2 Sinyal dan Sistem KSD

KOMPUTASI SINYAL DIGITAL

SINYAL DAN SISTEM

GEMBONG EDHI SETYAWAN, S.T., M.T.
gembong@ub.ac.id - http://gembong.lecture.ub.ac.id

Apa itu sinyal?

Besaran fisis yang berubah menurut waktu,
ruang atau variabel-variabel bebas lainnya

Apa saja yang bisa Anda katakan
terhadap gambar ini?

Apa saja yang bisa Anda katakan
terhadap gambar ini?
SI N YAL AN ALOG

SI N YAL AN ALOG

SI N YAL DI GI TAL

SI N YAL DI GI TAL

KSD

...SINYAL DAN SISTEM
•
•
•
•

Definisi Sinyal dan Sistem
Klasifikasi Sinyal
Konsep Frekuensi
Analog to Digital Conversion  Sampling

DEFINISI

SINYAL DAN SISTEM

SINYAL
 Besaran-besaran yang tergantung pada waktu dan ruang
 Besaran fisis (variabel tak bebas)
 Waktu dan ruang (variabel bebas)

s1 ( t )  5 t 2
s 2 ( t )  20 t 2
s 3 ( x , y)  3 x  2 xy  10 y 2

Sinyal-sinyal dengan hubungan matematis
yang jelas

 Suara pembicaraan (speech signals)

Sinyal –sinyal dengan hubungan matematis yang tidak jelas

 Suatu segmen dari suara pembicaraan dapat
direpresentasikan sebagai :
 Sejumlah sinyal sinusoidal dengan amplituda,

frekuensi dan fasa yang berbeda
N

s( t )   A i ( t ) sin [2 Fi ( t ) t  i ( t )]
i 1

 Informasi yang terkandung di dalam suatu sinyal
ditentukan dengan mengukur :
 Amplituda(A)
 Frekuensi(F)
 Fasa(θ)

SISTEM
 Alat fisik yang melakukan suatu operasi pada
suatu sinyal
 Filter
 Mereduksi (mengurangi) derau (noise)
 Alat non fisik
 Software (perangkat lunak)
 Melakukan sejumlah operasi-operasi

matematik
 Algoritma

KLASIFIKASI SINYAL
 Single-channel signal
 Hanya terdiri dari satu sinyal (variabel tak bebas)
 Nilainya bisa real atau kompleks

s1 ( t )  A sin(3t )
s 2 ( t )  Ae

j3 t

 A cos(3t )  jA sin(3t )

 Multi-channel signal
 Lebih dari satu sinyal (variabel tak bebas)
 Gelombang gempa (3 channels)
 ECG (3 channels/12 channels)

Gelombang gempa :
 Primary wave (Longitudinal)
 Secondary wave (Transversal)
 Surface wave (Permukaan)

Vektor

S1 ( t ) 
S( t )  S2 ( t )
S3 ( t ) 

 Sinyal satu dimensi
 Hanya fungsi dari satu variabel bebas
 Multi-dimensional signal
 Fungsi lebih dari satu variabel bebas

S  I( x , y )
Sinyal dua dimensi

 Sinyal tiga dimensi

 Gambar televisi hitam-putih
S  I ( x , y, t )

 Multichannel multidimensional signal
 Gambar televisi berwarna
 I r ( x , y, t ) 


I ( x , y, t )   I g ( x , y, t ) 
 I ( x , y, t ) 

 b

 Sinyal waktu kontinu
 Speech signal
 Sinyal waktu diskrit
 Hanya ada pada waktu-waktu tertentu saja
0,8n n  0
x (n )  
lainnya

0

0,8
0,64

 Sinyal berharga kontinu (Continuous-valued signal)
 Dapat berharga berapa saja

Sinyal berharga kontinu dan waktu diskrit

 Sinyal berharga diskrit (Discrete-valued signal)
 Berharga pada beberapa kemungkinan saja
 Sinyal digital
 Waktu diskrit
 Harga diskrit

 Sinyal deterministik
 Harganya dapat diprediksi
Contoh: Sinyal Periodik x ( t )  x ( t  kT), k  I
Sinyal Sinusoida

x ( t )  cos(2f t  )
 cos[2f ( t  T)  ]
T= perioda
f =1/T= frekuensi
 = sudut fasa

 Sinyal acak (random signal)
 Harganya tidak dapat diprediksi

KONSEP FREKUENSI
 Sinyal sinusoidal waktu kontinu
xa (t )  A cos(t  θ )

  t  

t = waktu
A = amplituda
 = frekuensi sudut[radian/detik]
θ = fasa [radian]

  2F  x a ( t )  A cos(2 F t  )
F = frekuensi [siklus/detik, hertz (Hz)]

xa (t )  A cos(2πt  θ )

x a ( t )  A cos(t  )



Untuk setiap frekuensi F

x a ( t  Tp )  x a ( t )



xa(t) periodik

1
Tp   perioda dasar

F

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu kontinu dengan frekuensi berbeda dapat
dibedakan
 Frekuensi diperbesar
Untuk suatu waktu tertentu jumlah perioda bertambah (menaikan laju osilasi)

 Sinyal sinusoidal waktu diskrit
x (n )  A cos(n  )

  n  

n = bilangan bulat (integer)
A = amplituda
ω = frekuensi [radian/sampel]
θ = fasa [radian]

  2 f

 x (n )  A cos(2 f n  )

f = frekuensi [siklus/sampel]

x (n )  A cos(2 f o n  )

1
o 
 fo 
6
12


3

 x (n) periodik hanya bila frekuensi f merupakan
bilangan rasional

x (n  N)  x (n )
cos[2f o (n  N)  ]  cos[2f o n  2f o N  ]  cos(2f o n  )
k
2f o N  2k  f o 
N

Harga terkecil dari N disebut perioda dasar

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu diskrit dengan frekuensi-frekuensi yang berbeda
sebanyak 2π k adalah identik (tidak dapat dibedakan)

cos[(o  2)n  ]  cos[o n  2n  ]  cos(o n  )
x k (n )  A cos(k n  ) k  0,1, 2 
k  o  2 k
1
1
    f 
2
2
 Frekuensi diperbesar  harga maksimum f = 1/2

x (n )  cos(o n )

ANALOG TO DIGITAL CONVERSION
 Sampling (pencuplikan)
 Quantization (kuantisasi)
 Coding (pengkodean)

Xa(t)

Sampler

X(n)

Digital signal

Xq(n)
Quantizer

Coder

Analog signal
Discrete-time signal
Quantized signal

01011

 Sampling (pencuplikan)
 Sinyal waktu kontinu  sinyal waktu diskrit
 T = sampling interval
 Fs = sampling rate (sampel/detik)

x a ( t )  A cos(2Ft  )
x a (nT )  A cos(2FnT  )
 2nF

 A cos
  
 Fs


F
x (n )  A cos(2 f n  )  f 
Fs
Fs
1
1
 Fmax  
f max 
2
2 2T
Fs
F
2

 ?

x1 ( t )  cos[2(10) t ]  F1  10 Hz
x 2 ( t )  cos[2(50) t ]  F2  50 Hz
Fs  40 Hz

 10 
x1 (n )  cos[2 n ]  cos( n )
2
 40 
5
 50 
x 2 (n )  cos[2 n ]  cos( n )
2
 40 



 cos(2  )n  cos(2n  n )  cos( n )  x1 (n )
2
2
2
x2(n) identik dengan x1(n)
90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)

x a ( t )  A cos(2Fo t  )
x (n )  A cos(2f o n  )

x a ( t )  A cos(2Fk t  )
Fk  Fo  kFs

k  1,  2, 

x (n )  x a (nT)  A cos(2Fk nT  )

 Fo  kFs

x (n )  A cos 2
n   
Fs


x (n )  A cos(2f o n  2k  )
x (n )  A cos(2f o n  )
Alias dari Fo

Hubungan antara f dan F
Fs/2 folding frequency

Contoh Soal 1.1
Diketahui sebuah sinyal analog
xa(t) = 3 cos 100t
a)

Tentukan Fs minimum

b)

Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n)

c)

Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n)

d)

Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)

Jawab:
a) F = 50 Hz  Fs minimum = 100 Hz

b)


100
x (n )  3 cos
n  3 cos n
200
2

c)

d)

100
4
x (n )  3 cos
n  3 cos n
75
3
2
2
 3 cos(2  )n  3 cos( )n
3
3

2π
1
x(n)  3 cos( )n  3 cos(2π )n
3
3
Fo
f 
Fs

1
f 
3

1
Fo  f Fs  (75)  25 Hz
3

Fk  Fo  kFs  25  k (75) k  1,  2, 
Fs 75
0F 

 37,5
2
2

F  Fo  25 Hz

DIGITAL TO ANALOG CONVERSION
 Kuantisasi sinyal amplituda kontinu
xq (n)  Q[ x(n)]  eq (n)  xq (n)  x(n)
Q = proses kuantisasi (rounding, truncation)
xq(n) = sinyal hasil kuantisasi
eq(n) = error kuantisasi

0,9t
xa (t )  
0

t0
t0

0,9 n n  0
x ( n)  
n0
0

FS  1 Hz  T  1 s

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

x(n)

xq(n)
(Truncation)
1
1,0
0.9
0,9
0.81
0,8
0,729
0,7
0,6561
0,6
0,59049
0,5
0,5311441
0,5
0,4782969
0,4
0,43046721
0,4
0,387420489
0,3

xq(n)
(Rounding)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,7
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4

eq(n)
(Rounding)
0,0
0,0
- 0,01
- 0,029
0,0439
0,00951
- 0,031441
0,0217071
- 0,03046721
0,012579511

L = level kuantisasi



L = 11

∆ = Quantization step



∆ = 0,1

xmaks  xmin 1  0


 0,1
11  1
L 1



  eq (n) 
2
2

 Kuantisasi sinyal sinusoidal
x(n)  A cos( 0t )

FS  2 B  eq (t )  xa (t )  xq (t )
xa(t) dianggap linier diantara level-level kuantisasi
τ = waktu selama xa(t) berada di dalam level kuantisasi

Error power (rms)

1
Pq 
2τ

τ

τ

1 2
τ e (t )dt  τ 0 eq (t )dt
2
q

τ

2

1  2

2
eq (t )  t  Pq     t dt 
2τ
τ 0  2τ 
2
b = jumlah bit



L = 2b + 1

Xmaks-xmin = 2A
2

2A
A
  b  Pq 
2b
2
3(2 )

1
Px 
Tp

Tp

2
A
2
0  A cos ot  dt  2

Signal-to-quantization ratio

Px 3 2b
SQNR 
 (2 )
Pq 2

SQNR (dB )  10 log SQNR  1,76  6,02 b
 Word length (jumlah bit) ditambah satu
 Level kuantisasi menjadi dua kali lipat
 SQNR bertambah 6 dB
Contoh :
 Compact disk player
 Sampling frequency 44,1 kHz
 16-bit sample resolution
 SQNR =96 dB

 Coding of Quantized Samples
 Level kuantisasi L 

L bilangan biner yang berbeda
2b bilangan biner berbeda

 Word lengh b



 2b ≥ L



b ≥ 2 log L

 L = 11



b = 4 bits

Contoh Soal 1.2 :
Diketahui sinyal waktu diskrit :

π
x(n)  6,35 cos( )n
10

Tentukan jumlah bit yang diperlukan oleh A/D
converter agar resolusinya :
a)  = 0,1
b) 

= 0,02

Jawab:

π
a) x(n) maksimum pada saat : cos( ) n  1  n  0
10
π
x(n) minimum pada saat : cos( ) n  1  n  10
10

xmaks  xmin

L 1
  0,1 



xmaks  xmin
L
1


[6,35(1)  6,35( 1)]
L
 1  128
0,1

2  128  b  7 bit
b

b)

  0,02 

[6,35(1)  6,35( 1)]
L
 1  636
0,02

2  636  b  10 bit
b

Contoh Soal 1.3 :
Diketahui sinyal seismik analog dengan dynamic range
sebesar 1 Volt. Bila sinyal analog ini dicuplik dengan
frekuensi sebesar 20 sample/s menggunakan 8-bit A/D
converter,
Tentukan :
a) Bit rate (bps)
b) Resolusi
c) Frekuensi sinyal maksimum yang ada pada digital
seismic signal
Jawab:
a)

8 bit 20 sample
bps 
 160 bit / s
sample
s

Dynamic range = xmaks - xmin

b)

c)

dynamic range 1000 mV


 7,875 mV
8
L 1
2 1
Fmaks

FS 20


 10 Hz
2
2

Contoh Soal 1.4 :
Suatu jaringan komunikasi digital akan digunakan untuk
mentransmisikan sinyal analog :

xa (t )  3 cos( 600πt )  2 cos(1800πt )
Jaringan ini beroperasi pada 10000 bit/s dan setiap sampel
dikuantisasi menjadi 1024 level tegangan yang berbeda.
a) Tentukan frekuensi pencuplikan dan frekuensi folding
b) Tentukan frekuensi Nyquist dari sinyal analog xa(t)
c) Tentukan frekuensi-frekuensi pada sinyal waktu diskrit x(n)
d) Hitung resolusinya

Jawab:
a)

b)

1024  2

 b  10 bit
bps 10000

 1000 Hz
FS 
10
b
FS
 500 Hz
FD 
2
b

xa (t )  3 cos( 2π 300t )  2 cos( 2π 900t )
F1  300 Hz

F2  900 Hz

FN  2 Fmaks  2 F2  2(900 )  1800 Hz