DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH

  PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN KALKULUS 2018 Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PUTRI WILANDARI Z., S.TP., M.Si

  

Mata Kuliah Kalkulus membahas tentang (1) Sistem bilangan,

pertaksamaan serta koordinat kartesius, (2) fungsi dan limit, (3)

turunan dan aplikasinya, (4) integral dan aplikasinyaserta (5)

fungsi-fungsi transenden.

  

Turunan menjelaskan beberapa konsep mengenai kecepatan

sesaat dan gradient singgung, hubungannya dengan kekontinuan,

aturan dasar turunan, turunan tingkat tinggi, penurunan implisit,

laju yang berkaitan, diferensial dan aproksimasi, serta maksimum,

minimum dan nilai rata suatu fungsi. Integral membahas beberapa

topik mengenai integral tak tentu, persamaan diferensial,

sederhana, notasi sigma dan luas, integral tentu dan teorema dasar

kalkulus, serta aplikasi integral untuk memecahkan masalah yang

berkaitan dengan luas pada bidang, volume benda pejal, momen

dan pusat massa.

  

  Pendahuluan & Sistem Bilangan

  1 Fungsi dan Limit

  2 Turunan

  3 Turunan dan Aplikasinya

  4 Diferensial dan Aproksimasi

  5 Maksimum dan Minimum

  6 Permasalahan Maksimum dan

  7 Minimum dari Suatu Fungsi

  PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PENDAHULUAN & SISTEM BILANGAN

  

 Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang

  perubahan dan pertumbuhan. Pendiferensialan dan penintegralan adalah proses dasar dari kalkulus.

   Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu.

 Elemen Suatu Himpunang : a adalah elemen himpunan S

  (a ∈ S), jika a bukan elemen himpunan S (a ∉ S), himpunan kosong di notasikan

  ∅

   Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k}

   Himpunan A anggota himpunan B : A ⊆ B

   Himpunan A anggota himpunan murni B : A

  ⊂ B

   Gabungan Himpunan A dan B : A

  ∪ B pernyataan yang benar adalah : a.

  3 ∈ b. 1 ∈ c. 2 ∉ d. 3 ∉ e. ⊆ f. ⊆ g. ⊂ h. 4 ∈ ∪ i.

  6 ∈ ∪ j. 4 ∈ ∩ k.

  6 ∈ ∩ l. ∩ = m. ∩ = n.

  ∪ = Tentukanlah

  ∪ b. ∩ c. ∩ d. ∪ e.

  ∪ ∩ f. ( ∪ ) ∩ ∪ g. ∩ ( ∪ )

  

 Bilangan real, dinotasikan dengan  memainkan peranan

  yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real  dapat digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan  = (-,).

  

 Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan

  sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (- ∞, ∞).

  

 Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi

  (hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan

  π, 2, dan bilangan e.

  Bilangan Positif Bilangan Negatif a b

  Makna: (a,b) = {x| a < x < b} (Interval Terbuka) [a,b] = {x| a

  ≤ x ≤ b} (Interval Tertutup) (a,b] = {x| a < x ≤ b}

  (Interval Setengah Terbuka) [a,b) = {x| a ≤ x < b} (Interval Setengah Terbuka)

  ( a,∞) = {x| a < x} (Interval Terbuka) (a,-

  ∞) = {x| x < a} (Interval Terbuka) (b,∞) = {x| b < x} (Interval Terbuka) (b,- ∞) = {x| x < b}

  (Interval Terbuka) [ a,∞) = {x| a ≤ x} (Interval Tertutup)

  (a,- ∞] = {x| a > x } (Interval Terbuka) (

  ∞,-∞) = {x| -∞ < x < ∞} (Interval Terbuka)

   Bentuk desimal yang berhenti atau berulang menyatakan bilangan rasional. Contoh : ½ =0,5 ; 1/3 = 0.333 …

   Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlahan (+) dan perkalian (x) padanya memenuhi :

   Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif,

  …)

   Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, aditif) yang melibatkan simbol <, >, =.

   Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”

   Garis Bilangan Real sebagai representasi R

  Dalam berargumen, kita akan sering menggunakan kalimat “Jika … maka … ”

  (dibaca : jika P maka Q P Q B B B B S S S B B S S B

   ( 430 + 10 +

  

3

  7.8)/2.75

  

 Bilangan mana yang lebih besar?

 22/7 atau 3,14?

   Benar/ Salah kalimat berikut?

   Jika x > 1, maka x ² > 1.

   Jika x ²

> 1, maka x > 1.

   Untuk semua ,

   Untuk semua ,

  

x

² x  ₂ x x   

x

  

 Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval

terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

  Solusi:

   Menambahkan Bilangan yang sama < pada kedua ruas pertidaksamaan

   Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas

   Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas kemudian tanda pertidaksamaan harus dibalik

• -1+x < -2x +3 ≤ 2 p.

  3 + < −1 −1

  −1 −1 −2 +3 k.

  6 −1 ≥ 5 +2 o.

  3 < 2 + 1 n.

  −

  > 0 l. x < x + 5 m.

  2 −4 +3

• 2
• 3
• -5 ≤ 2x +6 < 4 e.

  3 < 2 + 1 g.

  6 −1 ≥ 5 h.

  −

  2 − < 6 f.

  2x -7 < 4x - 2 d.

  1 < 3 b. x -1 < x + 3 c.

  Contoh : a.

• -1 < -2x +3 ≤ 2 i.
• 1 <
Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Nilai absolut x dinotasikan |

  | a. − = b. = c.

• = + d.

  − = − e.

  = Istilah ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat ax

  2

• +bx +c = 0

  = − ±

  2

  − 4

  2

  2

• – 4ac) merupakan diskriminan dari persamaan kuadrat.
• d = (b
• Jika d > 0 maka akar persamaannya adalah dua bilangan real
• Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan real
• Jika d < 0 maka tidak ada solusi bilangan real

   Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren ´e Descartes (1637)

   Misalkan P(x , y ) dan Q(x , y ) dua buah titik pada bidang, jaraknya

  1

  1

  2

  2

  2

  2 adalah d (P,Q) =

  (x − x ) + (y − y )

  2

  1

  2

  1

   Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: -2 < x ≤ 3 dan semua nilai y dengan batasan: -3 ≤ y < 2 pada koordinat kartesius X-Y!

   Tentukan jarak antara P (

• –2 , 3 ) dan Q ( 4 , –1 )

   Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.

   Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

  

 Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x , y ) dan

  1

  1 (x , y ) yang memenuhi persamaan tersebut.

  2

  2

   Misalkan (x , y ) dan (x , y )

  1

  1

  2

  2 dua titik pada garis tersebut.

  Kemiringan garis didefinisikan sebagai m = (y )/(x )

  −y −x 

  2

  1

  2

  1

   Buktikan bahwa m = −A/B .

  −1

  2 .

  1 )

  Misalkan garis l

  1

  dan l

  2

  dua buah garis dengan kemiringan m

  1

  dan m

   Jika kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m

  y

  1

  = m

  2  Jika kedua garis tersebut saling tegak lurus

  ⇐⇒ m

  1

  .m

  2

  =

  1 = m (x

  ) :

   Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x

  −

  1

  , y

  1

  ) dan (x

  2

  , y

  2

  ) :

  1

  1

  2 −

  1 =

  −

  1

  2 −

  1  Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui

  titik (x

  1

  , y

• – y
• – x

   Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran).

   Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan jari-

  2

  2

  2 jari r adalah: x + y = r (gambar sebelah kiri).

   Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) maka

  2

  2

  2 persamaannya menjadi (x + (y = r .

  − p) − q)

   Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) :

• 2

  

 Untuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya :

( − )2

  2 + ( − )2

  2 =1

  2

  2

  2 = 1

   Bentuk umum yang berpusat di (0, 0) :

  2

  2 −

  2

  2 = 1 atau

  −

  2

  2

  2 = 1

• 2

  

 Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat

lingkarannya serta radiusnya.

  2

  2 x + 6y =

• – 2x + y –6

  

 Tentukan persamaan dari lingkaran yang memiliki segmen

(2 , 4 ) ke (8 , 12 ) yang menjadi diameter.

  TERIMA KASIH

  PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FUNGSI DAN LIMIT Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

   Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A ke

  B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap elemen di A dengan satu elemen di B.

   Bila elemen-elemen dari A lebih banyak dari elemen- elemen B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B?

  

 Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka

  ditulis: f : X  Y atau f (x) dengan x anggota himpunan X.

   2 f (x) = x

• – 3x + 2 dan X = {x | x: –1 ≤ x < 3, x ∈ B}
• – 4

   2 f (x) = x

  2 f (3) = 3

• – 4 = 5

  2 f (a) = a

• – 4

  2

  2

  2 f (a+h) = (a+h) + 2ah + h

• –4
• – 4  a

   2

  Untuk f (x) = x

• – 2x +3 tentukan :

  a. f (3)

  b. f (2 + b)

  c. f (3 + b)

• – f(2)

  d. [f (4 + b)

• – f(4)]/b

   Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnya dibentuk fungsi g(x) = f(x

  − a), maka gambar grafik g(x)

  dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh a ke kanan beserta daerah n suku

  5

  (f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df

  − g, fg, f/g, dan f

   Tentukan f + g, f

  2

  4

  : Misalkan f(x) =

   Contoh

  …. f(x) Dfn = Df

  ∩ Dg ∩ {x|g(x) = 0} fn(x) = f(x) f(x)

  ∩ Dg

  

 Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi real dengan daerah

  (fg)(x) = f(x) g(x), Dfg = Df

  − g)(x) = f(x) − g(x), Df−g = Df ∩ Dg

  (f

  ∩ Dg

  (f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df

  g .

  dan D

  f

  definisi D

• 1 dan g(x) = 9 −

  

 Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai :

(g o

  f) (x) = g(f(x))

   syarat yang harus dipenuhi adalah Rf ∩ Dg ≠ ∅

   Contoh Diketahui fungsi f(x)=

  1 − dan g(x)=

  1 −

   Tentukan Domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x)  Apakah g o f terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?

   Apakah f o g terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?

• 2

   cot α =

  2

  2

  2

  =

  2

  α =

  2

  α + cos

  2

   sin

   tan α = sin α cos α

   tan α =

  β α r x y

  α =

  α =  cot

   tan

   sec α =

   cos α =

   cosec α =

   sin α =

  2

   r =

• 2 2 =

  = 1

• 2

Jika Sin x = sin  (x Є R ), maka : x =  + k.360 , atau x = (180 -  ) + k.360

  Jika Sin x = sin  (x Є R ), maka : x =  + k.2

  π, atau x = ( π-

  ) + k.2 π, k Є B

   Karena Sinus berharga positif hanya berada di kuadran I, kuadran II dan lebih dari kuadran IV

• – α

  o

  o

  = 180

  x o

  (Terbukti) Maka :

  o

  = sin α

  o

  o

  = (0) cos α

  x o

  Sin

  o

  sin α

  o

  cos α

  o

  = sin 180

  x o

  Maka : Sin

  Sin (   )  sin  cos   cos  sin 

  ) Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

  o

  o

  = sin (180

  x o

  Sin

• – cos 180
• – (-1) sin α Sin x

  o

• – α
• k. 360

  sin (0)

  o

  = sin α

  o

  cos (0.360

  o

  ) + cos α

  o

  sin (0.360

  o

  ) Sin

  x o

  = sin α

  cos 0

  ) Sin

  o

  α

  o

  sin 0

  o

  Sin x

  o

  = sin α

  o

  (1) + cos α

  o

  x o

  o

  Sin

  o

  x o

  = sin (α

  o

  o

  ) Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :

  Sin (  + )  sin  cos  + cos  sin 

  Maka : Sin

  x o

  = sin α

  o

  cos (k.360

  ) + cos α

  sin (k.360

  o

  sin (k.360

  o

  ) Jika k = 0

  Sin x

  o

  = sin α

  o

  cos (k.360

  o

  ) + cos α

  o

• cos
• k. 360

  sin (0)

  = sin α

  = sin α

  o

  cos (1.360

  o

  ) + cos α

  o

  sin (1.360

  o

  ) Sin

  α

  o

  o

  α

  cos 360

  

o

  α

  o

  sin 360

  o

  Sin α

  o

  = sin α

  o

  (1) + cos α

  o

  o

  ) Sin

  Sin

  ) + cos α

  x o

  = sin (α

  o

  o

  ) Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :

  Sin (  + )  sin  cos  + cos  sin 

  Maka : Sin

  x o

  = sin α

  o

  cos (k.360

  o

  o

  o

  sin (k.360

  o

  ) Jika k = 1

  Sin α

  o

  = sin α

  o

  cos (k.360

  o

  ) + cos α

  o

  sin (k.360

• cos

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 20 ; 0 ≤x ≤360 adalah?... Jawab : sin x = sin 20 ; 0 ≤x ≤360 x

  1 = α o + k.360 x

  1 = 20 o + k.360 Untuk k=0 x

  1 = 20 + (0).360 =

  1 = 20 + (1).360 = 20 + 360 = 380 (Tidak memenuhi)

  o o x = (180 ) + k.360 –α

  2 o o x = (180 ) + k.360 –20

  2 o x = 160 + k.360

  2 = 160 Untuk k=1 x = 160 + (1).360

  2 o o = 160 + 360 = 520 (Tidak Memenuhi) Jadi Himpunan Penyelesaiaan {20 ,160 }

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 1/3 π ; 0 ≤x ≤ 2π adalah?... Jawab : sin x = sin 1/3

  π; 0 ≤x ≤ 2π

Untuk k=0 x

  = 1/3 π

  π + 2π

  = 1/3

  π + (1). 2π

  1 = 1/3

  π + (0). 2π

  x

  1 = 1/3

  π + k. 2π

  1 = 1/3

  x

  π

  1 = α o + k. 2

Untuk k=1 x

  o x = ( ) + k. 2

  π – α π , 0 ≤x ≤ 2π

  2 x = (

  π – 1/3 π) + k. 2π

  2 x = 2/3

  π + k. 2π

  π + (0). 2π

  2

= 2/3

  π

Untuk k=1 x = 2/3

  π + (1). 2π

  2 = 2/3

  π + 2π

  = 2 2/3

  π (Tidak memenuhi)

  Jadi Himpunan Penyelesaiaan {2/3

  π, 1/3 π }

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = 1/2 ; 0 ≤x ≤360 adalah?... Jawab : sin x = ½ ; 0 ≤x ≤360 sin x = 30

  ₁ = 30 + (1).360 = 30 + 360 = 390 (Tidak memenuhi)

  ^o x ₁ = α ^o

• + k.360 x
₁ = 30 ^o + k.360 , Untuk k=0 x ₁ = 30 + (0).360 =

  o x = (180 ) + k.360 –α

  2 o x = (180 ) + k.360 –30

  2 x = 150 + k.360

  2 = 150 Untuk k=1 x = 150 + (1).360

  2 = 150 + 360 = 520 (Tidak Memenuhi) Jadi Himpunan Penyelesaiaan {30 ,150 }

   sin

  2

  α + cos

  2

  α = 1

   sin (-x ) = - sin x ; cos ( -x ) = cos x; tan ( -x ) = - tan x

   sin ( /2 - x ) = cos x ; cos ( /2 - x ) = sin x ; tan ( /2 - x

  ) = cot x

   sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

   cos ( x + y ) = cos x cos y

• – sin x sin y

   tan (x+y) = tan +tan 1−tan .tan

   sin ( x - y ) = sin x cos y

• – sin y cos x

   cos ( x - y ) = cos x cos y + sin x sin y

   tan (x

  tan −tan 1−tan .tan  sin 2x = 2 sin x cos x

• – y) =

   cos 2x = 2 cos

  2

  x

  2

  xos x

• –1 = 1 – 2 sin

   tan 2x =

  2tan 1−tan

  2  sin

  2 x + cos

  2 x = 1

  PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN LIMIT Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

Definisi Intuitif

  Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:

   Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x

  

  a), f(x) dekat ke L  Bila x mendekati a tetapi x 

  a, maka f(x) mendekati L

   Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a

 Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,

  L x f a x

   

  ) ( lim Fungsi f(x) = (x

   2

• – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk x disekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannya sekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?

   Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akan mendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwa ungkapan x mendekati 1 tidak mengharuskan x = 1.?

   Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan tabel nilai f(x) pada halaman berikut. Tampak jelas bahwa f(x) mendekati 2 ketika x mendekati 1.

   Catat bahwa f(x) = x + 1 untuk x ≈ 1. (Lambang x ≈ 1

   Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c I.

  ∈

  Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di

  c, artinya f(x) terdefinisi disemua titik pada I\{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.

  1

   Misalkan akan dicari (dibaca limit satu per x lim

  →∞

  dengan x mendekati takhingga) maka diambillah beberapa nilai x seperti berikut:

  x

  1 2 1000 1.000.000 … ∞ 1/x 1 1/2 0.001 0,000.001 …

   Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan: lim =

• →

   Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan :

  G x g L x f _{a x a x}   _{ } ) ( lim dan ) ( lim

    G L x g x f x g x f _{a x a x a x}

       _{  } ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim

  Misal (limit dari f , g ada dan berhingga) maka

    LG x g x f x g x f _{a x a x a x}

    _{  } ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim

  

,

) ( lim ) ( lim ) (

  ) ( lim    _ ^ _

  G bila G L x g x f x g x f _{a x a x a x} 2.

  3.

  4. ⁿ _{a x} ⁿ _{a x} ( x f x f )) lim ( )) ( ( lim _{ }

   ,n bilangan bulat positif _{n n a x n a x} L x f x f

    _{ } ) ( lim ) ( lim

  5. bila n genap L harus positif 1.

   2

• →−2 →−2 →−2

  5

  = lim lim + lim 5 = −2 −2 + 5 −2 →−2 →−2 →−2

  = -6

   4 Tentukan Lim (x + 3x – 2) = 8

  →−2

   2

  2 Lim 3 − 6 = Lim (3 − 6) = 3 2 2 − 6 = 6 →2 →2

   2 Tentukan Lim

  2 + 2 →−1

  2

   Lim

  2

• 1 →2

   Jika lim = 0 dan lim = 0 , selanjutnya

  → →

  dibagi menjadi ; maka ini dikatakan lim

  → indeterminate/ tidak tentu.

   Jika lim = , L ≠ 0, dan lim = 0 , maka

  → → juga tidak terdefinisi (tidak ada).

  lim

  →

• 1

  = lim

  2

  =

  →1 ( +1) ( −1)

  = lim

  →1 ( −1)( +1) ( −1)( −1)

  = lim

  2

  2 −1 −1

  →1

   lim

  = 0

  2

  =

  →1 ( −1) ( +1)

  →1 ( −1)( −1) ( −1)( +1)

   lim

  1

  →1 −1

  2 −1

  = lim

  →1 −1 ( −1)( +1)

  = lim

  →1

  =

  = lim

  1

  2

   lim

  →1 −1

  2

  2 −1

  = undifined

   mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi

   Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen ”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

  f ( c  h )  f ( c )



f ' ( c ) lim _{h } h

   Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

   Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c.

   Pencarian turunan disebut diferensiasi

   Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

   y f a  h  f a ( ) ( )  

   m h _PQ , ( ).

   x h

   Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x) dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis

  tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)): f a h f a

    ( ) ( ) m

   lim _h  h

• ℎ − ( )

  ℎ Contoh tentukan limitnya untuk fungsi berikut:

  4+ℎ − (4)

   = 7 − 2 ; lim

  ℎ ℎ→0 1+ℎ − (1)

   = − 1 ; lim

  ℎ ℎ→0 3+ℎ − (3)

   = ; lim

  ℎ ℎ→0

  = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 8 − 2ℎ = −1 − 2ℎ 4 = 7 − 2 4 = −1 4 + ℎ − (4) (−1 − 2ℎ) − (−1) lim

  = lim

  ℎ→0

ℎ→0

  ℎ ℎ

  −2ℎ = lim

  ℎ→0

  ℎ = −2

  = − 1 1 + ℎ = 1 + ℎ − 1 = ℎ 1 = 1 − 1 = 0 1 + ℎ − (1) ℎ − 0 ℎ lim

  = lim = lim

  ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

  ℎ ℎ ℎ

  ℎ lim

  Lmitnya tidak ada karena ada dua batas ℎ→0−

  ℎ = −1

  yang tidak sam

  ℎ lim

  ℎ→0+

  ℎ = 1

  = 3 + ℎ = 3 + ℎ 3 = 3 3 + ℎ − (3) 3 + ℎ − 3 lim

  = lim

  ℎ→0 ℎ→0

  ℎ ℎ 3 + ℎ − 3 3 + ℎ − 3

  = lim ×

  ℎ→0

  ℎ 3 + ℎ − 3 3 + ℎ − 3

  1 = lim

  = lim

  ℎ→0 ℎ→0

  2 3 ℎ ( 3 + ℎ − 3)

   cos(x)  sin(x)/x  1/cos(x)

  1 ) sin( , lim maka ) cos(

  1 lim 1 ) cos( lim

        x x x x _{x x x}

  Contoh .

  ² _x   x x dan

  1

  

1

sin Untuk 1 , ²      x

x

x _{2 2 2}

  1 sin x x

   x x   Apit). Prinsip an (menggunak

  1 sin lim maka ) lim dan lim( karena ₂ ^{2 2} 

      

   x x x x x ^{Bukti x x}

  :

  TERIMA KASIH

  PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN TURUNAN Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

Materi:

   Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

   Rumus Turunan Fungsi Aljabar

   Turunan Berantai Fungsi Aljabar

   Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar

   Turunan Implisit

   Turunan multivariabel

Tujuan Perkuliahan:

  Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan, rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsi aljabar. Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila

  x  x fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.

  Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut.

  

Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju

  pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll

  

 mengingat konsep limit karena konsep turunan

  dijelaskan lewat limit suatu fungsi

   Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen ”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

  f ( c  h )  f ( c )  f ' ( c ) lim ^{h }

   h

  Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

   Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c.

   Pencarian turunan disebut diferensiasi pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah

    f ( a h ) f ( a ) m

   PQ h

  Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:

    f ( a h ) f ( a ) m  lim

   h h Dengan catatan limitnya ada.

Contoh

  Diketahui fungsi f(x) = x

  2

  dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a

  2

  ) Penyelesaian: Dengan menggunakan penjelasan di atas maka

  Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu.

Contoh

• – 6, Carilah f’(4) Penyelesaian:

  f ( 4  h )  f ( 4 ) 13 ( 4  h )  6  [ 13 ( 4 )  6 ]   f ' ( 4 )  lim

   lim h  h  h h

  13 h  lim  lim 13 

  13 h  h  h

Contoh

  3

• 7x, Carilah f’(c) Penyelesaian

  7 3 )

  3

   c h ch c h h h ch h c h c c h c h c

h

c f h c f

c f h h h

  

 

  

           

  

3

     

  3

  2

  2

  2

  7

   

  2

  ( 7 ) lim ) ( ) ( ) lim ( '

  3 lim ] ) 7 [ (

  

3

  7

  3 3 ( lim

  2

   Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)

  Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0.

  Bukti:

     f ( x h ) f ( x ) k k

  ' 

     f ( x ) lim lim lim h  h   h h h

  Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

   Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)

  Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 Bukti:

      f ( x h ) f ( x ) x h x h

  ' f ( x )  lim

   lim  lim 

  1 h  h  h  h h h

   Teorema III (Aturan Pangkat) n

  Jika f(x) = x , dengan n bilangan-bilangan bulat positif,

  n-1

  maka f’(x) = nx Bukti: _{n n}

      _' f ( x h ) f ( x ) ( x h ) x   f ( x ) lim _{h } lim _{h } h h

   _{n n }

_{1 n }

n ( n 1 ) _{2 2 n  1 n n}       x nx h x h ... nxh h x

  2  lim _{h } h

   n ( n

1 )

   n  ^{1 n  2 n  2 n  1 }     h nx x h ... nxh h

  2   Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing- masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi

  n 

  1



f ' ( x ) nx

  Contoh:

  2

  f(x)=x maka f’(x) = 2x

   Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)

  Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf )’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka

  Contoh:

  2 ) ( ' .

  ) ( ) ( . lim ) ( ) ( lim

  ) ( . ) ( . lim ) ( ) (

  ) lim ( x f k h x f h x f k h x f h x f k h x f k h x f k h x f h x f

  F x h h ^{h h}

     

       

      

   

   Teorema V (Aturan Jumlah)

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g )’(x) = f’ (x) + g’ (x). Bukti:

  Contoh:

     

) ( ' ) ( '

  ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim

  ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim (

  ), ( ) ( ) ( x g x f h x g h x g h x f h x f h x g h x g h x f h x f h x g x f h x g h x f

  F x F maka x g x f x Andaikan h h ^{h h}

      

      

      

          

      ^{ }

   Teorema VI (Aturan Selisih)

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f- g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’

  (x) = f’(x) – g’(x) Contoh:

  f’(x) = 6x – 1

   Teorema VII (Aturan Hasil Kali)

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g )’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

  Andaikan F ( x )  f ( x ). g ( x ), maka F ( x  h )  F ( x ) f ( x  h ) g ( x  h )  f ( x ) g ( x ) 

   F ( x ) lim lim _{h  h } h h        f ( x h ) g ( x h ) f ( x h ) g ( x ) f ( x h ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

   lim _{h } h g ( x  h )  g ( x ) f ( x  h )  f ( x )

       lim f ( x h ) g ( x ) _{h } h h

     

    g ( x h ) g ( x ) f ( x h ) f ( x )

   lim f ( x  h ). lim  lim g ( x ). lim _{h h     h h} h h Contoh :

   Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) = 0.

  Maka

  '  

   f g ( x ) f ' ( x ) f ( x ) g ' ( x )

   ( x )

  2   g g ( x )

   

   

       

      

        

         

    

     

       

    

     

  1 ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ( 1 ) ) (