Pertemuan 9 uji hipotesis sampel kecil

STATISTIK II

  Pertemuan 7: Pengujian Hipotesis Sampel Kecil (n<30) Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

  Materi hari ini 

  Uji Hipotesis rata-rata 1 Sampel kecil 

  Uji hipotesis selisih rata-rata 2 Sampel kecil 

  Uji hipotesis sampel berpasangan (paired test)

  

Uji Hipotesis rata-rata 1 Sampel

Kecil (n<30)

   Jika σ diketahui

   Jika σ tidak diketahui

  STAT X μ n

  Z 

    STAT

  X μ n t S

    titik kritis= t (db=n-1)

  _{ } db  titik kritis= Z _{ }  Contoh: Dikatakan rata2 biaya sewa kamar kost harian di Kota Malang adalah

  168 ribu/hari. Untuk mengetahui apakah hal ini benar, sebuah sampel dari 25 kost harian di Kota Malang dipilih dengan rata2 biaya sewa X= 172.5 ribu/hari dan standar deviasi sampel 15.40 ribu/hari. Uji hipotesis

  H : ______ H : ₁ pada tingkat α=0.05

  ______ Chap 9-4 Chap 9-4 Contoh: Pengujian Hipotesis σ Tidak diketahui

• t _24,0.025 ^{Gagal tolak Ho} a/2=.025
• -2.064 2.064

  kost harian di Kota Malang sama dengan 168 ribu/hari ^{Tolak Ho Tolak Ho} a/2=.025

  1.46 H : μ = 168 H ₁ : μ ¹ 168 t _24,0.025 1. a = 0.05 2. n = 25, db = 25-1=24 3.

   tidak diketahui, shg gunakan statistik uji t

6. Keputusan: Terima Ho. rata2 biaya sewa

4. Titik kritis (t tabel): ±t

  _24,0.025 = ± 2.064 5 . Hitung stat. Uji :

  1.46

  15.40 168 172.50 S μ

  X STAT t  

     Uji Satu Arah DCOV A

   Dalam banyak kasus, hipotesis alternatif (H ) berfokus pada arah tertentu

1 Disebut uji lower -tail karena H

  ₁ H : μ ≥ 3 berfokus pada nilai yg kurang dari mean=3

  H : μ < 3 ₁ Disebut uji upper -tail karena H ₁ H : μ ≤ 3 berfokus pada nilai yg lebih dari H : μ > 3 ₁

  mean=3

  Chap 9-6 Chap 9-6 Uji Lower-Tail DCOV A _

  H : μ ≥ 3

  Hanya terdapat satu titik kritis, karena

  H : μ < 3 ₁

  area penolakan

  a

  hanya ada di satu sisi _{Tolak Ho Gagal tolak Ho}

  Z atau t

• -Z atau -t

  _{α α} μ

  X Titik kritis Chap 9-7 Chap 9-7 Uji Upper-Tail DCOV A _

  H : μ ≤ 3

  Hanya terdapat satu

  H : μ > 3 ₁

  titik kritis, karena area penolakan

  a

  hanya ada di satu sisi _{Gagal tolak Ho Tolak Ho}

  Z or t Z or t _{α α}

  _ μ

  X Titik kritis Chap 9-8 Chap 9-8 Contoh: Uji satu arah ( tidak diketahui) Seorang manager telkom berpendapat bahwa biaya pulsa per bulan pelanggannya mengalami peningkatan, di mana rata2

biaya pulsa periode sebelumnya adalah 52 ribu/bulan. Manager

tsb ingin menguji klaim ini, sehingga diambil sampel 25 pelanggan dengan rata2 sebesar 53.1 ribu/bulan dan standar deviasi sampel sebesar 10ribu/bulan (gunakan α=0.05)

  Buat hipotesis uji:

  1. H : μ ≤ 52 rata2 tidak lebih dari 52 ribu/bulan H : μ > 52 rata2 lebih dari 52/bulan ₁ Chap 9-9 Chap 9-9

  Chap 9-10 ^{Chap 9-10 Tolak H Gagal tolak Ho} 2. Misal digunakan  = 0.05 dan n = 25.

  Tentukan daerah penolakan:

  

  = 0.05 1.711 Tolak Ho

  Tolak Ho jika t _STAT > 1.711

  Contoh: Pengujian Hipotesis (continued)

  DCOV A

  Chap 9-11 ^{Chap 9-11} Misal digunakan  = 0.10 dan n = 25. n = 25, X = 53.1, and S = 10

   Maka nilai statistik uji:

  Contoh: Pengujian Hipotesis (continued)

  DCOV A STAT

  X μ

  53.1

  52

  0.55 S

  10 n

  25 Z     

  DCOV A Contoh: Pengujian Hipotesis

  (continued) Buat keputusan dan interpretasi:

  Tolak H

   = 0.05

  Gagal tolak H Tolak H 1.645 t = 0.55 _STAT

  Keputusan: gagal tolak Ho krn t = 0.55 ≤ 1.645 _STAT

  Dengan demikian, terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa rata2 biaya pulsa sebulan sama dengan 52 ribu/bulan. _{Chap 9-12 Chap 9-12} Uji Hipotesis selisih rata-rata 2 Sampel Kecil (n<30)

   Jika σ dan σ diketahui

  1

  2 X ¹ X ²   

  Z _STAT  _{2 2} titik kritis= Z  _{ }

    _{1 2}  n n _{1 2}

   Jika σ dan σ tidak diketahui

  1

  2 _{2 2}

  1

  X  n

  1 S n

  1 S _{2 1}    _{1 2 2}    

2 X

    S _p  t

   STAT

  (n 1) (n 1) ₁    ₂

  1

  1  

2 S

   p

   

  titik kritis= t  _{  db}

  n n

  1

  2  

  (db=n +n -2) _{1 2} Contoh Hasil dividen antara saham yg terdaftar di NYSE dan NASDAQ, dan diketahui ringkasan data sbb.

   NYSE NASDAQ n 15 12 Rata2 sampel 3.27 2.53 Std dev sampel 1.30 1.16

a) Apakah rata2 dividen saham NYSE sama dengan 3.00?

  

b) Apakah terdapat perbedaan rata2 hasil dividen antar NYSE dan

NASDAQ? c) Apakah rata2 hasil dividen saham di NYSE lebih besar daripada NASDAQ? ( = 0.05)

  Contoh Hasil dividen antara saham yg terdaftar di NYSE diketahui dalam ringkasan data sbb.

   NYSE n 15 12 Rata2 sampel 3.27 2.53 Std dev sampel 1.30 1.16

  

a) Apakah rata2 dividen saham NYSE sama dengan 3.00?

( = 0.05)

a) Uji t: rata-rata 1 populasi

• t _14,0.025 ^{Terima Ho} a/2=.025
• -2.145 2.145

  rata hasil dividen saham di NYSE sama dengan 3.00 ^{Tolak Ho Tolak Ho} a/2=.025

  0.80 H : μ = 3.00 H ₁ : μ ¹ 3.00 t _14,0.025 1. a = 0.05 2. n = 15, db = 15-1=14 3.

   tidak diketahui dan n<30 shg gunakan statistik uji t

6. Keputusan: Gagal tolak Ho. Artinya, rata-

4. Titik kritis (t tabel): ±t

  _14,0.025 = ± 2.145 5 . Hitung stat. Uji : ^STAT

  X μ 3.27 3.00 t

  0.80 S

  1.30

     b)Uji t : selisih rata-rata 2 populasi H : μ - μ = 0 i.e. (μ = μ ) _{1 2 1 2} DCOV A

  H : μ - μ ≠ 0 i.e. (μ ≠ μ ) _{1 1 2 1 2} Statistik uji:

  1

  1

  2 3.27 2.53

    

  2 X X μ μ   

     

   t

  1.60  

   STAT

  1

  1  1 1   

  2 1.53 

  S  p

      15 12 n n

   

  1

  2 ₂   _{2 2 2} n

  1 S n

  1 S 15 1 1.30 12 1 1.16 _{2 1}       _{1 2 2}        

  S 1.53 _p 

    (n 1) (n 1) (15-1) (12 1) ₁      _{2 10-17} Uji t Pooled-Variance : Uji hipotesis

  DCOV A

  Tolak H Tolak H H : μ - μ = 0 i.e. (μ = μ ) _{1 2 1 2} H : μ - μ ≠ 0 i.e. (μ ≠ μ ) _{1 1 2 1 2}

  .025 .025

  

   = 0.05

• 2.060 2.060

  db = n +n -2= 15 + 12 - 2 = 25 _{1 2} t

  Titik kritis: t-tabel = ± 2.060

  1.60 Keputusan:

  Statistik Uji:

  3.27 2.53 

  Tolak H

  t

  1.60  

  1

  1  

     15 12

1.53 Kesimpulan:

  rata2 hasil dividen saham yg

   

  terdaftar di NYSE dan NASDAQ sama _10-18 Uji Hipotesis Sampel Berpasangan (Paired Test)

  DCOV A Uji rata2 sampel berpsangan _

  sampel saling berpasangan

  Sampel _

  menggunakan selisih rata2 sampel:

  berpasangan

  D = X - X i 1i 2i 10-19

• X

  n = banyaknya pasangan data

   

  S ^{n 1 i} _D ^{2 i} 

  1 n ) D (D

   _ 

  n D D n 1 i i

  Standar deviasi sampel, S _D

  estimasi titik bagi μ _D adalah D :

  10-20 Uji Hipotesis Sampel

  2i

  = X 1i

  D i

  Sampel Berpasangan

  ,

  Berpasangan (Paired Test) Selisih pasangan data ke i yaitu D i

   _

  10-21 

  

Statistik uji bagi μ

D

  :

  Sampel berpasangan

   dimana t

_STAT

memiliki db= n - 1

  Uji Hipotesis Sampel Berpasangan (Paired Test): menghitung t _STAT STAT D D t S n 

  DCOV A

  /2

  Tolak H jk t _STAT < -t _a tolak H jk t _STAT > t _a Tolak H jk t _STAT < -t _{/2 a} atau t _STAT > t _{/2 a} Di mana t _STAT memiliki db= n - 1

  a/2 t a t a/2

  a

  a

  /2

  a

  Uji rata-rata berpasangan: Macam2 Hipotesis a a

  10-22 Copyright ©2011 Pearson Education ^{10-23 } untuk meningkatkan modal investasi di kabupaten di Jatim, maka pemerintah membentuk sutau tim khusus yang bertugas untuk menarik investor. Berikut ini adalah data yg menunjukkan besarnya modal investasi (juta dollar) dari 5 kabupaten di Jatim sebelum dan sesudah dibentuk tim khusus. Apakah pembentukan tim khusus ini berhasil meningkatkan modal investasi? (α=0.05)

  Sampel Berpasangan

  H : μ _D = 0 H ₁ : μ _D ≠ 0

  H ₁ : μ _D > 0 Two-tail test:

  Upper-tail test: H : μ _D ≤ 0

   0 H ₁ : μ _D < 0

  Lower-tail test: H : μ _D

• t
• t

  Contoh modal investasi (2) - (1) Kabupaten sblm (1) stlh (2) selisih, D _i

  1 4 6 2 2 6 20 14 3 2 3 1 4 1 1 0 5 1 4 4

  

  D _i n = 4.2

  5.67 1 n ) D (D S _D ^{2 i} 

    

  

21 D =

  Uji Rata-rata Berpasangan

  DCOV A

  

  Apakah pembentukan tim khusus ini berhasil meningkatkan modal investasi? (α=0.01)

  Tolak H : μ ≤ 0 _D Ho H : μ > 0 _{1 D}

   = 0.05

• -2.132

  D =

  4.2

  1.66

  t = t = 2.132 _{α;db 0.05;4} Keputusan: Terima Ho db= n - 1 = 4 Kesimpulan: Tidak ada Statistik uji: perbedaan signifikan

  μ 4.2 0 D   _D besarnya modal investasi t

  1.66    STAT

  

S / n 5.67/ 5 sebelum dan sesudah

D pembentukan tim khusus 10-24