Analisis Vektor dan Fasor

  EE EE 2823 2823 ELEKTROMAGNETIKA I ELEKTROMAGNETIKA I Analisis Vektor dan Fasor

  Modul #02 Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung – 2006

  2 Outline „

  Pendahuluan „

  Aljabar Skalar „

  Aljabar Vektor „

  Sistem Koordinat „

  Transformasi Koordinat „

  Jarak Antara 2 Titik „

  Integrasi dan Diferensiasi Vektor „

  Gradien, Divergensi, dan Curl

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

  A r

  Magnitude (besar) vektor

  A e ^{θ + ω}

  θ ∠ A pengganti, A cos(wt+θ) atau, ^{) t ( j}

  A

  Fasor

  A

  atau

  Vektor

  3 A. Berbagai Terminologi Vektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah

  ƒ Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalar ƒ Medan vektor, daerah pengaruh besaran vektor Notasi

  Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakan daerah pengaruh besaran fisis.

Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2

( dua ), yaitu :

  4 Berbagai Terminologi Medan Medan secara definitif berarti daerah pengaruh.

  Definisi vektor dan skalar,

  Contoh : temperatur, massa, kelembaban, massa, panjang, berat jenis, resistivitas, dsb Keterampilan dalam me mbaca vektor dan fasor sangat diperlukan dalam elektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat penting dikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam Medan Elektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.

  Skalar Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalam magnitudo (besar) saja

  Contoh : medan, gaya, kecepatan mobil , angin percepatan, dsb

  A r

B. Aljabar Skalar

  Skalar ada 2 macam :

  a. Skalar biasa, Dinyatakan dengan bilangan riil

  b. Skalar kompleks, atau FASOR Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa juga dinyatakan dalam amplituda dan sudut .

  

Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal.

  ¾ Bentuk skalar kompleks

• A A a jb = =

  Ada 2 macam bentuk : dimana,

  ƒ Bentuk j = −

  1 rectangular

  ƒ Bentuk polar j ( φ ) _A

  A = A ∠ φ = A e A

_{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor}

  5 Aljabar Skalar ¾ Operasi-Operasi Bilangan Kompleks

  Misal diketahui dalam,

  ƒ Rectangular A a jb B c jd

  = = + + dan ƒ Polar _{j j φ φ A B}

  A = A ∠ φ = A e dan B = B ∠ φ = B e _{A B}

  ƒ Penjumlahan dan Rectangular, pengurangan A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d) A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d)

  Polar Ubah dulu ke bentuk rectangular, operasikan spt diatas, kembalikan lagi ke bentuk polar

  Polar

  ƒ Pangkat dan akar _{n jn} pangkat n φ _A

  A A n A e = ∠ φ = _{A j} ⎛ φ A ⎞ _n ⎜ ⎟ _n ⎛φ ⎞ _{n A n} ⎝ ⎠ A A A e

= ∠ =

  ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠

  Rectangular

  Lebih baik diubah dalam bentuk polar dulu

  6

  Aljabar Skalar ƒ Perkalian Rectangula r

ƒ Pem bagian Ubah dulu kebentuk polar, operasikan spt di bawah,

kembal ikan lagi kebentuk rectangular Polar _{j φ j φ A B}

  AB A . B A e . B e = ∠ φ ∠ φ = _{A B j ( ) A B + φ φ} = A B ∠ ( φ φ + ) = A B e _{A B j φ A}

A ∠ φ A e

A A = = _{j φ B} B . B ∠ φ B e

_B

A A _{j ( ) φ − φ A B} = ∠ ( φ − φ ) = e _{A B} B B

  ¾ Identitas Euler ± jm

  Re e = cos( m ) [ ]

  ± jm = ± e cos( m ) j sin( m )

  1

  2

  3

  1

  2

  3 _{Re al Im ajiner} ± jm Im e = ± sin( m )

  [ ] ¾ Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal d (...)

  1 = ω (...) dt = (...) j (...) dan

  ∫ j ω dt _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor}

  7 C. Aljabar Vektor

  Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada besaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yang berlaku dalam aljabar vektor.

  ¾ Representasi Vektor (anah panah)

• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor
• Arah anak panah mewakili arah vektor

  ¾ Notasi Vektor Dalam Koordinat r dimana, _{u u v v w w} + + D = D aˆ D aˆ D aˆ adalah vektor satuan masing

a ˆ , a ˆ , dan a ˆ

_{u v w} masing sumbu koordinat

  ¾ Vektor Satuan Misal : r r maka,

  A A a ˆ = _A r aˆ adalah vektor bermagnitudo satu dengan arah sesuai arah _A

  A vektor

  8

  Aljabar Vektor Lanjutan….(vektor satuan). r r r

  A A = = + + A = A aˆ A aˆ A aˆ aˆ jika , maka r _{u u v v w w A 2 2 2} A A A A _{u v w} + +

  ¾ Operasi vektor Penjumlahan vektor _{r r A r + A B} Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektor

adalah :

a. Memenuhi Hukum Komutatif

  r r r r

• A B = B A _{B A − B = A ( − B ) = ( − B ) A r}

  r r r r r r _r

• _B

  b. Memenuhi Hukum Asosiatif _{A A ( B C ) = ( A B ) C r} r r r r r r _{A B + r r} + + + + Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen vektor

  Tanda minus (-) pada vektor berarti besarnya sama, arah berlawanan _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor}

  9 Aljabar Vektor Perkalian Dengan Skalar r r

  A

• m A = m A aˆ A aˆ A aˆ

  ( ) _{x x y y z z} r

  = + + mA aˆ mA aˆ mA aˆ _{x x y y z z}

2 A

  1 0

• = •
• = + •

  α B r

  = × maka

  C B A r r r

  − + − + − = r Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :

  = × = B A C r r r

  Jika dan Maka, _u aˆ _v aˆ _w

aˆ

_u aˆ _v aˆ _u A A _v

A

_w A _u A _{v u} B B _v

B

_w B _u B _v

  1 2 Aljabar Vektor Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…) _{w w v v u u} A aˆ aˆ A aˆ A A

  Arah vektor C sesuai dengan arah sekrup yang diputar dari vektor A ke vektor B

  A r

C

r

  Dengan, Adalah vektor satuan berarah sesuai vektor C, dan tegaklurus terhadap vektor A dan vektor B ^c aˆ

  Vector (cross) product of two vectors _{c c} B aˆ sin A aˆ C B A α = = × r r r r

  A r α cos A r

  α B r

  A r α cos B r

  α B r

  b. Memenuhi hukum distribusi ) C A ( ) B A ( ) C B ( A r r r r r r r

  a. Memenuhi hukum komutatif A B B A r r r r

  B cos A B A r r r r = •

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 1 1 Aljabar Vektor Scalar product α

• = r
_{w w v v u u} B aˆ aˆ B a&circ
• = r
• + + + - - -
_{w u v v u v w u u w u v w w v} ) aˆ B A B A ( aˆ ) B A B A ( aˆ ) B A B A ( C

  

C ) B A ( A B

r r r r r

− = × − = ×

• − • = × ×
• ∇ − • ∇ + • ∇ − • ∇ ≡ × × ∇ C ) B A ( B ) C A ( ) C B ( A r r r r r r r r r
• − • ≡ × ×
• × ≡ • × ≡ • × B A A B ) B A ( r r r r r r r r r
• ∇ + • ∇ ≡ + • ∇
• ∇ + ∇ • ≡ • ∇ W V ) W V ( ∇ + ∇ ≡ + ∇ r r r

  A ≡ × ∇ • ∇ r r r

  V V ² ∇ ≡ ∇ • ∇ r r r

  V V A ) A V ( r r r r r r

  A

  ∇ − • ∇ ∇ ≡ × ∇ × ∇ ) B ( ) A ( ) B A ( r r r r r r r

  × ∇ + × ∇ ≡ + × ∇ A ) A ( A ² r r r r r r r r

  × ∇ + × ∇ ≡ × ∇ ) B ( ) A ( ) B A ( r r r r r r r

  V ( r r r r r r

  V A V ) A

  B ) A C ( A ) C B ( ) C ) B A ( r r r r r r r r r

  × ∇ • − × ∇ • ≡ × • ∇ A

  × ∇ × + × ∇ × + ∇ • + ∇ • ≡ • ∇ B ) A ( A ) B ( ) A ( B ) B ( A ) B A ( r r r r r r r r r r r r r r r

  ) A ( B ) B ( A A ) B ( B ) A ( ) B A ( r r r r r r r r r r r r r r r

  Aljabar Vektor

  1 4 ¾ Berbagai Identitas Vektor

  ( ) b a c c a b c b a r r r r r r r r r

  ( ) ( )

  × • = × • = × • ( ) b a a = × • r r r

  ( ) ( ) ( ) a c b b a c c b a r r

r r

r r r r r

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 1 3 Aljabar Vektor Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...

  V ≡ ∇ × ∇ r r

D. Sistem Koordinat

  ¾ Posisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensi dinyatakan sebagai :

  P(u, v, w) ¾ Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan : r ˆ ˆ ˆ

  D = D a D a D a _{u u v v w w} + + ¾ 3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan :

• Koordinat Kartesian • Koordinat Tabung ( Silindris )
• Koordinat Bola ( Spheris )

  z z z a z a _r a _φ

  ρ ₁ a _φ

  θ P _P z ¹ a _{z ρ}

a

a _y y y r a _θ y a _x φ ¹ φ x x x _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 1 5

  Sistem Koordinat Arah orientasi... z z z a z a _r a _φ

  ρ ¹ a _φ

  θ P _P z ₁ a _{z ρ}

a

a y _y y r a y θ a φ _x ¹

  φ x x x

  1 6

• ∂
• ∂

  ⎜⎜⎝ ⎛

  ∂ ∂

  ∂

  ∂ = • ∇ _{w v u v w u u w v w v u}

  D h h w D h h v

  D h h u h h h

  1 D r r

  Laplacian dari suatu skalar G

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎟⎟⎠ ⎞

  ⎜⎜⎝ ⎛

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ⎥⎦ ⎤

  ∂ ∂

  ⎜⎜⎝ ⎛

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  = ∇ • ∇ = ∇ w G h h h w v

  G h h h v u

  G h h h u h h h

  1 G G _w ^{v u} _v ^{u w} _u ^{w v} _{w v u} ² r r r

  Kurl (pusaran) dari vektor D w w v v u u ^{v u w w u v w v u}

  D h D h D h u u u h h aˆ h h aˆ h h aˆ

  D ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ⎢⎣ ⎡

  Divergensi dari suatu vektor D ( ) ( ) ( )

  ∂ = × ∇ r r

  ; Luas sisi diferensial _{v u v u uv} d d h h dS

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 1 7 Sistem Koordinat Variabel Faktor skala Sistem koordinat u v w h _u h _v h _w

  Kartesian x y z

  1

  1

  1 Silindris ρ φ

  z

  1 ρ

  1 Spheris r θ φ 1 r

  r sin

  θ

  Panjang sisi volume diferensial _{u u u} = d h dL ; _{v v v} = d h dL

  ; _{w w w} = d h dL Vektor lintasan diferensial _{w w w v v v u u u}

  L aˆ d h aˆ d h aˆ d h d + + = r

  = ; w v w v vw d d h h dS

  ∂ = ∇ r

  = ; w u w u uw d d h h dS

  = Vektor normal luas diferensial _{w uv uv}

  S aˆ dS d = r

  ; _{u vw vw} S aˆ dS d = r

  ; _{v uw uw} S aˆ dS d = r

  Volume diferensial _{w v u w v u} d d d h h h dV

  = 1 8 Sistem Koordinat Gradien dari skalar G _{w w v v u u}

  aˆ w G h

  1 aˆ v

  G h 1 aˆ u

  G h

  1 G ∂ ∂

  ∂

• ∂
• ∂
• ⎟⎟⎠ ⎞
• ⎟⎟⎠ ⎞

  Sistem Koordinat Representasi elemen volume dalam gambar z a _z dxdy z a _y a dydz dxdz _x y r d

  θ x r sin

  θ dφ θ+dθ z dr _{d ρ}

  θ ρdφ

  φ _dz r y r+dr

  ρ+ φ+dφ z+dz d

  ρ ρ z

  φ x y

  φ+dφ x _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 1 9

E. Transformasi Koordinat

  ¾ Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian

• Transformasi Variabel r r A ( x , y , z ) ⇔ A ( ρ , φ , z )

  Tabel 1 Silindris Kartesian ⇒ Kartesian ⇒ Silindris _{2 2} = cos ρ φ x

• ρ = x y y = sin ρ φ _{1 ⎛ y ⎞}

  − φ = tan ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ z = z z = z

• Dot Product Vektor Satuan

  aˆ aˆ aˆ ρ φ z

• Tabel 2

  φ − sin φ cos aˆ _x φ φ sin cos aˆ _y aˆ _z

  1 2 0

  Transformasi Koordinat r r

  

⇔ ρ φ

• Transformasi Vektor A ( x , y , z ) A ( , , z )

  r

• A ( x , y , z ) = A ( x , y , z ) aˆ A ( x , y , z ) aˆ A ( x , y , z ) aˆ

  x x y y z z Langkah 1,

  Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah r r r r

  ⇒ ρ φ ρ φ ⇒ A ( x , y , z ) A ( , , z ) A ( , , z ) A ( x , y , z ) r r

• = • A = A ( ρ , φ , z ) aˆ A A ( x , y , z ) aˆ _{x x}

  ρ ρ r r

• A = A ( ρ φ
• , , z ) aˆ A = A ( x , y , z ) aˆ y y

  φ φ r r

  = ρ φ •

• A A ( , , z ) aˆ = A A ( x , y , z ) aˆ z z _{z z}

  Langkah 2, Ubah variabel !! Lihat tabel 1 r

• A ( ρ , φ , z ) = A ( ρ , φ , z ) aˆ A ( ρ , φ , z ) aˆ A ( ρ , φ , z ) aˆ

  ρ ρ φ φ z z _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 2 1 Transformasi Koordinat Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian...

  Contoh : Mencari A ρ

• A = A ( x , y , z ) aˆ aˆ A ( x , y , z ) aˆ aˆ A ( x , y , z ) aˆ aˆ

  ( ) ( ) ρ x ( x ρ ) y y ρ z z ρ

  1

  42 _{cos φ sin φ}

  4

  3

  1

  42

  4

  3

  1

  42

  4

  3

• aˆ aˆ
• = φ ^o

  = = ^o

  1 1 = φ = • cos − φ aˆ aˆ

  1 1 cos

  90 _x ρ aˆ aˆ

  1 1 cos 90 sin ρ _{y ρ o} ( ) z 90 − φ

aˆ

_y

y y

  φ aˆ _{x aˆ aˆ ρ}

  

ρ

x x Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :
• A = A cos φ A sin φ _{x y A A cos A sin}

  

= φ − φ

ρ ρ φ _{x Lihat bahwa komponen}

  Lihat bahwa komponen

  A = − A sin φ A cos φ _{x y} A = A cos φ A cos φ φ y ρ φ posisi angular φ ! posisi angular φ !

• vektor tergantung pada

• +

  vektor tergantung pada

  A = A _{z z} A = A _{z z} 2 2

• Transformasi Variabel
• z y x r + =

• Dot Product Vektor Satuan
• _r
• Transformasi Vektor
• = r
• =
>= <
• φ θ =
• φ θ =
• φ θ =

  − _y aˆ φ θ sin sin φ θ sin cos φ cos _z aˆ θ cos

  θ sin −

  Tabel 1 Tabel 2 2 4

  ) , , r ( A ) z , y , x ( A φ θ ⇔ r r _{z z y y x x}

  ) aˆ z , y , x ( A aˆ ) z , y , x ( A aˆ ) z , y , x ( A ) z , y , x ( A

  φ φ θ θ φ θ + φ θ + φ θ = φ θ

  ) aˆ , , r ( A aˆ ) , , r ( A aˆ ) , , r ( A ) , , r ( A r r r

  Transformasi Koordinat Langkah 1, Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

  φ φ θ θ

  ) aˆ z , y , x ( A A ) aˆ z , y , x ( A A ) aˆ z , y , x ( A A _{r r} r r r z z ^{y y x x}

  ) aˆ , , r ( A A ) aˆ , , r ( A A ) aˆ , , r ( A A

  r r r

  ) z , , ( A ) z , y , x ( A φ ρ ⇒ r r

  ) z , y , x ( A ) , , r ( A r r

  ⇒ φ θ Langkah 2,

  θ φ cos φ θ cos cos φ sin

  φ aˆ _x aˆ sin

  aˆ θ a ˆ

  φ θ

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2 3 ¾ Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian

  Transformasi Koordinat

  ) z , y , x ( A r

⇔ ) , , (

  φ θ r A

  

r

≥ r dan π θ

  ≤ ≤ Spheris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Spheris

  cos sin r x = ^{2 2 2}

  φ tan

  φ θ

  = sin sin r y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛ = ⁻ r z ¹ cos

  θ

  z = r cos θ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ = ⁻ x y ₁

  Ubah variabel !! Lihat tabel 1 Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

• =
_{cos r z z sin sin r y y cos sin r x x r} , aˆ aˆ z y , x A aˆ aˆ z , y , x A aˆ aˆ z , y , x A A proyeksikan vektor satuan a _r pada bidang x-y

  Dapatkan pengertian bahwa notasi dot adalah proyeksi !!! Dapatkan pengertian bahwa notasi dot adalah proyeksi !!! 2 6

  φ θ

  , lalu proyeksikan sekali lagi pada vektor satuan a _x

  (atau sumbu-x) r aˆ

  θ x-y z

  θ θ − ^o

  90 ) y x ( ^r aˆ

  − φ x y _x aˆ ) y x (

^r

aˆ

  − φ

  Jarak antara 2 titik P dan Q adalah magnitudo dari perbedaan vektor P dan Q _{z z y y x x}

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2 5 Transformasi Koordinat Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

  P aˆ p aˆ p aˆ p + + = r _{z z y y x x} Q a q a q a q ˆ ˆ ˆ + + = r

  ( ) ( )

  ( )

z z z y y y x x x

  PQ aˆ p q aˆ p q aˆ p q − + − + − =

  ( )

( )

  ( )

  2 z z 2

y y

  D p q p q p q − + − + − =

  Jarak antara P dan Q :

  1 θ

φ θ

  42

  3

  A cos sin cos A cos cos A A A cos sin sin A cos sin A A _{y x z y x z y x r}

  θ − θ = φ + φ θ + φ θ =

  φ − φ θ + φ θ = _{θ φ θ φ θ} A sin cos A A

  A cos sin cos A sin sin A A A sin cos cos A cos sin A A _{r z r y r x}

  Contoh : Mencari A _r

  φ θ = • cos sin aˆ aˆ _{x r} φ θ = • sin sin aˆ aˆ _{y r} θ = • cos aˆ aˆ _{z r}

  Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :

  φ + φ − = θ − φ θ + φ θ =

  θ + φ θ + φ θ = _{φ θ} A cos sin A A

  ( )( ) ( )

( )

  4

  ( )( )

  4

  3

  42

  1

  

4

  3

  42

  1

F. Jarak Antara Dua Titik

2 PQ x x

G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor

  ¾ Integral Garis a b _i

• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali pada kuliah Matematika Teknik atau Kalkulus

  • Untuk Skalar,

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2 7

  l ∆

  countour c

  A(l i

  )

  ∑ ∫ = ∞ →

  Pada kurva /countor c pada gambar di samping, kurva dipotong-potong dalam sejumlah N elemen panjang ∆l i

  Dapat dibayangkan bahwa integrasi disamping berarti adalah luas daerah di bawah contour c a b c ⁱ

  ∆ l 2 8 Integrasi dan Diferensiasi Vektor

• Untuk Vektor,

• • Integral garis komponen vektor tangensial terhadap countour

• C

  → = ∞ → → ∆

  = ∆ = ∑ ∫

  ^N ab l lim dl _{1 i i N l} ^b _{a i}

  ∫

  ) dl z , y , x ( t ) z , y , x ( A r r

  → ∆ ∆ = ^N _{1 i i i N l} ^b _a ) l l ( A lim dl ) l ( A _i

  Integrasi dan Diferensiasi Vektor r d l

  Integral garis sering dijumpai dalam persoalan elektromagnetika.

  Sebagai contoh : Energi medan didefinisikan

  b b

  r sebagai integral garis dari r

  W = F d l = F cos θ dl ∫ ∫ sepanjang countour

• gaya-gaya yang diderita

  a a

  r adalah vektor garis singgung terhadap countour d l r r

  Baik dan d l tergantung pada posisi- F nya _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 2 9

  Integrasi dan Diferensiasi Vektor z ¾ Integral Luas

• Untuk skalar,

  z

  2 _{y z 2 2} S z

  1 = = = S dS dydz dy dz

  Luas ∫ ∫∫ ∫ ∫ _{S ∆ y ∆ z y z 1 1} y y

  1

  2 y

• Untuk Vektor,

  x Komponen vektor yang menembus suatu permukaan/ bidang (fluks) dapat dinyatakan : r r r

  = • ∆ = ∆ α

fluks F S F S cos

Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan : r r r tegaklurus

  Ingat, selalu d S fluks total F d S = •

  ∫ terhadap permukaan dS !!

  S 3 0

H. Gradien, Divergensi, dan Curl

  ¾ Gradien Gradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan dan peningkatan tercepat arahnya menunjukkan arah dari medan skalar tersebut

  Sumber Api Ilustrasi ...

  r Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber) r A B

  Jika terukur suhu pada suatu titik X, maka A gradien terhadap suhu di X adalah vektor ,

  X B

  

dan bukan vektor

_{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 3 1 Gradien, Divergensi, dan Curl Gradien... Gradien ....

  φ

• Jika adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :

  

r r

∂ ∂ ∂ dimana,

  ∇ = aˆ aˆ aˆ + + Gradien Grad φ = φ = ∇

  φ _{x y z} ∂ x ∂ y ∂ z operator Del sehingga, r ∂ φ ∂ φ ∂ φ aˆ aˆ aˆ ∇ φ = _{x y z} + +

x y z ( untuk koordinat kartesian )

  ∂ ∂ ∂

• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalah potensial listrik ( V ).

  

Jika φ diganti V, maka :

r r r r atau ,

  ( untuk medan statis ) ∇ = −

  = − ∇

  V E E

  V arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor yang berarah menuju potensial yang lebih besar ( yang berarah menuju potensial yang lebih besar ( ilustrasi…. menuju kearah sumber itu sendiri ) menuju kearah sumber itu sendiri )

  3 2

  Gradien, Divergensi, dan Curl r ∇

  V Lihat gambar di samping ! r

  Arah gradien terhadap potensial E menghasilkan vektor yang berarah menuju kearah potensial ^{V 1}

• ^V
² _{V 3 yang lebih besar V 4} → menuju kearah sumber itu sendiri Jika sumber itu adalah API, maka gradien terhadap SUHU akan mengarah

  V &gt; ₁ V &gt; ₂ V &gt; ₃ V ₄ kepada suhu yang lebih besar, yaitu api z

itu sendiri.

  Jika misalkan suhu berubah terhadap x, y maka komponen gradien terhadap x ada, …..dst. x _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 3 3

  Gradien, Divergensi, dan Curl Gradien... Contoh : Misalkan,

  2

3 V ( x , y , z ) = x yz

  maka, r r ⎡ ⎤

  ∂ ∂ ∂ _{2 3} ˆ ˆ ˆ E V a a a x yz

  = − ∇ = − + + _{x y z} [ ] ⎢ ⎥ x y z

  ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ _{2 3 2 3 2 3} ⎡ ⎤ ∂ ( x yz ) ∂ ( x yz ) ∂ ( x yz )

  ˆ ˆ ˆ a a a

  = − _{x y z} + + ⎢ ⎥ x y z

  ∂ ∂ ∂ ⎣ _{3 2}

₃

_{2 2} ⎦ ˆ ˆ ˆ = − 2 xyz a x z a

+ +

3 x yz a

  

[ ]

_{x y z} Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medan listrik E dapat langsung diketahui

  3 4

  Gradien, Divergensi, dan Curl ¾ Divergensi

  Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor, sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektor tersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).

  Flux : adalah netto aliran yang menembus permukaan dengan arah normal terhadap permukaan r r = • Ψ F d S = F cos θ dS

  ∫∫ ∫∫ _{S S} r d S = dS nˆ

  Vektor dS selalu tegaklurus terhadap elemen permukaan dS _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 3 5

  Gradien, Divergensi, dan Curl Sehingga, Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutup pasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut r r Ψ = F d

• S

  ∫∫ S Ilustrasi ...

  Jika kita ingin mengetahui apakah ada sumber yang ada dalam suatu ‘bola’ ...bisa didapat dengan menghitung fluks total yang menembus bola tersebut ... baik fluks masuk maupun fluks keluar bola

  3 6

  Gradien, Divergensi, dan Curl Definisi divergensi

  

Divergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil,

mengamati apakah ada ‘sumber’ atau tidak di dalam volume

tersebut

  Definisi dan Simbol

• r r

  D d S r r ∫

• simbol

  ∆ _S

  D lim ∇

• z

  ∆ →

  y ^V ∆

  x ∆

  V ∆

  Pada Koordinat Kartesian,

• r r ⎡ ∂ ∂ ∂ φ ⎤ ∇ + • =
• D aˆ aˆ aˆ D aˆ D aˆ D aˆ

  _{x y z [ x x y y z z ]}

  ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ x y z ⎣ ⎦ ∂

  D _y ∂ D ∂ D _{x z} =

  Skalar Product !! ∂ x ∂ y ∂ z

  

Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

_{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 3 7 Gradien, Divergensi, dan Curl Divergensi... Hasil operasi divergensi
• adalah SKALAR, karena Dot Product

  r

• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah D , maka :

  Hasil divergensi (+) Jumlah vektor keluar &gt; jumlah vektor masuk

• ada sumber

  

Artinya : Di dalam ruang

• Hasil divergensi (-)

  Jumlah vektor keluar &lt; jumlah vektor masuk Ada kekosongan

  Artinya : dalam volume dan Black Hole bersifat menyerap, contoh :

  Hasil divergensi = 0

• Jumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk Artinya : Tidak ada apa- apa dalam volume tersebut

  Sumbe r Kekosongan 3 8

  Gradien, Divergensi, dan Curl Divergensi... r r Bentuk persamaan diatas,

• F d S

  r r diturunkan secara langsung dari ∫ _S lim definisi operator divergensi

  = ∇ • F

  ∆ ^{V →} ∆

  V _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 3 9 Gradien, Divergensi, dan Curl

  Divergensi... r r D ∇ ρ

  = • v rapat muatan

  ρ = v

  Divergensi rapat volume fluks listrik, D, terhadap suatu volume, maka akan sumbe r diketahui muatan didalam volume itu

  4 0

• ∫
• S
• ∇

  4 2 Gradien, Divergensi, dan Curl Divergensi... Penurunan Teorema Divergensi ….

  ∫ ∫

= • ∇ = •

  Divergensi, ( )

  D ρ = • ∇ r r dengan substitusi maka, dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat Teorema

  : Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu (3) ^v

  Q dv ) D ( _v = • ∇ ∫ r r

  : Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu (2)

  Q dv _{v v} = ρ ∫

  : Rapat muatan yang menembus permukaan tertutup adalah total muatan itu sendiri (1)

  ∫ = • _S Q S d D r r

  Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkan

adanya rapat fluks listrik D , dan menimbulkan suatu daerah yang

terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut, E .

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 4 1 Gradien, Divergensi, dan Curl Divergensi...

  Hk Gauss Kesimpulan...

  Rapat fluks listrik yang me nembus permukaan tertutup adalah sama dengan total muatan yang dilingkupi permukaan itu sendiri Æ disebut

  S d D r r = Q

  ∫

  = ρ v

  dilambangkan sebagai = ρ v

  D r r

  → ∆ r r

  V S d D lim ^S _V ∆

  Sekarang, ....bandingkan ekspresi berikut !

  S v

Q dv D S d D

r r r r

  Gradien, Divergensi, dan Curl Contoh

Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...

(1)

Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….

r r E = − ∇

  V (2)

  Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari r r …..

  ε = konstanta permitivitas bahan D = ε E

  (3) Kemudian rapat muatan volume didapatkan…. r r ρ = • ∇

  D v

  (4) Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….

  Q = ρ dv v

  ∫ Q (5) Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya…. C =

  V _{EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor} 4 3 Gradien, Divergensi, dan Curl

  ¾ Curl / Pusaran Curl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil

  Cross Product, Vektor

• Curl adalah sehingga hasilnya adalah

  Definisi dan Simbol

r r

• r r ∫

  

H d L

∇ × H r lim r

• •

  simbol _L

  ∆ S → ∆

  H S H Curl digunakan untuk mengetahui medan

• dS

  vektor menembus permukaan diferensial dL r yang sangat kecil, yang menyebabkan r H

  H pusaran medan lain Perhatikan gambar di samping !!

• arus J yang menembus permukaan dS

  , rapat

  r menimbulkan suatu pusaran medan

  J magnetik H r r r ∇ × H = J

  4 4

• Pada Koordinat Kartesian,
• ∂ ∂ = × ∇ r r
• ∂ ∂
• × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣

  ∂ − ∂ ∂

  Vector Product !! Gradien, Divergensi, dan Curl Curl...

  ⎡ ∂ φ ∂

  ∂ =

  ∂ ∂ ∂ ∂

  ∂ ∂ = ∂

  ⎡ ∂ ∂ −

• ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣
• ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂

  ⎣ ⎡ ∂ ∂

  − ∂ ∂

  H ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  H aˆ aˆ H aˆ H aˆ z aˆ y aˆ x

  H y H H H H x x x aˆ aˆ aˆ

  H x H aˆ

x

H z H aˆ z

  [ ] z ^{x y y z x x y z z y x z y x z z y y x x z y x} aˆ y

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 4 5

  4 6 Rumus umum untuk pusaran ... Gradien, Divergensi, dan Curl Curl... Tugas : Silakan cari rumus curl untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

• × ∇ = • _{L S}

  EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 4 7 Gradien, Divergensi, dan Curl Curl... Penurunan Teorema Stokes ….

  ∫ = • _S

  I L d H r r (1)

  ∫ = • _S

  I S d J r r

  (2) J H r r r

  = × ∇ dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi : maka didapat

  Teorema Stokes, Bandingkan dengan Teorema Divergensi,

  ( ) ∫ ∫

  = • ∇ = • _{S v} Q dv D S d D r r r r

  ( ) ∫ ∫

  S d H L d H r r r r r

I. Berbagai Hubungan Matematis

  4 8