ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD.
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA
DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
oleh
RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI
M0111073
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ABSTRAK
Riris Listya Dahyita Putri. 2016. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI
MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui
beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi
marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random dependen, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula.
Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel
random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi beberapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pada Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk
mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi
parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Metode ini sering
digunakan karena konsisten dan efisien. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi
parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood.
Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula
dengan metode maximum likelihood yaitu θ̂ = (1+exp(−ψ))−1 . Selanjutnya diberikan contoh penerapan pada data suhu dan kelembaban rata-rata kota Semarang
dari Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2015. Diperoleh estimasi parameternya adalah θ̂ = 0.4312.
Kata kunci : estimasi parameter, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
iii
ABSTRACT
Riris Listya Dahyita Putri. 2016. MARSHALL-OLKIN COPULA DISTRIBUTION PARAMETER ESTIMATION USING MAXIMUM LIKELIHOOD
METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Generally, joint distribution function can be obtained through several independent random variables using a multiplication among the marginal distributions. However, joint distribution function with the dependent random variables
is obtained by using copula. Copula function is used to connect multiple dependent random variables into a joint distribution function. Copula is divided into
several classes, one of them is Marshall-Olkin copula (MOC). MOC is based on
Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) that can be used to estimate the
parameters of extreme value. There are several methods to estimate the parameter, one of which is maximum likelihood. This method is usually used because of
its consistency and efficiency. The purpose of this research is to estimate the parameter of Marshall-Olkin copula distribution using maximum likelihood method.
The estimation of Marshall-Olkin copula distribution parameter using maximum
likelihood method is θ̂ = (1 + exp(−ψ))−1 . Furthermore, we give an example of
the application on the data of temperature and humidity on average in Semarang
from January 2005 until December 2015. We obtained the parameter’s estimation
θ̂ = 0.4312.
Keywords : parameter estimation, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
estimate
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk
kedua orang tua, kakak dan adik atas doa, semangat, dan kepercayaan yang
diberikan.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada
1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang
telah memberikan arahan dalam penentuan judul, diskusi materi distribusi nilai ekstrem, bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penyusunan dan
penulisan skripsi.
2. Dr. Hasih Pratiwi, S.Si, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penulisan skripsi dan penyusunan alur penulisan.
3. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2012 dan atas doa, bantuan, dan semangat yang selalu diberikan.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Metode Block Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Distribusi Marshall-Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Fungsi Densitas Probabilitas Bersama dan Fungsi Likelihood
7
2.2.5
Metode Maximum Likelihood
. . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.6
Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
vii
2.3
2.2.7
Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.8
Uji Kesesuaian Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
III METODE PENELITIAN
12
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
13
4.1
Fungsi Densitas Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2
Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . .
13
4.3
Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
Sampling Nilai Ekstrem dengan Block Maxima
. . . . . .
20
4.3.2
Uji Kesesuaian Distribusi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . .
21
4.3.3
Uji Dependensi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.4
Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood .
23
V PENUTUP
25
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
DAFTAR PUSTAKA
26
viii
DAFTAR GAMBAR
2.1
Contoh sampling dengan metode block maxima
. . . . . . . . . .
6
4.1
Plot data suhu udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 . . . . . . .
20
4.2
Plot data harian kelembaban udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 21
ix
DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
oleh
RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI
M0111073
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ABSTRAK
Riris Listya Dahyita Putri. 2016. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI
MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui
beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi
marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random dependen, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula.
Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel
random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi beberapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pada Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk
mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi
parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Metode ini sering
digunakan karena konsisten dan efisien. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi
parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood.
Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula
dengan metode maximum likelihood yaitu θ̂ = (1+exp(−ψ))−1 . Selanjutnya diberikan contoh penerapan pada data suhu dan kelembaban rata-rata kota Semarang
dari Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2015. Diperoleh estimasi parameternya adalah θ̂ = 0.4312.
Kata kunci : estimasi parameter, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
iii
ABSTRACT
Riris Listya Dahyita Putri. 2016. MARSHALL-OLKIN COPULA DISTRIBUTION PARAMETER ESTIMATION USING MAXIMUM LIKELIHOOD
METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Generally, joint distribution function can be obtained through several independent random variables using a multiplication among the marginal distributions. However, joint distribution function with the dependent random variables
is obtained by using copula. Copula function is used to connect multiple dependent random variables into a joint distribution function. Copula is divided into
several classes, one of them is Marshall-Olkin copula (MOC). MOC is based on
Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) that can be used to estimate the
parameters of extreme value. There are several methods to estimate the parameter, one of which is maximum likelihood. This method is usually used because of
its consistency and efficiency. The purpose of this research is to estimate the parameter of Marshall-Olkin copula distribution using maximum likelihood method.
The estimation of Marshall-Olkin copula distribution parameter using maximum
likelihood method is θ̂ = (1 + exp(−ψ))−1 . Furthermore, we give an example of
the application on the data of temperature and humidity on average in Semarang
from January 2005 until December 2015. We obtained the parameter’s estimation
θ̂ = 0.4312.
Keywords : parameter estimation, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
estimate
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk
kedua orang tua, kakak dan adik atas doa, semangat, dan kepercayaan yang
diberikan.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada
1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang
telah memberikan arahan dalam penentuan judul, diskusi materi distribusi nilai ekstrem, bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penyusunan dan
penulisan skripsi.
2. Dr. Hasih Pratiwi, S.Si, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penulisan skripsi dan penyusunan alur penulisan.
3. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2012 dan atas doa, bantuan, dan semangat yang selalu diberikan.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Metode Block Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Distribusi Marshall-Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Fungsi Densitas Probabilitas Bersama dan Fungsi Likelihood
7
2.2.5
Metode Maximum Likelihood
. . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.6
Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
vii
2.3
2.2.7
Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.8
Uji Kesesuaian Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
III METODE PENELITIAN
12
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
13
4.1
Fungsi Densitas Marshall-Olkin Copula . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2
Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . . . . .
13
4.3
Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3.1
Sampling Nilai Ekstrem dengan Block Maxima
. . . . . .
20
4.3.2
Uji Kesesuaian Distribusi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . .
21
4.3.3
Uji Dependensi Nilai Ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.4
Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood .
23
V PENUTUP
25
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
DAFTAR PUSTAKA
26
viii
DAFTAR GAMBAR
2.1
Contoh sampling dengan metode block maxima
. . . . . . . . . .
6
4.1
Plot data suhu udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 . . . . . . .
20
4.2
Plot data harian kelembaban udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 21
ix