
(
(
Limit
)
)
www.matikzone.wordpress.com
7.
lim
x→ 0
x2
= .....
1 − 3 1 + x2
Jawab:
(
(
)
)
(
)
2
2
3
x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2
1+ 1+ x2 + 3 1+ x2
x
x
lim
= lim
.
= lim
2
2
3
2
3
2
x →0
x→0
x→0
1
−
1
+
x
3
2
3
2
1− 1 + x
1 − 1 + x 1 + 1 + x + 1 + x
2
x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2
2
= lim − 3
2
3
2
= lim
1
+
1
+
x
+
1
+
x
2
x→ 0
x →0
−x
= −(1 + 1 + 1) = −3
2
(
2
)
(
8.
(
)
)
(
)
Jika lim ( x + 1) = lim ( 2 x − 3) , maka tentukan nilai dari lim ( x 2 − 16)
x→ n
x→ n
x→n
Jawab:
lim ( x + 1) = lim (2 x − 3) ⇒ n + 1 = 2n − 3 ⇒ n = 4 maka
x→ n
x→ n
lim ( x 2 − 16) = lim ( x 2 − 16) = 4 2 − 16 = 16 − 16 = 0
x→ n
9.
x→ 4
2x2 + 5x + 2 3
= , maka nilai a adalah …
x →−2 x 2 + ax − 10
7
Jika lim
Jawab:
2x 2 + 5x + 2
lim 2
, karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai
x →−2 x + ax − 10
3
limitnya adalah , maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh
7
2
(− 2 ) − 2a − 10 = 0
⇒ 4 − 10 = 2 a
⇒
2a = −6
⇒
a = −3
2 x 2 + 5x + 2
( x + 2 )(2 x + 1) = lim 2 x + 1
= lim
x → − 2 x 2 − 3 x − 10
x → − 2 ( x + 2 )( x − 5 )
x → −2 x − 5
2(− 2 ) + 1 − 3 3
=
=
=
− 2−5
−7 7
lim
10.
Limit
lim
x→ 2
x+2 2+2 4
x+ 2
=
= berarti lim
tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:
x→ 2 x − 2
x−2 2−2 0
www.matikzone.wordpress.com
y
f(x)=(x+2)/(x-2)
8
6
Limit kiri ≠ Limit kanan
4
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
-2
-4
-6
11.
x 2 + 2 x − 1 3 2 + 2.3 − 1 14
x 2 + 2x − 1
=
=
berarti
lim
tidak ada. Demikian juga
x →3
x →3
x2 − 9
32 − 9
0
x2 − 9
2
x 2 + 2x −1
x 2 + 2 x − 1 (− 3) + 2(− 3) − 1 2
untuk lim
,
karena
lim
=
= . Grafiknya
x →−3
x →−3
x2 − 9
x2 − 9
0
(− 3)2 − 9
adalah:
lim
7
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
6
5
4
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Limit kiri ≠ Limit kanan
12.
Limit
f ( x ) adalah dengan SUBTITUSI,
Untuk menentukan nilai lim
x →∞
www.matikzone.wordpress.com
Ø
Ø
Ø
Ø
∞
maka lim f ( x) = ± ∞
x →∞
c
c
Jika f (x ) =
maka lim f ( x) = 0
x →∞
∞
∞
Jika f (x ) =
(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan
∞
penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Jika f (x ) = ±
Jika f (x ) = ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan
penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan
variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Soal-soal:
lim 9 = 9
a. x →∞
b.
c.
d.
lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9 = ∞
x →∞
lim
7 x + 9 7.∞ + 9
=
=∞
8
8
lim
6
6
6
= 2
= =0
x +1 ∞ + 1 ∞
x →∞
x →∞
2
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT)
2x
∞
a). lim 2
=
BTT maka
x →∞ 3x + x − 1
∞
x 2 , maka pembilang dan
2
penyebut dibagi dengan x
adalah
2x
2
lim 2 x
2x
x2
x
x →∞
lim 2
= lim
=
lim
=
x →∞ 3 x + x − 1
x→ ∞ 3x 2
x
→
∞
1
1
x
1
3+ x −
lim 3 + lim 1 x − lim 1 2
2
+
−
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
x
x
x2
x2 x2
0
0
=
= =0
3+0−0 3
Lihat Teorema Limit
2x2
∞
=
BTT, maka
2
x →∞ 3x + x − 1
∞
b). lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
2x 2
lim 2
2x2
2
x2
x →∞
lim 2
= lim
=
lim
=
x →∞ 3 x + x − 1
x→ ∞ 3x 2
x
→
∞
1
1
x
1
3+ x −
lim 3 + lim 1 x − lim 1 2
2
+
−
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
x
x
x2
x2 x2
2
2
=
=
3+0−0 3
2x3 + 5x
∞
=
BTT maka
2
x →∞ 3x + x − 1
∞
c). lim
2 x3 5x
+ 2
2x + 5
2
2x3 + 5 x
x
x
x = ∞+0 = ∞
lim 2
= lim 2
= lim
x →∞ 3 x + x − 1
x →∞ 3 x
x
→∞
x 1
3 + 1 − 1 2 3+ 0− 0
+ 2− 2
x
x
2
x
x
x
14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan
variabel pangkat tertinggi.
( 4x − 5x + 1 − 4x + 7 x − 2 ) = ∞ − ∞ BTT, maka
lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )
( 4 x − 5 x + 1 + 4x
= lim ( 4x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )⋅
( 4 x − 5 x + 1 + 4x
a). lim
2
2
Dikalikan sekawan
x →∞
2
2
2
2
x →∞
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
(4x
2
) (
− 5x + 1 − 4x2 + 7x − 2
2
2
2
2
)
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2
− 12x + 3
2
2
4 x − 5x + 1 + 4 x + 7 x − 2
−12 x + 3
x
x
= lim
x →∞
2
4 x 2 − 5 x 2 + 1 2 + 4 x 2 2 + 7x 2 − 2 2
x
x
x
x
x
x
− 12 + 3
x
= lim
x →∞
4 − 5 + 1 2 + 4+ 7 − 2 2
x
x
x
x
− 12 + 0
=
4 −0 +0 + 4 +0 −0
12
12
=−
= − = −3
4
2 4
Limit
2
2
)
+ 7x − 2 )
+ 7x − 2
Sama nilainya dengan
(diambil
suku
yang
memuat pangkat tertinggi
dari
pembilang
dan
penyebut):
lim
x →∞
− 12 x
4x 2 + 4x 2
VPT pembilang adalah x,
2
dan VPT penyebut
x
(setara), maka pembilang
dan
penyebut
dibagi
dengan x (jk dlm akar
menjadi
x2)
Lihat catatan 2
www.matikzone.wordpress.com
b). lim
(
x + 6 − x + 3 = ∞ − ∞ , BTT maka:
lim
(
x + 6 − x + 3 = lim
x →∞
x →∞
)
)
x→∞
(
= lim
x →∞
(
x+ 6 − x+3
(
)
(
3
x + 6 + x+ 3
)
x +3)
x+6 + x+3
x+6 +
)
3
= lim
x →∞
(
x
x +6 + x +3
x
x
x
x
)
3
= lim
x →∞
=
(
( 1+ 6 x+
0
1+ 1
x
1+ 3
x
)
)
=0
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
ax n + bx n−1 + ...
Ø Jika f ( x ) =
px m + qx n−1 + ...
maka lim f ( x ) = lim
x →∞
x→ ∞
ax n
px m
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari
penyebut.
Ø
Ø
Limit
Jika f ( x ) = ax 2 + bx + c −
Jika f ( x ) = ax + b −
∞, jk a > p
b − q
px 2 + qx + r maka lim f ( x) =
, jk a = p
x →∞
2 a
− ∞, jk a < p
∞ , jk a > p
px + q maka lim f ( x) = 0, jk a = p
x →∞
− ∞ , jk a < p
www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
5x3 − x
5
a). lim
=
(pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)
x →∞ x − 3 x 3
−3
b). lim
( 9x
c). lim
(
x →∞
x →∞
2
)
− 15 x + 2 − 9 x 2 − 7 x + 1 =
− 15 − (− 7) − 8
4
=
= − ( nilai a = p )
6
3
2 9
)
2 x − 4 − 2 x + 5 = 0 ( nilai a = p )
16. Teorema Limit
Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang
mempunyai limit di a, maka berlaku:
a. lim c = c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x )
x→ a
b. lim x = a
n
x→ a
n
x →a
x→ a
c. lim f ( x) = f ( a)
f ( x)
f ( x ) lim
h. lim
= x→ a
; lim g ( x ) ≠ 0
x→ a g ( x)
g ( x) x→ a
lim
x→a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a)
i. lim ( f ( x )) n = ( lim f ( x )) n
e. lim( f (x) + g( x)) = lim f ( x) + lim g( x)
j. lim
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→a
x→a
x→a
x→ a
f. lim( f ( x) − g( x)) = lim f ( x) − lim g( x)
x→a
x→a
x→a
n
f ( x ) = n lim f ( x) ; lim f ( x ) ≥ 0
x→ a
x→ a
x→a
Soal-soal:
a). a. lim 25 = 25
b. lim 36 = 36
x→ 6
c. lim 9 = 9
x→ 0
x →−2
b). lim x = 3 = 81
4
4
x →3
c). lim x 3 − 5 x + 7 = 2 3 − 5.2 + 7 = 5
x→ 2
e). lim 5 x = 5 lim x = 5.( −2) = −10
x →−2
x →−2
f). lim 5 x + 3 x 2 = lim 5 x + lim 3 x 2 = 5.4 + 3.4 2 = 20 + 48 = 68
x→ 4
x→4
x→ 4
g). lim 5 x − 3x = lim 5x − lim 3x 2 = 5.4 − 3.4 2 = 20 − 48 = −28
2
x→ 4
x →4
x →4
(
)(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim (5 x − 1) = 8.4 = 32
(5x + 3x ) = lim (5x + 3x ) = 8 = 2
i). lim
h). lim 5x + 3x
2
2
x→1
x →1
2
x→1
(5 x − 1)
x →1
2
x→1
(
lim (5 x − 1)
x→1
)
4
j). lim (5 x + 2) = lim (5 x + 2) = (5.1 + 2 ) = 7 3 = 343
3
x→1
3
x →1
3
k). lim 3 5 x + 2 = 3 lim (5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 7
x→1
Limit
x→1
www.matikzone.wordpress.com
(
)
5x − 3x 2 lim 5x − lim 3x 2 5.(−5) − 3.(−5) 2 − 25 − 75 −100
5x − 3x 2 lim
x →∞
x→∞
l). lim
=
= x→∞
=
=
=
x→−5 2 x + 7
lim (2x + 7)
lim 2x + lim 7
2.(−5) + 7
−10 + 7
3
x →∞
17.
x→∞
x→∞
Limit Fungsi Trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar.
Beberapa persamaan khusus:
sin x
x
= lim
=1
x→ 0
x →0 sin x
x
tan x
x
b. lim
= lim
=1
x→ 0
x
→
0
x
tan x
sin ax
ax
a
c. lim
= lim
=
x→ 0
x → 0 sin bx
bx
b
a. lim
tan ax
ax
= lim
=
x→ 0
x → 0 tan bx
bx
tan ax
sin ax
e. lim
= lim
=
x→ 0 sin bx
x → 0 tan bx
d. lim
a
b
a
b
Soal-soal:
x
0
0
a). lim
=
= =0
x→ 0 cos x
cos 0 1
1
1
b). lim1 sin x + cos x = sin π + cos π = 1 + 0 = 1
2
2
x→ π
2
sin 2 x
sin 2 x 2
sin 2 x
= lim
. = 2. lim
= 2 .1 = 2
x
→
0
2
x
→
0
x
x
2
2x
3 x + sin 4 x 0
d). lim
= BTT, maka
x→ 0 5 x − tan 2 x
0
c). lim
x→ 0
(jika x → 0 maka 2 x → 0 )
(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
sin 4 x
sin 4x
3x + sin 4 x
3+
lim 3 + lim
3x + sin 4 x
x
x→0
x = lim
x = x→0
x = 3+ 4 = 7
lim
= lim
x→0 5x − tan 2 x
x →0
5x − tan 2 x x→0 5 − tan 2 x lim 5 − lim tan 2 x 5 − 2 3
x
x→0
x→0
x
x
x
1 − cos 4 x 0
e). lim
= BTT, maka
x→ 0
x sin x
0
1− cos4x
1− cos4x 1 + cos4x
1 − cos2 4x
sin 2 4x
= lim
.
= lim
= lim
x →0 x sin x
x →0 x sin x
1 + cos4x x→0 (x sin x)(1+ cos4x) x→0 ( x sin x)(1 + cos4x)
sin 4x.sin 4x
1
4x.4x
sin 4x sin 4x 4x
1
4x
= lim
.
.
= lim
.
.
.
.
x→0
x sin x
1+ cos4x 4x.4x x→0 4x
4x sin x (1 + cos4 x) x
1
= 1.1.4. .4 = 8
2
cos x 0
= BTT, maka
π
f). limπ
Diketahui rumus trigonometri: cos x = sin − x
π
0
x→
2 x −
2
2
lim
Limit
www.matikzone.wordpress.com
π
π
π
π
sin − x
sin− x −
− sin x −
sin x −
cosx
2 = lim
2 = − lim 2 = −1
= lim 2 = lim
limπ
π
π
π
π x→π
π
π
π
π
x→
x→
x→
x→
x−
x−
x−
x−
2 x −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos x − cos a 0
= , BTT maka
x−a
0
1
1
1
− 2 sin ( x + a )sin (x − a)
sin (x − a)
cos x − cos a
1
2
2
2
lim
= lim
= −2 lim sin (x + a ). lim
x →a
x→a
x →a
x →a
x −a
x −a
2
x−a
1
= −2 sin a. = − sin a
2
g). lim
x→ a
x 3 − (a + 1)x 2 + ax 0
= , BTT maka
x 2 − 1 + tan ( x − 1) 0
(
h). lim
x→1
lim
x→1
)
(
)
x3 − (a +1)x 2 + ax
x x 2 − (a +1)x + a
x(x −1)(x − a)
=
lim
= lim
2
x −1 + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1) x→1 (x −1)(x +1) + tan(x −1)
lim x(x − a)
x(x − a)
1−a 1
x→1
= lim
=
=
= (1 − a)
x→1
tan(x −1)
tan(x −1) 2 +1 3
(x + 1) +
lim(x +1) + lim
(x−1)→0 ( x −1)
(x −1) x→1
(
)
tan x − tan y
= 0 BTT maka
i). lim
x→ y
0
x x
1 − + 1 − tan x tan y
y
y
tan x − tan y
1
= lim 1 tan x − tan y = lim
lim
tan( x − y )
x→y
x→ y x 1 + tan x tan y x → y y x
x x
1 −
−
1 − + 1 − tan x tan y
y y
y
y y
y
−y
= lim
tan (x − y ) = lim
tan (x − y )
x→y ( y − x)
x → y (x − y )
tan( x − y )
= − y lim
( x − y )→0 ( x − y )
= −y
Limit
www.matikzone.wordpress.com
18.
Apakah fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 ?
Jawab:
Kekontinuan Suatu Fungsi
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika:
a.
f (a) ada
Ciri:
b.
lim f ( x) ada
Grafiknya merupakan lengkungan (kurva)
yang tidak terputus.
x→ a
c.
lim f ( x) = f (a)
x→ a
Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1)
x→1
19.
x2 − 9
Apakah fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 , kontinu di x = 3 ?
3;
x =3
Jawab:
x2 − 9
Fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena
3;
x =3
2
x −9
( x − 3)( x + 3)
a. lim
= lim
= lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6
x →3 x − 3
x→ 3
x→ 3
( x − 3)
b. f(3) = 3
maka lim f ( x ) ≠ f (3)
x →3
20.
Tentukan nilai lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
untuk fung[si f ( x ) = 2 x 3
h
Jawab:
3
f ( x) = 2x 3 ⇒ f ( x + h) = 2(x + h) = 2( x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h 3 ) = 2 x 3 + 6 x 2 h + 6xh2 + 2h3
lim
h →0
21.
(
)
f (x + h) − f ( x)
2 x 3 + 6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3 − 2x 3
6 x 2 h + 6 xh2 + 2h3
= lim
= lim
h →0
h →0
h
h
h
2
2
h 6 x + 6 xh + 2h
= lim
= lim 6 x 2 + 6xh + 2h 2 = 6x 2 + 0 + 0 = 6 x 2
h →0
h →0
h
(
Tentukan nilai lim
h →0
)
(
)
f ( x + h) − f ( x )
untuk fungsi f ( x ) = x 2 + 3 x
h
Jawab:
f (x ) = x 2 + 3 x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
[
][
]
[
] [
]
f (x + h) − f (x)
(
x + h)2 + 3(x + h) − x 2 + 3x
x 2 + 2xh+ h2 + 3x + 3h − x2 + 3x
lim
= lim
= lim
h→0
h →0
h→0
h
h
h
2
2xh+ h + 3h
h(2x + h + 3)
= lim
= lim
= lim (2x + h + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3
h→0
h →0
h→0
h
h
22. Limit Barisan Bilangan
x
1
1. lim 1 + = e
x →∞
x
x
1
3. lim 1 − = e −1
x→ ∞
x
2. lim (1 + x ) x = e
4. lim (1 − x ) x = e −1
1
1
x →∞
x →∞
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
1 1
+ + ... (bilangan Euler)
2! 3!
Soal-soal:
x
a. lim
x →∞ x + 1
x +1
x + 1 −1
= lim
x→ ∞
x+1
x +1
1
x+1
= lim
−
x→ ∞ x + 1
x +1
x +1
1
= lim 1 −
x→ ∞
x + 1
x +1
= e −1
Atau
x +1
x +1
x+1
x +1
1
1
x
x + 1− 1
x +1
lim
=
lim
=
lim
−
=
lim
1
−
x →∞ x + 1
x→ ∞
x →∞ x + 1
x →∞
x +1
x +1
x + 1
−( x +1)
1
= lim 1 −
x →∞
x + 1
b. lim (1 − 3x ) = lim (1 − 3x )
x →∞
1
x
2
c. lim 1 +
x→ ∞
3+ x
−
x →∞
−2 x
1 −3
.
3x 1
−1
− (x +1 )
1
= lim 1 +
x→ ∞
− ( x + 1)
1
= lim (1 − 3x ) − 3x
x → ∞
2
= lim 1 +
x →∞
3+ x
3+ x
( −4 )+6
2
−3
−1
= e −1
1
= lim (1 + (− 3x )) −3 x
x →∞
3+ x
2
2
= lim 1 +
x →∞
3+ x
−4
−3
= e−3
6
2
1
+
3 + x
−4
3+ x
6
2
2
2
6
−4
−4
= lim 1 +
.
lim
1
+
= e .(1 + 0 ) = e
x→ ∞ 3 + x
x →∞ 3 + x
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Catatan:
a. a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
b. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
c. a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2
(
(
d. (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Bentuk Sekawan:
a. a − b sekawannya a + b
b. a + b − c sekawannya a − b − c
c. a b − c sekawannya a b + c
d. a + b + c − d sekawannya a + b − c − d
e. a + b − c sekawannya a + b + c
)
)
e. (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
( a) = a ⋅
g. ( a + b ) =
f.
2
2
a =a
dan lain sebagainya..
a +b⋅ a+b =a +b
Catatan 2:
a
a
=
b
b
dan lain- lain.
a.
b.
a
=
x
a
x
2
=
a
x2
c.
ax + b
=
x2
ax + b
x
4
=
ax + b
=
x4
ax b
+
x4 x4
Keterangan:
Sebagian materi adalah materi pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.
Limit
www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.
2; jk x ≤ 0
1. Jika f (x ) = 2
, tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) jk ada.
x→ 0
x ; jk x > 0
x →0 −
x →0 +
3 x + 2; jk x < 1
2. Jika f (x ) =
, tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) .
x→1
x + 4; jk x ≥ 1
x →1−
x →1+
4 x + 1; jk x ≤ 1
3. Jika f (x ) = 2
, tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) .
x→1
2 x + 3; jk x > 1
x →1−
x →1+
− 1; jk x < −1
4. Jika f (x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ) .
x →−1
x →−1 −
x →−1 +
1; jk x > −1
2; jk x < −1
5. Ditentukan f (x ) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1
0; jk x ≥ 1
Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f (x )
x →−1
x→1
6. Tentukan nilai dari: a. lim x − 1
x →1+
b. lim x 2
x →−1 +
1
c. lim 2
x
x →0 +
7. Tentukan nilai dari: a. lim 4 x
x →4 −
b. lim x
x →−2 −
3
c. lim
2x
x →0 −
8. Diketahui fungsi f (x ) = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit
kanan). a. lim f (x )
b. lim f (x )
x→1
c. lim f ( x )
x →3
9. Selidikilah, apakah lim
x →0
d. lim f (x )
x →16
x→ 0
1
ada? (cari limit kiri dan limit kanan).
x
10. Tentukan lim f ( x ) dan lim f (x ) dari gambar berikut:
x →−2
x→ 4
y
f (x )
3
2
1
-2
Limit
4
x
www.matikzone.wordpress.com
Carilah Nilai Limit Berikut:
x+5
x →−1 x − 2 x − 24
11. lim 1000
x →5
27. lim
12. lim 12345
2
x→1
13. lim 2 x + 5
28. lim
14. lim 3 x 2 + 5 x − 10
29. lim
x →−2
x→ 0
[
16. lim (4 x − 7 ).3 (3 − x )
x →−5
17. lim
x→ 4
]
x
x+ 2
3x −1
x
18. lim
x→ 4
x + 2 x − 3
3x 2 − 5 x + 10
x→ 0 x 3 + 6 x − 45
x−3
x
x →3
15. lim ( x − 4 )( x + 1)
x →−3
6−x
x+6
x →−3
2x − 3
2x
+
x
6 − 7x
30. lim
x→ 2
9x
31. lim
+ 5 x + 14
x →−2 8 + 5 x
32. lim
( x − 3)( x − 5)
33. lim
( x − 3)( x − 5)
2x − 1
x →5
2x + 2 + 5x
x→ 7
19. lim
20. lim
x→ 2
6x + 9
7 x − 10
x→1
35. lim
(
36. lim
( 2x
x →−4
21. lim 4 x − 11
x→ 9
22. lim
x −7
23. lim
x −6
− x3
x→ 4
x →3
2
37. lim
x→ a
2
x→1
24. lim
x→ 2
x→ 4
8 − 2x + − 5x + 5
2
)
+ 3x − 2 − 2x 2 − 4x + 3
)
x+9
2x −1
7x
x →m m
38. lim
x 2 + 3x + 6
x3 +1
39. lim
x→ n
1
25. lim
x→ 2 x − 2
26. lim
x + 3 + 5x + 4
15 − 6 x − 2 x − 1
34. lim
x2 + x
n
x+4
x − 2 x − 24
2
(
)
40. Jika lim (x + 1) = lim (2 x − 3) , maka tentukan nilai dari: lim x 2 − 16
x→ n
41. Jika lim
x→ 7
Limit
x →n
x→ n
x2 − 6x − 7
4x2 − 7x − 2
=
a
,
berapakah
nilai
dari
lim
?
x→ a 3 −
x 2 − 10 x + 21
4x + 1
www.matikzone.wordpress.com
2 x 2 + 5x + 2 3
42. Jika lim 2
= , maka a = …
x →−2 x + ax − 10
7
43. Jika lim
x →3
3x 2 + ax − 1 11
= , maka a = …
x 2 − ax − 30 13
x −1
x −1
49. lim
x −1
x→1 1 −
x
50. lim
46. lim
x −1
x −1
51. lim
x→0
x+ x
47. lim
x −1
1− x
52. lim
x−4
x −2
48. lim
x2 + 5x − 6
x −1
44. lim
x→1
2x + 6
x →−3 x + x − 6
3x2 − 5x
x→ 0
x
45. lim
x→1
x→1
x→1
2
x→ 4
x
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
1
1
a. lim 2
+
x→ 0 x − x
x
2
1
3
1
b. lim 2
−
−
c. lim
3
x→ 0 x − 1
x
→
1
x −1
1 − x 1− x
2
3
d. lim 2
− 2
x→ 2 x − 4
x + 2x − 8
2x + 2
x →−1 x 2 − 3x − 4
61. lim
3x2 − 6x
x→ 2
x−2
62. lim
54. lim
x→ 0
x n +3 + 6 x n+1 − x n
x n+ 4 + 2 x n
2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3
x→1
x2 − 1
55. lim
56. lim
(x − 2) 2 − 1
57. lim1
2x −1
2
2x + 3x − 2
63. lim
x 3 + x 2 − 8x + 4
x3 − 2x2 − x + 2
64. lim
x3 + x2 − 6x
x 3 − 2 x 2 + 6 x − 12
x 2 + 3x − 4
58. lim 2
x→1 x − 2 x + 1
65. lim
x3 − 8
x−2
x2 + 2x
59. lim 3
x→ 0 x + x 2 + 3x
66. lim
x3 − 1
1− x
67. lim
x−3
x 3 − 27
68. lim
4− x
x 3 − 64
x →3
x→
2
60. lim
x→ 0
x−3
x 4 − 6x 2
x3 + 2x 2
(Ebtanas IPS 99)
x→ 2
x→ 2
x→ 2
x→1
x →3
x→ 4
Limit
www.matikzone.wordpress.com
69. lim
x −1
x −1
70. lim3
8 x 3 − 27
4x 2 − 9
x→1 3
x→
2
x2 + x 1
84. lim
−
x→ 0
x
x
x
x2
85. lim
−
x →−1
x +1
**
71. lim
x→ 4
72. lim
x→1
x →−3
x→ 0
4 − x2 + 7
2x2 − 5x
87. lim
x→ 0 3 − 9 + x
x −1
x −x
4
73. Diketahui g ( x ) = 1+ 2 x , maka nilai
lim
9 − x2
86. lim
x2 − 2x − 8
x−2
x + 1
1
g (1 + x ) − g (1 − x )
= .....
x
4 − x2 −9
x →5
5− x
88. lim
89. lim
x + 4 − 2x + 1
x−3
90. lim
x − 3x + 2
2x + 5 − x + 7
x + 4 − x −4
x− 5
91. lim
x − 2 − 10 − x
6x − 5x + 6
x −2
2x +1 + 2 − x
92. lim
x + 2 − 2x −1
2x − 3 − x
3 + x + 5x −1
3 + x − 5x −1
93. lim
3 − x − 3x −1
5x −1 − x + 3
94. lim
x −1
x→1 2 − 3 x + 1
74. lim
x →3
x →5
2
75. lim
x→ 2
76. lim
x→ 6
77. lim
x →3
78. lim
x→1
x→ 0
80. lim
x →3
81. lim
x →10
82. lim
x →3
83. lim
x→1
Limit
x→1
x →−2
x →−3
x + 2x + 3 − x − 2x + 3
2
79. lim
x→ 2
2
2x − x + 3
3x + 6 − x
x 2 − 5x + 6
3− x − x − 3
95. lim
1+ x − 1− x
x
5x + 1 − 4
x2 − 9
96. lim
4x
1 + 2x − 1 − 2x
x −1 − 3
x − 10
97. lim
1− x
1 − x − x −1
x + 3 − 3− x
x − 2x + 3
x2 −9
x2 + 3 − x − 1
1− x2
x→ 0
x→ 0
x→1
98. lim
x→ 0
x2
1 − 3 1 + x2
x−3 x +2
x→1 2 x − 8 x + 6
99. lim
www.matikzone.wordpress.com
100.
lim
x x−p p
x−
x→p
3
101.
103.
104.
lim
x→1
102.
p
x 2 − 2.3 x + 1
( x − 1)2
xn − 1
lim
x→1 x − 1
**
**
1
f ( x ) − . f ( 2)( x + 2)
4
Diketahui f (x ) = 3 x 2 − 2 x , tentukan lim
x→ 2
x−2
Diketahui f (x ) =
3
( f ( x ) − f (2) )
, tentukan lim
2
x
→
2
x
x−2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
6 − 8x
x →∞ x + 5
105.
lim
2
x →∞ x
117.
lim
106.
lim
6
x →∞ 5 x 10
118.
lim
107.
lim
−9
2 x 25
119.
lim
108.
lim
7
x →∞ 2 x + 5x
120.
3x − 2
lim
x →∞ 5 + x
109.
lim
121.
lim
110.
lim 4 x + 99
122.
lim
x →∞
x →∞
3
−3
x − 20
3
x →∞
10 + 3x
x →∞ 9 x − 5
x →∞
10 + 3x
3 − 9x
3
7 − 5x 2
x →∞ 3x + 12 x 2
5 x 3 − 11x 2
x →∞ 3x + 12 x 3
111.
lim x 2 + 9 x − 15
123.
lim
112.
3x
lim
x →∞ 100
113.
7x + 4
lim
x →∞
55
124.
x 2 + 5x − 3
lim
x →∞ (3 − x )( x − 1)
114.
lim
x 2 − 25
x →∞
12
125.
lim
115.
x +5
lim
x →∞ 2 x − 1
126.
lim
116.
lim
4x − 3
x →∞ 2 x + 5
127.
lim
Limit
x →∞
(5x − 1)(2 x + 3)
x →∞ (3 + 12 x )( x − 1)
x →∞
x →∞
(x − 1)(x − 3)
2 x 2 + 3x − 15
(4 x − 1)3
2x3 − 1
4(2 x + 3)
x →∞ 3 x 3 + 5 x
3
www.matikzone.wordpress.com
128.
lim
129.
lim
130.
lim
131.
132.
x →∞
4 x 4 + 8x
2x 2
4 x 2 + 3x − 1
x →∞ 3x 2 + 5x − 2
x + 3x3
x →∞ 3 x 3 − 2
lim
x →∞
lim
146.
x + 4 − 2x + 1
lim
x →∞
x
−
3
147.
lim
2
)
+2
2
148.
lim
lim
x (2 x + 1)
5x − 4x3
150.
lim
lim
x →∞
134.
135.
6x + 2x3
lim
x →∞ ( x − 3)( x + 1)
3
137.
138.
(x
lim
x →∞
lim
x →∞
140.
lim
143.
144.
Limit
−2 x +2
x( x − 1)( x + 1)
2
2
2x 3 + 7 x − 5
x →∞
x2 − x
lim
142.
)(
151.
lim
139.
141.
x →∞
149.
2( x − 1)
lim
x →∞ x 3 + 1
136.
x →∞
6x + x3 − 5x4
x →∞
x3 − 2x 4
lim
2
133.
x →∞
(2 x − 5)4
(3 x
x →∞
153.
154.
155.
156.
2x 2 + x
6 x + 3x
152.
)
3
2x + x4
2x − 3
9x 4 + x
x →∞ x 2 − x 3
3x2 − 5
lim
x →∞ 2 x 3 + x − 1
157.
158.
159.
160.
161.
3x 2 + 5x − 7
lim
x →∞ 10 x 3 + 5 x
162.
x →∞
lim
x →∞
2
x 2 − 17
x →∞
x 2 − 17
x 6 + 5x 3 − 5 + 3x6 − 2
x−2
4x 2 − 2x − 6 − x 2 + 1
x 2 + 5x −1
3x4 − 9x + 1
( x + 6 − x +3)
lim ( x + 3 − x + 2 )
lim ( 2 x − 1 − x + 4 )
lim ( 4 x + 2 − x − 3 )
lim ( x + 5 − x )
lim ( 3 x + 1 − 3 x − 1 )
lim ( x + 1 − 2 x − 3 )
lim (3 x + 6 − 2 1 − x )
lim ( ax + b − px + q )
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
untuk: a = p, a > p dan a < p
3x + 5
2x + 4x + 5
lim
x 2 + 5x − 1
3x 2 − 9
145.
163.
( x + x + 1 − 2x + x )
lim ( 4 x + 6 x − 1 − 5 x − x + 9 )
lim ( x + 2 x − 1 − ( x − 2 )(2 x + 9 ) )
lim ( 4 x − 5 − x − 3x )
lim ( 2 x + x − 5 − x − 3 x + 12 )
lim
2
2
x →∞
2
2
x →∞
2
x →∞
2
2
x →∞
2
2
x →∞
x 6 + 5x3 − 5
www.matikzone.wordpress.com
164.
165.
( (3x + 1)(x − 5) −
lim ( (3x − 5 )(x + 4 ) −
( 4x
179.
lim
(x
180.
1 + 4x 2 − 1 + 9x2
lim
x →∞
x
2
181.
( x − 3)( x + 3) )
1+ x2 − 4 + x2
lim
x →∞
x
182.
lim x x 2 + 2 − x
183.
4 3
lim 2 − + 2
x →∞ x
x
184.
x + 3 2x + 5
lim
−
x →∞ 2 x − 1
x−7
185.
− 4x 2
3x
lim 2
−
x →∞ 2 x + 9 x − 5
x + 5
186.
lim
187.
lim
x →∞
x 2 + 7x +1
3x 2 − 7x +1
168.
169.
lim ( x + 3) −
170.
lim
167.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
)
lim x − 4 x 2 − 7 x − 1
x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
(
)
lim
x →∞
)
(
lim ((x + 2 ) − 4 x − 7 x + 8 )
lim (x + 5 − x − x − 9 )
166.
)
178.
lim
( 3x + 3x − 5 − x + 4)
lim ( x + 6 x + 5 − x − 4 )
lim ( x − 1 − 2 x − 3)
lim ( 4 x + 3 x − 5 − (2 x − 3))
lim ( 9 x + x − 4 − (3 x + 5))
lim ( 2 x − 3 x + 5)
lim ( x − 3x − 2 x + 8 )
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
+ 3 x 2 − 1 − 4 x 4 + 5x 2 + 1
− 4 − x3 + 8
((
3
x →∞
3
4
x 2 + x3 x
x2
33 x 2 − x 2 x
6 + x2 x
))
)
**
**
x →∞
lim 3 x − x − 4 − 3 x + 2 x − 5
x →∞
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
x+5
x→ 0 cos x
188.
lim sin x + 5 cos x
192.
lim
189.
lim (sin 2 x. cot x )
193.
lim
194.
lim
195.
lim
π
x→
2
x→ 0
190.
sin x 5 cos x
limπ
+
3 sin x
x→ 6
2
191.
lim
Limit
x→ 0
cos x
2x
x→ 0
tan 2 x
sin 5 x
sin 3x
x→ 0
5x
x→ 0
x sin 5 x
sin 2 3x
www.matikzone.wordpress.com
1
x
2
lim
x→ 0 sin 3x sin 2 x
tan 2
196.
2
197.
198.
199.
200.
lim
x→ 0
2x
sin 2 x
x→ 0
216.
217.
lim
x
sin
cos 2 x
lim
π
x → 1 − sin x
(x
lim
(x
(x
lim
215.
tan 2 x
x sec 2 x
lim
4
cos 2 x
π − 4x
4
sin 2 3x
x→ 0
(3 x )2
x→ 0
limπ
x→
214.
lim
lim
213.
x
x
cos
2
2
x→1
x→1
x→ 0
)
− 1) sin ( x − 1)
− 1)sin 2( x − 1)
1
3
2
2
− 1 2 tan (x − 1)
1
2
− 2 sin 2 ( x − 1)
1 − cos x
x sin x
201.
lim
2x
x→ 0 cos x
218.
lim (sec x − tan x )
202.
lim
sin 2 2 x
x→ 0
x2
219.
lim
203.
lim
cos x − cos 3 x
x2
220.
lim
x→ 0
π
x→
2
x→ 0
sin x − tan x
x3
(3 x + 3 y ) + tan (x + y )
9x + 9 y
x →− y
204.
lim
sin 3 x + sin 4 x
x→ 0
x
221.
lim (x cot 2 x )
205.
1 − cos 2 x
lim
x→ 0
x
222.
lim
206.
lim
1 + cos x
x →π sin 2 x
223.
limπ
207.
lim
x→ 0
x→ 0
x −1
x→1 tan π x
x→
1 − cos 2 x
2x2
224.
limπ
x→
( )
4
4
tan x − 1
cos 2 x
cos 2 x
x( tan x − 1)
2
208.
lim
x→ 0
sin 2 x
x + sin 2 3 x
2
225.
lim
226.
lim
209.
sin 4 x tan 2 3x + 6 x 3
lim
x→ 0
2 x 2 sin 3x cos 2 x
210.
lim
cos x − cos 3 x
x→ 0
1 − cos x
227.
211.
lim
228.
212.
cos 5x − cos 9 x
lim
x→ 0
1 − cos x
Limit
cos x − cos a
x→ a
x−a
x→ 0
sin 2 x
3 − 2x + 9
sin 4 x
x→ 0 1 − 1 − x
1 1
sin 1 − cos1 −
x
x
lim
x→1
x −1
sin ( x − 2 )
x→ 2
x−2
lim
www.matikzone.wordpress.com
sin ( x − π )
x →π
x−π
229.
lim
230.
lim
231.
lim
232.
(3 x + 1) sin ( x − 1)
x + 2x − 3
2
x→1
sin
(
x →3
x +1 − 2
x−3
233.
limπ
x→
234.
4
x−
limπ
2 tan x
sec x
x→
2
π
4
246.
tan 2 x − tan x
lim
x→ 0 sin 2 x − sin x
247.
1 − tan x
limπ
x→ π
− x
4
4
248.
1 − cos 4 x
limπ
x → x sin x
2
π
4
249.
sin(cos x )
limπ
cos x
x→
2
250.
lim
tan 2 x. tan 3x
x→ 0
5x 2
lim
236.
lim
237.
lim
238.
x 2 + 3x
lim
x→ 0 sin x
x→ 0
1 + cos x
1 + sin x
1 − cos 2 x
x→ 0 1 − cos x
x→ 0
240.
lim
241.
lim
1 − cos 2
251.
252.
lim1
x→ π
2
1
x
2
(
lim
)
254.
lim1
2
1 + cos 2 x
cos x
π
3( x − a )
x→ a sin ( x − a ) + 2 x − 2 a
255.
lim
256.
x 3 − ( a + 1) x 2 + ax
lim 2
x→1 x − 1 + tan( x − 1)
x3 + 3x2 + 2x
257.
lim
sin 8 x + sin 2 x
x→ 0
4 x cos 3 x
258.
lim
sin 2 x
3 − 2x + 9
259.
lim
x→ 0
(x
2
)
− 5 x + 6 sin ( x − 2)
242.
(x − x − 2)
(x − 1)sin 6 x
lim
243.
lim
244.
lim
x→ 2
2
2
2
Limit
sin x − cos x
1 − sin 2 x
sin x 2 − 1
x→1
x −1
253.
x→
sin 3x − sin 3 x. cos 2 x
4x 3
cos x − sin x
1
x− π
4
π
4π
sin 3 x + + sin x −
3
3
limπ
2π
x →−
2x +
3
3
2x 2
lim
1
x→ π
4
235.
239.
sin 5 x − sin 2 x
lim
x→ 0 sin 8 x − sin 3 x
)
1 − sin x
lim
π π
x→
−x
2
2
sin x − sin
245.
x→ 0
x→ 0
(
)
1 + cos x
x →π
x −π
sin 2 x(1 + cos x )
x→ 0 tan x (1 + 3 sec x )
3 sin 2 x − 2 sin 3 x
x→ 0
x(1 − cos 3x )
www.matikzone.wordpress.com
260.
x3
lim
x→ 0 sin 2 x − tan 2 x
264.
x −3
lim
x →3 x − sin ( x − 3) − 3
261.
lim
tan x − sin x
x→ 0
x3
265.
lim
266.
tan x − tan y
lim
**
x→y x
x
− 1 + − 1 tan x tan y
y
y
262.
1 − cos (x + 3)
x →−3 x 2 + 6 x + 9
263.
1 − 1 − sin 2 ( x − a )
lim
x→ a ( x − a ) tan 5( x − a )
lim
x→ 0
sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin 18 x
3 sin x − sin 3x
Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:
267.
f (x ) =
268.
f (x ) =
269.
f (x ) =
270.
271.
f (x ) =
f (x ) =
x 2 −1
x2 + x
x
2x − 3
274.
1; unt x < 0
f (x ) =
1 − x; unt x ≥ 0
275.
2 x; unt x < 0
f (x ) =
− x; unt x ≥ 0
276.
x; unt x < 0
f (x ) = 1; unt x = 0
x 2 ; unt x > 0
277.
x2 − 1
f (x ) =
x −1
278.
x2 − 1
; unt x ≠ 1
f (x ) = x − 1
2; unt x = 1
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
x2 + 2x + 3
x3 − 1
2x 2 − 5x − 3
x2 + x − 2
272.
f (x ) =
x2 + 1
x 2 + 3 x − 10
273.
f (x ) =
2x +1
x − x+1
2
Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:
279.
f ( x ) = 5 , pada x = 1
280.
f (x ) = 5 x − 10 , pada x = – 3
281.
f (x ) =
8
, pada x = 3
x−3
282.
f (x ) =
1
, pd x = 3 dan x = –2
x − x−6
Limit
2
www.matikzone.wordpress.com
283.
f (x ) =
3x − 12
, pada x = 4
x − 7 x + 12
284.
f (x ) =
3x 2 + 3x − 6
, pada x = – 2
2 x 2 − 2 x − 12
2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
x +1
285.
x
lim
x →∞ x + 1
286.
2
lim 1 +
x →∞
3+ x
287.
x +5
lim
x →∞ x + 3
288.
2x + 2
lim
x →∞ 2 x + 6
2 x +3
291.
3x + 1
lim
x →∞ 3x + 5
2 x+ 3
292.
2 − 5x
lim
x →∞ 1 − 5 x
7x + 2
293.
6x + 5
lim
x →∞ 6 x − 1
294.
x + 3x + 2
lim 2
x →∞ x + 5x + 1
−2 x
x+6
x
289.
a
lim 1 +
x →∞
x
ax
290.
1
lim 1 +
x →∞
x
2x
2
Hitunglah nilai dari lim
h →0
2 +1
x +1
f ( x + h) − f ( x )
dari fungsi-fungsi berikut:
h
295.
f (x) = 9
296.
f (x) = 5x
302.
f (x ) = x 3
297.
f (x ) = 8 x − 10
303.
f (x ) = 2x 3
298.
f (x ) = x 2
304.
f (x ) = x
299.
f (x ) = 3x 2
305.
f (x ) = 2 x
300.
f (x ) = −2 x 2 + 1
306.
301.
f (x ) = 2 x + 3 x
f (x ) = 2 x + 1
Limit
x
2
www.matikzone.wordpress.com
Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
( ax
2
)
+ ax − (2 x − 1) =
9
, carilah nilai a yang memenuhi.
4
307.
Jika lim
308.
Diketahui lim f ( x ) = 6 . Nilai lim
309.
Diketahui lim f ( x ) = 16 dan lim g (x ) = −2 . Maka nilai lim
310.
Buktikan bahwa lim x sin
311.
a a2
Buktikan bahwa lim n 2 1 − cos =
n →∞
n 2
312.
Diketahui lim
313.
Hitunglah a dan b jika diketahui lim
314.
Jika lim
315.
Hitunglah nilai a + b, jika lim
x →∞
x→ 2
x→ 2
x →10
f ( x )( x + 5 ) + f 2 ( x ) − 3
adalah ...
x +1
x →10
x →10
x →∞
(
)
f (x ) + 3g ( x ) adalah ...
4
2
=2
x
p−5
= −2 . Maka nilai p adalah...
x →−1 x + 4
x →3
x →∞
( ax
2
ax − b
= −2 .
x2 − 9
)
+ bx − 1 − 4 x 2 − 7 x + 2 = 4 , maka tentukan nilai a + b.
x→ 4
ax − 3 − bx + 5 1
= .
x−4
3
Catatan:
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
Limit
www.matikzone.wordpress.com