POPULASI TAK TERBATAS DENGAN PELAYANAN TUNGGAL upload1

POPULASI TAK TERBATAS DENGAN PELAYANAN TUNGGAL

(M/M/1):(GD/∞/∞)
By. retnosubekti@uny.ac.id

Penguraian Probabilitas
Penguraian dari single chanel pada model dengan populasi tak terbatas ini akan ditelusur dari 3
kondisi yaitu :
Pada selang waktu
t

t+h

Dengan ∆ = ℎ dan h sangat kecil

# unit pada waktu t+h

# kedatangan

# service

1
2
3

n
n
n

0
0
1

0
1
0

Kejadian

Banyaknya unit pada
waktu ke t

n
n+1
n-1

�

+ ℎ ..?

Dengan probabilitas kedatangan dan pelayanan adalah :
: Pa = . Δ = . h

probabilitas kedatangan

: Ps = . Δ = . h

probabilitas pelayanan

probabilitas system pelayanan (busy) : � =
Selanjutnya akan dicari �

Kejadian 1 .

Probabilitas 1 = �

untuk h sangat kecil

(1 − h)(1 − h)

=�

(1 − h − h + h h)

(1 − h − h)

=�

Kejadian 2.
Probabilitas 2 = �

+ℎ =�

(Δ )2 = h2 = ϕ

+1

………….1)

(1 − h) h
1

=�
=�

( h − h h)

+1

………….2)

( h)

+1

Kejadian 3.
Probabilitas 3 = �

=�
=�

�

+ℎ =

( h − h h)

−1

………….3)

( h)

−1

�1+

�2+

�3

1− h− h +�

+ℎ =�

�

(1 − h) h

−1

Mengingat h = Δ sangat kecil dengan �

�

�

1− h− h +�

=�

�

+1

−�

1 − h − h −�

h =�

−�

=�

−�

h

=�

�

�

=�

+1
+1

=�

h +�

+1

h =�

−1

+�

+

−�

−�

−�

−1

−1

−1

Akan diselidiki terlebih dahulu �0
�0

+ℎ =�

1 − h − h −�

+
+

h +�

+1

h) + �

+1

−1

−1

h

h

−1

maka persamaan 4) menjadi
h
h
h

( h −�

−1

……………5)
dan �1

untuk mencari �

artinya dapat diilustrasikan berasal dari kejadian berikut

Kejadian 1. Dengan

 Tidak ada customer pada waktu t
 Tidak ada yang datang
 Tidak ada yang sedang di service
� 1 = �0

= �0

(1- h) 1 − h

(1- h) 1 − 0 =�0

=1- h
 h=0

(1- h) ……….6)

Kejadian 2. Dengan

2

……..4)

h

 ada satu customer pada waktu t
 Tidak ada yang datang
 ada yang di service
�2

= �1

(1- h). h
h − �1

=�1

Maka
�0

+ℎ =

�1+

= �0

�2

h

Mengingat h sangat kecil maka �0
= �0

�0

( h) = �1

�0

=�0

(1- h) + �1

− �0

h

+ ℎ = �0

( h) + �1

h

h

 �0

( ) = �1

Maka �1

= �1

 �1 = �0

= �0

Selanjutnya dari persamaan 5) yaitu �
Untuk n=1 

h ……7)

ℎ h = �1

(1- h) + �1

�0

=1- h
 h

�2 = �1

+

…………………..8)
+1

−�0

+

=�

−�

dengan menggunakan �1 dari persamaan 8) maka
�2

= �0
= �0

= �0

+

+

−1

−�0

2

= �0

untuk �3 dst, selanjutnya analog sehingga

3

�3 = �0
3

−1

� = �0

adalah busy system maka untuk �0 = 1 − � = 1 − sehingga

Mengingat � =

� = 1−

� = 1−� �

Selanjutnya akan dicari berapa jumlah harapan unit (customer) dalam system.
X= banyaknya customer dengan probabilitas tertentu P(X)
E(X) =
� =
=

�

∞

�. (�)

=0

∞

=0

= 1−�

.�

. 1−� �

Buktikan � =

∞

=0

.�

−

Untuk penguraian yang lain silahkan dipelajari referensinya, bagaimana memperoleh � , � , � .
Apabila � merupakan waktu menunggu pelanggan dalam sistem antrian dan �

merupakan waktu menunggu pelanggan dalam antrian, maka hubungan � , � , � , �

dinyatakan dengan

� =

� =

�

�

4

Persamaan

�

dikenal dengan nama Little Law, diperkenalkan pertama kali oleh John D.C

Little pada tahun 1961 (Taha, 1982: 600).

5