Artikel Apriliana W N M0112011
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KORELASI KENDALL (τ ) UNTUK ESTIMASI PARAMETER
DISTRIBUSI CLAYTON-COPULA BIVARIAT DAN
PENERAPANNYA PADA DATA HARGA SAHAM S&P100 DAN
S&P600
Apriliana Wiji Nurcahyani, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Untuk membentuk fungsi distribusi bersama dari dua variabel random
yang berdistribusi ekstrem diperlukan fungsi penghubung. Fungsi penghubung tersebut adalah copula. Copula dibagi ke dalam beberapa kelas, salah satunya Claytoncopula. Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari dua variabel
random. Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara dua variabel random digunakan
korelasi Kendall (τ ). Korelasi Kendall (τ ) digunakan karena terdapat perbedaan antara peluang dari konkordan dan diskordan untuk dua variabel random yang dependen. Tujuan penelitian ini untuk estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan koreasi Kendall (τ ) dan menerapkannya pada data harian harga saham
S&P100 dan S&P600. Hasil dari estimasi parameter θ pada distribusi Clayton-copula
2τ
dan hasil estimasi parameter
bivariat dengan korelasi Kendall (τ ) adalah θˆ = 1−τ
pada penerapan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 adalah 1.7120530
dengan τ sebesar 0.4612146.
Kata Kunci : estimasi parameter, korelasi Kendall (τ ), distribusi Clayton-copula
1. Pendahuluan
Indeks harga saham merupakan indikator utama yang menggambarkan pergerakan harga saham dengan memiliki fungsi sebagai indikator tren pasar, indikator tingkat keuntungan, dan tolak ukur kerja portofolio. S&P100 dan S&P600
merupakan indeks harga saham yang berada di Amerika Serikat. Kedua harga
saham tersebut masih dalam satu stok index market yaitu Standar and Poor’s
(S&P). S&P100 adalah indeks gabungan dari 100 jenis harga saham di Amerika Serikat dan S&P600 adalah pasar bursa saham yang berisikan perusahaan
yang memiliki penguasaan pasar sebesar 300 juta dolar sampai 2 miliar dolar
di Amerika Serikat. Kedua harga saham tersebut memiliki tingkat dependensi
artinya kedua harga saham tersebut saling mempengaruhi sehingga tidak mudah
untuk melakukan estimasi parameternya.
Fungsi distribusi bersama diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan
yang mempunyai dua atau lebih variabel random baik dalam ruang sampel yang
sama atau berbeda. Fungsi distribusi bersama dapat dibentuk dari beberapa variabel random independen, namun dalam beberapa kasus ditemukan pula variabel
random dependen seperti pada data harga saham S&P100 dan S&P600. Oleh
karena itu digunakan copula. Menurut Zimmer dan Trivedi [9], copula adalah
fungsi dari distribusi bersama multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi marginal variabel random dependen.
1
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Menurut Embrechts et al. [2], keluarga copula dibagi menjadi tiga yaitu
elliptical copula, archimedean copula, dan Marshall-Olkin-copula. Keluarga elliptical copula merupakan copula dari distribusi elips. Terdapat dua tipe copula
yang termasuk dalam kelas elliptical copula yaitu gaussian copula dan student-t
copula. Archimedean copula terdiri dari tiga kelas yaitu Frank-copula, Gumbelcopula, dan Clayton-copula. Archimedean copula paling banyak digunakan dalam
kasus bivariat. Hal ini disebabkan karena kemudahan dalam menentukan fungsi
copula-nya dan kelas pada archimedean copula memiliki fungsi pembangkit yang
berbeda-beda. Fungsi pembangkit archimedean copula adalah kontinu, monoton turun, dan memiliki fungsi φ : [0, 1] → [0, ∞) dengan φ(1) = 0. Nilai dari
φ[−1] = φ−1 (u) untuk 0 ≤ u ≤ φ(0) dan φ[−1] = 0 untuk φ(0) ≤ u ≤ ∞. Fungsi
C(u, v) = φ[−1] (φ(u) + φ(v)) adalah copula bivariat dan disebut archimedean
copula bivariat dengan fungsi pembangkit φ (Kort [4]).
Menurut Kort [4], terdapat dua perilaku ekor dependen yaitu ekor dependen
atas (upper tail dependence) dan ekor dependen bawah (lower tail dependence).
Ekor dependen atas dapat didekati dengan distribusi Gumbel-copula dan ekor
dependen bawah dapat didekati dengan distribusi Clayton-copula.
Penelitian yang pernah dilakukan oleh Shamiri et al. [6] adalah Claytoncopula pada financial market risk management. Pada penelitian tersebut, digunakan gabungan dari dua kelas archimedean copula yaitu Clayton-copula dan
Gumbel-copula. Pada penelitian tersebut Shamiri et al. [6] fokus menggunakan
kelas Clayton-copula karena lebih baik digunakan dalam bidang financial marketing. Dalam penelitian yang dilakukan oleh Shamiri et al. [6] estimasi yang digunakan untuk fungsi distribusi Clayton-copula dan Gumbel-copula adalah maximum likelihood estimation (MLE). Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari suatu distribusi (Syuhada [8]). Menurut Mahfoud [5], korelasi Kendall (τ ) dapat digunakan untuk mengkonstruksi parameter dari kelas
Clayton-copula dan Gumbel-copula.
Menurut Genest dan Segers [3], korelasi Kendall (τ ) merupakan salah satu
korelasi yang sesuai untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula.
Kelebihan korelasi Kendall (τ ) adalah tidak terpengaruh oleh nilai-nilai outlier
dan dapat digunakan meskipun bentuk hubungan antara variabel random tidak
bersifat linear. Pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi
Clayton-copula pada kasus bivariat dengan korelasi Kendall (τ ) dan diterapkan
pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600.
2
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
2. Copula
Menurut Zimmer dan Trivedi [9], copula adalah fungsi dari distribusi bersama
multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi
marginal variabel random dependen. Copula juga dapat digunakan untuk mengukur korelasi dari suatu distribusi. Ukuran korelasi yang dikenal antara lain
korelasi linear Paerson, korelasi rank (rank correlation), dan koefisien kebergantungan ekor (coefficient of tail dependence). Korelasi rank dan koefisien kebergantungan ekor digolongkan sebagai korelasi yang berbasis copula (Syuhada [8]).
Copula berperan dalam menggabungkan struktur depedensi untuk membentuk
distribusi bersama dari dua variabel random U dan V . Dependensi dalam konteks
ini dapat dianggap dari kejadian ekstrem. Copula dengan variabel random yang
memiliki nilai ekstrem termasuk ke dalam keluarga archimedean copula. Secara
umum fungsi distribusi archimedean copula didefinisikan
C(u1 , ..., un ) = φ−1 [(φ(u1 ), ..., φ(un )],
(2.1)
dengan n = 1, 2, ..., k; k ∈ N. Fungsi distribusi pada persamaan (2.1) merupakan archimedean copula berdimensi-n dengan C(u1 , ..., un ) adalah fungsi distribusi Clayton-copula, φ(u1 ) merupakan fungsi pembangkit pada variabel random ke-1, φ(un ) merupakan fungsi pembangkit pada variabel random ke-n, dan
φ−1 [(φ(u1 ), ..., φ(un )] merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random
u1 sampai dengan un .
3. Distribusi Clayton-copula
Distribusi Clayton-copula merupakan fungsi distribusi gabungan dari dua
variabel random yang berdistibusi Clayton. Fungsi distribusi archimedean copula
bivariat dibutuhkan untuk membentuk distribusi bersama tersebut. Menurut
Kort [4], fungsi distribusi archimedean copula bivariat dituliskan sebagai
C(u, v) = φ−1 (φ(u) + φ(v)),
(3.1)
dengan φ(u) = 1θ (u−θ − 1) dan φ(v) = 1θ (v −θ − 1) merupakan fungsi pembangkit Clayton-copula pada variabel random u dan v dan θ sebagai parameternya.
Fungsi distribusi bersama Clayton-copula bivariat dengan variabel random u
dan v diperoleh dengan mensubstitusi fungsi pembangkit Clayton-copula masingmasing variabel random u dan v ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh
C(u, v) = φ−1 [( 1θ (u−θ − 1)) + ( 1θ (v −θ − 1))],
dengan φ−1 merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random u dan v
pada distribusi Clayton-copula bivariat menggunakan fungsi pembangkit φ(u) =
1
(u−θ
θ
− 1). Untuk memperoleh inverse fungsi pembangkit dengan mengubah
3
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
persamaan y = φ(u) menjadi bentuk u sebagai fungsi dari y, hasil perubahan
bentuk u menjadi fungsi y dinyatakan φ(y)−1 , selanjutnya mengubah y menjadi
u.
1 −θ
(u − 1)
θ
1 −θ
y =
(u − 1)
θ
1
(θy + 1)− θ = u
φ(u) =
1
(θy + 1)− θ = φ(y)−1
1
(θu + 1)− θ = φ(u)−1
sehingga inverse dari φ(u) adalah
1
φ(u)−1 = (θu + 1)− θ .
(3.2)
Berdasarkan fungsi inverse pada persamaan (3.2) diperoleh
1
1
C(u, v) = φ−1 [( (u−θ − 1)) + ( (v −θ − 1))]
θ
θ
1
1 −θ
1 −θ
= [θ( (u − 1) + (v − 1)) + 1]− θ
θ
θ
−θ
−θ
− θ1
= [u + v − 1] .
Dengan demikian distribusi Clayton-copula bivariat dituliskan sebagai
1
C C (u, v; θ) = [u−θ + v −θ − 1]− θ .
(3.3)
Selanjutnya parameter θ pada persamaan (3.3) akan diestimasi menggunakan
korelasi Kendall (τ ).
4. Peak-Over Threshold (POT)
Menurut Dharmawan [1], salah satu cara untuk mengidentifikasi nilai ekstrem dengan metode peak-over threshold (POT). Metode POT mempertimbangkan distribusi data ekstrem yang melebihi ambang yang telah ditetapkan atau
disebut threshold. Karena Clayton-copula bekerja pada nilai ekstrem minimum
sehingga untuk semua nilai yang kurang dari threshold disebut sebagai nilai ekstrem.
5. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian teori dengan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dan penerapannya pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600. Untuk uraian langkah-langkahnya diuraikan sebagai
berikut.
4
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Untuk teori dilakukan estimasi parameter distribusi Clayton-copula menggunakan korelasi Kendall (τ ), dengan menentukan fungsi pembangkit distribusi
Clayton-copula, menentukan turunan pertama fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula, mensubstitusi fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula ke persamaan
τ =1+4
menghitung nilai
menghitung nilai
(5.1).
∫
1
0
φ(u)
du,
φ′ (u)
(5.1)
φ(u)
, mensubstitusi hasil perhitungan φφ(u)
ke persamaan (5.1),
′
φ′ (u)
(u)
∫ 1 φ(u)
du, dan mensubstitusikan hasil integral ke persamaan
0 φ′ (u)
Untuk penerapannya pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600
dilakukan dengan langkah memilih variabel random, dengan variabel U untuk
data harga saham S&P100 dan variabel V untuk data harga saham S&P600,
melakukan uji kenormalan untuk masing-masing variabel random U dan V , menentukan sampel yang mempunyai nilai ekstrem dengan metode peak-over threshold
(POT), mentransformasikan variabel U dan V pada interval [0, 1], menentukan
tingkat dependensi antara variabel random U dan V , menguji korelasi variabel
U dan V dengan pendekatan copula, dan menentukan nilai estimasi parameter θ
fungsi Clayton-copula dengan nilai korelasi Kendall (τ ).
6. Hasil dan Pembahasan
6.1. Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula. Menurut Genest dan
Rivers (1993) dalam Syahrir dkk. [7] untuk mengestimasi parameter distribusi
Clayton-copula digunakan korelasi Kendall τ nilai Kendall (τ ) yang dituliskan
sebagai
∫
1
φ(u)
du,
′
0 φ (u)
dengan fungsi pembangkit yang digunakan adalah φ(u) = 1θ (u−θ − 1). Langkah
τ =1+4
pertama adalah menentukan turunan pertama fungsi pembangkitnya yaitu
d( 1θ (u−θ − 1))
d φ(u)
=
φ (u) =
du
du
−(θ+1)
= −u
.
′
Setelah diperoleh turunan pertama dari fungsi pembangkitnya, fungsi pembangkit dan turunan pertamanya disubstitusikan pada persamaan (5.1). Langkah
kedua adalah menghitung nilai
φ(u)
′
φ (u)
dan diperoleh
φ(u)
=
φ′ (u)
=
1
(u−θ − 1)
θ
−u−(θ+1)
u−θ − 1
.
−θu−θ−1
5
commit to user
(6.1)
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Langkah berikutnya adalah mensubstitusi persamaan (6.1) ke persamaan (5.1),
dan diperoleh
τ = 1+4
∫
1
0
u−θ − 1
du.
−θu−θ−1
(6.2)
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial pada persamaan (6.2) ruas kanan
suku kedua yaitu
∫
1
0
∫
1
u−θ − 1
du = −
−θ−1
−θu
θ
∫
1
= −
θ
∫
1
0
1
0
u−θ − 1
du
−θu−θ−1
1
u−θ
( −θ−1 − −θ−1 ) du
u
u
1 1
(u − uθ+1) ) du
θ 0
1
1 1
uθ+2 ]|10
= − [ u2 −
θ 2
θ+2
1 1
1
= − [ −
]
θ 2 θ+2
1
1
− .
=
θ(θ + 2) 2θ
= −
(6.3)
Untuk memperoleh estimasi parameter θ pada persamaan (3.3), persamaan (6.3)
disubstitusi ke persamaan (6.2) sehingga diperoleh
∫ 1 −θ
u −1
du
τ = 1+4
−θ−1
0 −θu
1
1
= 1 + 4[
− ]
θ(θ + 2) 2θ
2
4
−
= 1+
θ(θ + 2) θ
θ2
θ(θ + 2)
θ
=
.
θ+2
=
(6.4)
Dari persamaan (6.4) dapat diperoleh estimasi parameter distribusi Claytoncopula bivariat yaitu
θˆ =
2τ
.
1−τ
(6.5)
6.2. Penerapan. Dalam penelitian ini diterapkan estimasi parameter distribusi
Clayton-copula pada data harian harga saham Amerika Serikat S&P100 dan
S&P600 dari bulan Januari 2010 sampai dengan bulan September 2014. Sumber data dari http://finance.yahoo.com, 2014. Indeks harga saham merupakan
indikator utama yang menggambarkan pergerakan harga saham dengan memiliki
6
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
fungsi sebagai indikator tren pasar, indikator tingkat keuntungan, dan tolak ukur
kerja portofolio.
Pada umumnya data harga saham tidak berdistribusi normal karena memuat data ekstrem. Harga saham S&P100 dan S&P600 memiliki hubungan yang
saling mempengaruhi atau dependen karena keduanya masih dalam satu stock
market index yaitu Standard & Poor’s (S&P). Pada penelitian ini dimisalkan data
S&P100 sebagai variabel random U dan data S&P600 sebagai variabel random V .
Pada penelitian ini dilakukan dengan pendekatan copula. Copula digunakan pada
data ekstrem serta harus memenuhi syarat bahwa data tidak berdistribusi normal
dan antara kedua data tersebut haruslah dependen. Oleh karena itu, dilakukan
uji kenormalan untuk variabel random U dan V serta uji dependensi untuk kedua variabel random tersebut. Untuk mengetahui kenormalan variabel random
dapat digunakan uji kolmogorov-smirnov. Uji kenormalan kolmogorov-smirnov
untuk masing-masing variabel random U dan V diperoleh nilai p-value = 0.01
karena nilai p-value < α = 0.05 berarti bahwa variabel random U dan V tidak
berdistribusi normal. Karena copula digunakan pada data ekstrem, berarti bahwa
kedua variabel random tersebut memuat nilai ekstrem.
Untuk mengetahui nilai ekstrem yang terdapat pada data digunakan metode
peak-over threshold (POT). Metode POT menggunakan nilai ambang batas (threshold ). Jika data berada di bawah threshold, maka data tersebut dikatakan data
ekstrem. Berdasarkan perhitungan diperoleh threshold sebesar 623.3360 untuk
variabel random U dan 128.9610 untuk Variabel random V . Dengan demikian
diperoleh data ekstrem sebanyak 610 untuk variabel random U dan 750 untuk
variabel random V . Setelah didapatkan data dengan nilai ekstrem, selanjutnya
dilakukan pengujian dependensi antara dua variabel menggunakan pendekatan
copula.
Pengujian dependensi antara dua variabel yang memiliki nilai ekstrem menggunakan pendekatan copula yaitu menggunakan asumsi korelasi rank dan koefisien kebergantungan ekor. Langkah pertama adalah melakukan transformasi
variabel U dan V pada domain [0, 1]. Selanjutnya menentukan nilai koefisien
korelasi pada variabel U dan V dengan menggunakan korelasi Kendall (τ ) dan
memperoleh nilai τ = 0.4612146. Kemudian melakukan pengujian korelasi rank
untuk mengatasi masalah dependensi nilai ekstrem dengan menggunakan korelasi
Kendall (τ ). Berdasarkan perhitungan didapatkan nilai p−value = 2.4758×10−7 .
Karena nilai p − value < α = 0.05 berarti bahwa sampel data harga saham
S&P100 dan S&P600 dependen. Kemudian dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan korelasi Kendall (τ ).
7
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Berdasarkan persamaan (6.5) didapatkan estimasi parameter dengan korelasi Kendall (τ ). Nilai τ dalam penelitian ini untuk data harga saham S&P100
dan S&P600 adalah 0.4612146 yang berarti terdapat korelasi positif antara keduanya. Dengan demikian estimasi parameter Clayton-copula yaitu θˆ menggunakan
korelasi Kendall (τ ) adalah sebesar 1.7120530 dengan nilai τ sebesar 0.4612146.
7. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh dua kesimpulan sebagai berikut.
(1) Estimasi parameter distribusi Clayton-copula dengan korelasi Kendall (τ )
adalah
2τ
.
θˆ =
1−τ
(2) Berdasarkan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 diperoleh
hasil estimasi parameter yaitu θˆ = 1.7120530.
Daftar Pustaka
[1] Dharmawan, K., Estimasi Nilai VaR Dinamis Indeks Saham Menggunakan Peak-Over
Threshold dan Block Maxima, Jurnal Matematika 2 (2012), no. 2, 1394-1693.
[2] Embrechts, P., F. Lindskog, and A. McNeil, Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Department of Mathematics ETHZ, 2001.
[3] Genest, C. and J. Segers, On the Covariance of The Asymptotic Empirical Copulas Process,
Journal of Multivariate Analysis 101 (2010).
[4] Kort, J., Modeling tail dependence using copulas-literature review, ResearchGate, 2007.
[5] Mahfood, M., Bivariat Archimedean Copulas: An Application to Two Stock Market Indices,
Vrije Universteit, Amsterdam, 2012.
[6] Shamiri, A., N. A. Hamzah, and A. Pirmoradian, Tail Dependence Estimate in Financial
Market Risk Management: Clayton-Gumbel Copula Approach, Sains Malaysiana (2011),
927-935.
[7] Syahrir, I., I. Zaini, dan H. Kuswanto, Estimasi Parameter Copula Archimedean dan Aplikasinya dalam Klimatologi, Paper ITS, no. 17984-1309201001.
[8] Syuhada, K. I. A., Analisis Data Dengan Copula ”Dependency is not Necessarily Bad”,
Kelompok Keilmuan Statistika, FMIPA ITB, Bandung, 2013.
[9] Zimmer, D. M. and P. K. Trivedi, Using Triviate Copulas to Model Sample Selection and
Treatment Effects: Application to Family Healt care Demand, Journal of Business and Economic Statistics 24 (2006), no. 1, 63-67.
8
commit to user
2016
digilib.uns.ac.id
KORELASI KENDALL (τ ) UNTUK ESTIMASI PARAMETER
DISTRIBUSI CLAYTON-COPULA BIVARIAT DAN
PENERAPANNYA PADA DATA HARGA SAHAM S&P100 DAN
S&P600
Apriliana Wiji Nurcahyani, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Untuk membentuk fungsi distribusi bersama dari dua variabel random
yang berdistribusi ekstrem diperlukan fungsi penghubung. Fungsi penghubung tersebut adalah copula. Copula dibagi ke dalam beberapa kelas, salah satunya Claytoncopula. Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari dua variabel
random. Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara dua variabel random digunakan
korelasi Kendall (τ ). Korelasi Kendall (τ ) digunakan karena terdapat perbedaan antara peluang dari konkordan dan diskordan untuk dua variabel random yang dependen. Tujuan penelitian ini untuk estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan koreasi Kendall (τ ) dan menerapkannya pada data harian harga saham
S&P100 dan S&P600. Hasil dari estimasi parameter θ pada distribusi Clayton-copula
2τ
dan hasil estimasi parameter
bivariat dengan korelasi Kendall (τ ) adalah θˆ = 1−τ
pada penerapan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 adalah 1.7120530
dengan τ sebesar 0.4612146.
Kata Kunci : estimasi parameter, korelasi Kendall (τ ), distribusi Clayton-copula
1. Pendahuluan
Indeks harga saham merupakan indikator utama yang menggambarkan pergerakan harga saham dengan memiliki fungsi sebagai indikator tren pasar, indikator tingkat keuntungan, dan tolak ukur kerja portofolio. S&P100 dan S&P600
merupakan indeks harga saham yang berada di Amerika Serikat. Kedua harga
saham tersebut masih dalam satu stok index market yaitu Standar and Poor’s
(S&P). S&P100 adalah indeks gabungan dari 100 jenis harga saham di Amerika Serikat dan S&P600 adalah pasar bursa saham yang berisikan perusahaan
yang memiliki penguasaan pasar sebesar 300 juta dolar sampai 2 miliar dolar
di Amerika Serikat. Kedua harga saham tersebut memiliki tingkat dependensi
artinya kedua harga saham tersebut saling mempengaruhi sehingga tidak mudah
untuk melakukan estimasi parameternya.
Fungsi distribusi bersama diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan
yang mempunyai dua atau lebih variabel random baik dalam ruang sampel yang
sama atau berbeda. Fungsi distribusi bersama dapat dibentuk dari beberapa variabel random independen, namun dalam beberapa kasus ditemukan pula variabel
random dependen seperti pada data harga saham S&P100 dan S&P600. Oleh
karena itu digunakan copula. Menurut Zimmer dan Trivedi [9], copula adalah
fungsi dari distribusi bersama multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi marginal variabel random dependen.
1
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Menurut Embrechts et al. [2], keluarga copula dibagi menjadi tiga yaitu
elliptical copula, archimedean copula, dan Marshall-Olkin-copula. Keluarga elliptical copula merupakan copula dari distribusi elips. Terdapat dua tipe copula
yang termasuk dalam kelas elliptical copula yaitu gaussian copula dan student-t
copula. Archimedean copula terdiri dari tiga kelas yaitu Frank-copula, Gumbelcopula, dan Clayton-copula. Archimedean copula paling banyak digunakan dalam
kasus bivariat. Hal ini disebabkan karena kemudahan dalam menentukan fungsi
copula-nya dan kelas pada archimedean copula memiliki fungsi pembangkit yang
berbeda-beda. Fungsi pembangkit archimedean copula adalah kontinu, monoton turun, dan memiliki fungsi φ : [0, 1] → [0, ∞) dengan φ(1) = 0. Nilai dari
φ[−1] = φ−1 (u) untuk 0 ≤ u ≤ φ(0) dan φ[−1] = 0 untuk φ(0) ≤ u ≤ ∞. Fungsi
C(u, v) = φ[−1] (φ(u) + φ(v)) adalah copula bivariat dan disebut archimedean
copula bivariat dengan fungsi pembangkit φ (Kort [4]).
Menurut Kort [4], terdapat dua perilaku ekor dependen yaitu ekor dependen
atas (upper tail dependence) dan ekor dependen bawah (lower tail dependence).
Ekor dependen atas dapat didekati dengan distribusi Gumbel-copula dan ekor
dependen bawah dapat didekati dengan distribusi Clayton-copula.
Penelitian yang pernah dilakukan oleh Shamiri et al. [6] adalah Claytoncopula pada financial market risk management. Pada penelitian tersebut, digunakan gabungan dari dua kelas archimedean copula yaitu Clayton-copula dan
Gumbel-copula. Pada penelitian tersebut Shamiri et al. [6] fokus menggunakan
kelas Clayton-copula karena lebih baik digunakan dalam bidang financial marketing. Dalam penelitian yang dilakukan oleh Shamiri et al. [6] estimasi yang digunakan untuk fungsi distribusi Clayton-copula dan Gumbel-copula adalah maximum likelihood estimation (MLE). Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari suatu distribusi (Syuhada [8]). Menurut Mahfoud [5], korelasi Kendall (τ ) dapat digunakan untuk mengkonstruksi parameter dari kelas
Clayton-copula dan Gumbel-copula.
Menurut Genest dan Segers [3], korelasi Kendall (τ ) merupakan salah satu
korelasi yang sesuai untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula.
Kelebihan korelasi Kendall (τ ) adalah tidak terpengaruh oleh nilai-nilai outlier
dan dapat digunakan meskipun bentuk hubungan antara variabel random tidak
bersifat linear. Pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi
Clayton-copula pada kasus bivariat dengan korelasi Kendall (τ ) dan diterapkan
pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600.
2
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
2. Copula
Menurut Zimmer dan Trivedi [9], copula adalah fungsi dari distribusi bersama
multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi
marginal variabel random dependen. Copula juga dapat digunakan untuk mengukur korelasi dari suatu distribusi. Ukuran korelasi yang dikenal antara lain
korelasi linear Paerson, korelasi rank (rank correlation), dan koefisien kebergantungan ekor (coefficient of tail dependence). Korelasi rank dan koefisien kebergantungan ekor digolongkan sebagai korelasi yang berbasis copula (Syuhada [8]).
Copula berperan dalam menggabungkan struktur depedensi untuk membentuk
distribusi bersama dari dua variabel random U dan V . Dependensi dalam konteks
ini dapat dianggap dari kejadian ekstrem. Copula dengan variabel random yang
memiliki nilai ekstrem termasuk ke dalam keluarga archimedean copula. Secara
umum fungsi distribusi archimedean copula didefinisikan
C(u1 , ..., un ) = φ−1 [(φ(u1 ), ..., φ(un )],
(2.1)
dengan n = 1, 2, ..., k; k ∈ N. Fungsi distribusi pada persamaan (2.1) merupakan archimedean copula berdimensi-n dengan C(u1 , ..., un ) adalah fungsi distribusi Clayton-copula, φ(u1 ) merupakan fungsi pembangkit pada variabel random ke-1, φ(un ) merupakan fungsi pembangkit pada variabel random ke-n, dan
φ−1 [(φ(u1 ), ..., φ(un )] merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random
u1 sampai dengan un .
3. Distribusi Clayton-copula
Distribusi Clayton-copula merupakan fungsi distribusi gabungan dari dua
variabel random yang berdistibusi Clayton. Fungsi distribusi archimedean copula
bivariat dibutuhkan untuk membentuk distribusi bersama tersebut. Menurut
Kort [4], fungsi distribusi archimedean copula bivariat dituliskan sebagai
C(u, v) = φ−1 (φ(u) + φ(v)),
(3.1)
dengan φ(u) = 1θ (u−θ − 1) dan φ(v) = 1θ (v −θ − 1) merupakan fungsi pembangkit Clayton-copula pada variabel random u dan v dan θ sebagai parameternya.
Fungsi distribusi bersama Clayton-copula bivariat dengan variabel random u
dan v diperoleh dengan mensubstitusi fungsi pembangkit Clayton-copula masingmasing variabel random u dan v ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh
C(u, v) = φ−1 [( 1θ (u−θ − 1)) + ( 1θ (v −θ − 1))],
dengan φ−1 merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random u dan v
pada distribusi Clayton-copula bivariat menggunakan fungsi pembangkit φ(u) =
1
(u−θ
θ
− 1). Untuk memperoleh inverse fungsi pembangkit dengan mengubah
3
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
persamaan y = φ(u) menjadi bentuk u sebagai fungsi dari y, hasil perubahan
bentuk u menjadi fungsi y dinyatakan φ(y)−1 , selanjutnya mengubah y menjadi
u.
1 −θ
(u − 1)
θ
1 −θ
y =
(u − 1)
θ
1
(θy + 1)− θ = u
φ(u) =
1
(θy + 1)− θ = φ(y)−1
1
(θu + 1)− θ = φ(u)−1
sehingga inverse dari φ(u) adalah
1
φ(u)−1 = (θu + 1)− θ .
(3.2)
Berdasarkan fungsi inverse pada persamaan (3.2) diperoleh
1
1
C(u, v) = φ−1 [( (u−θ − 1)) + ( (v −θ − 1))]
θ
θ
1
1 −θ
1 −θ
= [θ( (u − 1) + (v − 1)) + 1]− θ
θ
θ
−θ
−θ
− θ1
= [u + v − 1] .
Dengan demikian distribusi Clayton-copula bivariat dituliskan sebagai
1
C C (u, v; θ) = [u−θ + v −θ − 1]− θ .
(3.3)
Selanjutnya parameter θ pada persamaan (3.3) akan diestimasi menggunakan
korelasi Kendall (τ ).
4. Peak-Over Threshold (POT)
Menurut Dharmawan [1], salah satu cara untuk mengidentifikasi nilai ekstrem dengan metode peak-over threshold (POT). Metode POT mempertimbangkan distribusi data ekstrem yang melebihi ambang yang telah ditetapkan atau
disebut threshold. Karena Clayton-copula bekerja pada nilai ekstrem minimum
sehingga untuk semua nilai yang kurang dari threshold disebut sebagai nilai ekstrem.
5. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian teori dengan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dan penerapannya pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600. Untuk uraian langkah-langkahnya diuraikan sebagai
berikut.
4
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Untuk teori dilakukan estimasi parameter distribusi Clayton-copula menggunakan korelasi Kendall (τ ), dengan menentukan fungsi pembangkit distribusi
Clayton-copula, menentukan turunan pertama fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula, mensubstitusi fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula ke persamaan
τ =1+4
menghitung nilai
menghitung nilai
(5.1).
∫
1
0
φ(u)
du,
φ′ (u)
(5.1)
φ(u)
, mensubstitusi hasil perhitungan φφ(u)
ke persamaan (5.1),
′
φ′ (u)
(u)
∫ 1 φ(u)
du, dan mensubstitusikan hasil integral ke persamaan
0 φ′ (u)
Untuk penerapannya pada data harian harga saham S&P100 dan S&P600
dilakukan dengan langkah memilih variabel random, dengan variabel U untuk
data harga saham S&P100 dan variabel V untuk data harga saham S&P600,
melakukan uji kenormalan untuk masing-masing variabel random U dan V , menentukan sampel yang mempunyai nilai ekstrem dengan metode peak-over threshold
(POT), mentransformasikan variabel U dan V pada interval [0, 1], menentukan
tingkat dependensi antara variabel random U dan V , menguji korelasi variabel
U dan V dengan pendekatan copula, dan menentukan nilai estimasi parameter θ
fungsi Clayton-copula dengan nilai korelasi Kendall (τ ).
6. Hasil dan Pembahasan
6.1. Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula. Menurut Genest dan
Rivers (1993) dalam Syahrir dkk. [7] untuk mengestimasi parameter distribusi
Clayton-copula digunakan korelasi Kendall τ nilai Kendall (τ ) yang dituliskan
sebagai
∫
1
φ(u)
du,
′
0 φ (u)
dengan fungsi pembangkit yang digunakan adalah φ(u) = 1θ (u−θ − 1). Langkah
τ =1+4
pertama adalah menentukan turunan pertama fungsi pembangkitnya yaitu
d( 1θ (u−θ − 1))
d φ(u)
=
φ (u) =
du
du
−(θ+1)
= −u
.
′
Setelah diperoleh turunan pertama dari fungsi pembangkitnya, fungsi pembangkit dan turunan pertamanya disubstitusikan pada persamaan (5.1). Langkah
kedua adalah menghitung nilai
φ(u)
′
φ (u)
dan diperoleh
φ(u)
=
φ′ (u)
=
1
(u−θ − 1)
θ
−u−(θ+1)
u−θ − 1
.
−θu−θ−1
5
commit to user
(6.1)
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Langkah berikutnya adalah mensubstitusi persamaan (6.1) ke persamaan (5.1),
dan diperoleh
τ = 1+4
∫
1
0
u−θ − 1
du.
−θu−θ−1
(6.2)
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial pada persamaan (6.2) ruas kanan
suku kedua yaitu
∫
1
0
∫
1
u−θ − 1
du = −
−θ−1
−θu
θ
∫
1
= −
θ
∫
1
0
1
0
u−θ − 1
du
−θu−θ−1
1
u−θ
( −θ−1 − −θ−1 ) du
u
u
1 1
(u − uθ+1) ) du
θ 0
1
1 1
uθ+2 ]|10
= − [ u2 −
θ 2
θ+2
1 1
1
= − [ −
]
θ 2 θ+2
1
1
− .
=
θ(θ + 2) 2θ
= −
(6.3)
Untuk memperoleh estimasi parameter θ pada persamaan (3.3), persamaan (6.3)
disubstitusi ke persamaan (6.2) sehingga diperoleh
∫ 1 −θ
u −1
du
τ = 1+4
−θ−1
0 −θu
1
1
= 1 + 4[
− ]
θ(θ + 2) 2θ
2
4
−
= 1+
θ(θ + 2) θ
θ2
θ(θ + 2)
θ
=
.
θ+2
=
(6.4)
Dari persamaan (6.4) dapat diperoleh estimasi parameter distribusi Claytoncopula bivariat yaitu
θˆ =
2τ
.
1−τ
(6.5)
6.2. Penerapan. Dalam penelitian ini diterapkan estimasi parameter distribusi
Clayton-copula pada data harian harga saham Amerika Serikat S&P100 dan
S&P600 dari bulan Januari 2010 sampai dengan bulan September 2014. Sumber data dari http://finance.yahoo.com, 2014. Indeks harga saham merupakan
indikator utama yang menggambarkan pergerakan harga saham dengan memiliki
6
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
fungsi sebagai indikator tren pasar, indikator tingkat keuntungan, dan tolak ukur
kerja portofolio.
Pada umumnya data harga saham tidak berdistribusi normal karena memuat data ekstrem. Harga saham S&P100 dan S&P600 memiliki hubungan yang
saling mempengaruhi atau dependen karena keduanya masih dalam satu stock
market index yaitu Standard & Poor’s (S&P). Pada penelitian ini dimisalkan data
S&P100 sebagai variabel random U dan data S&P600 sebagai variabel random V .
Pada penelitian ini dilakukan dengan pendekatan copula. Copula digunakan pada
data ekstrem serta harus memenuhi syarat bahwa data tidak berdistribusi normal
dan antara kedua data tersebut haruslah dependen. Oleh karena itu, dilakukan
uji kenormalan untuk variabel random U dan V serta uji dependensi untuk kedua variabel random tersebut. Untuk mengetahui kenormalan variabel random
dapat digunakan uji kolmogorov-smirnov. Uji kenormalan kolmogorov-smirnov
untuk masing-masing variabel random U dan V diperoleh nilai p-value = 0.01
karena nilai p-value < α = 0.05 berarti bahwa variabel random U dan V tidak
berdistribusi normal. Karena copula digunakan pada data ekstrem, berarti bahwa
kedua variabel random tersebut memuat nilai ekstrem.
Untuk mengetahui nilai ekstrem yang terdapat pada data digunakan metode
peak-over threshold (POT). Metode POT menggunakan nilai ambang batas (threshold ). Jika data berada di bawah threshold, maka data tersebut dikatakan data
ekstrem. Berdasarkan perhitungan diperoleh threshold sebesar 623.3360 untuk
variabel random U dan 128.9610 untuk Variabel random V . Dengan demikian
diperoleh data ekstrem sebanyak 610 untuk variabel random U dan 750 untuk
variabel random V . Setelah didapatkan data dengan nilai ekstrem, selanjutnya
dilakukan pengujian dependensi antara dua variabel menggunakan pendekatan
copula.
Pengujian dependensi antara dua variabel yang memiliki nilai ekstrem menggunakan pendekatan copula yaitu menggunakan asumsi korelasi rank dan koefisien kebergantungan ekor. Langkah pertama adalah melakukan transformasi
variabel U dan V pada domain [0, 1]. Selanjutnya menentukan nilai koefisien
korelasi pada variabel U dan V dengan menggunakan korelasi Kendall (τ ) dan
memperoleh nilai τ = 0.4612146. Kemudian melakukan pengujian korelasi rank
untuk mengatasi masalah dependensi nilai ekstrem dengan menggunakan korelasi
Kendall (τ ). Berdasarkan perhitungan didapatkan nilai p−value = 2.4758×10−7 .
Karena nilai p − value < α = 0.05 berarti bahwa sampel data harga saham
S&P100 dan S&P600 dependen. Kemudian dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan korelasi Kendall (τ ).
7
commit to user
2016
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Korelasi Kendall (τ ). . .
A. W. Nurcahyani, D. R. S. Saputro, N. A. Kurdhi
Berdasarkan persamaan (6.5) didapatkan estimasi parameter dengan korelasi Kendall (τ ). Nilai τ dalam penelitian ini untuk data harga saham S&P100
dan S&P600 adalah 0.4612146 yang berarti terdapat korelasi positif antara keduanya. Dengan demikian estimasi parameter Clayton-copula yaitu θˆ menggunakan
korelasi Kendall (τ ) adalah sebesar 1.7120530 dengan nilai τ sebesar 0.4612146.
7. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh dua kesimpulan sebagai berikut.
(1) Estimasi parameter distribusi Clayton-copula dengan korelasi Kendall (τ )
adalah
2τ
.
θˆ =
1−τ
(2) Berdasarkan data harian harga saham S&P100 dan S&P600 diperoleh
hasil estimasi parameter yaitu θˆ = 1.7120530.
Daftar Pustaka
[1] Dharmawan, K., Estimasi Nilai VaR Dinamis Indeks Saham Menggunakan Peak-Over
Threshold dan Block Maxima, Jurnal Matematika 2 (2012), no. 2, 1394-1693.
[2] Embrechts, P., F. Lindskog, and A. McNeil, Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Department of Mathematics ETHZ, 2001.
[3] Genest, C. and J. Segers, On the Covariance of The Asymptotic Empirical Copulas Process,
Journal of Multivariate Analysis 101 (2010).
[4] Kort, J., Modeling tail dependence using copulas-literature review, ResearchGate, 2007.
[5] Mahfood, M., Bivariat Archimedean Copulas: An Application to Two Stock Market Indices,
Vrije Universteit, Amsterdam, 2012.
[6] Shamiri, A., N. A. Hamzah, and A. Pirmoradian, Tail Dependence Estimate in Financial
Market Risk Management: Clayton-Gumbel Copula Approach, Sains Malaysiana (2011),
927-935.
[7] Syahrir, I., I. Zaini, dan H. Kuswanto, Estimasi Parameter Copula Archimedean dan Aplikasinya dalam Klimatologi, Paper ITS, no. 17984-1309201001.
[8] Syuhada, K. I. A., Analisis Data Dengan Copula ”Dependency is not Necessarily Bad”,
Kelompok Keilmuan Statistika, FMIPA ITB, Bandung, 2013.
[9] Zimmer, D. M. and P. K. Trivedi, Using Triviate Copulas to Model Sample Selection and
Treatment Effects: Application to Family Healt care Demand, Journal of Business and Economic Statistics 24 (2006), no. 1, 63-67.
8
commit to user
2016