Luas d2 kurangsamadg Luas d1

Pembelajaran
M a t e m a t i k a ....
“ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya,
serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu
mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”

(QS Yunus:5 )

Pendahuluan Luas
Sifat :
- Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif
- Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama)
- Daerah kongruen mempunyai luas yang sama
- Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis
= Luas kedua daerah
- Jk daerah 1 ada di daerah 2 maka Luas daerah daerah =
Luas d2 kurang/samadg Luas d1

Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkan
dalam penghitungan Luas
n

n(n  1)
i  1 2  3  n 
2
i 1


n

n(n  1)( 2n  1)
i  1  2  3  n 
6
i 1



2

2

2

2

2

n

 n(n  1) 
i  1  2  3  n  

2


i 1


n

3

3

3

3

2

3

3
2
(
1
)(
6
9
n
n


n

n
 n  1)
4
4
4
4
4
i  1  2  3  n 
30
i 1



Pendahuluan

Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan
pijakan dalam menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Luas sebagai limit

Menentukan luas daerah dengan

Y

limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping.

Langkah :

y  sin x
X

1) Partisi
2) Aproksimasi,

3) Jumlahkan dan
4) Hitung limitnya.

y

Langkah menghitung luas daerah

y  f(x)

dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
Li

2. Partisilah daerah tersebut.
3. Masing-masing partisi buatlah
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang pada
interval [xi-1 , xi].

f (x i )

x
0

xi a
x

y

y  f(x)

5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang

Li

f (x i )

7. Hitung nilai limit jumlahnya

x

xi a

0

x

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L   f(xi) x
Limit jumlah : L = lim  f(xi) x

(n∞)

Contoh 1.

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3
dengan menggunakan cara limit jumlah.

Jawab

Langkah penyelesaian:
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n

Li 

xi 12

 n3 

27
L i  3 i  12
n

 
3(i 1) 2
n

3
n

f(x)  x 2

y

x i 12
Li

x
0

x1

x2

x3

xi

xi+1 3

3/n

4. Jumlahkan luas semua partisi

L

n 1



i 0

n

27
2



1
i
n3



27
L  3 12  2 2  ...  n 2
n

2
k 



L

27 1
 n(n  1)(2n  1)
n3 6

L

9
(1  n1 )(2  n1 )
2

k 1

n ( n 1)( 2 n 1)
6

f (x)  x 2

y

x i 12

5. Tentukan limitnya
Li

9
L  lim (1  n1 )(2  n1 )
n  2
L

9
(1  0)(2  0)  9
2

Jadi luas daerah = 9 satuan

x
0

x1

x2

x3

xi
3/n

xi+1 3

Integral Tentu

Perhatikan gambar di
bawah
y
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian
(lebar tidak harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi]
diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann
dituliskan sebagai :

 f (x k ) Δx k

x
0

a

n

k 1

b
xi-1 xk xi
 xi

Selanjutnya didefinisikan bahwa:

b

 f (x) dx  lim

a
b

Bentuk

 f ( x) dx

a

disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

n

 f (x k ) Δx k

n  k 1

Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F

adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :
b

 f ( x) dx  F(b)  F(a)

a
Untuk meringkas
penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Contoh 2.
2

Hitunglah nilai dari



1

Jawab
2



 6x

1

2





6 x 2  4 x  dx



2

 4 x dx = 2x 3  2x 2 1
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8

 F(x)  ab

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

Berubah
Menjadi

Jumlah Luas
Partisi

Integral
y

f (x)

f (x)

Tentukan limitnya

n

n



i 1

b

 f ( x) dx

f (xi )xi

a

x

x
0

a

x

b

b

a

0

n

L   f (x) dx  lim  f (xi ) xi
a

n   i 1

b

Menghitung Luas dengan Integral

Kegiatan pokok dalam menghitung

y

xi

y  f(x)

Li

f (xi )

luas daerah dengan integral tentu

adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi
x

Li  f(xi) xi

0

4. Jumlahkan luas partisi
L   f(xi) xi

L 

a



0

f (x) dx

5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

xi

a

Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Jawab

Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya

f(x)  x 2

y
xi

2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya

xi 2

L = lim  xi2 xi

Li

6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya

x
0

3

L   x 2 dx
0

3


x3 
L 3

  0

33
3

0  9

xi

3

Contoh 4.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 5
Jawab

Langkah penyelesaian:
y

1. Gambar dan Partisi daerahnya

xi

2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan
Aj  -(4xj - xj

2)x

j

Li

4. Jumlahkan : L  (4xi - xi
A   -(4xj - xj

4 xi  xi 2

2)x

2)x

i

dan
0

j

xj

5. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi
dan A = lim  -(4xj - xj2)xj

4

5

xj

xi
0  (4 x  x 2 )

Aj

6. Nyatakan dalam integral
4

L   (4 x  x ) dx
0

2

5

A   (4 x  x 2 ) dx
4

f(x)  4 x  x 2

x

4

L   (4 x  x 2 ) dx
0



L  2x 2 

1
3

x3

y



xi

4

0

L  2(4)2  31 (4)3  0  32 

4 xi  xi 2

64
3

Li

xj

5

A   (4 x  x 2 ) dx
4



A   2x 2 

1
3

x3



0

4



64
A  50  125

32

3
3

61
3

 18

Luas daerah  32  64
 61
 18
3
3
Luas daerah  13



5

xj

xi

5

A  2(5)2  31 (5)3   2(4)2  31 (4)3

A

4

0  (4 x  x 2 )

Aj

f(x)  4 x  x 2

x

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada

selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi,
aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat
ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

y
x

y  f(x)

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu

L   f(x)  g(x)dx
b
a

f(x)  g(x)

Li
0

a

x
b

x

y  g(x)

Contoh 5.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Jawab

1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
y  2x
3. Partisi daerahnya
x
4. Aproksimasi luasnya
Li  (2 - x - x2)x
4. Jumlahkan luasnya
(2  x)  x 2
Li
2
L   (2 - x - x )x
5. Tentukan limit jumlah luasnya
L = lim  (2 - x - x2)x
-3
-2
-1
x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
1

L   (2  x  x 2 ) dx
2

y
5
4

3

y  x2

2
1
x
0

1

2

L

1

 (2

2

 x  x 2 ) dx

L  2 x 


L   2(1) 


12
2







1
3

L  2

1
2

L  2

1
2



x3
3



x
2

13
3

1



 2

1
2

   4  2  
42

4

4

   2(2)  (2)2  (2)3 
2
3
 


3

(2  x)  x 2

1
2

Li

y  x2

2
1

8
3

x
-3

L  5

5
x

8
3

1
3

y

y  2x

-2

-1

x

0

1

2

Untuk kasus tertentu

y  g(x)

y

y  f(x)

pemartisian secara vertikal

x

menyebabkan ada dua bentuk

x

integral. Akibatnya diperlukan

Ai

waktu lebih lama untuk

0

Li

f(x)  g(x)

x
a

b
2 f ( x)

menghitungnya.

a

b

0

a

Luas daerah =  2 f ( x)dx   f (x)  g(x)dx

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah
tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari
sebelumnya.

y  g(x)  x  g(y)
y

y  f ( x)  x  f ( y )

d
g(y)  f(y)
Li

y
x

0

c

Luas daerah =

d

 g(y )  f (y ) dy

c

Contoh 6.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
Jawab

1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y –
2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li  (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L   (6 - y - y2)y
5. Tentukan limitnya
L = lim  (6 - y - y2)y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =

 6  y  y 2 dy

2
0

y
6

(6  y)  y 2
x  y2
2
Li

y

y
6

0

x

x 6y

2
 6  y  y dy

2

Luas daerah =

0

Luas daerah =


6 y






y
y3

2
3





0


Luas daerah =

6

(6  y)  y 2



2  23   0
6
(
2
)

Luas daerah = 

2
3 



12


y

2


 1 8 

3

x  y2
2
Li

y

6
0

25
Luas daerah =
3

y
x

x 6y