Dimensi tiga proyeksi sudut (2)
Dimensi Tiga
(Proyeksi
& Sudut)
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
2
Proyeksi Pada Bangun
Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
3
Proyeksi titik pada
garis
P
m
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
k
titik Q adalah
Q
hasil proyeksi
titik P pada
k
4
Contoh
H
G
E
F
D
A
T
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
5
Pembahasan
H
G
E
F
A’
D
A
T
B
Proyeksi titik A pada
B
a.(AB
BCadalah
titik
BC)
C b.
T
BD adalah titik
(AC BD)
A’
c. ET adalah titik
(AC ET)
6
Proyeksi Titik pada
Bidang
Dari titik P
P
g
H
P’
di luar bidang H
ditarik garis g H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
7
Contoh
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
C pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
8
H
G a.
E
F
P
Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
A
adalah
(EA ABCD)
D
A
Pembahasan
C
B
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
P
adalah
CE BDG
9
Proyeksi garis pada
bidang
Proyeksi sebuah garis
A
B
H
A’
g
g’
ke sebuah bidang
dapat diperoleh
dengan memproyeksikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
10
Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
11
Contoh 1
H
G
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D
C pada bidang ABCD
A
B
adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….
E
F
12
Pembahasan
H
G
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D
C proyeksi titik E dan F
A
B
pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB
E
F
13
Pembahasan
b.
Proyeksi
garis
CG
G
pada bidang BDG
E
F
berarti menentukan
P
proyeksi titik C
D
C dan titik G
A
B
6 cm
pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?
H
14
H
G
E
F
D
P
R
•Panjang proyeksi CG
pada BDG adalah
panjang garis PG.
C
•PG
=
⅔
.GR
6 cm
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm
A
B
15
Contoh 2
18
cm
T
D
A
16 cm
Diketahui limas
beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
C Panjang proyeksi TA
B
pada bidang ABCD
adalah….
16
Pembahasan
Proyeksi TA
pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang
AT’=
½AC
D
C
T’
=
½.16√2
A 16 cm B
= 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
18
cm
T
bidang ABCD adalah 8√2 cm
17
Sudut Pada Bangun
Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
18
Sudut antara Dua
Garis
m
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
k
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
19
garis tersebut
Contoh
H
E
G
F
D
A
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
20
Pembahasan
H
E
F
D
A
B
Besar sudut antara
garis-garis:
G
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
C
= 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
21
Sudut antara
P Garis dan Bidang
Sudut antara
garis a dan bidang
Q
dilambangkan (a,)
adalah sudut antara
P’
garis a dan
proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= PQP’
V
22
H
G
Contoh 1
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
D
Cpanjang rusuk 6 cm.
A 6 cm
B
Gambarlah sudut
antara garis BG
ACGE,
Kemudian hitunglahdengan
besar sudutnya!
E
F
23
H
G
E
F
D
A
K
6 cm
C
B
Pembahasan
Proyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG
(K = titik potong
AC dan BD)
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
24
H
G
E
F
D
A
K
6 cm
B
Pembahasan
BG = 6√2 cm
BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
C
∆BKG siku-siku di K
BK
3 2 1
BG
6 2 2
sinBGK =
Jadi, besar BGK = 300
25
H
G
E
F
D
A
8 cm
Contoh 2
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
C panjang rusuk 8 cm.
B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
26
H
P
E
F
D
A
G
8 cm
Q
C
B
Pembahasan
tan(CG,AFH)
= tan (PQ,AP)
= tan APQ
=
1
AC
AQ
2
GC
PQ
1
2
.8 2 4 2
8
8
=
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
27
Contoh 3
T
Pada limas
segiempat
beraturan
D
C
T.ABCD yang semua
A a cm B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
a cm
28
Pembahasan
T
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
a cm
D
A
C
a cm
B
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-siku
samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
29
Sudut antara
Bidang dan Bidang
h
(,)
g
Sudut antara
bidang dan bidang
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g (,) dan h (,).
(,) garis potong bidang dan
30
Contoh 1
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
C antara bidang BDG
dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
31
Pembahasan
a.
(BDG,ABCD)
G
• garis potong BDG
E
F
dan ABCD BD
• garis pada ABCD
D
yang BD AC
C
A
P
B
• garis pada BDG
yang BD GP
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
=GPC
H
32
Pembahasan
H
E
F
1
2
1
2
D
A
b. sin(BDG,ABCD)
G
= sin
GPC
GC
= GP a
6
6
x
.6
a 6
6
=
C
= ⅓√6
P
B
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6
33
Contoh 2
T
9
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
A
C panjang rusuk tegak
m
c
6
9 cm. Nilai sinus sudut
B
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
cm
34
Pembahasan
T
9
•sin(TAB,ABC)
= sin(TP,PC)
= sinTPC
A
C •TC = 9 cm, BP = 3 cm
2
2
m
P
c
6
3
6
•PC =
27 3 3 cm
B
= 2 2
9 3
•PT =
72 6 3 cm
=
cm
3
35
• Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
T
Aturan cosinus
cm
6√2
9
A
3√3
P
B
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC
= 99 –1 81
C 36√6.cosTPC
2
36√6.cosTPC1 = 186
x
6
cosTPC = 2 6
=
6
12
36
• Lihat ∆ TPC
6
cos
P=
144 - 6
138
12
√6
12
Maka diperoleh
138
Sin P = 12
P
Jadi sinus
(TAB,ABC)
138
=
12
37
Contoh 3
Diketahui
kubus
G
ABCD.EFGH, panE
F
jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
C berturut-turut
QD
A
B
di tengah-tengah
P
AB dan AD.
Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah . Nilai cos =…
H
4 cm
38
Pembahasan
4 cm
H
K
E
F
QD
A L
M B
P
•
(FHQP,AFH)
G
= (KL,KA)
= AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6
C • AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2
=
√2
2
2
KM ML
• KL = 2
4 2 18
=
=3√2
39
Pembahasan
K
A
• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos
24√3.cos = 42 – 2
24√3.cos = 40 5
L M
3
cos =
9
Jadi nilai cos =
5
9
3
40
SELAMAT BELAJAR
41
(Proyeksi
& Sudut)
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
2
Proyeksi Pada Bangun
Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
3
Proyeksi titik pada
garis
P
m
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
k
titik Q adalah
Q
hasil proyeksi
titik P pada
k
4
Contoh
H
G
E
F
D
A
T
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
5
Pembahasan
H
G
E
F
A’
D
A
T
B
Proyeksi titik A pada
B
a.(AB
BCadalah
titik
BC)
C b.
T
BD adalah titik
(AC BD)
A’
c. ET adalah titik
(AC ET)
6
Proyeksi Titik pada
Bidang
Dari titik P
P
g
H
P’
di luar bidang H
ditarik garis g H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
7
Contoh
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
C pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
8
H
G a.
E
F
P
Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
A
adalah
(EA ABCD)
D
A
Pembahasan
C
B
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
P
adalah
CE BDG
9
Proyeksi garis pada
bidang
Proyeksi sebuah garis
A
B
H
A’
g
g’
ke sebuah bidang
dapat diperoleh
dengan memproyeksikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
10
Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
11
Contoh 1
H
G
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D
C pada bidang ABCD
A
B
adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….
E
F
12
Pembahasan
H
G
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D
C proyeksi titik E dan F
A
B
pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB
E
F
13
Pembahasan
b.
Proyeksi
garis
CG
G
pada bidang BDG
E
F
berarti menentukan
P
proyeksi titik C
D
C dan titik G
A
B
6 cm
pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?
H
14
H
G
E
F
D
P
R
•Panjang proyeksi CG
pada BDG adalah
panjang garis PG.
C
•PG
=
⅔
.GR
6 cm
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm
A
B
15
Contoh 2
18
cm
T
D
A
16 cm
Diketahui limas
beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
C Panjang proyeksi TA
B
pada bidang ABCD
adalah….
16
Pembahasan
Proyeksi TA
pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang
AT’=
½AC
D
C
T’
=
½.16√2
A 16 cm B
= 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
18
cm
T
bidang ABCD adalah 8√2 cm
17
Sudut Pada Bangun
Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
18
Sudut antara Dua
Garis
m
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
k
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
19
garis tersebut
Contoh
H
E
G
F
D
A
C
B
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
20
Pembahasan
H
E
F
D
A
B
Besar sudut antara
garis-garis:
G
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
C
= 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
21
Sudut antara
P Garis dan Bidang
Sudut antara
garis a dan bidang
Q
dilambangkan (a,)
adalah sudut antara
P’
garis a dan
proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= PQP’
V
22
H
G
Contoh 1
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
D
Cpanjang rusuk 6 cm.
A 6 cm
B
Gambarlah sudut
antara garis BG
ACGE,
Kemudian hitunglahdengan
besar sudutnya!
E
F
23
H
G
E
F
D
A
K
6 cm
C
B
Pembahasan
Proyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG
(K = titik potong
AC dan BD)
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
24
H
G
E
F
D
A
K
6 cm
B
Pembahasan
BG = 6√2 cm
BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
C
∆BKG siku-siku di K
BK
3 2 1
BG
6 2 2
sinBGK =
Jadi, besar BGK = 300
25
H
G
E
F
D
A
8 cm
Contoh 2
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
C panjang rusuk 8 cm.
B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
26
H
P
E
F
D
A
G
8 cm
Q
C
B
Pembahasan
tan(CG,AFH)
= tan (PQ,AP)
= tan APQ
=
1
AC
AQ
2
GC
PQ
1
2
.8 2 4 2
8
8
=
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
27
Contoh 3
T
Pada limas
segiempat
beraturan
D
C
T.ABCD yang semua
A a cm B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
a cm
28
Pembahasan
T
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
a cm
D
A
C
a cm
B
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-siku
samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
29
Sudut antara
Bidang dan Bidang
h
(,)
g
Sudut antara
bidang dan bidang
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g (,) dan h (,).
(,) garis potong bidang dan
30
Contoh 1
H
E
G
F
D
A
B
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
C antara bidang BDG
dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
31
Pembahasan
a.
(BDG,ABCD)
G
• garis potong BDG
E
F
dan ABCD BD
• garis pada ABCD
D
yang BD AC
C
A
P
B
• garis pada BDG
yang BD GP
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
=GPC
H
32
Pembahasan
H
E
F
1
2
1
2
D
A
b. sin(BDG,ABCD)
G
= sin
GPC
GC
= GP a
6
6
x
.6
a 6
6
=
C
= ⅓√6
P
B
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6
33
Contoh 2
T
9
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
A
C panjang rusuk tegak
m
c
6
9 cm. Nilai sinus sudut
B
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
cm
34
Pembahasan
T
9
•sin(TAB,ABC)
= sin(TP,PC)
= sinTPC
A
C •TC = 9 cm, BP = 3 cm
2
2
m
P
c
6
3
6
•PC =
27 3 3 cm
B
= 2 2
9 3
•PT =
72 6 3 cm
=
cm
3
35
• Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
T
Aturan cosinus
cm
6√2
9
A
3√3
P
B
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC
= 99 –1 81
C 36√6.cosTPC
2
36√6.cosTPC1 = 186
x
6
cosTPC = 2 6
=
6
12
36
• Lihat ∆ TPC
6
cos
P=
144 - 6
138
12
√6
12
Maka diperoleh
138
Sin P = 12
P
Jadi sinus
(TAB,ABC)
138
=
12
37
Contoh 3
Diketahui
kubus
G
ABCD.EFGH, panE
F
jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
C berturut-turut
QD
A
B
di tengah-tengah
P
AB dan AD.
Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah . Nilai cos =…
H
4 cm
38
Pembahasan
4 cm
H
K
E
F
QD
A L
M B
P
•
(FHQP,AFH)
G
= (KL,KA)
= AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6
C • AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2
=
√2
2
2
KM ML
• KL = 2
4 2 18
=
=3√2
39
Pembahasan
K
A
• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos
24√3.cos = 42 – 2
24√3.cos = 40 5
L M
3
cos =
9
Jadi nilai cos =
5
9
3
40
SELAMAT BELAJAR
41