Estimasi Parameter Pada Multiple Regresi Menggunakan Maksimum Likelihood

(1)

DAFTAR PUSTAKA

1. Algifari. 2000. Analisis Regresi. Edisi ke-2. Yogyakarta: BPFE.

2. Aritonang, I dan Subaris, B. 2005. Aplikasi Statistika. Yogyakarta: Media Pressindo.

3. Arthanari, T. S dan Dodge, Y. 1981. Mathematical Programming in Statistics. Canada: John Willey & Sons.

4. Dudewicz, J. E dan Mishra, S. N. 1988. Modern Mathematical Statistics. Canada: John Willey & Sons.

5. Gujarati, D dan Zain, S. 1978. Ekonometrika Dasar. Jakarta: Erlangga. 6. Hasan, M. I. 1999. Pokok-Pokok Materi Statistik 2. Jakarta: Bumi Aksara.

7. Pawitan, Y. 2001. In All Likelihood, Statistical Modelling and Inference using Likelihood. New York: Clarendon Press OXPORD.

8. Spiegel, M. R. 1994. Statistika. Edisi ke-2. Jakarta: Erlangga.

9. Subagyo, P dan Djarwanto. 2005. Statistika Induktif. Yogyakarta: BPFE. 10.Sudjana. 1992. Metoda Statistika. Edisi ke-6. Bandung: Tarsito.

11.Suparman, I. A. 1989. Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali.

12.Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Edisi ke-6. Jakarta: Gelora Aksara Pratama.

13.Surjadi, P. A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: ITB.

14.Usman, H dan Akbar, P. S. 1995. Pengantar Statistika. Yogyakarta: Bumi Aksara. 15.Wonnacott, T. H dan Wonnacott, R. J. 1976. Introductory Statistics. Canada: John

Willey & Sons.

16.google, 2009. Maximum Likelihood Parameter Estimation.

http://www.weibull.com/AccelTestWeb/mle_maximum_likelihood_parameter _estimation.htm. Diakses tanggal 18 Februari, 2009.

(2)

17.google, 2009. Multiple Regresi.

http://www.psppr-ugm.net/jurnalpdf/multiple-reg-1.pdf. Diakses tanggal 3 Maret, 2009

18.wikipedia,2009. Maximum Likelihood.

http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_Likelihood. Diakses tanggal 22 Februari, 2009.

19.yahoo, 2009. Analisis Regresi.

http://www.scribd.com/doc/7290151/Analisis_Regresi. Diakses tangga l 2 Maret, 2009.

(3)

ESTIMASI PARAMETER PADA MULTIPLE REGRESI

MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

SITI MAISAROH RITONGA

070823013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(4)

ESTIMASI PARAMETER PADA MULTIPLE REGRESI

MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SITI MAISAROH RITONGA

070823013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(5)

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMASI PARAMETER PADA MULTIPLE

REGRESI MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

Kategori : SKRIPSI

Nama : SITI MAISAROH RITONGA

Nomor Induk Mahasiswa : 070823013

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Elvina Herawati, M. Si. Drs. Marwan Harahap, M. Eng.

NIP 131 945 361 NIP 130 422 443

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP 131 796 149

(6)

PERNYATAAN

ESTIMASI PARAMETER PADA MULTIPLE REGRESI MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2009

SITI MAISAROH RITONGA 070823013

(7)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, karena dengan limpahan rahmat dan kurnia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M. Eng. dan Dra. Elvina Herawati, M. Si. selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M. Sc. dan Drs. Henry Rani Sitepu, M. Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada ayah, ibu, kedua kakanda dan semua ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.

(8)

ABSTRAK

Didalam upaya penentuan persamaan estimasi linier dengan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, jika semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik-titik pasangan data tersebar satu sama lain, maka persamaan linier yang baik untuk mengestimasi nilai variabel bebas adalah persamaan linier yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum antara titik estimasi dengan titik sebenarnya. Maka dari pada itu, penelitian ini menerangkan bagaimana cara untuk mendekati garis regresi dengan metode maksimum likelihood. Estimasi maksimum likelihood berguna untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampel. Dari sudut pandang statistik, metode maksimum likelihood dianggap lebih kuat pada hasil estimator dengan sifat statistik.

Bentuk umum persamaan multiple regresi linier yang menunjukkan hubungan antara lebih dari satu variabel X sebagai variabel bebas dengan Y sebagai variabel terikat adalah:

ε β

β + + + +

= X kXk

Y ₀ ₁ ₁  dimana:

Y = variabel terikat

X1,…, Xk = variabel bebas pada variabel ke-1 sampai variabel ke-k

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Maksimum likelihood merupakan metode yang tepat dalam menentukan model koefisien multiple regresi.

(9)

THE PARAMETER ESTIMATION OF MULTIPLE REGRESSION

USING MAXIMUM LIKELIHOOD

ABSTRACT

In the effort determination of linear estimation with straight line method will yield good equation, iff all point expressing data couple to reside in around the straight line. But, if point of data couples spread over one another, hence equation of linear which good to estimating variable value dependent is equation of linier which is the curve having mistake which a minimum of between point of estimation with pointactually. Hence from at that, this research explains how to come near regression line with linear programming technique. The idea behind maximum likelihood parameters that maximize the probability (likelihood) of the sample data. From a statistical point of view, the method of maximum likelihood is considered to be more robust of yields estimators with good statistical properties.

Form of equation public of simple linear regression showing relation between two variable, that is variable X as independent variable and variable Y as dependent variable is:

ε β

β + + + +

= X _kX_k

Y ₀ ₁ ₁  where:

Y = dependent variable

X1,…, Xk = independent variable from variable of 1 to variable of k

k β β

β₀, ₁,..., = regression parameters

ε = error

Maximum likelihood is correct methods in determining multiple regression coefficient models.

(10)

DAFTAR ISI

Halaman

Pesetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstak v

Abstact vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Kontribusi Penelitian 3

1.5 Tinjauan Pustaka 3

1.6 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Analisis Rgresi 7

2.1.1 Regresi Linier Sederhana 8

2.1.2 Multiple Regresi 11

2.2 Estimasi 12

2.2.1 Estimasi Maksimum Likelihood 14 2.2.2 Maksimum Likelihood dalam Multiple Regresi 14

(11)

3.2 Menentukan Persamaan Multiple Regresi dengan Matriks 22 3.3 Estimasi Interval untuk Parameter Multiple Regresi 24

3.4 Pengujian Hipotesis 27

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 30

4.1 Kesimpulan 30

4.2 Saran 31

Daftar Pustaka 32

(12)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Penyajian Data 18

Tabel 3.2 Maksimum Likelihood pada Multiple Regresi Y dalam X1 dan X2 21

Tabel 3.3 Penentuan Nilai e2 25

(13)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Diagram Pencar 9

Gambar 2.2 Suatu Pengamatan (Data) yang Tidak Tepat pada Garis Regresi 10

(14)

ABSTRAK

Bentuk umum persamaan multiple regresi linier yang menunjukkan hubungan antara lebih dari satu variabel X sebagai variabel bebas dengan Y sebagai variabel terikat adalah:

ε β

β + + + +

= X kXk

Y ₀ ₁ ₁  dimana:

Y = variabel terikat

X1,…, Xk = variabel bebas pada variabel ke-1 sampai variabel ke-k

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Maksimum likelihood merupakan metode yang tepat dalam menentukan model koefisien multiple regresi.

(15)

THE PARAMETER ESTIMATION OF MULTIPLE REGRESSION

USING MAXIMUM LIKELIHOOD

ABSTRACT

Form of equation public of simple linear regression showing relation between two variable, that is variable X as independent variable and variable Y as dependent variable is:

ε β

β + + + +

= X _kX_k

Y ₀ ₁ ₁  where:

Y = dependent variable

X1,…, Xk = independent variable from variable of 1 to variable of k

k β β

β₀, ₁,..., = regression parameters

ε = error

Maximum likelihood is correct methods in determining multiple regression coefficient models.

(16)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Metode analisis yang telah dibicarakan hingga sekarang adalah analisis terhadap data mengenai sebuah karakteristik atau atribut (jika data itu kualitatif) dan mengenai sebuah variabel diskrit atau kontinu (jika data itu kuantitatif). Tetapi, sebagaimana disadari, banyak persoalan atau fenomena yang meliputi lebih dari sebuah variabel. Misalnya, berat orang dewasa laki-laki sampai taraf tertentu bergantung pada tingginya, tekanan semacam gas bergantung pada temperatur, hasil produksi padi tergantung pada jumlah pupuk yang digunakan, banyak curah hujan, cuaca dan sebagainya. Akibatnya, terasa perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak variabel. Jika kita mempunyai data yang terdiri atas dua variabel atau lebih variabel, adalah sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana vaiabel-variabel itu berhubungan. Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-varibel. Studi yang menyangkut masalah ini dikenal dengan analisis regresi.

Analisis regresi dibedakan atas dua jenis variabel yaitu variabel bebas atau variabel prediktor dan variabel terikat atau variabel respon. Penentuan variabel bebas dan terikat dalam beberapa hal tidak mudah dilaksanakan. Studi yang cermat, diskusi yang seksama, berbagai pertimbangan, kewajaran masalah yang dihadapi dan pengalaman akan memudahkan penentuan. Variabel yang mudah didapat atau tersedia sering dapat digolongkan kedalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas itu merupakan variabel terikat. Untuk keperluan analisis,

(17)

variabel bebas akan dinyatakan dengan X1, X2,…, Xk

(

k ≥1

)

, sedangkan variabel

terikat akan dinyatakan dengan Y.

Statistika bermaksud menyimpulkan populasi yang pada umumnya dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Khusus mengenai regresi dalam menentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Seperti dikatakan di atas, hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematik yang disebut dengan persamaan regresi dan bergantung pada parameter-parameter.

Regresi linier merupakan suatu metode analisis statistik yang mempelajari pola hubungan antara dua atau lebih variabel. Pada kenyataan sehari-hari sering dijumpai sebuah kejadian dipengaruhi oleh lebih dari satu variabel, oleh karenanya dikembangkan analisis multiple regresi. Multiple regresi adalah perluasan dari simple regresi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas X. Multiple regresi digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel repon (terikat) dan variabel pediktor (bebas). Untuk mendapatkan estimasi β₀, β₁,…, βk digunakan metode maksimum

likelihood, dimana metode ini secara prinsip dapat meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan.

Suatu cara yang penting untuk mendapat penaksir yang baik adalah metode maksimum likelihood, yang telah diperkenalkan oleh seorang ahli genetika dan statistik Sir R.A. Fisher antara tahun 1912 sampai 1922 dan memiliki aplikasi yang luas diberbagai bidang. Cara memaksimumkan likelihood berkaitan dengan metode estimasi dalam statistik. Estimasi maksimum likelihood berguna untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampel. Dari sudut pandang statistik, metode maksimum likelihood ini dianggap lebih kuat pada hasil estimator dengan sifat statistik. Selain itu, metode ini juga lebih efisien untuk ketidakpastian pengukuran melalui batas keyakinan. Meskipun metodologi untuk estimasi maksimum likelihood sangat sederhana namun pelaksanaan matematiknya sangat kuat. Parameter yang diperoleh dari fungsi estimasi maksimum likelihood merupakan nilai yang sebenarnya. Jelas bahwa ukuran sampel menentukan ketelitian dari estimator. Jika

(18)

ukuran sampel sama dengan populasi, maka estimator memiliki sifat tidak bias, konsisten dan efisien.

1.2Perumusan Masalah

Masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan model koefisien regresi multiple variabel dengan menggunakan maksimum likelihood.

1.3Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguraikan cara mengestimasi parameter multiple regresi dengan meminimumkan error menggunakan maksimum likelihood.

1.4Kontribusi Penelitian

a. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang berhubungan dengan multiple regresi dan maksimum likelihood.

b. Dengan diketahuinya bagaimana cara mengestimasi parameter multiple regresi menggunakan maksimum likelihood diharapkan dapat meminimumkan jarak antara titik data dan garis regresi.

c. Untuk mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas (yang tercakup dalam persamaan) terhadap variabel tak bebas.

1.5Tinjauan Pustaka

Dalam penelitian ini penulis menggunakan buku-buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya adalah:

(19)

1. Supranto, J (12): apabila variabel mempunyai hubungan linier dengan n buah variabel X, maka model matematika multiple regresinya adalah:

ε β

β + + + +

= X _kX_k

Y ₀ ₁ ₁  dimana:

Y = variabel terikat

X1,…, Xk = variabel bebas pada variabel ke-1 sampai variabel ke-k

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

2. Wonnacott, T. H dan Wonnacott, R. J (15): jika X dikurangi dengan rata-ratanya, maka akan diperoleh variabel baru x

(

x_i = X_i−X

)

. Dan persamaan multiple regresinya menjadi:

ε β β

β + + + +

= i k ki

i x x

Y ₀ ₁ ₁  dimana:

Yi = variabel terikat ke-i

x1i,…, xki = selisih antara variabel bebas X dengan nilai rata-

ratanya pada pengamatan ke-i

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Secara umum, andaikan kita mempunyai sampel berukuran n dan kita ingin mengetahui kemungkinan sampel yang diamati. Diperlihatkan fungsi nilai kemungkinan untuk β₀,β₁,...,β_k: p

(

Y₁,Y₂,...,Y_n β₀,β₁,...,β_k

)

. Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, dimana:

(20)

(

Y Y Yn k

)

p ₁, ₂,..., β₀,β₁,...,β

( ) ( )                    =      − + + + −       − + + + − 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 σ β β β σ β β β π σ π σ ki k i ki k

i x Y x x

x Y e e ( )

∏

=       − + + + −         = n i x x

Y_i _i _k _ki

e 1 2 1 2 1 1 0 2

1 β β _σ β

π σ



Dengan

∏

i 1

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi

yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil di atas dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen:

(

)

( ) ( ) 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 ,..., , ,..., , ∑₌ − _ − + + + _       = n i ki k i i x x

Y n k n e Y Y Y p σ β β β π σ β β β 

Mengingat Yi amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai

k β β

β₀, ₁,..., . Sehingga persamaan di atas dinamakan fungsi likelihood:

(

)

(

)

∑ = =      − − − − − n i ki k i i x x

Y n k e L 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 ,..., , σ β β β π σ β β β  dimana:

(

)

L β₀,β₁,...,β = fungsi maksimum likelihood pada parameter β₀,β₁,...,β_k

σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi

π = nilai konstan (π = 3,1416) n = banyak data sampel

e = bilangan konstan (e = 2,7183) Yi = variabel terikat ke-i

(21)

1.6Metode Penelitian

Uraian metode yang digunakan dalam penelitian secara rinci meliputi:

a. Membentuk persamaan dari jumlah deviasi kuadrat.

b. Menganalisis persamaan dengan menggunakan maksimum likelihood. c. Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.

(22)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Regresi

Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat pula disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Untuk mengetahui pola nilai suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan kita untuk membuat perkiraan nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya.

Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel dalam ilmu statistik adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah teknik statistik yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai nilai variabel terikat disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel yang nilainya belum diketahui. Sifat hubungan antarvariabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat.

Regresi yang berarti peramalan, penaksiran atau pendugaan pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822 – 1911) sehubungan

(23)

dengan penelitiannya terhadap manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tingggi anak laki-laki dan tinggi badan orang tuanya. Istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel yang lain (tinggi badan orang tua). Pada perkembangan selanjutnya, analisis regresi dapat digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut.

2.1.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan fungsional antara satu variabel terikat dengan satu variabel bebas. Variabel terikat merupakan variabel yang nilainya selalu bergantung dengan nilai variabel lain. Dalam hal ini variabel terikat yang nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel bebas, sedangkan variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak bergantung pada nilai variabel lain. Dan biasanya variabel terikat dinotasikan dengan Y, sedangkan variabel bebas dinotasikan dengan X. Hubungan-hubungan tersebut dinyatakan dalam model matematis yang memberikan persamaan-persamaan tertentu.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukkan hubungan antara dua variabel, yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel terikat adalah

i a bX

Y = + (2.1)

dimana:

Yi = variabel terikat ke-i

Xi = variabel bebas ke-i

a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linier

(24)

Gambar 2.1 Diagram pencar

Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung a dan b sebagai perkiraan A dan B, sedemikian rupa sehingga jumlah deviasi kuadrat

(

_∑

)

SSD memiliki nilai terkecil.

Model sebenarnya : Y = A + BX + ε Model perkiraan : Y = a + bX + e

Dimana a, b merupakan perkiraan / taksiran atas A, B.

Jika X dikurangi dengan rata-ratanya

(

x_i = X_i−X

)

akan diperoleh variabel baru x dengan

∑

x_i =0. Maka persamaannya menjadi:

(

)

i i

i i i

bx a Y e

e bx a Y

+ − =

+ + =

(

)

[

]

∑

− +

= 2 2

i i

i Y a bx

SSD (2.2)

Metode meminimumkan jumlah deviasi kuadrat (regresi kuadrat terkecil) yang didasarkan pada pemilihan a dan b, sehingga meminimalkan jumlah kuadrat deviasi

(25)

Gambar 2.2 Suatu pengamatan (data) yang tidak tepat pada garis regresi

Kemudian akan ditaksir a dan b sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2.2), maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan mendifferensialkan persamaan (2.2) terhadap a dan b dengan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh:

(

)

2 0 0

∑

₋ ₋ ₌ ₋ ₋ ₌ _→ ₌

∂ ∂ = ∂ ∂

i i

x x

b na Y bx

a Y a a

n Y a= i =

⇒ ˆ

∑

(2.3)

(

)

2 2 0 0

= →

= −

− =

− − ∂

∂ = ∂ ∂

∑

i i

x x

b x a Y x bx

a Y b b

∑

⇒ ˆ ₂

i i i

x Y x

b (2.4)

Nilai aˆ dan bˆ yang diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil

masing-masing dari a dan b. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, Yˆ =aˆ+bˆX yang disebut persamaan prediksi.

Garis regresi berguna untuk menentukan hubungan pengaruh perubahan variabel yang satu terhadap variabel yang lainnya. Selanjutnya dari hubungan dua variabel ini dapat dikembangkan untuk analisa tiga variabel atau lebih.

(26)

2.1.2 Multiple Regresi

Multiple regresi (regresi linier ganda) merupakan regresi linier yang melibatkan hubungan fungsional antara sebuah variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas. Semakin banyak variabel bebas yang terlibat dalam suatu persamaan regresi semakin rumit menentukan nilai statistik yang diperlukan hingga diperoleh persamaan regresi estimasi. Regresi linier berganda berguna untuk mendapatkan pengaruh dua variabel kriteriumnya atau untuk mencari hubungan fungsional dua variabel prediktor atau lebih dengan variabel kriteriumnya, atau untuk meramalkan dua variabel prediktor atau lebih terhadap variabel kriteriumnya.

Hubungan linier lebih dari dua variabel yang bila dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis adalah:

ε β

β + + + +

= X kXk

Y ₀ ₁ ₁  dimana:

Y = variabel terikat

X1,…, Xk = variabel bebas pada variabel ke-1sampai variabel ke-k

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Metode kuadrat terkecil dari estimasi β yang terdiri dari minimum

∑

ε_i2 yang berkenaan dengan β, dimana minimum ε'ε = Y −Xβ 2 mengenai β, yaitu:

(

) (

)

β β β

β β

ε ε

X X Y X Y

X Y X Y

' ' ' ' 2 '

+ −

− −

Perbedaan ε'ε mengenai β dan persamaan ' =0

∂ ∂

β ε ε

, diperoleh:

0 '

2 '

2 + =

(27)

(

X'X

)

X'Y

ˆ₌ −1

β (2.6)

Kemudian untuk β,

(

) (

)

[

(

)

]

[

(

)

]

(

) (

)

(

)

(

) (

)

β β β

β β β β

β β β

ˆ '

ˆ ' ' ˆ ˆ '

ˆ ˆ '

X Y X Y

X X X

Y X Y

X X Y X

X Y X Y X Y

− −

≥

− −

+ − −

− + − −

+ − = − −

Minimum dari

(

Y −Xβ

) (

' Y −Xβ

)

adalah

(

Y −Xβˆ

) (

' Y−Xβˆ

)

dicapai pada β =βˆ. Solusi ini untuk melihat minimum ε'ε.

2.2 Estimasi

Estimasi adalah menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik). Dengan statistika kita berusaha menyimpulkan populasi. Dalam kenyataannya, mengingat berbagai faktor untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif dan berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Sifat atau ciri estimator yang baik yaitu tidak bias, efisien dan konsisten:

1. Estimator yang tidak bias

Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator θˆ dikatakan estimator yang tidak bias jika rata-rata semua harga θˆ yang mungkin akan sama dengan θ. Dalam bahasa ekspektasi ditulis E

( )

θˆ =θ .

(28)

2. Estimator yang efisien

Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. Estimator bervarians minimum ialah estimator dengan varians terkecil diantara semua estimator untuk parameter yang sama. Jika θˆ₁ dan θˆ₂ dua estimator untuk θ dimana varians untuk θˆ₁ lebih kecil dari varians untuk θˆ₂, maka θˆ₁ merupakan estimator bervarians minimum.

3. Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapa pun besarnya, pada rentangnya tetap mengandung nilai parameter yang sedang di estimasi. Misalkan, θˆ estimator untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ, maka θˆ disebut estimator konsisten. Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi selang (interval estimation).

a. Estimasi titik (point estimation)

Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk mengestimasi nilai parameter.

b. Estimasi interval (interval estimation)

Estimasi interval dengan menyebut daerah pembatasan dimana kita menentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator. Metode ini memuat nilai-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu (confidence interval).

(29)

2.2.1 Estimasi Maksimum Likelihood

Suatu cara yang penting untuk mendapat estimator yang baik adalah metode maksimum likelihood yang diperkenalkan oleh R. A. Fisher. Maksimum likelihood merupakan suatu cara mendapat estimator a untuk parameter b yang tidak diketahui dari populasi dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan.

Untuk data sampel x1,…, xn dari distribusi yang kontinu dengan fungsi padat

f(x ; α) ditentukan fungsi likelihood sebagai L(x1,…, xn; α) = f(x1;α) … f(xn; α).

Untuk data sampel distribusi yang diskrit dengan nilai kemungkinan p(X = xi)

= pi(α), i = 1,…r dan frekuensi f1,…,fr ditentukan dengan fungsi likelihood sebagai:

(

)

(

( )

)

(

( )

)

_∑

= n

i i f

r f i

n p p f n

x x

L r

1,..., ; ... ,

1 α

α α

Karena ln L merupakan transformasi yang monoton naik daripada L, maka ln L mencapai maksimumnya pada nilai α yang sama. Menurut hitung differensial persamaannya menjadi ln =0

∂ ∂

. Suatu akar persamaan ini αˆ =a

(

x₁,...,x_n

)

yang memaksimumkan L, disebut estimasi maksimum likelihood untuk α.

2.2.2 Maksimum Likelihood dalam Multiple Regresi

Maksimum likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi suatu parameter dalam regresi.

Jika X dikurangi dengan rata-ratanya, maka akan diperoleh variabel baru x

(

x_i = X_i−X

)

dan selisih antara X_idengan X merupakan perhitungan yang sederhana karena jumlah dari nilai x_i tersebut adalah sama dengan nol 

  





_∑

₌

1 n

i i

x .

Dan persamaan multiple regresinya menjadi:

(30)

ε β β

β + + + +

= k k

i x x

Y ₀ ₁ ₁  (2.7)

dimana:

Yi = variabel terikat ke-i

x1i,…, xki = selisih antara variabel bebas X dengan nilai rata-ratanya pada

pengamatan ke-i

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Teknik estimasi maksimum likelihood mempertimbangkan berbagai populasi yang mungkin dengan perpindahan garis regresi dan regresi tersebut mengelilingi distribusi untuk semua posisi yang mungkin. Perbedaan posisi yang berhubungan dengan perbedaan nilai percobaan untuk β0,β1,...,βk. Dalam hal ini, pengamatan

likelihood Y1, Y2,…, Yn akan di estimasi. Untuk estimasi maksimum likelihood

dipilih hipotesis populasi yang maksimum dalam likelihood. Secara umum, andaikan kita mempunyai sampel berukuran n dan kita ingin mengetahui kemungkinan sampel yang diamati. Diperlihatkan fungsi nilai kemungkinan untuk β₀,β₁,...,β_k:

(

Y Y Yn k

)

p ₁, ₂,..., β₀,β₁,...,β (2.8) Mengingat kemungkinan nilai pertama Y adalah:

( )

2 1

1 0 1

2 1 1

1 − _ − + + + _

= σ

β β β

π σ

ki k i x

x Y

e Y



(2.9)

Hal di atas adalah distribusi normal sederhana dengan rata-rata

ki k

i x

x β

β₀ + ₁ ₁ ++ dan varians

( )

σ2 _{yang disubstitusi ke dalam}

( )

2 1

1 −_ __ − _

= σ

π σ

e x

p . Kemungkinan nilai kedua Y sama dengan (2.9), kecuali

(31)

Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama dalam (2.8), dimana:

(

Y Y Yn k

)

p ₁, ₂,..., β₀,β₁,...,β

( ) ( )                    =      − + + + −       − + + + − 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2

1 β β _σ β β β _σ β

π σ π σ ki k i ki k

i x Y x x

x Y e e ( )

∏

=       − + + + −         = n i x x

Yi i k ki

e 1 2 1 2 1 1 0 2

1 β β _σ β

π σ



(2.10)

Dengan

∏

i 1

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi

yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil (2.10) dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen:

(

)

( ) ( ) 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 ,..., , ,..., , ∑₌ − _ − + + + _       = n i ki k i i x x

Y n k n e Y Y Y p σ β β β π σ β β β  (2.11)

Mengingat Yi amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai

k β β

β₀, ₁,..., . Sehingga persamaan (2.11) dinamakan fungsi likelihood:

(

)

(

)

∑ = =      − − − − − n i ki k i i x x

Y n k e L 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 ,..., , σ β β β π σ β β β  (2.12) dimana:

(

)

L β₀,β₁,...,β = fungsi maksimum likelihood pada parameter β₀,β₁,...,β_k σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi π = nilai konstan (π = 3,1416)

n = banyak data sampel

e = bilangan konstan (e = 2,7183) Yi = variabel terikat ke-i

β = parameter regresi ke-i

(32)

Dari persamaan (2.12) diperoleh ln L(β0,β1,...,βk), yaitu:

(

)

( )

_∑

=       − − − − − − − = = Λ n i ki k i i k x x Y n n L 1 2 1 1 0 1 0 2 1 ln 2 ln 2 ,..., , ln σ β β β σ π β β

β  (2.13)

Dengan mendifferensialkan Λ terhadap setiap parameter β₀,β₁,...,β_k dan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh:

(

)

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 0 = = → = − − − − = = − − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i ki n i i n i ki k n i i n i i n i ki k i i x x x x n Y x x Y β β β β β β σ β   Y n Y n i i = =

⇒

∑

β (2.14)

(

)

0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 = → = + + + + − = = − − − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i i n i ki i k n i i n i i n i i i n i ki k i i i x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β   0 1 1 1 2 1 1 1

1 + + + =

− ⇒

∑

= = = n i ki i k n i i n i i

iY x x x

x β  β (2.15)



(

)

0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 = → = + + + + − = = − − − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i ki n i ki k n i ki i n i ki n i i ki n i ki k i i ki k x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β   0 1 2 1 1 1 1 = + + + − ⇒

∑

= = = n i ki k n i ki i n i i

kiY x x x

x β  β (2.16)

Maka hasil yang diperoleh dari penurunan parsial di atas dapat dihitung nilai parameter βˆ0,βˆ1,,βˆ_k.

(33)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Estimasi Parameter Menggunakan Maksimum Likelihood

Andaikan suatu persoalan penentuan model multiple regresi diberikan data sebagai berikut:

Tabel 3.1 Penyajian Data

Observasi Y X₁ X₂

1 4 1 1

2 5 2 2

3 5 3 1

4 7 4 3

5 6 5 2

6 6 6 2

7 9 7 3

dengan menentukan regresi yang terdiri dari Yˆ =βˆ₀+βˆ₁X₁+βˆ₂X₂. Fungsi nilai kemungkinan untuk β₀,β₁,β₂: p

(

Y₁,Y₂,...,Y_n β₀,β₁,β₂

)

. Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, dimana:

(

Y1,Y2,...,Yn β0,β1,β2

)

( ) ( )



    

       

  

= 

 



 − + +

− 

  



 − + +

−

2 2 2 1 1 0 2 2

2 2 1 1 0 1

2 1 2

1 β β_σ β β β_σ β

π σ π

i i i

i x Y x x

x Y

e e

(34)

( )

∏

=       − + + −         = n i x x

Yi i i

e 1 2 1 2 2 2 1 1 0 2

1 β β_σ β

Dengan

∏

i 1

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi yang

penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil di atas dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen:

(

)

( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 , , ,..., , ∑       − + + − =       = n i i i i x x

Y n n e Y Y Y p σ β β β π σ β β

β (3.1)

Mengingat Yi amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai β0,β1,β2.

Sehingga persamaan (3.1) di atas dinamakan fungsi likelihood:

(

)

₍

₎

∑=      − − − − n i i i i x x

Y n e L 1 2 2 2 1 1 0 2 1 2 1 0 2 1 , , σ β β β π σ β β

β (3.2)

dimana:

(

β0,β1,β2

)

L = fungsi maksimum likelihood pada parameter β₀,β₁,β₂

σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi π = nilai konstan (π = 3,1416)

n = banyak data sampel

e = bilangan konstan (e = 2,7183) Yi = variabel terikat ke-i

β = parameter regresi ke-i

Maka ln L

(

β₀,β₁,β₂

)

adalah:

(

)

( )

_∑

=       − − − − − − = = Λ n i i i

i x x

Y n n L 1 2 2 2 1 1 0 2 1 0 2 1 ln 2 ln 2 , , ln σ β β β σ π β β

(35)

Setelah diperoleh nilai Λ maka perhitungan differensialnya untuk β₀,β₁,β₂ dan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, yaitu:

(

)

0 0 0 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 2 2 1 1 0 2 0 = = → = − − − = = − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i i n i i n i i n i i n i i n i i i i x x x x n Y x x Y β β β β β β σ β Y n Y n i i = =

⇒

∑

β (3.4)

(

)

0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 = → = + + + − = = − − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i i i i x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1

1 + + =

− ⇒

∑

= = = n i i i n i i n i i

iY x x x

x β β (3.5)

(

)

0 0 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1 1 0 2 2 2 = → = + + + − = = − − − − = ∂ Λ ∂

∑

= = = = = = n i i n i i n i i i n i i n i i i n i i i i i x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β 0 1 2 2 2 1 2 1 1 1

2 + + =

− ⇒

∑

= = = n i i n i i i n i i

iY x x x

x β β (3.6)

Dari persoalan di atas diperoleh:

(36)

Substitusi nilai-nilai tabel di atas ke dalam persamaan (3.4), (3.5) dan (3.6): 6 ˆ 1 0 0 = = = ⇒ ∂ Λ ∂

∑

₌ Y n Y n i i β β

( )

7 0

18 ₁ ₂

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 = + + − = + + − = ∂ Λ ∂

_∑

= = = β β β β β n i i i n i i n i i

iY x x x

⇒28β₁+7β₂ =18 (3.7)

( )

4 0

7 ₁ ₂

1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 = + + − = + + − = ∂ Λ ∂

_∑

= = = β β β β β n i i n i i i n i i

iY x x x

⇒7β₁+4β₂ =7 (3.8)

Dengan menggunakan persamaan (3.7) dan (3.8) diperoleh nilai βˆ₁= 0,3651dan

1111 , 1 ˆ 2 = β . Maka persamaan multiple regresinya menjadi:

(

)

(

)

2 1 2 1 2 1 1111 , 1 3651 , 0 3174 , 2 2 1111 , 1 4 3651 , 0 6 1111 , 1 3651 , 0 6 ˆ X X X X x x Y + + = − + − + = + + =

3.2 Menentukan Persamaan Multiple Regresi dengan Matriks

(37)

                      =                       = 9 6 6 7 5 5 4 , 3 7 1 2 6 1 2 5 1 3 4 1 1 3 1 2 2 1 1 1 1 Y X Diperoleh:           = 3 2 2 3 1 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 T X           = 32 63 14 63 140 28 14 28 7 X XT

(

)

441

det XTX =

(

)

          − − − − − − = 196 49 196 49 28 14 196 14 511 X X Adj T

(

)

(

)

          − − − − − − = = − 4444 , 0 1111 , 0 4444 , 0 1111 , 0 0635 , 0 0317 , 0 4444 , 0 0317 , 0 1587 , 1 1 X X X X Adj X X _T T T           = 91 186 42 Y XT

(

)

          = = − 1111 , 1 3695 , 0 3288 , 2 ˆ 1 Y X X XT T

(38)

Maka persamaan multiple regresinya adalah:

2 1 1,1111

3695 , 0 3288 , 2

ˆ _X _X

Y = + +

Hasil pencarian nilai βˆ₀,βˆ₁,βˆ₂ dengan menggunakan maksimum likelihood dan matriks didapati angka yang cenderung sama. Pada perhitungan dengan maksimum likelihood diperoleh βˆ0 =2,3174, βˆ1 = 0,3651 dan βˆ2 =1,1111.

Sedangkan hasil perhitungan secara matriks diperoleh βˆ₀ =2,3288, βˆ₁ = 0,3695

dan βˆ2 =1,1111. Tampak bahwa nilai βˆ0 hingga satu angka dibelakang koma dan

nilai βˆ₁ hingga dua angka dibelakang koma tidak terdapat perbedaan, sedangkan nilai

β hingga dua angka dibelakang koma dan nilai βˆ₁ hingga tiga angka dibelakang koma mulai ada perbedaan. Perbedaan ini sifatnya tidak substansial karena munculnya perbedaan itu sendiri akibat dari pembulatan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa, mencari βˆ₀,βˆ₁,βˆ₂ dengan maksimum likelihood dan matriks akan menghasilkan nilai yang sama.

3.3 Estimasi Interval untuk Parameter Multiple Regresi

Pada dasarnya, nilai-nilai dari koefisien regresi β_i bervariasi dan variansnya dari β_i dalam bentuk vektor matriks adalah sebagai berikut:

( )

₂

(

)

−1

= X X

Var β σ T (3.9)

Karena umumnya σ2 tidak diketahui, maka σ2 diduga dengan s_e2, sehingga perkiraan varians (β) adalah:

( )

(

)

2 2

1 2

− − = ⇒ =

= −

∑

k n

e s

X X s s

Var T _e i

(39)

dimana:

2 e

s = varians dari kesalahan pengganggu n = banyak observasi

k = banyak variabel bebas

(

)

∑

₂ =

∑

− 2

i i

i Y Y

e dapat dihitung langsung dari Y_i−Yˆ_i yaitu selisih antara nilai observasi Yi dengan nilai regresi Yˆi =βˆ0+βˆ1X1+βˆ2X2.

Tabel 3.3 Penentuan Nilai e2

Observasi Y X₁ X₂

2 1 1,1111

3651 , 0 3174 , 2

ˆ _X _X

Y_i = + + e=Y−Yˆ

( )

_Y₋_Yˆ 2

1 4 1 1 3,7936 0,2064 0,0426

2 5 2 2 5,2698 -0,2698 0,0728

3 5 3 1 4,5238 0,4762 0,2268

4 7 4 3 7,1111 -0,1111 0,0123

5 6 5 2 6,3651 -0,3651 0,1333

6 6 6 2 6,7302 -0,7302 0,5332

7 9 7 3 8,2064 0,7936 0,6298

Jumlah 1,6508

dari hasil perhitungan tabel di atas diperoleh:

4127 , 0 1 2 7 6508 , 1 1 2 2 = − − = − − =

∑

k n e s_e i

Perkiraan

( )

= 2 = 2

(

)

−1

X X s s

Var β _β _e T dan apabila D=

(

XTX

)

−1 dan s s_ed_ii i

2 =

β ,

dimana dii adalah matriks dari baris ke i dan kolom i terletak pada diagonal pokok,

maka:

(

)

          − − − − − − = = − 4444 , 0 1111 , 0 4444 , 0 1111 , 0 0635 , 0 0317 , 0 4444 , 0 0317 , 0 1587 , 1 1 X X D T

(40)

(

)

(

)

(

0,4444

)

0,1834 0,1834 0,4283

4127 , 0 1619 , 0 0262 , 0 0262 , 0 0635 , 0 4127 , 0 6915 , 0 4782 , 0 4782 , 0 1587 , 1 4127 , 0 2 2 1 1 0 0 33 2 2 22 2 2 11 2 2 = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = β β β β β β s d S s s d s s s d s s e e e

Untuk menghitung estimasi interval untuk β₀, β₁, β₂ digunakan taraf

signifikan α = 0,05.

( 1) 0,052(7 2 1) 2,7765

2 − − =t − − =

t_α _n _k

1. 2,3174, 0,6915 0

0 = β =

β s

(

)

(

)

2373 , 4 3975 , 0 9199 , 1 3174 , 2 9199 , 1 3174 , 2 6915 , 0 7765 , 2 3174 , 2 6915 , 0 7765 , 2 3174 , 2 0 0 0 025 , 0 0 0 025 , 0

0 0 0

≤ ≤ + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − β β β β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara 0,3975 dan 4,2373 akan memuat β₀.

2. 0,3651, 0,1619

1 = β =

β s

(

)

(

)

8146 , 0 0844 , 0 4495 , 0 3651 , 0 4495 , 0 3651 , 0 1619 , 0 7765 , 2 3651 , 0 1619 , 0 7765 , 2 3651 , 0 1 1 1 025 , 0 1 1 025 , 0

1 1 1

≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − β β β β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -0,0844 dan 0,8146 akan memuat β₁.

(41)

3. 1,1111, 0,4283 2

2 = β =

β s

(

)

(

)

3003 , 2 0781

, 0

1892 , 1 1111 , 1 1892

, 1 1111 , 1

4283 , 0 7765 , 2 1111 , 1 4283

, 0 7765 , 2 1111 , 1

2 2 2

025 , 0 2 2 025

, 0

2 2 2

≤ ≤ −

+ ≤

≤ −

+ ≤

≤ −

+ ≤ ≤ −

β β β

β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -0,0781 dan 2,3003 akan memuat β₂.

3.4 Pengujian Hipotesis

Hipotesis berasal dari kata hipo dan tesis yang berasal dari bahasa Yunani. Hipo berarti dibawah, kurang atau lemah dan tesis berarti teori atau proposisi. Jadi, secara umum hipotesis dapat didefinisikan sebagai asumsi atau dugaan atau pernyataan sementara yang masih lemah kebenarannya tentang karakteristik populasi. Oleh karena itu, hipotesis perlu di uji kebenarannya. Pengujian hipotesis dilakukan berdasarkan hasil penelitian pada sampel yang diambil dari populasi tersebut. Berikut ini adalah hipotesis yang diperoleh pada persoalan di atas.

1) Hipotesis:

Ho : Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara

variabel X1 dan X2 dengan variabel Y.

Ha : Terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel

X1 dan X2 dengan variabel Y.

2) Diperoleh perhitungan berikut:

(42)

• Cari Rhit dengan rumus:

( )

8968 , 0

) 7 ( 1111 , 1 ) 18 ( 3651 , 0

2 2 2 1 1 2

2 , 1

+ =

∑

y x y

R_y β β

3) Hitung Fsign hitung dengan menggunakan rumus:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

3798 , 17

8968 , 0 1 2

1 2 7 8968 , 0

2 2 , 1 2

2 , 1

−

− − =

− − − =

y y reg

R k

k n R F

4) Taraf signifikansi α = 0,05

5) Hitung Ftabel dengan menggunakan rumus:

( , 1) = 0,05(2,7 2 1) ⇒6,94

= F ₋ ₋ F ₋ ₋

F_tabel _α_k_n _k

6) Kriteria pengujian H0, yaitu:

H0 : tidak signifikan

Ha : signifikan

Jika Fhit≥ Ftabel, maka H0 ditolak atau signifikan.

Ternyata 17,3798 ≥ 6,94 atau Fhit > Ftabel, sehingga H0 ditolak atau signifikan.

7) Kesimpulan

Karena H0 ditolak maka Ha diterima yang berarti bahwa, terdapat hubungan

(43)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Persamaan multiple regresi linier dengan menggunakan metode maksimum likelihood:

2 1 1,1111

3651 , 0 3174 , 2

ˆ _X _X

Y = + +

2. Nilai interval dengan taraf signifikan α = 0.05 untuk parameter multiple regresi diperoleh:

a. 0,3975≤ β₀ ≤4,2373 b. −0,0844≤β₁ ≤0,8146 c. −0,0781≤β₂ ≤2,3003

3. Maksimum likelihood merupakan metode estimasi yang tepat dalam menentukan model koefisien multiple regresi.

4. Metode maksimum likelihood bertujuan untuk meminimumkan jarak antara titik estimasi dengan titik sebenarnya.

(44)

4.2 Saran

Untuk menentukan model multiple regresi gunakanlah maksimum likelihood dalam mengestimasi parameternya, karena metode ini lebih sederhana dan mudah untuk dihitung. Selain itu, metode maksimum likelihood memiliki sifat estimator yang efisien.

(1)

dimana: 2 e

s = varians dari kesalahan pengganggu n = banyak observasi

k = banyak variabel bebas

(

)

∑

₂ =

∑

− 2

i i

i Y Y

e dapat dihitung langsung dari Y_i−Yˆ_i yaitu selisih antara nilai observasi Yi dengan nilai regresi Yˆi =βˆ0+βˆ1X1+βˆ2X2.

Tabel 3.3 Penentuan Nilai e2

Observasi Y X₁ X₂

2 1 1,1111

3651 , 0 3174 , 2

ˆ _X _X

Y_i = + + e=Y−Yˆ

( )

_Y₋_Yˆ 2

1 4 1 1 3,7936 0,2064 0,0426

2 5 2 2 5,2698 -0,2698 0,0728

3 5 3 1 4,5238 0,4762 0,2268

4 7 4 3 7,1111 -0,1111 0,0123

5 6 5 2 6,3651 -0,3651 0,1333

6 6 6 2 6,7302 -0,7302 0,5332

7 9 7 3 8,2064 0,7936 0,6298

Jumlah 1,6508

dari hasil perhitungan tabel di atas diperoleh:

4127 , 0 1 2 7

6508 , 1 1 2

2 =

− − = − − =

∑

k n

s_e i

Perkiraan

( )

= 2 = 2

(

)

−1 X X s s

Var β _β _e T dan apabila D=

(

XTX

)

−1 dan s s_ed_ii i

2 2 =

β ,

dimana dii adalah matriks dari baris ke i dan kolom i terletak pada diagonal pokok, maka:

(

)

     

   

− −

= −

4444 , 0 1111 , 0 4444 , 0

1111 , 0 0635 , 0 0317 , 0

4444 , 0 0317 , 0 1587 , 1

X X

(2)

(

)

(

)

(

0,4444

)

0,1834 0,1834 0,4283 4127 , 0 1619 , 0 0262 , 0 0262 , 0 0635 , 0 4127 , 0 6915 , 0 4782 , 0 4782 , 0 1587 , 1 4127 , 0 2 2 1 1 0 0 33 2 2 22 2 2 11 2 2 = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = β β β β β β s d S s s d s s s d s s e e e

Untuk menghitung estimasi interval untuk β₀, β₁, β₂ digunakan taraf

signifikan α = 0,05.

( 1) 0,052(7 2 1) 2,7765

2 − − =t − − =

t_α _n _k

1. 2,3174, 0,6915 0

0 = β =

β s

(

)

(

)

2373 , 4 3975 , 0 9199 , 1 3174 , 2 9199 , 1 3174 , 2 6915 , 0 7765 , 2 3174 , 2 6915 , 0 7765 , 2 3174 , 2 0 0 0 025 , 0 0 0 025 , 0

0 0 0

≤ ≤ + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − β β β β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara 0,3975 dan 4,2373 akan memuat β₀.

2. 0,3651, 0,1619

1 = β =

β s

(

)

(

)

8146 , 0 0844 , 0 4495 , 0 3651 , 0 4495 , 0 3651 , 0 1619 , 0 7765 , 2 3651 , 0 1619 , 0 7765 , 2 3651 , 0 1 1 1 025 , 0 1 1 025 , 0

1 1 1

≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − β β β β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -0,0844 dan 0,8146 akan memuat β .

(3)

3. 1,1111, 0,4283 2

2 = β =

β s

(

)

(

)

3003 , 2 0781

, 0

1892 , 1 1111 , 1 1892

, 1 1111 , 1

4283 , 0 7765 , 2 1111 , 1 4283

, 0 7765 , 2 1111 , 1

2 2 2

025 , 0 2 2 025

, 0

2 2 2

≤ ≤ −

+ ≤

≤ −

+ ≤

≤ −

+ ≤ ≤ −

β β β

β β

β t s_β t s_β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -0,0781 dan 2,3003 akan memuat β₂.

3.4 Pengujian Hipotesis

1) Hipotesis:

Ho : Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel X1 dan X2 dengan variabel Y.

Ha : Terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel X1 dan X2 dengan variabel Y.

(4)

• Cari Rhit dengan rumus:

( )

8968 , 0

) 7 ( 1111 , 1 ) 18 ( 3651 , 0

2 2 2 1 1 2

2 , 1

+ =

∑

y x y

R_y β β

3) Hitung Fsign hitung dengan menggunakan rumus:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

3798 , 17

8968 , 0 1 2

1 2 7 8968 , 0

1 2

2 , 1 2

2 , 1

−

− − =

− − − =

y y reg

R k

k n R F

4) Taraf signifikansi α = 0,05

5) Hitung Ftabel dengan menggunakan rumus:

( , 1) = 0,05(2,7 2 1) ⇒6,94

= F ₋ ₋ F ₋ ₋ F_tabel _α_k_n _k

6) Kriteria pengujian H0, yaitu:

H0 : tidak signifikan Ha : signifikan

Jika Fhit≥ Ftabel, maka H0 ditolak atau signifikan.

(5)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Persamaan multiple regresi linier dengan menggunakan metode maksimum likelihood:

2 1 1,1111

3651 , 0 3174 , 2

ˆ _X _X

Y = + +

2. Nilai interval dengan taraf signifikan α = 0.05 untuk parameter multiple regresi diperoleh:

a. 0,3975≤ β₀ ≤4,2373 b. −0,0844≤β₁ ≤0,8146 c. −0,0781≤β₂ ≤2,3003

3. Maksimum likelihood merupakan metode estimasi yang tepat dalam menentukan model koefisien multiple regresi.

4. Metode maksimum likelihood bertujuan untuk meminimumkan jarak antara titik estimasi dengan titik sebenarnya.

(6)

4.2 Saran