TRANSFER MOMENTUM TINJAUAN MIKROSKOPIK GERAKAN FLUIDA

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  

TRANSFER M OM ENTUM

TINJAUAN M IKROSKOPIK

GERAKAN FLUIDA

  Hingga sejauh ini kit a sudah mempelajari t ent ang mo ment um , gaya-gaya pada fluida st at ik, dan ihw al fluida bergerak dalam hal ner aca massa dan neraca ener gi.

  Pada bagian ini kit a akan mem pelajari lebih dalam t ent ang profil kecepat an alir an fluida, gaya dor ong yang menyebabkan fluida ber gerak dan gaya yang mengham bat gerakan it u, dan mem pelajar i bagaimana laju alir fluida dipengaruhi oleh sifat -sifat fluida dan r angkaian pipanya.

  Analisis sit uasi t er hadap fluida bergerak kit a m ulai dari ko nsepsi ger ak dan defor masi fluida sebagaimana t elah kit a bangun pada bagian aw al per kuliahan ini. Sekar ang mari kit a per hat ikan kembali gambar berikut .

  Bentuk awal Bentuk akhir

  Sx

  F y z x

  Dan kit a t elah sampai ke persamaan

  = =

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 Sekar ang sit uasinya kit a gant i dengan aliran fluida dalam pipa, seper t i ber ikut . r R p Fluida: ρ , μ

  1 p

  2 x

  L X = 0 X = L

  Pipa ber jari-jar i R. Fluida ber ger ak di dalam pipa ke ar ah X posit if. Fluida memiliki densit as sebesar dan mem iliki viskosit as sebesar Volume at ur (Cont rol

  ρ µ .

  Volume) unt uk fluida memiliki panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa pada ar ah r.

  Kar ena fluida bergerak ke arah X posit if (ke kanan), it u sama saja dengan mengat akan bahw a pipa ber ger ak ke kiri. Kalau pipa bergerak ke kir i maka akan ada t ransfer moment um dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida; dan sebaliknya jika kit a meninjau fluida ber ger ak ke kanan maka akan ada t ransfer moment um dari dalam fluida menuju dinding pipa. Dengan menggunakan asumsi bahw a ant ara fluida dengan per m ukaan pipa t idak t erjadi slip (fluida t idak t ergelincir ) dan fluida bergerak ke ar ah X posit if maka akan ada t r ansfer moment um ke ar ah r. Berapakah laju t ransfer moment um ke ar ah r ini? Sekarang fluida pada sist em gambar di at as kit a t injau dalam lingkup yang lebih kecil dengan mengam bil elemen fluida it u set ebal dr ke arah r sepert i ber ikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya bersifat t ak-mampu mampat (incompressible).

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  r r ∆ ∆ Garis pusat pipa Garis pusat pipa r r r + r + ∆ ∆ r r

  1

  1

  2

2 X

  X L L S = 2 S = 2 r r r r π π ∆ ∆

  

ELEM EN VOLUM E FLUIDA ELEM EN VOLUM E FLUIDA

  Pada elemen volume fluida ini ber laku hukum kekekalan moment um , yang pada keadaan st edi dapat dit ulis sbb.

  

−

= 0 +

  (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan

  Ada momentum

  dalam pada posisi r , yait u:

  ] [ 2 .

  

Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar

  ∀ . = = . ∀

  . Ingat : Jadinya: . = . / = .

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Dan karena dan maka:

  = = 2 , ∆

  . = ( 2 . ) ) ( ∆

  Jadi, moment um (gaya iner sia) pada t it ik 1 (x=0) adalah:

  . ) ( 2 ) ( ∆

  Kit a t uliskan:

  [ 2 . ] ∆

  

Ada gaya (t ekanan) t er hadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0),

  sebesar:

  ) ( 2

∆

  

Ada gaya (t ekanan) t er hadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L),

  sebesar:

  ) ( 2 − ∆

  (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan

  Ada momentum

  luar pada posisi r+ r , yait u:

  ∆ ] . [ 2

  ∆ Ada momentum (gaya iner sia) keluar pada penam pang 2, (pada x = L), sebesar

  [ 2 . ] ∆

  

Pada sistem ini juga ada bekerja gaya gravit asi, namun karena posisi

aliran adalah datar, maka gaya gravitasi ini tidak memberi konstribusi

terhadap gerak aliran.

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Sekar ang akan kit a jumlahkan semua gaya yang t elah diur aikan it u; kit a per oleh:

  [ 2 . ] + [ 2 . ] + ( 2 ) ( 2 ) ∆ ∆ − ∆

  [ 2 ] [ 2 ] . . = 0 − − ∆

  ∆

  Dan kit a susun kem bali:

  [ 2 . ] [ 2 . ] [ . ] − ∆

• +

  ∆

  ] ) (

[ . + ( 2 ) = 0

− ∆ ∆ −

  Kar ena fluida diasumsikan ber sifat incompressible dan luas penam pang pada z = 0 sama dengan luas penam pang pada z = L, maka v sama pada dua penam pang it u; dan dengan demikian suku ke t iga dan suku ke empat pada per samaan di at as akan saling meniadakan. Persamaan t erakhir t er sebut menjadi:

  

[ 2 . ] [ 2 . ] = ( 2 ) ( )

− − ∆ −

  ∆

  at au:

  [ 2 ] [ 2 ] = ( 2 ) ( . . ) − ∆ −

  ∆

  Kalau per samaan ini kit a bagi dengan dan kit a am bil limit unt uk

  

2

∆ ∆

  mendekat i nol; kit a peroleh:

  [ ] [ ] ( ) − −

  ∆ lim =

  ∆ → ∆

  Suku sebelah kiri t ak lain adalah t ur unan pert ama (first derivative) dar i t erhadap dan . Dari it u kit a peroleh:

  ; ( ) = − ∆

  ∆ ( ) =

  At au:

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  ∆ ( ) =

  Unt uk mem peroleh dist ribusi fluks moment um, per samaan ini kit a ingt egralkan:

  ∆ ( ) =

  Kit a peroleh:

  ∆

• =

  2

  at au

  ∆

= +

2 C1 adalah konst ant a int egr asi. Ber apakah nilai C1 ini? Ingat lah bahw a fluksi

  moment um bukanlah t ak berhingga pada posisi r = 0. Art inya, pada r = 0, ada nilainya dan ber hingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0. Lalu kit a per oleh fluksi moment um pada fluida yang ber ger ak dalam pipa it u, yait u:

  ∆ = (* )

  ini menyat akan fluksi moment um ke arah r adial (jari-jar i), r, yang disebabkan oleh ber ger aknya fluida ke ar ah t angensial, x.

  Selanjut nya kit a akan melihat profil kecepat an ger ak fluida pada arah x t erhadap posisi r .

  Dalam hal ini t ak lain adalah:

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  = (* * ) −

  yang diperoleh dar i Hukum New t on t ent ang viskosit as. Kenapa di sini ada t anda minus? Kar ena berkurang jika bert ambah, at au dengan kat a lain,

  /

  ber nilai negat if, sedangkan t ak pernah negat if; dan begit u juga dengan . Dar i persamaan (* ) dan (* * ) kit a peroleh:

  ∆ =

  

−

dan diperoleh dengan mengint egr alkan persamaan t er sebut .

  ∆ =

  − ∫ ∫ ∆

• + =

  −

4 C2 adalah konst ant a int egr asi. Berapakah nilai C2 ini? Kit a mem punyai informasi

  bahw a fluida yang ber sent uhan dengan perm ukaan pipa (art inya fluida yang ber ada pada posisi r = R) kecepat annya ke arah t angensial (ar ah x ) adalah nol. Secar a mat emat is kit a t ulis:

  ∆ [ ]

• = = 0

  −

4 Jelaslah bahw a:

  

∆

=

4 Dengan demikian, pr ofil kecepat an fluida ke ar ah x adalah:

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  

∆ ∆

=

  −

  4

  4 ∆

  =

  1 −

4 Jika kit a plot hubungan ant ar a Vx dengan r akan kit a peroleh kurva per samaan

  kuadrat . Dimanakah let ak t it ik maksim um nya? Pert ama har uslah:

  ∆ = = 0

  −

  

2

  yang mengharuskan pula r = 0. Pada r = 0, apakah kecepat annya maksimum at au minimum? Kit a harus menguji t ur unan ke dua (second derivat ive):

  ∆ = < 0

  −

  2 Kar ena t urunan ke dua bernilai negat if (lebih kecil dar i nol), kit a am bil kesim pulan

  bahw a, kecepat an ger ak fluida ke ar ah x pada posisi r = 0 mer upakan kecepat an maksimum ; yait u sebesar:

  ∆ =

  ,

  4 Terlihat bahw a kecepat an gerak fluida bergant ung pada

fakt or dari luar berupa p, dim ensi pipa berupa R dan L,

∆ dan fakt or pada sifat fluida it u sendiri berupa µ.

  Sekar ang lihat grafik hubungan ant ar a r dan V .

  x

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Dinding pipa ∆ =

  − R = 10

  Dinding pipa

∆

  Per samaan Kurva ini diplot unt uk nilai dipasang sebesar 25 sat uan dan nilai R (jar i-jari pipa) = 10 sat uan. Ilust r asi alir annya kira-kira sepert i pd gbr brkt .

  pipa Lapisan –lapisan fluida

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Gam bar di baw ah ini adalah hasil kerja M ATLAB. Sumbu dat ar menunjukkan arah jari-jar i pipa dan sumbu t egak menunjukkan kecepat an ke arah x. Kecepat an maksimum berada pada posisi (0,0) di t engah-t engah bidang sumbu dat ar .

  25

  20

15 V (r)

  x

  10

  5

• 5

  10

  10

  5

  5

• 5
<
• 10 -10

  r r

  Sket sa koor dinat pipa unt uk grafik di at as adalah:

  r+ r+ r-

  V (r) x r-

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Hingga pada t ahap ini anda sudah mem peroleh:

   Dist ribusi fluksi moment um

  ∆ =

  2

   Dist ribusi kecepat an

  ∆ =

  1 −

  4

   Kecepat an maksimum

  ∆ =

  ,

  4 unt uk fluida newt on yang incom pressible di dalam pipa dat ar.

  Nah, t er lihat bahw a kecepat an aliran fluida ke arah x ber gant ung pada posisi r; ar t inya kecepat an fluida it u bervariasi t erhadap r . Kalau begit u, ber apakah kecepat an rat a-rat anya? Kecepat an rat a-rat a adalah jumlah kecepatan di sem ua posisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran.

  Jumlah semua kecepat an it u adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R unt uk

  

satu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dari

  ; yait u:

  θ = 0 hingga θ = 2π Jumlah semua kecepatan =

  Ingat bahw a adalah fungsi . Solusi dar i int egral ini adalah:

  ∆ Jumlah semua kecepatan =

  8 Adapun luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah: Luas penampang ali ran =

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  yang apabila diselesaikan diperoleh:

  Luas penampang aliran =

  Dengan demikian, kecepat an r at a-r at a, &lt;Vx&gt;, aliran fluida dalam pipa adalah:

  ∆

  8 ∆

  &lt; v &gt; = =

  8 Sudah kit a ket ahui pula bahwa: ∆

  =

  ,

  4 Ar t inya, kecepat an rat a-rat a adalah set engah dari kecepat an maksim um.

  Bagaimana dengan laju alir volumet r is? Laju alir volumt eris adalah luas penampang alir a (luas penam pag pipa) dikalikan dengan kecepat an rat a-rat a, yait u:

SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  4 ∆

  2 = = &lt; &gt; .

  8 Per samaan t er akhir ini dikenal sebagai Per samaan Hagen-Poiseuille .

  Dar i ko nsepsi laju, jelas dikat akan bahw a:

  =

  Pada aliran fluida ini, gaya dor ongnya adalah beda t ekanan, Dan dengan .

  ∆

  dem ikian ham bat annya adalah 8 / .

• Sebagai lat ihan, berapa besar gaya yang diberikan

  oleh fluida t erhadap dinding pi