2. Definisi Matriks - Materi 2 Pengantar Aplikasi Matriks & Koefisien Teknis

PENGANTAR DAN APLIKASI MATRIKS

  1. Pendahuluan

  Analisis model I-O dan SNSE (SAM) dilakukan melalui operasi matematika berupa pembalikan matriks. Lagipula, dengan menggunakan notasi matriks semua perhitungan yang menyangkut model I-O dan dSNSE dapat dijelaskan dengan singkat. Kebanyakan literatur mengenai I-O dan SNSE pun ditulis dengan bahasa matematika sehingga dasar-dasar matematika yang digunakan untuk menerangkan cara-cara penyusunan suatu tabel I-O dan SNSE perlu diperkenalkan lebih dahulu.

  Dalam modul ini akan dijelaskan beberapa hal mengenai matriks yang erat kaitannya dengan penyusunan dan analisis model I-O dan SNSE. Tentu saja pengetahuan yang lengkap hanya akan dapat diperoleh dari pustaka yang sesuai. Sebagai pengantar bagi analisis model I-O dan SNSE hal penting yang perlu diperkenalkan menyangkut operasi matriks, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembalikan matriks (matrix inversion), yang mempunyai arti sangat penting bagi analisis model I-O dan SNSE.

  2. Definisi Matriss

  Matriks didefnisikan sebagai bilangan-bilangan yang disusun membentuk segi empat, yang disusun menurut baris (i) dan kolom (j) sebagai berikut: _{11 a 12 a 13}

   a  A = {a ij } = ^{21 a 22 a 23}

   a 

  31 ^{32 33}

   a a a  Pada model I-O dan SNSE, matriksnya berupa matriks bujur sangkar karena jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Bilangan yang hanya terdiri dari satu kolom, disebut vestor solom. Sedangkan yang terdiri atas satu baris, disebut vestor baris. Kalau bilangan tersebut hanya terdiri atas satu kolom dan satu baris, disebut ssalar. ₁₁

   a  _{21 ( a 11 a 12 a 13 ) a 11}  a  ₃₁

   a 

  vestor solom vestor baris ssalar

  Untuk memudahkan notasi, matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan skalar dengan huruf kecil. Salah satu keuntungannya adalah persamaan-persamaan yang rumit dapat ditulis dengan singkat. Disini matriks-matriks tersebut diperlakukan seolah-olah seperti bilangan biasa, padahal bukan. Misalkan persamaan linier sebagai berikut: a ^{11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = y 1} a ^{21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = y 2} . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n = y n

  Seluruh sistem dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks yang elemen-elemennya terdiri dari dua vektor kolom dan satu matriks bujur sangkar : _{11 a 12 a 13 1 1}

   a   x   y  _{21 a 22 a 23 2 2}  a   x  =  y  _{31 a 32 a 33 3 3}

   a   x   y  yang secara singkat dapat dinyatakan dalam persamaan matriks sebagai :

  A x = y ₂

  dimana A adalah matriks bujur sangkar yang mengandung sebanyak n _ij elemen (a ), x adalah vektor kolom dengan n elemen, dan y adalah vektor kolom lain dengan n elemen juga.

  Dalam aljabar biasa A dan y adalah bilangan yang diketahui, sedangkan x bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya, _ij sehingga x = y/A. Dalam aljabar matriks, jika semua elemen (a ) dan elemen y diketahui, maka penyelesaian nilai-nilai x dilakukan dengan cara serupa walaupun tidak persis.

3. Beberapa Istilah

  Suatu matriks bujur sangkar disebut tidas singular apabila determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Matriks ini mempunyai matriks kebalikan (inverse).

   3 2   2 3  = (3)(3) -(2)(2) = 9 - 4 = 5

  Matrik yang singular adalah suatu matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks ini tidak mempunyai kebalikan.

   2 2   3 3  = (2)(3) -(3)(2) = 6 - 6 = 0

  Suatu matriks dimana elemen pada diagonal utama bernilai 1 sedangkan elemen lain bernilai nol disebut matriss identitas. Matriks identitas biasanya dituliskan sebagai I, mempunyai peran dalam aljabar matriks mirip dengan angka 1 pada aljabar biasa.

   1 0  I = 1 0

   0   0 0  Dua matriks dikatakan sama hanya bila mereka berderajat

  

sama dan setiap elemen salah satu matriks sama dengan nilai

  elemen yang seletak pada matriks lainnya. Ini berarti bahwa suatu matriks sama dengan matriks lain yang merupakan duplikasinya.

  2 4  4  B = 3 1 3 1

   2 2  2

   5  B =  5 

  1

  6

  1

  6  3   3 

  Istilah lain yang penting adalah putaran matriks, yaitu apabila semua baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan maka diperoleh suatu matriks putaran (transpose). Putaran matriks B ditulis dengan B’

  2

  5  2 4   2 3 

  B = 3 1 3 1  5  B’ =  2 

  1

  6

  1

  6  3   4 

4. Penjumlahan dan Pengurangan Matriss

  Jika matriks A dan matriks B berderajat sama, maka dapat ditentukan suatu matriks C sebagai A + B. Penjumlahan matriks dilakukan dengan

  

menambahsan elemen-elemen yang seletas pada matriks A dan B

  untuk memperoleh elemen C yang seletak. Misalnya :

  2

  5

  7  2 4   2 3   4 7 

  A = 3 1 3 1 C = A + B =  5  B =  2 

   7 6 2   3

  1 6   4

  1 6   7

  2 12  Hasil yang sama akan diperoleh apabila dicari matriks C = B + A, sehingga husum somutatif dalam penjumlahan matriks tetap berlaku, sehingga A + B = B + A. Juga husum asosiatif dalam penjumlahan matriks tetap berlaku sehingga A + (B+C) = (A+B) + C.

  Pengurangan merupakan kebalikan dari penjumlahan. Jadi jika A dan B adalah dua matriks berderajat sama, pengurangan dapat dianggap sebagai beda A dan B. Contoh :

   2 2  2 5  0 -3 4  3  1  A = 3 1 3 1 C = A - B =

   5  B =  2  0 0  3 

  1

  6

  1

  6  3   4  -1 

  Pada umumnya penjumlahan dan pengurangan matriks sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa karena operasi- operasi tersebut dilakukan hanya terhadap elemen-elemen seletak saja.

5. Persalian Matriss

  Hanya matriks-matriks yang sesuai yang dapat dikalikan. Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B hanya kalau jumlah solom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Kemudian hasil kalinya, yaitu AB akan mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah baris

  

matriss A dan jumlah solom yang sama dengan jumlah solom

matriss B.

  Jika dua matriks A dan B berikut : _{11 a 12 a 13 11 b 12 b 13}  a   b 

  A= ^{21 a 22 a 23 21 b 22 b 23} _{31 a}  a  , B =  b  _{32 a 33 31 b 32 b 33}  a   b  hasil perkaliannya C = AB adalah:

  11 11 + ^{12 21 + 31 31 11 12 + 12 22 + 13 32 11 13 + 12 23}

  b a b a b a b a b a b a b a b  a a ^{13 b 33 +} 

  AB= ^{21 b 11 + a 22 b 21 + a 32 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 +}  a a ^{23 b 33}

   _{31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 +}  a a ^{33 b 33}

   Contoh berikut menggunakan bilangan sesungguhnya :

  2

  1  1   3 

  A = 2 _{+ +}  3 1  B =  2 

  (2)(2) (1)(1) (2)(2)

  5  (1)(3)   7  _{+ +}

  AB =  (3)(3) (1)(2) (3)(1) (1)(2) =  11 5 

  Jika susunan perkaliannya dibalik, yaitu BA akan diperoleh hasil yang berbeda :

• _{+ +}  (3)(1) (1)(3) (3)(2) (1)(1)   6 _{+ +}

  7  BA =  (2)(1) (2)(3) (2)(2)

  (2)(1)  =  8 6  AB tidak sama dengan BA, artinya pada umumnya perkalian matriks tidak bersifat somutatif. Sifat perkalian matriks yang tidak komutatif ini paling jelas bila diilustrasikan dengan perkalian antara vektor baris dan vektor kolom. Jika vektor baris f dikalikan dengan vektor kolom g berikut :

   4  f = ( 3 1 )  g =  2 maka fg = (3x4) + (1x2) = (14)

    12 4   (4)(3) (4)(1) sedangkan gf =

   (2)(3) (2)(1)   6 2  Disini jelas bahwa vestor baris (f) dikalikan vestor solom (g) menghasilkan ssalar. Tetapi vestor solom dikalikan vestor baris menghasilkan matriss.

  Hukum asosiatif masih berlaku untuk perkalian matriks. Artinya, jika kita mempunyai 3 matriks A, B dan C, maka : A(BC) = (AB)C dengan syarat urutan letak matriks tidak dapat ditukar.

  Ada suatu kekecualian mengenai keadaan umum mengenai perkalian matriks ini. Pada bagian berikut akan dijelaskan mengenai matriks kebalikan yang dilambangkan dengan pangkat -1. Urutan perkalian antara suatu matriks dengan kebalikannya tidak akan

• _{-1 -1} merubah hasil, artinya AA = A A = I.

6. Membalis Matriss

  Dikenal dua cara membalik matriks, yaitu pertama dengan menghitung determinan, minor, kofaktor dan melakukan penjumlahan, pengurangan ₂

• dan perkalian dan kedua dengan cara penguraian menjadi: I + A + A
_{3 4 n} A + A + ...+ A .

  Matriks kebalikan (inverse matrix) merupakan suatu matriks khusus (unique matrix) yang mempunyai pemecahan umum (general

  

solution) persamaan-persamaan dalam suatu sistem input-output.

  Secara konvensional akan dibahas dengan singkat. Nanti akan diberikan contoh perhitungan menggunakan spreadsheet dengan menggunakan program MS-Excel.

  Sudah dijelaskan bahwa suatu matriks dikalikan dengan kebalikannya akan menghasilkan matriks identitas, I. Jadi setelah suatu matriks dibalik, matriks kebalikannya dapat dikalikan dengan dengan matriks aslinya. Jika hasilnya tidak menghasilkan matriks identitas maka prosedur perhitungannya perlu diperiksa kembali. Dengan demikian kita dapat menguji apakah matriks kebalikan yang dihasilkan sudah benar.

  Sebagai ilustrasi, dipilih matriks yang mempunyai nilai determinan sama dengan 1. Maksudnya adalah untuk menyederhanakan perhitungan, sehingga perhatian dapat difokuskan ke proses pembalikan matriksnya, bukan pada perhitungannya.

  Carilah kebalikan matriks A, jika :  1

  2 3  A = 3 3

   1 

  2

  4  1 

  Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks dengan jalan menguraikan semua kofaktor sepanjang baris pertama.

  2  1 3   3 3   1 3   1 3 

  D = 3 3

  4

  4  1  = 1  2  - 2  1 

• 3

  2  1 

  2

  4  1 

  D = (12-6) - 2(4-3) + 3 (2-3) = 6 - 2 - 3 = 1 Jadi nilai determinan matriks A sama dengan satu.

  Langkah selanjutnya adalah menandai semua kofaktor dari determinan, sebagai berikut :

  3

  3

  3  3   1   1 

  A ^{11 =}

  4 A ¹²

  4 ^{13 =}

  2  2  = -  1  A  1

   (6) (-1) (-1)

  3

  3

  2  2   1   1 

  21 ^{22 23} A = -  2

  4  A 4  A 1  =  1 = -  1

  (-2) (1) (0)

  3

  3

  2  2   1   1 

  A ^{31 =}

  3 A ³²

  3 ^{33 =}

  3  3  = -  1  A  1

   (-3) (0) (1)

  Semua angka dalam kurung di bawah setiap kofaktor adalah nilai kofaktor yang bersangkutan. Nilai kofaktor ini kemudian disusun dalam bentik matriks dan setelah itu matriks tersebut diputar (transpose). Matriks kofaktor yang sudah diputar disebut matriks adjoint. Langkah ini digambarkan sebagai berikut :

   6 -1  6 -2

• 1 -3 1 0  -1 1 0 

  -2 -3 1  -1 1 

  Matriss sofastor Matriss adjoint Langkah berikut adalah membagi setiap elemen dari matriks adjoint dengan nilai determinan matriks asal. Karena nilai determinan matriks asal sama dengan satu, maka matriks adjoint ini merupakan matriks kebalikan. Untuk mengujinya dapat diperiksa dengan mengalikan matriks kebalikan dengan matriks asalnya dan harus menghasilkan matriks identitas. _-1

  A A

  I  1 2 3  6 -2 -3  1 0 0  3 3 1 0 = 1 0

   1  -1   0 

  2

  4

  1

  1  1  -1   0 

  Perincian perkalian adalah sebagai berikut :

  (1)(6)+(2)(-1)+(3)(-1) (1)(-2)+(2)(1)+(3)(0) (1)(-3)+(2)(0)+(3)(1)  1 0 0 

  (1)(6)+(3)(-1)+(3)(-1) (1)(-2)+(3)(1)+(3)(0) (1)(-3)+(3)(0)+(3)(1) 1 0 =  0  (1)(6)+(2)(-1)+(4)(-1) (1)(-2)+(2)(1)+(4)(0) (1)(-3)+(2)(0)+(4)(1)

  1  0 

• _-1 Hasilnya adalah matriks I, sehingga terbukti bahwa matriks A yang diperoleh merupakan kebalikan dari matriks A.

  Seperti dijelaskan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif. Tetapi dalam hal perkalian dengan matriks kebalikan urutan pengali dan yang dikalikan tidak menjadi soal.

  Metode pembalikan matriks dengan cara ini dapat dengan mudah dan cepat jika matriksnya berukuran kecil, 3 x 3. Akan tetapi menjadi tidak efsien untuk matriks berukuran besar, misalnya 40 x 40. Metode lain adalah yang disebut metode deret pangkat. Untuk analisis dampak berganda secara rinci metode ini sangat berguna. Disini akan diberikan contoh membalik matriks Leontief (I - A) untuk melihat pengaruh awal (initial efeets), pengaruh langsung (direet efeets) dan pengaruh tidak langsung (indireet efeets). Dalam hal ini I adalah matriks identitas dan A adalah matrik koefsien input langsung dari suatu tabel IO. Matrik _{-1 2 3 n} kebalikan Leontief (I - A) dihitung sebagai I + A + A + A + ...+A , sehingga : _{-1 2 3 n}

  (I - A) = I + A + A + A + ...+A Dalam analisis pengganda input-output, matriks kebalikan _-1

  Leontief (I-A) merupakan pengganda total yang dapat dirinci menjadi dampak awal ditunjukkan oleh matriks I, dampak langsung ditunjukkan oleh matriks A dan dampak tidak langsung yang merupakan

  2 ^{3 n}

  penjumlahan A + A + ...+A , dimana untuk n yang cukup besar nilainya dapat diabaikan karena sangat kecil.

  CONTOH: Operasi Matriss Menggunasan Spreadsheet

  Perangkat lunak MS-Excel yang digunakan pada hampir semua modul pelatihan ini akan digunakan untuk memberikan contoh pengoperasian (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembalikan) matriks. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

  1. Jalankan program MS-Excel

  2. Buka fle “Operasi Matriksl pada disket yang diberikan

  3. Pada “sheet1l, terdapat dua matriks yaitu matriks A (B1:D3) dan matriks B (G1:I3)

  4. Untuk operasi penjumlahan, letakkan kursor pada B5, lalu ketikkan perintah “= (B1+G1)l

  5. Salin perintah pada B5 ke B6, B7, C5, C6, C7, D5, D6, D7.

  6. Diperoleh hasil penjumlahan matriks A + B pada C (B5:D7) 7.

  Untuk operasi pengurangan, letakkan kursor pada G5, lalu ketikkan perintah “=(B1-G1)l

  8. Salin perintah pada G5 ke G6, G7, H5, H6, H7, I5, I6, I7.

  9. Diperoleh hasil pengurangan matriks A - B pada D (G5:I7) 10.

  Untuk operasi persalian matriks, klik “sheet2l.

  11. Terdapat matriks A (B1:C2) dan matriks B(G1:H2) 12.

  Karena operasi perkalian matriks menggunakan MS-Excel agak sedikit rumit disarankan untuk menggunakan Lotus-123 yang terdapat dalam program MS-Excel. Untuk itu, klik “Helpl. Kemudian klik “Lotus 123 Helpl. Klik 2 kali “Data>l. Klik 2 kali “Matrik >l. Klik 2 kali “Multiplyl.

  13. Di kiri atas akan muncul “Help for Lotus 123 Usersl dengan perintah: “Enter choices to use in demonstration of Data Matrix Multiply “ 14. Isikan “First Rangel dengan memilih matriks A (B1:C2).

  15. Isikan “Second Rangel dengan memilih matriks B (G1:H2)

  16. Isikan “Output Rangel untuk menunjukkan lokasi output perkalian AB (B4:C6)

  17. Klik OK yang ada di ujung kanan atas

  18. Tunggu sampai operasi selesai, hasilnya terdapat pada C=AB (B4:C6)

  19. Untuk operasi pembalisan matriks, Klik “sheet3l, dimana terdapat matriks A (B1:D3)

  20. Lakukan seperti Langkah 12, tetapi yang dilakukan terakhir kali adalah Klik dua kali “Invertl, busan “Multiply”.

  21. Di kiri atas akan muncul “Help for Lotus 123 Usersl dengan perintah :

  “Enter choices to use in demonstration of Data Matrix Invertl

  22. Isikan “Range to Invertl, dengan memilih range matriks A (B1:D3) 23.

  Isikan “Output rangel, untuk menunjukkan lokasi output pembalikan matriks A (G1:I3)

  24. Klik perintah OK yang ada diujung kanan atas 25.

  Tunggu sampai operasi selesai, hasilnya A ^-1 terdapat pada cel (G1:I3)

  7. Matriss Koefisien Langsung

Tabel 1.

  

Tabel Transassi Domestis Atas Dasar Harga Produsen (Rp.

  

Miliar)

Sektor

  1

  2

  3

4 Total Permin- taan Antara Konsumsi Rumah Tangga Permin- taan Akhir Lainnya Ekspor Total Output

  1 4.057 4 22.706 3.439 30.206 21.280 320 1.379 53.186

  2 7 142 9.384 3.026 12.559 2.796 13.265 28.620 3 3.771 718 19.866 23.848 48.202 42.271 3.965 28.621 123.059 4 2.239 1.799 11.745 26.439 42.223 52.690 58.529 10.023 163.465 Total

  Input Antara 10.073 2.664 63.701 56.751 133.190 116.242 65.610 53.289 368.330 Gaji dan

  Upah 7.951 2.155 10.615 36.256 56.978 56.978 Input Primer

Lainnya 34.581 23.479 31.352 61.412 150.824 150.824

  Impor 581 322 17.390 9.046 27.339 7.942 17.829 53.111

Total Input 53.186 28.620 123.059 163.465 368.330 124.184 83.439 53.289 629.242

  

TK (ribu) 39.005 698 8.027 26.548 74.278 74.278

Sumber : Diolah dari Biro Pusat Statistik, 1994 Sektor 1 meliputi sektor pertanian Sektor 2 meliputi sektor pertambangan dan galian Sektor 3 meliputi sektor industri Sektor 4 meliputi sektor jasa

  Matriks koefsien langsung atau sering disebut juga dengan matriks koefsien I-O seperti disajikan pada Tabel 2, dihitung dengan cara membagi setiap sel (menurut kolom) dengan total input. Misalnya, untuk kolom sektor 1 Tabel 2, semua sel dibagi dengan 53.186 (total input pada Tabel 2). Matriks koefsien ini sering digunakan secara membingungkan karena kadang-kadang ada yang menyebutnya sebagai matriks koefsien teknik, matriks koefsien teknologi, matriks koefsien input-output ataupun matriks koefsien langsung. Kadang- kadang, istilah ini juga digunakan untuk seluruh matriks dan kadang- kadang hanya mencakup kuadran-antara saja. Lebih sering matriks ini _ij disebut dengan matriks A, yang unsur-unsurnya adalah a . Menggunakan program spreadsheet matriks ini dengan mudah dapat dihitung. Walaupun sudah ada perangkat lunak khusus untuk analisis model I-O, modul pelatihan ini lebih menekankan penggunaan spreadsheet terutama agar proses pemahamannya lebih mudah.

  

Tabel 2.

Matriss Koefisien Langsung

  Total Konsumsi Permin- Sektor

  1

  2

  3

4 Permin- Rumah taan Ekspor Total taan Antara Tangga Akhir Output Lainnya

  1 0,0763 0,0002 0,1845 0,0210 0,2820 0,1714 0,0038 0,0259 0,4831 2 0,0001 0,0050 0,0763 0,0185 0,0999 0,0000 0,0335 0,2489 0,3823 3 0,0709 0,0251 0,1614 0,1459 0,4033 0,3404 0,0475 0,5371 1,3283 4 0,0421 0,0629 0,0954 0,1617 0,3621 0,4243 0,7015 0,1881 1,6760

  Total Input 0,1894 0,0931 0,5176 0,3472 1,1473 0,9360 0,7863 1,0000 3,8697 Antara

  Gaji dan Upah 0,1495 0,0753 0,0863 0,2218 0,5329 0,0000 0,0000 0,0000 0,5329

  Input Primer Lainnya 0,6502 0,8204 0,2548 0,3757 2,1010 0,0000 0,0000 0,0000 2,1010 Impor 0,0109 0,0113 0,1413 0,0553 0,2188 0,0640 0,2137 0,0000 0,4965

  Total Input 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0000 1,0000 1,0000 1,0000 7,0000 TK 0,7334 0,0244 0,0652 0,1624 0,9854 0,0000 0,0000 0,0000 0,9854 Sumber : Diolah dari Biro Pusat Statistik, 1994

  Koefsien setiap kolom pada Tabel 2 menunjukkan jumlah input yang dibutuhkan secara langsung oleh setiap sektor dengan nomor di atasnya dari setiap sektor yang ada di sebelah kirinya. Misalnya, untuk setiap Rp. 10.000 output sektor 1 membutuhkan:

  Rp 763 dari sektor 1 (sektor pertanian) Rp 1 dari sektor 2 (sektor pertambangan dan galian) Rp 709 dari sektor 3 (sektor industri manufaktur) Rp 421 dari sektor 4 (sektor jasa) atau secara total sebanyak Rp 1.894 dari seluruh sektor produksi lokal.

  Selain itu, sebanyak : Rp 1.495 dalam bentuk gaji dan upah Rp 6.502 dalam bentuk input primer lainnya, dan Rp 109 dalam bentuk input yang diimpor

  Ini merupakan koefsien input langsung, yang juga disebut sebagai koefsien pembelian input pada putaran pertama (frst-round

  

purehases of inputs) dan tidak mencerminkan pengaruh tidak langsung

  (indireet efeet) terhadap perekonomian lokal. Matriks A menunjukkan saling ketergantungan antar sektor dalam suatu perekonomian; setiap ij

  koefsien a menunjukkan jumlah input yang dibutuhkan dari sektor i untuk setiap unit output sektor j.

8. Matriss Kebalisan

8.1. Matriss Kebalisan Terbusa

  Selain pengaruh langsung, terdapat juga serangkaian pengaruh tidak langsung sebagai suatu gelombang pembelian putaran kedua, ketiga dan selanjutnya dalam suatu perekonomian. Misalnya, peningkatan permintaan terhadap output sektor 1 akan membutuhkan input dari semua sektor pada putaran pertama; sektor-sektor ini kemudian perlu meningkatkan outputnya agar dapat menyediakan permintaan sektor 1 yang meningkat tadi dan karenanya perlu membeli input sebagai pengaruh putaran kedua terhadap suatu perekonomian.

  Satu hal penting dalam analisis model I-O adalah penyusunan suatu tabel yang dapat menunjukkan pengaruh langsung dan pengaruh tidak langsung sebagai akibat berubahnya output suatu sektor. Berbagai metode, yang secara konsepsi serupa, dapat digunakan untuk menghitung pengaruh-pengaruh ini. Salah satu teknik yang paling dikenal adalah teknik matriks kebalikan (matrix inversion) yang biasanya disebut dengan matriks kebalikan Leontief terbuka (open

  

Leontief inverse), matriks penyelesaian umum terbuka (open general

solution matrix) atau secara sederhana disebut sebagai matriks

  kebalikan terbuka (open inverse matrix). Kata “terbukal digunakan untuk menunjukkan bahwa model yang digunakan hanya mencakup sektor-sektor produksi atau sektor-antara dan tidak ada satupun sektor permintaan akhir yang dicakup oleh matriks A.

  Matriks kebalikan terbuka untuk contoh kasus disajikan pada Tabel 3 yang dengan menggunakan program spreadsheet matriks ini dengan mudah dapat dihitung.

  

Tabel 3.

  

Matriss Kebalisan Terbusa

Sestor

  1

  2

  3

  4 Total 1 1,1052 0,0111 0,2524 0,0719 1,4406 2 0,0095 1,0100 0,0985 0,0397 1,1576 3 0,1056 0,0453 1,2449 0,2203 1,6162 4 0,0682 0,0815 0,1618 1,2246 1,5361

  Total 1,2886 1,1478 1,7576 1,5565 5,7505

  Tabel 3 menunjukkan pengaruh langsung dan tidak langsung dari meningkatnya permintaan akhir sektor yang ada diatasnya terhadap sektor-sektor yang ada disebelah kiri. Misalnya, meningkatnya permintaan output sektor 1 sebesar Rp 10.000, setelah memperhitungkan pengaruh langsung dan tidak langsung, akan meningkatkan output sektor 1 sebesar Rp11.052 (termasuk Rp 10.000 injeksi awal), sektor 2 hanya sebesar Rp 95, sektor 3 sebesar Rp 1.056 dan sektor 4 sebesar Rp 682 sehingga secara total meningkatkan output perekonomian secara keseluruhan sebesar Rp 12.886. Setiap sel pada Tabel 2 sebenarnya merupakan angka-angka dampak berganda yang mengindikasikan besarnya respon yang diharapkan dari meningkatnya permintaan akhir sebesar Rp 10.000.

  Matriks kebalikan terbuka mempunyai sejumlah kegunaan dalam analisis ekonomi. Yang jelas, matriks ini mempunyai beberapa karakteristik yang dapat diduga. Pertama, unsur-unsur dalam diagonal utama akan bernilai 1 atau lebih besar. Kedua, unsur-unsur pada tabel adalah positif dan mencerminkan tingkat saling ketergantungan ekonomi secara terbuka.

8.2. Matriss Kebalisan Tertutup

  Model terbuka yang dibahas di muka hanya menggambarkan suatu situasi ketika sektor-sektor produksi dalam perekonomian diasumsikan endogen terhadap sistem, yaitu ketika semua sektor-sektor permintaan akhir diasumsikan ditentukan oleh faktor-faktor di luar sistem produksi. Jika asumsi ini tidak memuaskan, model I-O dapat secara sebagaian atau seluruhnya “ditutupl.

  Kebanyakan pakar I-O setuju dengan asumsi bahwa sektor rumah tangga merupakan komponen endogen dalam suatu perekonomian, dalam arti bahwa tingkat produksi adalah penting dalam penentuan tingkat pendapatan rumah tangga, yang kemudian sebagian besar dibelanjakan secara lokal dan selanjutnya mempengaruhi tingkat konsumsi, yang lebih lanjut akan mempengaruhi tingkat output setiap sektor. Pada kasus ini, model telah memasukkan sektor rumah tangga ke dalam kuadran-antara (intermediate quadran); dengan cara menggabungkan kolom dan baris rumah tangga ke dalam kuadran antara.

  Matriks baru disebut sebagai matriks yang ditambahkan ^* (augmented matrix) dan dinyatakan dengan A . Secara konseptual matriks ini sama dengan matriks A, kecuali bahwa setiap putaran dalam reaksi ekonomi telah menggabungkan pendapatan rumah tangga dan peningkatan output sektor-sektor untuk memenuhi kebutuhan yang ditimbulkan oleh meningkatnya pengeluaran rumah tangga karena meningkatnya pendapatan. Dengan demikian, matriks kebalikan dari model tertutup mencakup dampak berganda pendapatan dan pengaruh konsumsi. Untuk kasus pada bahasan ini, matriks kebalikan tertutup disajikan pada Tabel 4.

  

Tabel 4.

Matriss Kebalisan Tertutup

  Rumah Tangg Sestor

  1

  2

  

3

  4 Total Total a 1 1,180 0,050 0,326 0,192 1,749 0,3950 2,1448

  4

  5

  8

  1

  8 2 0,022 1,016 0,111 0,060 1,210 0,0671 1,2773

  3

  7

  1

  1

  2 3 0,237 0,114 1,375 0,430 2,157 0,6915 2,8490

  1

  3

  2

  8

  4 4 0,212 0,157 0,304 1,455 2,129 0,7575 2,8864

  3

  5

  2 Total 1,652 1,338 2,117 2,138 7,246 1,9112 9,1575

  1

  4

  7

  2

  3 Rumah 0,245 0,128 0,243 0,393 1,011 1,2918 2,3028 Tangga

  7

  8

  4

  2 Total 1,897 1,467 2,361 2,531 8,257 3,2029 11,460

  7

  2

  1

  4

  3

  3 Sel-sel pada matriks kebalikan tertutup merupakan angka

  dampak berganda output. Nilainya lebih besar dibandingkan dengan nilai unsur-unsur pada matriks kebalikan terbuka karena nilai-nilai tersebut juga mencakup tingkat output yang dibutuhkan untuk memenuhi pengaruh imbasan konsumsi rumah tangga. Misalnya, setiap peningkatan permintaan output sektor 1 sebesar Rp. 10.000 akan menyebabkan peningkatan secara langsung, tidak langsung dan imbasan output sektor 1 sebesar Rp 11.804 (termasuk injeksi awal), sektor 2 sebesar Rp 223, sektor 3 sebesar Rp 2.371 dan sektor 4 sebesar Rp 2.123, menghasilkan peningkatan output sektor produksi secara total sebesar Rp 16.521.

• - - - *** - - -