Penyebaran penyakit campak di Indonesia dengan model susceptible vaccinated infected recover( SVIR ) SeminarHasil
PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI INDONESIA
DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED
RECOVERED (SVIR)
Septiawan Adi Saputro, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus dan
menjadi perhatian Kementerian Kesehatan Republik Indonesia (Kemenkes RI). Individu yang terinfeksi penyakit ini dapat sembuh dan mendapatkan kekebalan sehingga
penyebaran penyakit tersebut dapat dikonstruksikan dengan model susceptible infected recovered (SIR). Untuk mencegah meluasnya penularan campak, Kemenkes RI
menyelenggarakan program vaksinasi. Penyebaran campak dengan vaksinasi dapat
dikonstruksikan dengan model susceptible vaccinated infected recovered (SVIR). Model SIR dan SVIR merupakan sistem persamaan diferensial orde satu. Dalam artikel
ini diturunkan ulang model SV IR dan diterapan model tersebut pada penyebaran
penyakit campak di Indonesia. Berdasarkan penerapan tersebut, Indonesia dapat dinyatakan bebas penyakit campak pada tahun 2186 dengan rata-rata cakupan vaksin
88% dan angka kegagalan vaksin 4.9%. Hasil tersebut disimulasikan sesuai program
baru Kemenkes RI dengan cakupan vaksin 95% dan angka kegagalan vaksin 3%, Indonesia bebas campak pada tahun 2183. Target Indonesia bebas campak pada tahun
2020 tidak tercapai.
Kata kunci : campak, vaksinasi, SIR, SV IR.
1. PENDAHULUAN
Penyakit campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus
golongan Paramyxovirus. Penularan penyakit ini dapat terjadi melalui udara
yang telah terkontaminasi oleh droplet (ludah) individu yang telah terinfeksi.
Kemenkes RI [7] mencatat bahwa sebagian besar penderita penyakit ini adalah
anak-anak usia pra sekolah dan usia SD. Gejala campak diawali dengan demam,
batuk, pilek dan kemudian muncul bercak merah pada kulit. Menurut Baldy et
al.[1], individu yang telah terinfeksi akan sembuh dan mendapat kekebalan secara
alami.
Campak tergolong penyakit yang dapat dicegah penyebarannya. Upaya
untuk mencegah penyebarannya dapat dilakukan dengan memberikan vaksin kepada individu yang rentan terinfeksi penyakit tersebut. Menurut Baldy et al. [1],
vaksinasi adalah program untuk meningkatkan kekebalan seseorang secara aktif
terhadap suatu penyakit. Tidak semua vaksin bekerja dengan baik pada tubuh
manusia. Kondisi tubuh, cuaca, iklim dan jenis vaksin berpengaruh terhadap
kinerja vaksin. Pada kasus tertentu vaksin hanya memberikan kekebalan sesaat
dan menyebabkan individu tersebut terinfeksi penyakit.
1
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengamati
penyebaran penyakit infeksi seperti campak. Hethcote [2] memperkenalkan model susceptible infected recovered (SIR) untuk menjelaskan penyebaran penyakit
campak, cacar air, difteri, polio, dan batuk rejan. Mengacu pada model tersebut, Islam pada tahun 2015 [3] mengembangkan model SIR dengan adanya
vaksinasi untuk panyakit campak menjadi model susceptible vaccinated infected
recovered (SVIR). Dalam artikel ini diturunkan ulang model SV IR. Selanjutnya,
model tersebut diterapkan pada penyebaran penyakit campak di Indonesia dan
diinterpretasikan hasilnya.
2. MODEL SIR
Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick [4]
pada tahun 1927. Kemudian model tersebut dikembangkan dan diterapkan oleh
Hethcote [2] pada tahun 1989. Hethcote [2] membagi populasi menjadi tiga kelompok individu. Pertama, kelompok individu susceptible (S) yaitu individu yang
sehat namun rentan terinfeksi penyakit. Kedua, kelompok individu infected (I)
yaitu individu yang terinfeksi penyakit. Ketiga, kelompok individu recovered (R)
yaitu individu yang sembuh dan kebal terhadap penyakit.
Pada model ini diberikan asumsi bahwa tidak ada perubahan jumlah populasi setiap waktunya, hanya terdapat satu penyakit pada populasinya, dan
individu yang lahir adalah individu yang sehat dan rentan terhadap penyakit.
Besarnya laju kelahiran dan kematian pada model ini diasumsikan sama sebesar
µ sehungga banyaknya kelahiran adalah µN dan banyaknya individu susceptible
bertambah sebesar µN . Setiap kelompok individu S, I, dan R terdapat kematian
sehingga setiap kelompok individu tersebut berturut turut berkurang sebesar µS,
µI, dan µR. Kelompok individu susceptible dapat terinfeksi campak setelah melakukan kontak dengan kelompok individu infected. Jika β adalah besarnya laju
kontak individu susceptible dengan individu infected dan diasumsikan setiap individu susceptible mempunyai kemungkinan yang sama untuk terinfeksi penyakit,
.
maka individu susceptible terinfeksi sebanyak β SI
N
Individu yang telah terinfeksi memiliki kemungkinan sembuh (recovered ).
Dimisalkan γ sebagai laju kesembuhan sehingga sebanyak γI individu akan sembuh dari penyakit tersebut. Individu yang telah sembuh diasumsikan kebal terhadap infeksi. Dengan demikian, model SIR oleh Hethcote [2] dapat dituliskan
2
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
sebagai
dS
I
= µN − βS − µS
dt
N
dI
I
(2.1)
= βS − γI − µI
dt
N
dR
= γI − µR,
dt
dengan µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Model SVIR.
Penurunan ulang model SV IR ini mengacu pada Islam
[3] yang berdasarkan pada model SIR Hethcote [2]. Islam [3] mengembangkan
model SIR tersebut dengan menambahkan kelompok individu vaccinated yaitu
kelompok individu yang mendapatkan vaksin.
Pada model SV IR oleh Islam [3], banyaknya individu susceptible, vaccinated, infected, dan recovered pada waktu t dinyatakan dengan S(t), V (t), I(t), dan
R(t) sehingga banyaknya populasi pada waktu t adalah N (t) = S(t) + V (t) +
I(t) + R(t). Berbeda dengan Hethcote [2], pada model ini besarnya laju kelahiran
dan kematian diasumsikan tidak sama sehingga banyaknya individu pada populasi tersebut berubah-ubah atau tidak konstan. Jika θ adalah laju kelahiran, maka
banyaknya kelahiran adalah θN . Individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit sehingga kelompok individu susceptible bertambah sebesar θN .
Untuk menambah kekebalan pada individu susceptible, diberikan vaksin. Jika
α adalah laju vaksinasi, maka banyaknya individu susceptible berkurang sebesar αS. Dengan demikian, perubahan sesaat kelompok individu susceptible pada
model Islam [3] dinyatakan sebagai
SI
dS
= θN − β
− αS − µS.
dt
N
(3.1)
Banyaknya individu vaccinated bertambah dengan adanya program vaksinasi pada individu susceptible sebesar αS. Tidak semua proses vaksinasi berhasil sehingga individu yang telah tervaksin dapat terinfeksi penyakit. Jika laju
kegagalan vaksin adalah σ, maka kelompok individu vaccinated akan terinfeksi
sebanyak βσ VNI . Dimisalkan laju kematian adalah µ sehingga banyaknya individu yang mati pada kelompok ini adalah µV dan banyaknya individu vaccinated
berkurang sebesar µV . Perubahan sesaat kelompok individu vaccinated dapat
dinyatakan sebagai
dV
VI
= αS − βσ
− µV.
dt
N
3
(3.2)
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Banyaknya individu infected bertambah karena adanya individu susceptible
dan vaccinated yang terinfeksi sehingga banyaknya kelompok ini bertambah sebesar β VNI dan βσ VNI . Perubahan sesaat kelompok individu infected pada model
Islam [3] dapat dinyatakan sebagai
SI
VI
dI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I.
(3.3)
dt
N
N
Perubahan sesaat kelompok individu recovered pada model Islam [3] sama
seperti pada model Hethcote [2] yang dinyatakan sebagai
dR
= γI − µR.
dt
(3.4)
Berdasarkan persamaan (3.1), (3.2), (3.3), dan (3.4) secara lengkap model
susceptible vaccinated infected recovered (SV IR) adalah
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
SI
− αS − µS
N
VI
= αS − βσ
− µS
N
SI
VI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I
N
N
= θN − β
(3.5)
= γI − µR,
dengan S(0) > 0, V (0) > 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, α, β, σ, γ, µ > 0. Parameter
θ, α, β, σ, γ, µ secara berturut-turut adalah laju kelahiran, laju vaksinasi, laju
kontak, laju kegagalan vaksin, laju kesembuhan dan laju kematian. Model (3.5)
merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu. Pola penyebaran
penyakit dapat ditentukan dari penyelesaian sistem (3.5).
3.2. Penerapan.
Model SV IR (3.5) diterapkan pada penyebaran penyakit
campak di Indonesia. Saputro dan Widyaningsih [5] mengamati penyebaran
penyakit campak di Indonesia dengan model SV IR berdasarkan data tahun 20102014. Pada penelitian ini diamati pula penyebaran penyakit campak di Indonesia
dengan model SV IR, namun berdasarkan data tahun 2006-2014. Menurut Kemenkes RI [7], penderita penyakit tersebut adalah anak-anak usia pra sekolah
dan usia SD sehingga populasi (N ) pada model ini adalah total penduduk usia
0-14 tahun.
Berdasarkan data tersebut, diperoleh nilai laju kelahiran θ sebesar 0.0210,
laju kematian didapatkan µ sebesar 0.0069, laju infeksi β didapatkan sebesar
0.000207, laju vaksinasi α sebesar 0.0655, rata-rata kegagalan vaksin σ sebesar
4
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
0.043, dan laju kesembuhan γ individu yang terinfeksi sebesar 0.04762. Berdasarkan nilai-nilai parameter tersebut dan dengan memperhatikan sistem (3.5),
model penyebaran penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan sebagai
SI
dS
= 0.0210N − 0.000207
− 0.0655S − 0.0069S
dt
N
dV
VI
= 0.0655S − 0.000010
− 0.0069S
dt
N
(3.6)
dI
SI
VI
= 0.000207
+ 0.000010
− 0.04762I − 0.0069I
dt
N
N
dR
= 0.04762I − 0.0069R.
dt
Tahun 2006 adalah waktu awal pengamatan. Banyaknya individu susceptible (S), vaccinated (V ), infected (I), dan recovered (R) pada tahun tersebut
dipandang sebagai syarat awal yang harus dipenuhi, yaitu
S(0) = 58555165, V (0) = 4200446, I(0) = 17926, R(0) = 17922.
(3.7)
Penyelesaiaan model (3.6) dengan syarat awal (3.7) ditentukan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan ketentuan bahwa tahun 2006 sebagai tahun ke-0 (t = 0)dan h = 1. Atas hal tersebut banyaknya individu kelompok
S dan V serta I dan R pada 180 tahun pertama tampak pada Gambar 1 (a) dan
(b).
(b)
(a)
Gambar 1. Banyaknya individu S dan V (a) serta I dan R (b) 180
tahun pertama
Berdasarkan Gambar 1 (a), terlihat banyaknya individu susceptible turun dari tahun pertama sampai tahun ke-45 dengan puncak penurunan sebesar
18233026. Hal ini disebabkan adanya program vaksinasi dan terdapat individu
5
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
susceptible yang terinfeksi. Pada tahun-tahun berikutnya, banyaknya individu
tersebut mengalami peningkatan. Banyaknya individu vaccinated terus bertambah dari tahun ke tahun karena adanya program vaksin pada individu susceptible. Berdasarkan Gambar 1 (b), banyaknya individu recovered yang semula 17922
mengalami kenaikan hingga mencapai puncak 25675 pada tahun ke-29. Setelah
tahun ke-29 banyaknya individu recovered mengalami penurunan dikarenakan
adanya kematian alami dan berkurangnya individu yang sembuh dari penyakit.
Banyaknya individu infected mengalami penurunan yang semula 17926 menjadi 0
pada tahun ke-180 sehingga dapat dinyatakan Indonesia bebas penyakit campak
pada tahun 2186.
Menurut Kemenkes RI [6], vaksinasi merupakan langkah yang paling tepat
dan murah dalam mencegah dan mengurangi kejadian sakit serta terjadinya cacat
akibat penyakit tertentu. Saat ini, Indonesia memiliki cakupan vaksinasi campak sebesar 88%. Dalam rangka eliminasi campak Kemenkes RI berkomitmen
pada lingkup ASEAN dan SEARO untuk mencapai cakupan vaksinasi campak
minimal 95% dengan angka kegagalan vaksinasi sebesar 3%. Kemenkes RI juga
menargetkan Indonesia campak tereliminasi atau bebas campak pada tahun 2020.
Pada penelitian ini dilakukan simulasi model (3.6) terkait dengan program vaksinasi oleh Kemenkes RI dan parameter yang berpengaruh yaitu α dan σ. Hasil
simulasi untuk parameter α dan σ dituliskan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil simulasi parameter α dan σ
Parameter α
Tervaksin
α
%
Parameter σ
Tahun
Tahun
σ
Bebas
Parameter α dan σ
α
σ
Bebas
Tahun
Bebas
88
0.0655
2186
0.049
2186
95
0.0722
2185
0.030
2185
0.0722 0.030
2184
98
0.0744
2185
0.015
2185
0.0744 0.015
2183
100
0.0760
2184
0.000
2184
0.0760 0.000
2183
(1) Parameter α
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter α yang berubah-ubah,
sementara nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat
6
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
bahwa dengan persentase cakupan vaksinasi minimal 95%, diperoleh bebas campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang diinginkan Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020.
Bahkan dengan cakupan vaksinasi 100% juga belum mencapai target tersebut.
(2) Parameter σ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter σ yang berubah-ubah,
sementara nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat
bahwa dengan persentase kegagalan vaksin maksimal 3%, diperoleh bebas
campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang diinginkan
Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020. Bahkan
dengan tidak adanya kegagalan vaksinasi (σ = 0) juga belum mencapai
target tersebut.
(3) Parameter α dan σ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter α dan σ berubah-ubah
dan parameter yang lain tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa dengan diberikan persentase cakupan vaksinasi minimal 95% dan persentase
kegagalan vaksin maksimal 3% yang sesuai dengan program Kemenkes RI
[6], Indonesia bebas campak pada tahun 2184. Hal ini berarti, pada tahun
2020 Indonesia belum mencapai target bebas campak. Bahkan dengan
persentase cakupan vaksinasi 100% dan tidak terdapat kegagalan vaksin
pun, target tersebut belum dicapai.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh tiga kesimpulan berikut.
(1) Model SIR dengan program vaksinasi untuk penyebaran penyakit campak di Indonesia dapat dinyatakan sebagai model SV IR yang dituliskan
sebagai
SI
dS
= θN − β
− αS − µS
dt
N
dV
VI
= αS − βσ
− µS
dt
N
dI
SI
VI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I
dt
N
N
dR
= γI − µR,
dt
dengan S(0) > 0, V (0) > 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, α, β, σ, γ, µ > 0.
7
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
(2) Model SV IR untuk penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan sebagai
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
SI
− 0.0655S − 0.0069S
N
VI
= 0.0655S − 0.000010
− 0.0069S
N
SI
VI
= 0.000207
+ 0.000010
− 0.04762I − 0.0069I
N
N
= 0.0210N − 0.000207
= 0.04762I − 0.0069R.
Berdasarkan model tersebut didapatkan Indonesia bebas penyakit campak pada tahun 2186.
(3) Berdasarkan pada program Kemenkes RI dengan persentase tervaksin sebesar 95% dan angka kegagalan sebesar 3%, Indonesia bebas penyakit
campak pada tahun 2184. Target Indonesia bebas campak pada tahun
2020 belum tercapai.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Baldy, L. M., S. W. Roush, and L. Mclntyre. Manual for the Surveillance of Vaccine Preventble Diseases. Creat Space Independent Publishing Platform, USA, 6th Edition edition,
2013.
[2] Hethcote, H.W. Tree Basic Epidemiological Models. Applied Matematical Ecology, 18:119–
144, 1989.
[3] Islam, S. Equilibriums and Stability of SVIR Epidemic Model . Internasional Journal of
Humanities, Arts, Medicine and Sciences, 3:1–10, 2015.
[4] Kermack, W.O. and A.G. McKendrick. Proceedings of the Royal Society of London. A
Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, 115:700–721, 1927.
[5] Saputro, S.A. dan P. Widyaningsih. Program Vaksinasi Penyakit Campak di Indonesia Melalui Model Susceptible Infected Recovered (SIR) dan Hasilnya . Dipresentasikan pada Seminar Nasional 2016 Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret,
Surakarta, 2016.
[6] Tim Pusat Data dan Informasi Kementerian Kesehatan RI. Situasi Imunisasi di Indonesia.
Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta, 2016.
[7] Tim Sekretariat Jenderal Kementerian Kesehatan RI. Profil Kesehatan Indonesia Tahun
2014. Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta, 2015.
8
2017
DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED
RECOVERED (SVIR)
Septiawan Adi Saputro, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus dan
menjadi perhatian Kementerian Kesehatan Republik Indonesia (Kemenkes RI). Individu yang terinfeksi penyakit ini dapat sembuh dan mendapatkan kekebalan sehingga
penyebaran penyakit tersebut dapat dikonstruksikan dengan model susceptible infected recovered (SIR). Untuk mencegah meluasnya penularan campak, Kemenkes RI
menyelenggarakan program vaksinasi. Penyebaran campak dengan vaksinasi dapat
dikonstruksikan dengan model susceptible vaccinated infected recovered (SVIR). Model SIR dan SVIR merupakan sistem persamaan diferensial orde satu. Dalam artikel
ini diturunkan ulang model SV IR dan diterapan model tersebut pada penyebaran
penyakit campak di Indonesia. Berdasarkan penerapan tersebut, Indonesia dapat dinyatakan bebas penyakit campak pada tahun 2186 dengan rata-rata cakupan vaksin
88% dan angka kegagalan vaksin 4.9%. Hasil tersebut disimulasikan sesuai program
baru Kemenkes RI dengan cakupan vaksin 95% dan angka kegagalan vaksin 3%, Indonesia bebas campak pada tahun 2183. Target Indonesia bebas campak pada tahun
2020 tidak tercapai.
Kata kunci : campak, vaksinasi, SIR, SV IR.
1. PENDAHULUAN
Penyakit campak merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus
golongan Paramyxovirus. Penularan penyakit ini dapat terjadi melalui udara
yang telah terkontaminasi oleh droplet (ludah) individu yang telah terinfeksi.
Kemenkes RI [7] mencatat bahwa sebagian besar penderita penyakit ini adalah
anak-anak usia pra sekolah dan usia SD. Gejala campak diawali dengan demam,
batuk, pilek dan kemudian muncul bercak merah pada kulit. Menurut Baldy et
al.[1], individu yang telah terinfeksi akan sembuh dan mendapat kekebalan secara
alami.
Campak tergolong penyakit yang dapat dicegah penyebarannya. Upaya
untuk mencegah penyebarannya dapat dilakukan dengan memberikan vaksin kepada individu yang rentan terinfeksi penyakit tersebut. Menurut Baldy et al. [1],
vaksinasi adalah program untuk meningkatkan kekebalan seseorang secara aktif
terhadap suatu penyakit. Tidak semua vaksin bekerja dengan baik pada tubuh
manusia. Kondisi tubuh, cuaca, iklim dan jenis vaksin berpengaruh terhadap
kinerja vaksin. Pada kasus tertentu vaksin hanya memberikan kekebalan sesaat
dan menyebabkan individu tersebut terinfeksi penyakit.
1
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengamati
penyebaran penyakit infeksi seperti campak. Hethcote [2] memperkenalkan model susceptible infected recovered (SIR) untuk menjelaskan penyebaran penyakit
campak, cacar air, difteri, polio, dan batuk rejan. Mengacu pada model tersebut, Islam pada tahun 2015 [3] mengembangkan model SIR dengan adanya
vaksinasi untuk panyakit campak menjadi model susceptible vaccinated infected
recovered (SVIR). Dalam artikel ini diturunkan ulang model SV IR. Selanjutnya,
model tersebut diterapkan pada penyebaran penyakit campak di Indonesia dan
diinterpretasikan hasilnya.
2. MODEL SIR
Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick [4]
pada tahun 1927. Kemudian model tersebut dikembangkan dan diterapkan oleh
Hethcote [2] pada tahun 1989. Hethcote [2] membagi populasi menjadi tiga kelompok individu. Pertama, kelompok individu susceptible (S) yaitu individu yang
sehat namun rentan terinfeksi penyakit. Kedua, kelompok individu infected (I)
yaitu individu yang terinfeksi penyakit. Ketiga, kelompok individu recovered (R)
yaitu individu yang sembuh dan kebal terhadap penyakit.
Pada model ini diberikan asumsi bahwa tidak ada perubahan jumlah populasi setiap waktunya, hanya terdapat satu penyakit pada populasinya, dan
individu yang lahir adalah individu yang sehat dan rentan terhadap penyakit.
Besarnya laju kelahiran dan kematian pada model ini diasumsikan sama sebesar
µ sehungga banyaknya kelahiran adalah µN dan banyaknya individu susceptible
bertambah sebesar µN . Setiap kelompok individu S, I, dan R terdapat kematian
sehingga setiap kelompok individu tersebut berturut turut berkurang sebesar µS,
µI, dan µR. Kelompok individu susceptible dapat terinfeksi campak setelah melakukan kontak dengan kelompok individu infected. Jika β adalah besarnya laju
kontak individu susceptible dengan individu infected dan diasumsikan setiap individu susceptible mempunyai kemungkinan yang sama untuk terinfeksi penyakit,
.
maka individu susceptible terinfeksi sebanyak β SI
N
Individu yang telah terinfeksi memiliki kemungkinan sembuh (recovered ).
Dimisalkan γ sebagai laju kesembuhan sehingga sebanyak γI individu akan sembuh dari penyakit tersebut. Individu yang telah sembuh diasumsikan kebal terhadap infeksi. Dengan demikian, model SIR oleh Hethcote [2] dapat dituliskan
2
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
sebagai
dS
I
= µN − βS − µS
dt
N
dI
I
(2.1)
= βS − γI − µI
dt
N
dR
= γI − µR,
dt
dengan µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Model SVIR.
Penurunan ulang model SV IR ini mengacu pada Islam
[3] yang berdasarkan pada model SIR Hethcote [2]. Islam [3] mengembangkan
model SIR tersebut dengan menambahkan kelompok individu vaccinated yaitu
kelompok individu yang mendapatkan vaksin.
Pada model SV IR oleh Islam [3], banyaknya individu susceptible, vaccinated, infected, dan recovered pada waktu t dinyatakan dengan S(t), V (t), I(t), dan
R(t) sehingga banyaknya populasi pada waktu t adalah N (t) = S(t) + V (t) +
I(t) + R(t). Berbeda dengan Hethcote [2], pada model ini besarnya laju kelahiran
dan kematian diasumsikan tidak sama sehingga banyaknya individu pada populasi tersebut berubah-ubah atau tidak konstan. Jika θ adalah laju kelahiran, maka
banyaknya kelahiran adalah θN . Individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit sehingga kelompok individu susceptible bertambah sebesar θN .
Untuk menambah kekebalan pada individu susceptible, diberikan vaksin. Jika
α adalah laju vaksinasi, maka banyaknya individu susceptible berkurang sebesar αS. Dengan demikian, perubahan sesaat kelompok individu susceptible pada
model Islam [3] dinyatakan sebagai
SI
dS
= θN − β
− αS − µS.
dt
N
(3.1)
Banyaknya individu vaccinated bertambah dengan adanya program vaksinasi pada individu susceptible sebesar αS. Tidak semua proses vaksinasi berhasil sehingga individu yang telah tervaksin dapat terinfeksi penyakit. Jika laju
kegagalan vaksin adalah σ, maka kelompok individu vaccinated akan terinfeksi
sebanyak βσ VNI . Dimisalkan laju kematian adalah µ sehingga banyaknya individu yang mati pada kelompok ini adalah µV dan banyaknya individu vaccinated
berkurang sebesar µV . Perubahan sesaat kelompok individu vaccinated dapat
dinyatakan sebagai
dV
VI
= αS − βσ
− µV.
dt
N
3
(3.2)
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Banyaknya individu infected bertambah karena adanya individu susceptible
dan vaccinated yang terinfeksi sehingga banyaknya kelompok ini bertambah sebesar β VNI dan βσ VNI . Perubahan sesaat kelompok individu infected pada model
Islam [3] dapat dinyatakan sebagai
SI
VI
dI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I.
(3.3)
dt
N
N
Perubahan sesaat kelompok individu recovered pada model Islam [3] sama
seperti pada model Hethcote [2] yang dinyatakan sebagai
dR
= γI − µR.
dt
(3.4)
Berdasarkan persamaan (3.1), (3.2), (3.3), dan (3.4) secara lengkap model
susceptible vaccinated infected recovered (SV IR) adalah
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
SI
− αS − µS
N
VI
= αS − βσ
− µS
N
SI
VI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I
N
N
= θN − β
(3.5)
= γI − µR,
dengan S(0) > 0, V (0) > 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, α, β, σ, γ, µ > 0. Parameter
θ, α, β, σ, γ, µ secara berturut-turut adalah laju kelahiran, laju vaksinasi, laju
kontak, laju kegagalan vaksin, laju kesembuhan dan laju kematian. Model (3.5)
merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu. Pola penyebaran
penyakit dapat ditentukan dari penyelesaian sistem (3.5).
3.2. Penerapan.
Model SV IR (3.5) diterapkan pada penyebaran penyakit
campak di Indonesia. Saputro dan Widyaningsih [5] mengamati penyebaran
penyakit campak di Indonesia dengan model SV IR berdasarkan data tahun 20102014. Pada penelitian ini diamati pula penyebaran penyakit campak di Indonesia
dengan model SV IR, namun berdasarkan data tahun 2006-2014. Menurut Kemenkes RI [7], penderita penyakit tersebut adalah anak-anak usia pra sekolah
dan usia SD sehingga populasi (N ) pada model ini adalah total penduduk usia
0-14 tahun.
Berdasarkan data tersebut, diperoleh nilai laju kelahiran θ sebesar 0.0210,
laju kematian didapatkan µ sebesar 0.0069, laju infeksi β didapatkan sebesar
0.000207, laju vaksinasi α sebesar 0.0655, rata-rata kegagalan vaksin σ sebesar
4
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
0.043, dan laju kesembuhan γ individu yang terinfeksi sebesar 0.04762. Berdasarkan nilai-nilai parameter tersebut dan dengan memperhatikan sistem (3.5),
model penyebaran penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan sebagai
SI
dS
= 0.0210N − 0.000207
− 0.0655S − 0.0069S
dt
N
dV
VI
= 0.0655S − 0.000010
− 0.0069S
dt
N
(3.6)
dI
SI
VI
= 0.000207
+ 0.000010
− 0.04762I − 0.0069I
dt
N
N
dR
= 0.04762I − 0.0069R.
dt
Tahun 2006 adalah waktu awal pengamatan. Banyaknya individu susceptible (S), vaccinated (V ), infected (I), dan recovered (R) pada tahun tersebut
dipandang sebagai syarat awal yang harus dipenuhi, yaitu
S(0) = 58555165, V (0) = 4200446, I(0) = 17926, R(0) = 17922.
(3.7)
Penyelesaiaan model (3.6) dengan syarat awal (3.7) ditentukan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan ketentuan bahwa tahun 2006 sebagai tahun ke-0 (t = 0)dan h = 1. Atas hal tersebut banyaknya individu kelompok
S dan V serta I dan R pada 180 tahun pertama tampak pada Gambar 1 (a) dan
(b).
(b)
(a)
Gambar 1. Banyaknya individu S dan V (a) serta I dan R (b) 180
tahun pertama
Berdasarkan Gambar 1 (a), terlihat banyaknya individu susceptible turun dari tahun pertama sampai tahun ke-45 dengan puncak penurunan sebesar
18233026. Hal ini disebabkan adanya program vaksinasi dan terdapat individu
5
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
susceptible yang terinfeksi. Pada tahun-tahun berikutnya, banyaknya individu
tersebut mengalami peningkatan. Banyaknya individu vaccinated terus bertambah dari tahun ke tahun karena adanya program vaksin pada individu susceptible. Berdasarkan Gambar 1 (b), banyaknya individu recovered yang semula 17922
mengalami kenaikan hingga mencapai puncak 25675 pada tahun ke-29. Setelah
tahun ke-29 banyaknya individu recovered mengalami penurunan dikarenakan
adanya kematian alami dan berkurangnya individu yang sembuh dari penyakit.
Banyaknya individu infected mengalami penurunan yang semula 17926 menjadi 0
pada tahun ke-180 sehingga dapat dinyatakan Indonesia bebas penyakit campak
pada tahun 2186.
Menurut Kemenkes RI [6], vaksinasi merupakan langkah yang paling tepat
dan murah dalam mencegah dan mengurangi kejadian sakit serta terjadinya cacat
akibat penyakit tertentu. Saat ini, Indonesia memiliki cakupan vaksinasi campak sebesar 88%. Dalam rangka eliminasi campak Kemenkes RI berkomitmen
pada lingkup ASEAN dan SEARO untuk mencapai cakupan vaksinasi campak
minimal 95% dengan angka kegagalan vaksinasi sebesar 3%. Kemenkes RI juga
menargetkan Indonesia campak tereliminasi atau bebas campak pada tahun 2020.
Pada penelitian ini dilakukan simulasi model (3.6) terkait dengan program vaksinasi oleh Kemenkes RI dan parameter yang berpengaruh yaitu α dan σ. Hasil
simulasi untuk parameter α dan σ dituliskan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil simulasi parameter α dan σ
Parameter α
Tervaksin
α
%
Parameter σ
Tahun
Tahun
σ
Bebas
Parameter α dan σ
α
σ
Bebas
Tahun
Bebas
88
0.0655
2186
0.049
2186
95
0.0722
2185
0.030
2185
0.0722 0.030
2184
98
0.0744
2185
0.015
2185
0.0744 0.015
2183
100
0.0760
2184
0.000
2184
0.0760 0.000
2183
(1) Parameter α
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter α yang berubah-ubah,
sementara nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat
6
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
bahwa dengan persentase cakupan vaksinasi minimal 95%, diperoleh bebas campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang diinginkan Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020.
Bahkan dengan cakupan vaksinasi 100% juga belum mencapai target tersebut.
(2) Parameter σ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter σ yang berubah-ubah,
sementara nilai parameter lainnya tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat
bahwa dengan persentase kegagalan vaksin maksimal 3%, diperoleh bebas
campak pada tahun 2185. Hal ini belum mencapai target yang diinginkan
Kemenkes RI bahwa Indonesia bebas campak pada tahun 2020. Bahkan
dengan tidak adanya kegagalan vaksinasi (σ = 0) juga belum mencapai
target tersebut.
(3) Parameter α dan σ
Pada simulasi ini dimisalkan nilai parameter α dan σ berubah-ubah
dan parameter yang lain tetap. Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa dengan diberikan persentase cakupan vaksinasi minimal 95% dan persentase
kegagalan vaksin maksimal 3% yang sesuai dengan program Kemenkes RI
[6], Indonesia bebas campak pada tahun 2184. Hal ini berarti, pada tahun
2020 Indonesia belum mencapai target bebas campak. Bahkan dengan
persentase cakupan vaksinasi 100% dan tidak terdapat kegagalan vaksin
pun, target tersebut belum dicapai.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh tiga kesimpulan berikut.
(1) Model SIR dengan program vaksinasi untuk penyebaran penyakit campak di Indonesia dapat dinyatakan sebagai model SV IR yang dituliskan
sebagai
SI
dS
= θN − β
− αS − µS
dt
N
dV
VI
= αS − βσ
− µS
dt
N
dI
SI
VI
=β
+ βσ
− (µ + γ)I
dt
N
N
dR
= γI − µR,
dt
dengan S(0) > 0, V (0) > 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0 dan θ, α, β, σ, γ, µ > 0.
7
2017
Penyebaran Penyakit Campak . . .
S. A. Saputro, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
(2) Model SV IR untuk penyakit campak di Indonesia dapat dituliskan sebagai
dS
dt
dV
dt
dI
dt
dR
dt
SI
− 0.0655S − 0.0069S
N
VI
= 0.0655S − 0.000010
− 0.0069S
N
SI
VI
= 0.000207
+ 0.000010
− 0.04762I − 0.0069I
N
N
= 0.0210N − 0.000207
= 0.04762I − 0.0069R.
Berdasarkan model tersebut didapatkan Indonesia bebas penyakit campak pada tahun 2186.
(3) Berdasarkan pada program Kemenkes RI dengan persentase tervaksin sebesar 95% dan angka kegagalan sebesar 3%, Indonesia bebas penyakit
campak pada tahun 2184. Target Indonesia bebas campak pada tahun
2020 belum tercapai.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Baldy, L. M., S. W. Roush, and L. Mclntyre. Manual for the Surveillance of Vaccine Preventble Diseases. Creat Space Independent Publishing Platform, USA, 6th Edition edition,
2013.
[2] Hethcote, H.W. Tree Basic Epidemiological Models. Applied Matematical Ecology, 18:119–
144, 1989.
[3] Islam, S. Equilibriums and Stability of SVIR Epidemic Model . Internasional Journal of
Humanities, Arts, Medicine and Sciences, 3:1–10, 2015.
[4] Kermack, W.O. and A.G. McKendrick. Proceedings of the Royal Society of London. A
Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, 115:700–721, 1927.
[5] Saputro, S.A. dan P. Widyaningsih. Program Vaksinasi Penyakit Campak di Indonesia Melalui Model Susceptible Infected Recovered (SIR) dan Hasilnya . Dipresentasikan pada Seminar Nasional 2016 Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret,
Surakarta, 2016.
[6] Tim Pusat Data dan Informasi Kementerian Kesehatan RI. Situasi Imunisasi di Indonesia.
Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta, 2016.
[7] Tim Sekretariat Jenderal Kementerian Kesehatan RI. Profil Kesehatan Indonesia Tahun
2014. Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta, 2015.
8
2017