TEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)
TEORI HIMPUNAN
(Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi
dan Representasi Himpunan)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan Matematika FKIP
1
2
1
2
1
2
Well-defined
Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan,
S
= {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai
{2, 3, 5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a
Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai
{2, 3, 5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a
Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai
{2, 3, 5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a
Mana yang merupakan himpunan? 1 kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6
Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2
kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3
kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4
kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5
kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Mana yang merupakan himpunan? 1
kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 Himpunan kosongkah? 1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2
himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul
3 apakah {0} merupakan himpunan kosongHimpunan kosongkah? 1
himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2
himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul 3 apakah {0} merupakan himpunan kosong Himpunan kosongkah? 1
himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul 3
apakah {0} merupakan himpunan kosong Himpunan kosongkah? 1
himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul 3 apakah {0} merupakan himpunan kosong Himpunan kosongkah? 1
himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul 3 apakah {0} merupakan himpunan kosong Think about it!
Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan?
Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau
Think about it!
Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan? Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jika setiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan himpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jika setiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati
Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan himpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jika setiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati
Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan himpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A
⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama.
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A
⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama.
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A
⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama. Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A
⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama. Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A
⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama. Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh 1 A = {x|x
2
− 8x + 12 = 0} dan B = {x|x
2 − 4 = 0} Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh 1 A = {x|x
2
− 8x + 12 = 0} dan B = {x|x
2 − 4 = 0} Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh 1 A
= {x|x
2
− 8x + 12 = 0} dan B = {x|x
2
− 4 = 0} Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh 1 A
= {x|x
2
− 8x + 12 = 0} dan B = {x|x
2
− 4 = 0} Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A ||B) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
Contoh
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A ||B) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
Contoh
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A ||B) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
Contoh
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A ||B) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
Contoh
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.
Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.
Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.
Contoh 1 Himpunan A
= {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ. 2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M. 3 Jika P
= {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p ∈ R 2 q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u ∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R dan juga t
6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1
p
∈ R 2
q 6∈ P 3 u
∈ R Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A 1 ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A 1 ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A 1 ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A 1 ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A 1 ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis
A 1 ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩ Q = φ Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A
1
atau A
c
) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis
A c
= {x|x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A − B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis
A
− B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A − B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis
A
− B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A − B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis
A
− B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A − B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis
A
− B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A − B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis
A
− B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A
- B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A
- B = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)} 1
- B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
- B = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)} 1
- B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
- B = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)} 1
- B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
- B = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)} 1
- B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
- B = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)} 1
2
2 Jika A = {x|x − 8x + 12 = 0} dan B = {x|x − 4 = 0} Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A
A
2
2 Jika A = {x|x − 8x + 12 = 0} dan B = {x|x − 4 = 0} Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A
A
2
2 Jika A = {x|x − 8x + 12 = 0} dan B = {x|x − 4 = 0} Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A
A
2
2 Jika A = {x|x − 8x + 12 = 0} dan B = {x|x − 4 = 0} Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A
A
2
2 Jika A = {x|x − 8x + 12 = 0} dan B = {x|x − 4 = 0} Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram
Venn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}. Misalkan pula A
= {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan
C
= {3, 5, 7, 9}. Tentukan: Hukum-hukum operasi himpunan A
∩ A = A
∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A
∩ B = A ∪ B
A
∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A
∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A
A
A
∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A
∪ B = B ∪ A
A
∩ B = B ∩ A
A
∪ A = A
∪ B = A ∩ B Misalkan A dan B dua himpunan yang berpotongan, n (A) = a,
n
(B) = b, dan n(A ∩ B) = x, maka
n
(A ∪ B) = n
(A − B) + n(B − A) + n(A ∩ B) =
(a − x) + (b − x) + x = a Persoalan
Di sebuah warung makan datang 100 tamu. 65 tamu memesan pecel, 58 tamu memesan soto, dan semua tamu memesan paling sedikit satu soto atau pecel.
a. Berapa tamu yang memesan pecel atau soto?
b. Berapa tamu yang memesan pecel dan soto?
Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n (A) = a, n(B) = b,
n
(C) = c, n(A ∩ B) = x, n(B ∩ C) = y, n(A ∩ C) = z, dan
n
(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)!
Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang
memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n (A) = a, n(B) = b,
n
(C) = c, n(A ∩ B) = x, n(B ∩ C) = y, n(A ∩ C) = z, dan
n
(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)! Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10 Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3 (A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5 (A − B) ⊂ A
Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3 (A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5 (A − B) ⊂ A
Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3 (A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A
⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5 (A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Buktikan 1 A ⊂ (A ∪ B) 2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. 3
(A ∩ B) ⊂ A 4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B 5
(A − B) ⊂ A Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan
|A|
Contoh
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan
|A|
Contoh
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan
|A|
Contoh
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan
|A|
Contoh
Power Set
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan
kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari
A, dan dinotasikan P
(A)
Contoh
Power Set
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan
kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari
A, dan dinotasikan P
(A)
Contoh
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka
n A memiliki 2 subset.
Bukti Misalkan A , x , ..., x = {x }. Untuk menyusun sebuah subset B
1 2 n pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen
dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka
n A memiliki 2 subset.
Bukti
Misalkan A , x , ..., x = {x }. Untuk menyusun sebuah subset B
1 2 n
pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element
Definisi
Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai
A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B} More generally Definisi
Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai
A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B} More generally Produk Kartesius dan Komputasi
Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu
Misalnya
Produk Kartesius dan Komputasi
Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu
Misalnya
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan
semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah
L
× L × L × D × D × D × L
Kode pengguna
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan
semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah
L
× L × L × D × D × D × L
Kode pengguna
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan
semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah
L