BILANGAN RAINBOW CONNECTION UNTUK BEBERAPA GRAF THORN

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 65 – 76

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

BILANGAN RAINBOW CONNECTION UNTUK

BEBERAPA GRAF THORN

MELVI MUCHLIAN

  

Program Studi Magister Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

email : melvimuchlian@gmail.com

  Abstrak.

  Misalkan G = (V (G), E(G)) adalah suatu graf terhubung tak trivial. Definisi

pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k}, k ∈ N , dimana dua sisi yang bertetangga boleh

berwarna sama. Suatu lintasan u − v path P di G dinamakan rainbow path jika tidak

terdapat dua sisi di P yang berwarna sama. Graf G disebut rainbow connected jika

setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path. Pewarnaaan sisi

yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Bilan-

gan Rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai

banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rainbow con-

nected

  . Misalkan c adalah rainbow coloring dari graf terhubung G. Untuk dua titik u

dan v di G, rainbow u − v geodesic pada G adalah rainbow u − v path yang panjangnya

d

(u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u − v path terpendek di

(G). Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u − v

geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G.Minimum k yang terdapat pada pewar-

naan c : E(G) → {1, 2, · · · , k} sedemikian sehingga G adalah strongly rainbow connected

dikatakan bilangan strong rainbow connection, src(G), di G. Jadi, rc(G) ≤ src(G) un-

tuk setiap graf terhubung di G. Pada paper ini akan diulas kembali tentang Bilangan

Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn. Kata Kunci

  : Bilangan Rainbow Connection, graf Thorn .

1. Pendahuluan

  Konsep rainbow connection dari suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Char- trand, Johns, McKeon dan Zhang [3] pada tahun 2008. Misalkan G = (V (G), E(G)) adalah suatu graf terhubung tak trivial. Definisi pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k}, k ∈ N , dimana dua sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasan u − v path P di G dinamakan rainbow path jika tidak terdapat dua sisi di P yang berwarna sama. Graf G disebut rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path.

  Pewarnaaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Jelas jika G adalah rainbow connected, maka G terhubung. Se- baliknya, setiap graf terhubung memiliki pewarnaan sisi trivial sehingga G bersi- fat rainbow connected, yaitu setiap sisi diwarnai dengan warna berbeda. Bilangan Rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rain-

  Melvi Muchlian

  66

  bow connected. Suatu rainbow coloring yang menggunakan sebanyak rc(G) warna dikatakan minimum rainbow coloring.

  Misalkan c adalah rainbow coloring dari graf terhubung G. Untuk dua titik u dan v di G, rainbow u − v geodesic pada G adalah rainbow u − v path yang panjangnya d

  (u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u − v path terpendek di (G). Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u

  − v geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G. Dalam kasus ini, pewarnaan c dikatakan strong rainbow coloring di G. Minimum k yang terdapat pada pewarnaan c

  : E(G) → {1, 2, · · · , k} sedemikian sehingga G adalah strongly rainbow connected dikatakan bilangan strong rainbow connection atau strong rainbow connection num- ber, src(G), di G. Suatu strong rainbow coloring di G yang menggunakan src(G) warna dikatakan minimum strong rainbow coloring di G. Jadi, rc(G) ≤ src(G) un- tuk setiap graf terhubung di G [3]. Selanjutnya, jika G adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran m dan diam(G) = max{d(u, v)|u, v ∈ V (G)}, maka diam (G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m. Pada paper ini akan dikaji tentang Bilangan Rainbow Connection untuk Beber- apa Graf Thorn.

2. Bilangan Rainbow Connection

  Berikut disajikan kembali propositionosisi yang membahas tentang graf G yang mempunyai rc(G) dan src(G) 1, 2 dan m. Proposisi 2.1. [3] Misalkan G adalah suatu graf terhubung tak trivial yang beruku- ran m. Maka (1) rc(G) = src(G) = 1 jika dan hanya jika G merupakan graf lengkap, (2) rc(G) = 2 jika dan hanya jika src(G) = 2, dan (3) rc(G) = src(G) = m jika dan hanya jika G suatu graf pohon. Proposisi 2.2.

  [3] Untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4, rc(C n ) = src(C n ) = n ⌈ ⌉.

  2 Definisi 2.3. , l , [7] Misalkan l · · · , l n adalah bilangan-bilangan bulat positif dan

  1

  2 G , v , adalah suatu graf dengan V (G) = {v

  1 2 · · · , v n }. Thorn dari graf G, dengan , l , parameter l

  1 2 · · · , l n diperoleh dengan menghubungkan l i titik baru berderajat 1 ke titik v i dari graf G(i ∈ 1, · · · , n).

  ∗ ∗ , l ,

  Graf thorn dari graf G dinotasikan dengan G atau G (l · · · , l n ) jika masing-

  1

  2 masing parameter ditentukan. Contoh graf thorn diperlihatkan pada Gambar 1.

  Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari graf lengkap. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap l i ≥ n (i ∈ {1, · · · , n}) Teorema 2.4.

  [7] Untuk n ≥ 1 dan l i ≥ n, berlaku _X n ∗ ∗ rc l .

  (K ) = src(K ) = i n n i

  Bilangan Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn

  67 ∗ _{1 , l 2 , 4} Gambar 1. Graf C ^{4 (l · · · , l ).}

  Bukti.

  Perhatikan bahwa u ij adalah thorn dari titik v i (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l i }). Perhatikan Gambar 2.

  ∗

Gambar 2. Graf K

_{4 P n}

  ∗ l

  Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa rc(K ) ≤ i . Karena semua path n i

  =1 dari u ^{1 1 ke u 2 2 perlu melalui sisi u 1 1 v 1 , v 2 u 2 2 , ini jelas bahwa warna dari sisi} i j i j i j i i i j v u dimana (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l }) haruslah berbeda. Dengan kata lain, i ij i ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu,

  (i) dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn v u dengan c(v u ) = j dimana i ij i ij

  (i) j , i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l } terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan dari sisi i graf.

  Warnai sisi lain dengan cara berikut.

  (i+1) c (v v ) = (j + 1) , untuk i < j < n, i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l }, i j i

  (i+1) c (v v ) = 1 , untuk i ∈ {1, · · · , n}, i n

  (2) c (v n v ) = 2 .

1 Hal ini jelas bahwa lintasan dari u

  ^{1 1 v 1 − v 1 v 2 − v 2 u 2 2 dengan pewarnaan} _{1 2} i j i i i i i j (i ) ^{1 (i )}

  (i +1) j ^{1 1 v 1 1 v u 2}

  − (i 2 + 1) − j sedangkan u i j i − v i n − v n nj dengan pewar-

  1 ₁

  2 (i ) ^{1 (n) (n) (1)}

  (i +1) (2) naan j − 1 − j . j − 2 − j adalah kode pewarnaan dari lintasan

  1

  2

  1

  2 u ^{1 v v u 2} nj n − v n 1 − v 1 1j . Semua lintasan dari graf memiliki warna yang berbeda.

  ∗ Dengan kata lain, setiap dua titik dari graf K merupakan lintasan rainbow con- _{P n} n _{P n} l l nected dengan i warna. Jadi, dapat dibangun sebuah rainbow i -coloring i i

  Melvi Muchlian

  68

  ∗ ∗ dari K sehingga dapat membuat graf K rainbow connected. Ini berarti bahwa n n _{P n}

  ∗ rc l (K ) ≤ i . n i

  =1 _{P n} ∗

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(K ) ≥ l . Asumsikan berlawanan i n i _{P n P n} =1

  ∗

  1 sehingga rc(K ) ≤ l − 1. Misalkan c adalah rainbow l − 1-coloring i i n i i

  =1 =1 ∗ dari K . Misalkan bahwa u ^{1 1 v 1 dan v 2 u 2 2 adalah dua sisi dengan warna yang} i j i i i j n

  ∗ sama, maka lintasan u ^{1 1 − u 2 2 di K bukanlah rainbow path. Ini menyebabkan} i j i j _{P n} n

  ∗ ∗ kontradiksi, haruslah rc(K ) ≥ l , selanjutnya diperoleh bahwa rc(K ) = i n i n _{P n} =1 l . i i =1

  Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rain- bow coloring. Karena u i ^{1 j 1 v i 1 − v i 1 v i 2 − v i 2 u i 2 j 2 adalah lintasan dengan pan-} ∗ jang d(u i ^{1 j 1 , u i 2 j 2 ) antara u i 1 j 1 dan u i 2 j 2 di K , dimana i , i ∈ {1, · · · , n} dan} n

  1

  2 i , j

  6= i ∈ {1, · · · , l i }, j ∈ {1, · · · , l i }, sehingga c rainbow coloring dapat mem-

  1

  2

  1

  1

  2

  2 _{P n} ∗

  ∗ l buat K strongly rainbow connected. Jadi diperoleh src(K ) ≤ i . n n _{P n} i =1

  ∗ l

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa src(K ) ≥ i . Misalkan tanpa men- n _P i =1 n

  ∗ l gurangi keumuman sehingga src(K ) = i − 1. Terdapat paling sedikit dua n i =1 sisi thorn yang berwarna sama, maka rainbow geodesic dari satu thorn dengan yang _P n

  ∗ l lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(K ) = i . n _{P P} i =1 n n

  ∗ ∗ ∗ l l

  Akibatnya, karena rc(K ) = i dan src(K ) = i maka rc(K ) = n n n _P i =1 i =1 n

  ∗ src l (K ) = i . n i =1

  Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf lengkap dengan n = 4, ∗ ∗ pada Gambar 3 terlihat bahwa rc(K ) = src(K ) = 16.

  4

  4

  ∗ ∗

Gambar 3. rc(K ) = src(K ) = 16

₄

₄ Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari

  graf lingkaran. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap l i ≥ n (i ∈ {1, · · · , n}). Teorema 2.5.

  [7] Untuk n ≥ 4 dan l i ≥ n, berlaku _X n n

  ∗ ∗ rc l .

  (C ) = src(C ) = ⌈ ⌉ + i n n

  2 i

  =1 Bukti.

  Perhatikan Gambar 4. Untuk n ≥ 4, perhatikan bahwa lingkaran C n dengan n titik dan untuk setiap i v dengan 1 ≤ i ≤ n, misalkan e i = v i i +1 . Misalkan c sebagai sisi-coloring dari C n

  Bilangan Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn

  69 ∗

Gambar 4. Graf C .

₄

  sebagai berikut: n i, untuk 1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉,

  2 c

  (e i ) = n n i − ⌈ ⌉, untuk ⌈ ⌉ + 1 ≤ i ≤ n.

  2

  2 n ∗

  Karena warna dari sisi thorn harus berbeda, maka berlaku bahwa rc(C ) ≤ ⌈ ⌉ + n _{P n}

  2 l . i i

  =1 _{P n} n ∗

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(C ) ≥ ⌈ ⌉ + l , asumsikan i n i _{P n} 2 =1 n

  ∗ ∗ berlawanan sehingga rc(C ) ≤ ⌈ ⌉ + l − 1. Misalkan c adalah rainbow i n i =1 _{P n}

  2 n ∗ ∗

  (⌈ ⌉ + l − 1)-coloring dari C . Asumsikan bahwa c (e ) = c(e ) maka ter- i i i i =1 n

  2 dapat paling sedikit dua sisi thorn dengan warna yang sama. Sebaliknya, jika _{P n} n n

  ∗ ∗ c (v i u ij ) = c(v i u ij ) maka (⌈ ⌉ + l i − 1)-coloring dari C memberikan ⌈ ⌉ − 1 n i =1

  2 2 warna yang berbeda sedangkan sisa n sisi dari C n bukanlah sebuah rainbow coloring. _{P n} n

  ∗ l Karena itu, nyatakan sebagai rc(C ) = ⌈ ⌉ + i . n i =1

  2 _{P n} n ∗ l

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa src(C ) = ⌈ ⌉ + i . Karena n i =1

  2 n diam

  (C n ) = ⌈ ⌉ dan pewarnaan dari sisi thorn haruslah berbeda, maka da-

  2 _P n ∗ n l pat simpulkan bahwa src(C ) ≤ ⌈ ⌉ + i . Selanjutnya, akan ditunjukkan n i =1 _P

  2 n ∗ n

  ∗ l bahwa src(C ) ≥ ⌈ ⌉ + i . Asumsikan berlawanan sehingga src(C ) ≤ n n _{P P} 2 i =1 n n n

  1 n ∗ l l ⌈ ⌉ + i − 1. Misalkan c adalah rainbow (⌈ ⌉ + i − 1)-coloring dari C . n 2 i =1

  2 i =1

1 Asumsikan bahwa c (e i ) = c(e i ) maka terdapat paling sedikit dua sisi thorn den-

  1 gan warna yang sama. Asumsikan bahwa c (u ij ) = c(u mn )(i 6= m ∈ {1, 2, · · · , n}),

  ∗ v u maka tidak terdapat u ij i − v m mn geodesic pada C . Similar untuk pembuktian n

  1 u u dari bilangan rainbow connection, asumsikan bahwa c (v i ij ) = c(v i ij ) maka ini n merupakan kontradiksi dari src(C n ) = ⌈ ⌉. _{P n P n}

  2 n n ∗ ∗

  Akibatnya, karena rc(C ) = ⌈ ⌉ + l dan src(C ) = ⌈ ⌉ + l maka i i n i n i _{P n} 2 =1 2 =1 n

  ∗ ∗ rc (C ) = src(C ) = ⌈ ⌉ + l . i n n i

  2 =1 Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf lingkaran dengan n = 4,

  ∗ ∗ pada Gambar 5 terlihat bahwa rc(C ) = src(C ) = 18.

  4

  4 Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari graf barbel. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap l i ≥ 2n (i ∈ {1, · · · , 2n}).

  Melvi Muchlian

  70 ∗ .

  

Gambar 5. Graf C

⁴ Teorema 2.6. ♦

  Untuk n ≥ 2 dan l i ≥ 2n, berlaku _X 2n ∗ ∗ rc l .

  (B ) = src(B ) = 3 + i n n i

  =1 Bukti.

  Perhatikan bahwa u ij adalah thorn dari titik v i (i ∈ {1, · · · , 2n}, j ∈ {1, · · · , l i }). Perhatikan Gambar 6.

  ∗

Gambar 6. Graf B .

_{4 P 2n}

  ∗ l

  Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa rc(B ) ≤ 3 + i . Karena semua n _{1 1 8 2 1 1 v 1 , v 8 u 8 2} i =1 path dari u i j ke u i j perlu melalui sisi u i j i i i j , ini jelas bahwa warna u dari sisi v i ij dimana (i ∈ {1, · · · , 2n}, j ∈ {1, · · · , l i }) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh

  (i) u u karena itu, dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn v i ij dengan c(v i ij ) = j

  (i) , i dimana j ∈ {1, · · · , 2n}, j ∈ {1, · · · , l i } terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan dari sisi graf.

  Warnai sisi lain dengan cara berikut: _

  1 1, jika e ∈ (K ), _ n

  2 c (e) = 2, jika e ∈ (K ), _ n

  3, jika e adalah sebuah bridge Hal ini jelas bahwa lintasan dari u i _{1 8} ^{1 j 1 v i 1 −v i 1 v i 4 −v i 4 v i 5 −v i 5 v i 8 −v i 8 u i 8 j 2 dengan}

  (i ) (i ) pewarnaan j −1−3−2−j sedangkan u ^{1 1 v 1 −v 1 v 4 −v 4 v 5 −v 5 v 6 −v 6 u 6 8} i j i i i i i i i i i j

  1 ₁

  2 ₆ (i ) (i ) dengan pewarnaan j − 1 − 3 − 2 − j . Semua lintasan dari graf memiliki warna

  Bilangan Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn

  71

  ∗ yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua titik dari graf B merupakan lintasan _P n

  2n l rainbow connected dengan 3 + i warna. Jadi, dapat dibangun sebuah rainbow i _P =1

  2n ∗ ∗ 3 + l -coloring dari B sehingga dapat membuat graf B rainbow connected. i i n n

  =1 _P 2n

  ∗ Ini berarti bahwa rc(B ) ≤ 3 + l . i n i

  =1 _P 2n

  ∗ Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(B ) ≥ 3 + l . Asumsikan i n i _P =1

  2n ∗

  1 berlawanan sehingga rc(B ) ≤ 3 + l − 1. Misalkan c adalah rainbow i n i _P =1

  2n ∗

  3+ l −1-coloring dari B . Misalkan bahwa u ^{1 1 v 1 dan v 8 u 8 2 adalah dua sisi} i i j i i i j i n

  =1 ∗ dengan warna yang sama, maka lintasan u ^{1 1 − u 8 2 di B bukanlah rainbow path.} i j i j n _{P 2n}

  ∗ Ini menyebabkan kontradiksi, sehingga haruslah rc(B ) ≥ 3 + l selanjutnya n i _{P 2n} i =1

  ∗ diperoleh bahwa rc(B ) = 3 + l i . n i =1

  Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rainbow v v v v u coloring. Karena u i ^{1 j 1 i 1 − v i 1 i 4 − v i 4 i 5 − v i 5 i 8 − v i 8 i 8 j 2 adalah lintasan den-}

  ∗ , u

  , i , , i , i gan panjang d(u i ^{1 j 1 i 8 j 2 ) antara u i 1 j 1 dan u i 8 j 2 di B , dimana i ∈} n

  1

  4

  5

  8 , j

  {1, · · · , 2n} dan i 6= i 6= i 6= i ∈ {1, · · · , l i }, j ∈ {1, · · · , l i }, sehingga

  1

  4

  5

  8

  1

  1

  2

  8 ∗ c rainbow coloring dapat membuat B strongly rainbow connected. Dengan kata _P n

  2n ∗ l lain src(B ) ≤ 3 + i . n i =1 _P

  2n ∗ l

  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa rc(B ) ≥ 3 + i . Misalkan tanpa n _P i =1

  2n ∗ l mengurangi keumuman sehingga src(B ) = 3 + i − 1. Terdapat paling sedikit n i =1 dua sisi thorn yang berwarna sama, maka rainbow geodesic dari satu thorn dengan

  ∗ yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu src(B ) = 3 + _P n

  2n l i . i

  =1 _{P P} 2n 2n

  ∗ ∗ l l

  Akibatnya, karena rc(B ) = 3 + i dan src(B ) = 3 + i maka n i n i _P =1 =1

  2n ∗ ∗ rc (B ) = src(B ) = 3 + l . i n n i

  =1 Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf barbel dengan n = 3, pada

  ∗ ∗ Gambar 7 terlihat bahwa rc(B ) = src(B ) = 39.

  3

  3

  ∗ .

  

Gambar 7. Graf B

³ Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari

  graf lolipop. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap l i ≥ n + m (i ∈ {1, · · · , (n + m)})

  Melvi Muchlian

72 Teorema 2.7. ♦

  Untuk n ≥ 1, m ≥ 2 dan l i ≥ n + m, berlaku n _X +m

  ∗ ∗ rc l

  (L ) = src(L ) = (n + 1) + i m,n m,n i

  =1 Bukti. Perhatikan bahwa u adalah thorn dari titik v (i ∈ {1, · · · , m}, j ∈ ij i

  {1, · · · , l }) dan w adalah thorn dari sisi x (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l }). Per- i ij i i hatikan Gambar ??.

  ∗

Gambar 8. Graf L .

_{5 , 3} Misalkan v , v , · · · , v m adalah himpunan titik-titik dari graf lengkap K m dan

  1

  2 x , x , · · · , x n adalah himpunan titik-titik dari graf lintasan P n . Misalkan titik v m

  1

  2 ∗ dibuat berdekatan dengan x pada graf L . Sedemikian sehingga ada tepat satu

  1 m,n path connecting dari titik x n dan v m dengan panjang (n − 1) + 1 = n. _{P n +m} ∗ l

  Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa rc(L ) ≤ (n + 1) + i . Karena m,n _{1 1 3 2 1 1 v 1 , x 3 w 3 2} i =1 semua path dari u i j ke w i j perlu melalui sisi u i j i i i j , ini jelas bahwa u w warna dari sisi v i ij dimana (i ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , l i }) dan sisi x i ij di- mana (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l i }) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu,

  (i) u u dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn v i ij dengan c(v i ij ) = j dimana

  (i) (i) j , i w w

  ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , l i } dan sisi thorn x i ij dengan c(x i ij ) = j di- (i)

  , i mana j ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l i } terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan dari sisi graf.

  Warnai sisi lain dengan cara berikut: _ n _ − 1, untuk e ∈ (P n ), c n (e) = + 1, untuk e ∈ (K m ), _ n, untuk e adalah sebuah bridge

  Hal ini jelas bahwa lintasan dari u ^{1 1 v 1 −v 1 v 5 −v 5 x 1 −x 1 x 2 −x 2 x 3 −x 3 w 3 2} ₁ i j i i i i i i i i i i i j ₃ (i ) (i ) dengan pewarnaan j − 4 − 3 − 2 − 1 − j sedangkan u ^{2 1 v 2 − v 2 v 5 − v 5 x 1 −} i j i i i i i

  1

  2 _{2 3} (i ) (i ) x ^{1 x 2 2 x 3 3 w 3 3} i i − x i i − x i i j dengan pewarnaan j − 4 − 3 − 2 − 1 − j . Semua

  1

  3 lintasan dari graf memiliki warna yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua titik _{P n}

• m ∗

  l dari graf L merupakan lintasan rainbow connected dengan (n + 1) + i m,n i

  Bilangan Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn _{P n +m}

  73

  ∗ l warna. Jadi, dapat dibangun sebuah rainbow (n + 1) + i -coloring dari L m,n i =1

  ∗ ∗ sehingga dapat membuat graf L rainbow connected. Ini berarti bahwa rc(L ) ≤ _{P n +m} m,n m,n l (n + 1) + i . i =1 _{P n +m}

  ∗ l

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(L ) ≥ (n + 1) + i . Asum- m,n _{P n +m} i =1

  ∗

  1 sikan berlawanan sehingga rc(L ) ≤ (n + 1) + l i − 1. Misalkan c adalah m,n _{P n +m} i =1

  ∗ rainbow (n + 1) + l − 1-coloring dari L . Misalkan bahwa u ^{1 1 v 1 dan} i i j i i =1 m,n

  ∗ x ^{3 w 3 2 adalah dua sisi dengan warna yang sama, maka lintasan u 1 1 −w 3 2 di L} i i j i j i j m,n

  ∗ bukanlah rainbow path. Ini menyebabkan kontradiksi, sehingga haruslah rc(L ) ≥ _{P n P n} m,n

• m
• m ∗ (n + 1) + l , selanjutnya diperoleh bahwa rc(L ) = (n + 1) + l .

  i i i m,n i

  =1 =1

  Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rain- bow coloring. Karena u ^{1 1 v 1 − v 1 v 5 − v 5 x 1 − x 1 x 2 − x 2 x 3 − x 3 w 3 2 adalah} i j i i i i i i i i i i i j

  ∗ lintasan dengan panjang d(u i ^{1 j 1 , w i 3 j 2 ) antara u i 1 j 1 dan w i 3 j 2 di L , dimana} m,n i , i ∈ {1, · · · , m} dan i 6= i , i , i , i ∈ {1, · · · , n} dan i 6= i 6= i ,

  1

  5

  1

  5

  1

  2

  3

  1

  2

  3 j

  ∈ {1, · · · , l i }, j ∈ {1, · · · , l i }, sehingga c rainbow coloring dapat membuat

  1

  1

  2

  3 _{P n +m} ∗

  ∗ L l strongly rainbow connected. Dengan kata lain src(L ) ≤ (n + 1) + i . m,n m,n _{P n +m} i =1

  ∗ Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa src(L ) ≥ (n + 1) + l i . Misalkan m,n _{P n} i =1

• m ∗

  tanpa mengurangi keumuman sehingga src(L ) = (n+1)+ l −1. Terdapat i m,n i

  =1 paling sedikit dua sisi thorn yang berwarna sama, maka rainbow geodesic dari satu thorn dengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu _{P n +m}

  ∗ src (L ) = (n + 1) + l i . m,n i =1 _{P n}

• m ∗ ∗

  Akibatnya, karena rc(L ) = (n + 1) + l dan src(L ) = (n + 1) + i m,n i m,n _{P n} =1 _{P n}

• m
• m ∗ ∗ l maka rc(L ) = src(L ) = (n + 1) + l .

  i i i m,n m,n i

  =1 =1

  Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf lolipop dengan m = 3, n = ∗ ∗ 2, pada Gambar 9 terlihat bahwa rc(L ) = src(L ) = 28. 3,2 3,2

  ∗

Gambar 9. Graf L

³ _, ² Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari

  graf tadpole. Pada teorema berikut akan ditinjau graf thorn untuk setiap l i ≥ n + m (i ∈ {1, · · · , (n + m)}).

  Melvi Muchlian

74 Teorema 2.8. ♦

  Untuk n ≥ 1, m ≥ 3 dan l i ≥ n + m, berlaku n _X +m m

  ∗ ∗ rc l

  (T ) = src(T ) = ⌈ ⌉ + n + i m,n m,n

  2 i =1 Bukti.

  Perhatikan bahwa u ij adalah thorn dari titik v i (i ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , l i }) dan w ij adalah thorn dari sisi x i (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l i }). Per- hatikan Gambar 10.

  ∗ .

  Gambar 10. Graf T ⁶ _, ³

  , v , Misalkan v

  1 2 · · · , v m adalah himpunan titik-titik dari graf lingkaran C m dan x , x ,

  1 2 · · · , x n adalah himpunan titik-titik dari graf lintasan P n . Misalkan titik v m ∗ dibuat berdekatan dengan x pada graf T . Maka x − x − · · · − x − v adalah

  1

  1 2 n m m,n ∗ path dengan panjang n pada graf T . Sedemikian sehingga ada tepat satu path m,n antara v dan x . m

  1 _{P n} m +m ∗

  Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa rc(T ) ≤ ⌈ ⌉+n+ l . Karena i m,n i

  2 =1 semua path dari u ^{3 1 ke w 3 2 perlu melalui sisi u 3 1 v 3 , x 3 w 3 2 , ini jelas bahwa} i j i j i j i i i j warna dari sisi v u dimana (i ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , l }) dan sisi x w di- i ij i i ij mana (i ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l }) haruslah berbeda. Dengan kata lain, ini i merupakan syarat perlu untuk rainbow connectivity suatu graf. Oleh karena itu,

  (i) dalam pewarnaan ini warnai semua sisi thorn v i u ij dengan c(v i u ij ) = j dimana

  (i) (i) j , i w w

  ∈ {1, · · · , m}, j ∈ {1, · · · , l i } dan sisi thorn x i ij dengan c(x i ij ) = j di- (i)

  , i mana j ∈ {1, · · · , n}, j ∈ {1, · · · , l i } terlebih dahulu sebagai kode pewarnaan dari sisi graf.

  Warnai sisi lain dengan cara berikut: n − 1, untuk e ∈ (P n ), c

  (e) = n, untuk e adalah sebuah bridge _m m

  Warnai path v m −v 1 −v 2 −· · ·−v dengan pewarnaan n+1, n+2, · · · , n+⌈ ⌉ ⌈ ^{2 ⌉}

  2 _m m dan warnai sisi path v m − v m −1 − v m −2 − · · · − v dengan pewarnaan n + ⌈ ⌉, n +

  ⌈ ^{2 ⌉}

  2 m ⌈ ⌉ − 1, · · · , n + 2, n + 1

  Bilangan Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Thorn

₃

_{1 v 3 3 v 2 2 v 1 1 v 6 6 x 1}

  75 Hal ini jelas bahwa lintasan dari u i j i − v i i − v i i − v i i − v i i − _{3 3}

  (i ) (i ) x ^{1 x 2 2 x 3 3 w 3 2} i i − x i i − x i i j dengan pewarnaan j − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 − j _{3 2 v 3 3 v 4 4 v 5 5 v 6 6 x}

  1 _{1 1 x 2 2 x 3 3 w 3 1}

  2 sedangkan u i j i −v i i −v i i −v i i −v i i −x i i −x i i −x i i j dengan _{3 3}

  (i ) (i ) pewarnaan j −4−5−6−3−2−1−j . Semua lintasan dari graf memiliki warna

  2

  1 ∗ yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua titik dari graf T merupakan lintasan _{P n +m} m,n m rainbow connected dengan ⌈ ⌉ + n + l i warna. Jadi, dapat dibangun sebuah i =1 _{P n +m}

  2 m ∗ ∗ rainbow ⌈ ⌉ + n + l i -coloring dari T sehingga dapat membuat graf T m,n m,n i =1

  2 _{P n +m} m ∗ rainbow connected. Ini berarti bahwa rc(T ) ≤ ⌈ ⌉ + n + l . i m,n i =1

  2 _{P n} m +m ∗

  Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa rc(T ) ≥ ⌈ ⌉ + n + l . Asum- i m,n i _{P n} 2 =1 m +m

  ∗

  1 sikan berlawanan sehingga rc(T ) ≤ ⌈ ⌉ + n + l − 1. Misalkan c adalah i m,n i _{P n} 2 =1

• m m ∗

  l ^{3 1 v 3} rainbow ⌈ ⌉ + n + i − 1-coloring dari T . Misalkan bahwa u i j i dan i m,n 2 =1

  ∗ x ^{3 w 3 2 3 1 3 2} i i j adalah dua sisi dengan warna yang sama, maka lintasan u i j −w i j di T m,n

  ∗ bukanlah rainbow path. Ini menyebabkan kontradiksi, sehingga haruslah rc(T ) ≥ _{P P} m,n n +m n +m m

  ∗ m l l ⌈ ⌉ + n + i , selanjutnya diperoleh bahwa rc(T ) = ⌈ ⌉ + n + i . m,n 2 i =1

  2 i =1 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa c rainbow coloring adalah strong rainbow _{3 1 v 3 3 v 2 2 v 1 1 v 6 6 x 1 1 x 2 2 x 3 3 w 3 2} coloring. Karena u i j i − v i i − v i i − v i i − v i i − x i i − x i i − x i i j _{3 1 , w 3 2 3 1 3 2} ∗ adalah lintasan dengan panjang d(u i j i j ) antara u i j dan w i j di T , di- m,n mana i , i , i , i ∈ {1, · · · , m} dan i 6= i 6= i 6= i , i , i , i ∈ {1, · · · , n} dan

  1

  2

  3

  6

  1

  2

  3

  6

  1

  2

  4

i 6= i 6= i , j ∈ {1, · · · , l }, j ∈ {1, · · · , l }, sehingga c rainbow coloring

  1

  2

  3 1 i

  3 2 i

  3 ∗

  ∗ dapat membuat T strongly rainbow connected. Dengan kata lain src(T ) ≤ _{P n} m,n m,n m +m l ⌈ ⌉ + n + i . i 2 =1 _{P n} m +m

  ∗ Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa src(T ) > ⌈ ⌉ + n + l . Misalkan i m,n i

  2 =1 _{P n}

• m ∗ m

  l tanpa mengurangi keumuman sehingga src(T ) = ⌈ ⌉+n+ i −1. Terdapat m,n i 2 =1 paling sedikit dua sisi thorn yang berwarna sama, maka rainbow geodesic dari satu thorn dengan yang lainnya tidak ada, sehingga ini kontradiksi. Oleh karena itu _{P n} m +m

  ∗ src (T ) = ⌈ ⌉ + n + l . i m,n i

  2 =1 _{P n}

• m ∗ m ∗ m

  l Akibatnya, karena rc(T ) = ⌈ ⌉ + n + i dan src(T ) = ⌈ ⌉ + n + m,n i m,n _P 2 =1 _P

  2 n +m n +m

  ∗ ∗ m l l i maka rc(T ) = src(T ) = ⌈ ⌉ + n + i . m,n m,n i =1

  2 i =1 Berikut diberikan ilustrasi untuk graf thorn dari graf tadpole dengan m = 3, n =

  ∗ ∗ 2, pada Gambar 11 terlihat bahwa rc(T ) = src(T ) = 28. 3,2 3,2

  ∗ Gambar 11. Graf T ³ _, ^{2 .}

  Melvi Muchlian

  76

  3. Kesimpulan Pada tulisan ini telah diperoleh bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari graf lengkap dan graf lingkaran. Selanjutnya diperoleh bilangan rainbow connection untuk graf thorn dari graf barbel, graf lolipop, dan graf tadpole.

  4. Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr. Muhafzan yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Jenizon sehingga paper ini dapat dipublikasikan.

  Daftar Pustaka [1] Bondy, J.A. dan U.S.R. Murty. 2008. Graph Theory. Graduated Texts In Math- ematics. Springer. New York.

  [2] Chartrand, G. dan P. Zhang, 2005. Introduction to Graph Theory, McGraw-Hill International Editions, Singapore. [3] Chartrand, G. dkk, 2008. Rainbow Connection in Graphs, Math. Bohem. 133: 85 – 98. [4] Diestel, R. 2005. Graph Theory. Electronic Edition 3. New York. [5] Ericksen, A. 2007. Graduating Engineer & Computer Careers. A Matter of se- curity, 24-28. [6] Li, X. dan Y. Sun. 2012. Rainbow Connections of Graphs. Springer Briefs in Mathematics. Springer. New York. [7] Liu, Y. dan Z. Wang. 2014. Rainbow Connection Number of the Thorn Graphs.

  Applied Mathematical Sciences 8: 6373 – 6377.