Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA
LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA
TUNGGAL DISKRET
LAILATUL QODARIAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Model
Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda
Tunggal Diskret adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Lailatul Qodariah
NIM G5100016
ABSTRAK
LAILATUL QODARIAH. Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada
Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret. Dibimbing oleh
ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
Dalam karya ilmiah ini dijelaskan tentang model populasi spesies tunggal
pada lingkungan tercemar. Dalam model ini dipelajari perilaku kestabilan
populasi spesies tunggal yang terkena efek polutan akibat pencemaran
lingkungan. Perilaku kestabilan yang dipelajari adalah perilaku kestabilan yang
dibatasi, yaitu perilaku kestabilan model ketika tidak ada penambahan polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan ketika ada penambahan polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada kondisi titik tetap tertentu, perilaku
kestabilan lokal ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz dan perilaku kestabilan
global dianalisis menggunakan fungsi Lyapunov. Mengubah nilai-nilai parameter
sistem seperti parameter penambahan polutan eksogen ke dalam lingkungan
tercemar akan memunculkan bifurkasi Hopf. Keberadaan bifurkasi Hopf dianalisis
menggunakan kriteria Liu yang berkaitan dengan kriteria Routh-Hurwitz. Model
populasi spesies tunggal pada karya ilmiah ini juga mempelajari efek waktu tunda
tunggal diskret sebagai realisasi bahwa penyerapan polutan oleh populasi dari
lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan
membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Panjang waktu tunda
ditentukan menggunakan kriteria Nyquist sebagai upaya mempertahankan
kestabilan model. Simulasi menggunakan software matematika digunakan sebagai
upaya mengilustrasikan hasil analisis model.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, spesies tunggal, waktu tunda.
ABSTRACT
LAILATUL QODARIAH. The Dynamics of a Single-Species Population in a
Polluted Environment with Single Discrete Time Delay. Supervised by ELIS
KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
This manuscript describes a single-species population model in a polluted
environment. This model describes the stability of a single-species population
behavior which is affected by the pollution effect. The focus of stability is
restricted, the stability of behavior when there is no additional of exogenous
pollutants into the polluted environment and the opposite condition, there is an
additional of exogenous pollutants into the environment. For a certain fixed point,
a condition of local stability behavior was determined by Routh-Hurwitz criterion
and the behavior of global stability was analyzed by Lyapunov function.
Changing the value of parameters system such as the parameter of additional of
exogenous pollutants into the polluted environment will trigger Hopf bifurcation
existence. The occurrence of Hopf bifurcation was analyzed by Liu criterion that
related to the Routh-Hurwitz criterion. A single-species population model in this
manuscript also describes the effect of a single discrete time delay as a realization
that the absorption of pollutants was not immediately absorbed by the population,
but needing a time to contaminate the population. Furthermore, the time delay was
estimated by using the Nyquist criterion in order to maintain the stability of the
model. Mathematical simulation using a software was used to illustrate the results
of models analysis.
Keywords: Hopf bifurcation, single-species, time delay
DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA
LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA
TUNGGAL DISKRET
LAILATUL QODARIAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan
Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
Nama
: Lailatul Qodariah
NIM
: G54100016
Disetujui oleh
Elis Khatizah, MSi
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam studi pustaka yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan
Waktu Tunda Tunggal Diskret.
Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini khususnya Ibu Elis Khatizah, MSi dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi yang
telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan
kepada Bapak Winardi dan Ibu Masyitoh selaku orangtua yang memberikan
dukungan, semangat, dan doa tanpa henti. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada adik, kakak, seluruh keluarga, serta teman-teman atas segala
doa, semangat, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Lailatul Qodariah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Model Matematika
8
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Tanpa Waktu Tunda
8
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
15
Perkiraan Panjang Waktu Tunda
20
SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA
22
DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA
32
SIMPULAN
33
DAFTAR PUSTAKA
34
LAMPIRAN
36
RIWAYAT HIDUP
55
DAFTAR GAMBAR
1 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model = 0
2 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan
<
0
3 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan
>
0
4 Kestabilan Global pada Titik Tetap
5 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter q
6 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter p
7 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter
23
24
25
25
26
28
29
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Penondimensionalan Model
Penentuan Titik Tetap untuk Model = 0
Penentuan Titik Tetap untuk Model > 0
Penentuan Nilai Eigen untuk Model = 0
Penentuan Nilai Eigen untuk Model > 0
Kestabilan Global
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Mencari Persamaan Karakteristik Model dengan Waktu tunda
Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda
Transformasi Laplace pada Model dengan Waktu Tunda
Kriteria Nyquist
Kode Program Bidang Solusi
Kode Program Bidang Fase
Kode Program Gambar Bidang Fase Kestabilan Global
36
37
37
39
41
44
44
47
48
49
51
53
53
54
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pencemaran lingkungan merupakan risiko yang timbul dari pesatnya
perkembangan industri saat ini. Kehadiran racun atau polutan yang merupakan zat,
bahan, atau unsur yang tercampur dalam lingkungan dengan kadar berlebih dapat
mengubah, menghalangi, atau mengganggu fungsi lingkungan. Hal ini merupakan
indikator terjadinya pencemaran lingkungan (Siahaan 2004). Fenomena
pencemaran ini akan menyebabkan berkurangnya daya dukung lingkungan yang
kemudian akan memengaruhi laju pertumbuhan spesies di lingkungan.
Hujan asam adalah salah satu contoh fenomena lingkungan yang
menggambarkan adanya fenomena pencemaran udara. Hujan asam disebabkan
oleh jenis senyawa tertentu dari polusi udara yang bercampur dengan uap air,
seperti hujan atau kabut. Hujan asam ini kemudian jatuh ke bumi sebagai larutan
asam dengan komponen utamanya adalah oksidasi dari Sulfur dan Nitrogen.
Kedua komponen ini secara dominan dihasilkan dari pembangkit listrik
pembakaran batu bara, pelumeran tembaga, pabrik, dan emisi kendaraan bermotor.
Oksidasi ini berubah secara kimiawi pada atmosfer dan kembali ke bumi melalui
hujan, salju, kabut atau debu. Proses pengasaman lingkungan ini dapat mengubah
struktur ekologi sehingga memengaruhi komunitas ekologi (Van Lier dan
Irene1980).
Beberapa tahun terakhir, masalah polusi lingkungan ini menjadi perhatian
serius karena polusi dapat memengaruhi kelangsungan hidup jangka panjang dari
spesies dan keanekaragaman hayati dari habitat (Siahaan 2004). Oleh karena itu,
studi tentang efek dari polutan pada populasi dan penilaian risiko untuk populasi
menjadi cukup penting. Masalah memperkirakan efek dari polutan pada populasi
melalui model matematika merupakan cara yang efektif.
Penelitian terkait pendugaan efek polutan pada sistem ekologi menggunakan
model matematika dilakukan pertama kali oleh Hallam dan rekannya pada tahun
1983 (Hallam et al. 1983). Sejak itu banyak penelitian yang mempelajari efek dari
polutan pada lingkungan tercemar, termasuk Pal dan Samanta yang memaparkan
model populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan
mempertimbangkan adanya kontrol pencemaran pada populasi (Pal dan Samanta
2010).
Selanjutnya, dipahami bahwa banyak proses alami atau buatan manusia pada
sistem ekologi, pengobatan, proses kimia, dan proses lainnya merupakan proses
yang melibatkan waktu tunda. Waktu tunda sangat sering terjadi, hampir pada
semua kondisi, sehingga memedulikannya adalah memedulikan realitas (Kuang
1993). Mempertimbangkan waktu tunda dalam mempelajari efek polutan terhadap
populasi pada lingkungan tercemar juga dianggap perlu. Hal ini terjadi karena
polutan pada lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi,
melainkan membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi tersebut.
Dalam karya ilmiah ini, dianalisis model matematika populasi spesies tunggal
pada lingkungan tercemar tanpa waktu tunda dan model matematika populasi
spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret
2
yang disusun oleh Sharma dan Samanta (2013). Dari model ini akan dianalisis
karakteristik, kestabilan, dinamika, dan perkiraan panjang waktu tunda pada
populasi spesies tunggal yang dipengaruhi oleh lingkungan tercemar.
Tujuan Karya Ilmiah
Tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf
pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar
tanpa waktu tunda Sharma dan Samanta (2013).
2. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf
pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar
dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma and Samanta (2013).
3. Memperkirakan panjang waktu tunda pada model matematika populasi spesies
tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma
dan Samanta (2013).
TINJAUAN PUSTAKA
Diberikan fungsi persamaan diferensial sebagai berikut.
̇
(1)
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan x(t)
adalah nilai real fungsi dari waktu dan f(x) adalah nilai real fungsi dari yang
bergantung terhadap waktu. Persamaan (1) memunyai titik tetap
jika
memenuhi
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan
(Tu 1994).
Persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial linear jika f merupakan
fungsi linear dan persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial taklinear
jika f merupakan fungsi taklinear. Untuk suatu sistem persamaan diferensial
taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Tahap pertama
dalam pelinearan terhadap persamaan (1) adalah mengasumsikan persamaan (1)
sebagai persamaan taklinear dengan turunan parsial dari persamaan (1) kontinu di
Rn. Menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh
̇
,
dengan
[
]
,
(2)
3
dan
adalah suku berorde tinggi yang memiliki sifat
1994).
Persamaan (2) dapat dituliskan dalam bentuk
̇
(Tu
.
Misalkan matriks A berukuran
, maka suatu vektor taknol x di Rn disebut
vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A,
berlaku
(3)
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk
mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran
, maka persamaan (3)
dapat ditulis sebagai berikut.
(4)
dengan I adalah matriks identitas, maka persamaan (4) akan memiliki solusi
taknol jika dan hanya jika
,
(5)
dengan
merupakan persamaan karakteristik dari A (Meiss 2007).
(Giesl 2007; Meiss 2007) menjelaskan bahwa kestabilan titik tetap dapat
ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu
yang
diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap
memunyai perilaku sebagai berikut.
1. Stabil, jika
untuk setiap i.
a.
, untuk setiap
.
b. Terdapat ( )
untuk sembarang j dan
untuk setiap i. Stabil asimtotik terbagi
Stabil asimtotik jika
menjadi dua, yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. Titik dikatakan
titik tetap stabil asimtotik lokal jika hanya berlaku untuk nilai-nilai state
awal di sekitar titik tetap, sedangkan titik
dikatakan titik tetap stabil
asimtotik global jika berlaku untuk semua nilai-nilai state awal, semua
state akan bergerak menuju satu titik tetap yang sama.
.
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
, untuk
untuk i dan j sembarang). Sadel hiperbolik, jika
setiap i.
Dalam permasalahan tertentu, tidak mudah menentukan kestabilan titik tetap
dengan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik tetap lain yang dapat menentukan
tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah satu metode
yang dapat digunakan adalah metode kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu suatu
metode untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akar-akar
persamaan karakteristik secara langsung. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
terdapat pada teorema berikut.
4
Teorema Routh-Hurwitz Criterion 1: Misalkan
bilangan-bilangan
real,
jika
. Semua nilai dari persamaan karakteristik
,
(6)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap i=1,2,…,k,
determinan dari matriks Mi
[
]
adalah positif. Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz dalam teorema 1, untuk
suatu k,
disebutkan bahwa titik tetap stabil asimtotik lokal jika dan
hanya jika
,
Untuk kasus k = 3, kondisi Routh-Hurwitz disajikan pada teorema berikut.
Teorema Routh-Hurwitz Criterion 2: Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real
dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
(7)
adalah negatif jika dan hanya jika A, B, C positif dan AB > C (Fisher 1990).
Bukti:
Routh – Hurwitz criterion 2: Misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian
real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik
3
2
adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C.
3
2
Dari persamaan
maka
.
Menurut teorema Routh – Hurwitz criterion 2 persamaan karakteristik
3
2
memunyai bagian real nilai eigen negatif jika
| | positif, sehingga
| || |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
5
|
|
|
|
|
|
karena
maka
Routh – Hurwitz criterion 2 terbukti
Kestabilan dapat bersifat lokal dan bersifat global. Kestabilan lokal mudah
ditentukan dengan pendekatan linear. Sedangkan kestabilan global cukup sulit
ditentukan. Menggunakan fungsi Lyapunov adalah salah satu metode yang dapat
digunakan dalam menentukan kestabilan global. Verhulst (1990) menjelaskan
bahwa fungsi Lyapunov dari suatu sistem persamaan diferensial bersifat tidak
tunggal. Misal diberikan fungsi
dan
titik kestabilan
persamaan (1). Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi ketiga
pernyataan berikut.
1. Fungsi V kontinu dan memunyai turunan parsial pertama yang kontinu
Pada E.
2. Fungsi
untuk
dengan
, dan
= 0 dengan
(dengan titik tetap merupakan titik minimum global).
untuk setiap
.
3. Fungsi ̇
L o ’ (2009) memberikan fungsi Lyapunov yang memenuhi ketiga
pernyataan di atas.
1. Fungsi Lyapunov logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk sistem LoktaVolterra
∑
)
(
2. Fungsi Lyapunov kuadratik umum (common quadratic Lyapunov functions)
∑
3. Fungsi Lyapunov kuadratik gabungan (composite quadratic Lyapunov
function)
[∑
]
Titik kestabilan sistem persamaan (1) dikatakan memiliki kestabilan global
jika terdapat fungsi Lyapunov V dengan titik tetap
sehingga,
|
1.
untuk suatu k > 0, merupakan himpunan terbatas.
untuk setiap
.
2. ̇
6
}, maka
3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam
{
| ̇
setiap solusi x(t) menuju ke M untuk
.
Persamaan diferensial dengan waktu tunda merupakan salah satu bentuk
persamaan diferensial dimana turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa
waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai dari fungsi waktu yang
dibutuhkan suatu proses. Bentuk umum persamaan diferensial dengan waktu
tunda untuk
, yaitu
(
),
(8)
Dengan positif yang merepresentasikan lama waktu tunda. Pada persamaan (8), f
adalah fungsi bentuk
ke
Bentuk persamaan diferensial dengan
waktu tunda kontinu, yaitu
∫
,
(9)
dan persamaan diferensial dengan waktu tunda diskret, yaitu
,
(10)
untuk
, dan
.
Persamaan (8) disebut persamaan diferensial dengan waktu tunda berbentuk
linear jika f merupakan fungsi linear dan persamaan (8) disebut persamaan
diferensial dengan waktu tunda berbentuk taklinear jika f merupakan fungsi
taklinear. Persamaan diferensial dengan waktu tunda yang berbentuk taklinear,
memerlukan pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Menggunakan
transformasi koordinat berikut.
,
dengan
merupakan titik tetap persamaan diferensial waktu tunda taklinear.
Diperoleh
̇
,
(11)
adalah perpindahan jarak sangat kecil dari titik tetap diantara
Menggunakan ekspansi Taylor disekitar titik tetapnya, diperoleh
dengan
(
)
̇
dan
,
(
)
merupakan matriks Jacobi x yang dievaluasi pada titik tetapnya dan
merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetapnya.
.
7
Misalkan matriks ̇ berukuran
, maka suatu vektor taknol A di Rn
disebut vektor eigen dari ̇ , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen
dari ̇ , berlaku
̇
(12)
Dengan solusi
dan vektor A disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk mencari nilai eigen dari matriks ̇ yang
berukuran
, maka persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut.
(
)
(13)
I adalah matriks identitas, maka persamaan (13) akan memiliki solusi taknol jika
dan hanya jika
(
)
,
(14)
̇ (Lakshamanan dan
dengan
merupakan persamaan karakteristik dari
Senthilkumar 2010).
Sharma dan Samanta (2013) menjelaskan secara umum, jika merupakan
titik tetap bersifat stabil yang memiliki bagian real nilai eigen negatif dengan akar
persamaan karakteristik (14) adalah
Analisis kestabilan titik tetap
berdasarkan nilai waktu tunda dapat dilakukan dengan memperhatikan kestabilan
titik tetap dan kondisi transversalitas, yaitu kondisi yang dapat mengubah sifat
kestabilan bila melewati suatu titik kritis pada garis imajiner
dan akar
persamaan karakteristik (14) akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif
ketika nilai waktu tunda melebihi titik kritis
Kondisi untuk transversalitas
adalah sebagai berikut.
karena
.
Dengan demikian, titik tetap
memunyai batasan kestabilan menurut waktu
tunda sebagai berikut.
1.
stabil untuk
,
2.
tidak stabil untuk
, dan
3.
mengalami bifurkasi Hopf pada saat
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu
sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem
dinamika tersebut. Bifurkasi adalah perubahan jumlah titik tetap (titik kestabilan)
dan perubahan kestabilan dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika
terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Sedangkan bifurkasi Hopfadalah
kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis
yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa saat kesetimbangan mengalami
perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Dalam
bifurkasi Hopf terdapat keadaan terisolasi, artinya orbit (lintasan) di sekelilingnya
tidak tertutup. Orbit (lintasan) ini bergerak secara spiral menuju atau menjauhi
limit cycle. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan
limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil.
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Pal dan Samanta (2010) memodelkan populasi spesies tunggal pada
lingkungan tercemar dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol
berupa input polutan eksogen pada populasi, kemudian mempertimbangkan
adanya efek waktu tunda diskret bagi polutan dalam mencemari lingkungan
tercemar. Kemudian, Sharma dan Samanta (2013) dengan menggunakan model
dasar yang sama seperti Pal dan Samanta, mempertimbangkan kembali adanya
efek waktu tunda tunggal diskret bagi polutan pada lingkungan tercemar dalam
mencemari populasi dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol
berupa input polutan eksogen dalam lingkungan yang tercemar.
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal
pada Lingkungan Tercemar Tanpa Waktu Tunda
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model populasi spesies tunggal pada
lingkungan tercemar Sharma dan Samanta (2013), untuk melihat dinamika
pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar. Modelnya
sebagai berikut.
Asumsi yang dipakai pada model adalah
A1. Ada polutan yang diberikan pada lingkungan dan organisme hidup, yang
kemudian polutan tersebut masuk ke dalam lingkungan dan tubuh organisme
hidup tersebut.
A2. Untuk tingkat pertumbuhan populasi, diasumsikan bahwa tingkat kelahiran
adalah
dan tingkat kematian adalah
, dengan
,
dan semua parameter positif.
Persamaan (16) dengan banyak parameter ditransformasikan ke bentuk yang
lebih sederhana dengan cara penondimensionalan model. Skala parameter yang
digunakan, yaitu
9
Melalui penondimensionalan ini, sistem persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
dengan
.
(Lampiran 1)
Notasi
n(t)
c(t)
s(t)
X
Y
Z
k
r
m
h
f
u(t)
a
p
q
Tabel Notasi
Definisi
konsentrasi biomassa populasi pada waktu t
konsentrasi polutan pada populasi pada waktu t
konsentrasi polutan pada lingkungan pada waktu t
merepresentasikan konsentrasi biomassa populasi
merepresentasikan konsentrasi polutan pada populasi
merepresentasikan konsentrasi polutan pada lingkungan
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena
adanya asupan populasidari lingkungantercemar
tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena
adanya sekresi
tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena
adanya metabolisme
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan secara alami
oleh lingkungan
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena
kaitannya dengan konsentrasi polutan pada populasi
tingkat pengurangan konsentrasi biomassa populasi karena
kompetisi antarspesies
tingkat input polutan eksogen yang diasumsikan fungsi
smooth bounded taknegatif pada waktu t
merepresentasikan tingkat pengurangan polutan pada
lingkungan karena adanya asupan populasi dari lingkungan
tercemar dan tingkat pengurangan konsentrasi biomassa
populasi karena kompetisi antarspesies
tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak
ada polutan dalam populasi
tingkat pengurangan polutan pada tubuh populasi melalui
sekresi, metabolisme, atau pengurangan konsentrasi
10
biomassa populasi akibat kompetisi antarspesies
tingkat pengurangan polutan pada populasi yang
berhubungan dengan sekresi dan kematian populasi
merepresentasikan penambahan input polutan eksogen ke
dalam lingkungan pada waktu t
d
Penentuan Titik Tetap Model Populasi Spesies Tunggal
pada Lingkungan Tercemar
Dalam penentuan titik tetap model populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar tanpa waktu tunda, terdapat dua kasus, yaitu kasus pertama
merepresentasikan tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan
,
sehingga mengubah sistem persamaan (16) menjadi Model
kasus kedua merepresentasikan ada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan
.
Selanjutnya kasus kedua ini akan disebut sebagai Model
.
Analisis Titik Tetap untuk Model
Titik tetap Model
berikut.
Diperoleh titik tetap
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
.
(Lampiran 2)
11
Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model
Pelinearan Model
menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut.
Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks
Jacobi Model
yang dievaluasi pada titik tetap tersebut.
substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
. Diperoleh
(
Selanjutnya
penyelesaian
persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
)
(
karakteristik
, yaitu
)
Parameter p dan q diasumsikan bernilai positif, sehingga
,
dan
. Dari nilai eigen yang diperoleh, disimpulkan bahwa kestabilan
bersifat sadel hiperbolik karena bagian real nilai eigen pertama bernilai positif dan
bagian real kedua nilai eigen selanjutnya bernilai negatif serta nilai eigen yang
diperoleh merupakan nilai eigen taknol (Meiss 2007).
Substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
, diperoleh
Selanjutnya, penyelesaian persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
karakteristik
, yaitu
(
)
0,
√
Jika
dan
, maka bagian real
nilai eigen kompleks akan bernilai negatif. Dari nilai eigen yang diperoleh,
disimpulkan bahwa kestabilan
bersifat stabil asimtotik lokal (Giesl 2007).
(Lampiran 4)
12
Analisis Titik Tetap untuk Model
Diberikan Model
Titik tetap Model
berikut.
>0
sebagai berikut.
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
(20)
Diperoleh titik tetap Model
yaitu
dengan
(Lampiran 3)
Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model
Untuk
menganalisis
kestabilan
titik
tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
(
>0
substitusikan
, diperoleh
)
13
Selanjutnya
penyelesaian
persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
karakteristik
, yaitu
Jika
, maka komponen nilai eigen
akan bernilai positif dan
kestabilan titik tetap bersifat tidak stabil, karena tidak semua bagian real nilai
eigen bernilai negatif. Sedangkan jika
maka komponen nilai eigen
akan bernilai negatif dan kestabilan titik tetap bersifat stabil asimtotik
lokal, karena semua bagian real nilai eigen bernilai negatif (Giesl 2007).
Substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
.Diperoleh
Untuk menyederhanakan
, dimisalkan
)
(
Selanjutnya,
(
dilakukan
)
penyelesaian
, yaitu
terhadap
persamaan
karakteristik
,
dengan
(Lampiran 5)
Karena semua parameter diasumsikan positif, jika
dan
maka menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem bersifat stabil asimtotik
lokal (Fisher 1990).
tidak selalu
Verhulst(1990) menjelaskan titik tetap
memiliki kestabilan global, terdapat kondisi yang harus dipenuhi agar titik tetap
memiliki kestabilan global, yaitu jika X(t), Y(t), dan Z(t)
dibatasi. Misalkan terdapat nilai
dan
dengan i = 1, 2, 3. Sehingga
14
,
, dan
Menggunakan fungsi
dapat
Lyapunov yang bersifat definit positif pada titik tetap
yang harus dipenuhi agar memiliki
ditentukan batas titik tetap
kestabilan global. Pal dan Samanta (2010) menggunakan fungsi Lyapunov berikut
pada model spesies tunggal pada lingkungan tercemar
(
)
Turunan dari fungsi Lyapunov terhadap t, diperoleh
dengan
Untuk memenuhi kondisi kestabilan global, turunan dari fungsi Lyapunov
terhadap t harus memiliki sifat definit negatif, oleh karena itu harus memenuhi
,
Titik tetap
berikut.
memiliki kestabilan global jika memenuhi batas
(Lampiran 6)
Analisis Bifurkasi Hopf untuk Model
>0
bifurkasi Hopf tidak dapat terlihat secara
Pada titik tetap
eksplisit dari parameter yang terdapat pada Model
. Sehingga diasumsikan
adalah salah satu dari semua parameter yang terkait pada Model > 0. Jika
,
nilai parameter
terjadi saat bifurkasi Hopf di titik tetap
maka dengan kondisi
, Liu (1994) membuktikan bahwa syarat perlu dan
cukup agar terjadi bifurkasi Hopf, yaitu
15
mengalami bifurkasi Hopf pada
Dengan demikian, titik tetap
Model Matematika Populasi SpesiesTunggal Pada
Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
Selanjutnya akan dibahas model populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret. Model ini menggambarkan
pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan ada
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar pada waktu t
dan efek penundaan yang membuat model lebih mempertimbangkan realitas.
Konsep penundaan ini terjadi karena penyerapan polutan oleh populasi dari
lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan
membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Berikut ini adalah
sistem persamaan modelnya
dengan
nilai
awal
dan
untuk
Semua parameter yang digunakan dalam persamaan (21) sama seperti yang
digunakan pada Model
kecuali parameter yang merupakan konstanta
positif waktu tunda. merepresentasikan waktu yang diperlukan polutan untuk
mencemari populasi.
Analisis Titik Tetap dan Kestabilan Model Populasi Spesies
Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda
Tunggal Diskret
Titik tetap Model
yaitu
dan
memiliki
kestabilan bersifat asimtotik lokal. Khusus titik tetap
kestabilan tidak hanya bersifat stabil asimtotik lokal, tetapi juga memiliki
kestabilan bersifat asimtotik global yang telah dianalisis menggunakan fungsi
Lyapunov, sehingga model dengan waktu tunda memiliki kestabilan yang sama
pula, karena titik tetap yang memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik akan
membuat semua turunan waktu menghilang secara bersamaan yang dinotasikan
dengan
(Lakshamanan dan Senthilkumar 2010). Dalam
menganalisis lebih lanjut dinamika kestabilan sistem persamaan (21), akan
16
, yang memiliki kestabilan bersifat stabil
digunakan titik tetap
asimtotik lokal dan global.
Dilakukan transformasi koordinat pada sistem (21) agar sistem tetap berpusat
Transformasi koordinat yang
pada kesetimbangan titik tetap
dilakukan sebagai berikut.
dengan u(t), v(t), dan w(t) adalah perpindahan jarak titik tetap sangat kecil dari
titik tetap yang berada diantara
.
Selanjutnya dilakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (21). Dihasilkan dua
matriks Jacobi sebagai berikut.
(
)
merupakan matriks Jacobi X,Y,Z yang dievaluasi pada titik tetapnya dan
yang dievaluasi pada titik tetapnya. Dengan
merupakan matriks Jacobi
demikian, diperoleh
.
Misalkan
dan
Misalkan
),
(
(
)
maka
(
).
17
Penggunaan ekspansi Taylor, pada pelinearan sistem persamaan (21) diperoleh
(
)
(
)
(Lampiran 7)
Selanjutnya, diasumsikan solusi sistem persamaan yang menggambarkan
perpindahan jarak sangat kecil karena adanya penundaan. Solusi sistem ini adalah
fungsi eksponensial seperti pada persamaan diferensial biasa, yaitu
dengan
(
)
, diperoleh persamaan karakteristik
,
(22)
dimana
(23)
(Lampiran 8)
Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda Tunggal
Diskret
Asumsikan persamaan karakteristik (22) memiliki solusi imajiner murni
berbentuk
. Dengan dipertimbangkan adanya bifurkasi Hopf pada titik
. Kemungkinan adanya perubahan kestabilan pada
tetap
dapat terjadi karena adanya perubahan nilai parameter
sehingga terjadi
perubahan kestabilan bersifat stabil jika
dan bersifat tidak stabil jika
. Oleh karena itu digunakan nilai eigen
dengan
dalam
melakukan analisis adanya bifurkasi Hopf.
Substitusikan nilai eigen
pada persamaan (22) dan pisahkan antara bagian
real dan bagian imajiner, diperoleh
(24)
Eliminasi dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan bagian real
dan bagian imajiner, diperoleh
(25)
18
dimana
Misalkan
, diperoleh
(26)
Klaim 1
Untuk
selanjutnya
, maka persamaan (26) tidak memiliki akar positif.
, atau
,
(27)
kemudian, diperoleh
√
Jika
maka
sehingga (
)
Hal ini
menunjukkan bahwa tidak ada satupun dari
yang bernilai positif
dan
menunjukkan bahwa persamaan (26) tidak memiliki akar
yang positif. Sehingga tidak ada sedemikian sehingga membuat nilai eigen dari
persamaan (26) adalah
positif. Oleh karena itu, hanya mungkin jika setiap
bagian real nilai eigen persamaan (22) negatif ketika waktu tunda
Titik
memenuhi
tetap
pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990) dan
memenuhi
yang memiliki bagian real nilai eigen negatif pada
pada persamaan diferensial
waktu tunda
dan titik tetap
dengan waktu tunda memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika
waktu tunda
.
Klaim 2
Untuk
maka
sehingga persamaan
(26) memiliki setidaknya satu akar positif.
(
)
Jika
maka (
)
dan
sehingga persamaan (25) memiliki akar positif pada solusi berbentuk akar
imajiner
. Dari persamaan (24), diperoleh
19
ketika
, maka persamaan (22) akan memiliki akar berbentuk imajiner
dengan kondisi sebagai berikut.
.
dan
Untuk mengetahui kurva berada pada keadaan stabil, dilakukan identifikasi
kondisi tranversalitas sebagai berikut.
Dari persamaan (22), diperoleh
dan
(
)
(
(
)
)
(Lampiran 9)
Substitusikan
pada persamaan (29), maka diperoleh bagian real dan
bagian imajiner sebagai berikut.
(
)
(
)
Jika
adalah akar positif dari persamaan (26), maka
yang
merupakan akar dari persamaan (25) adalah akar positif, sehingga kondisi
tranversalitas terpenuhi, yaitu
karena
.
20
Kondisi ini menunjukkan bahwa terjadi kondisi tidak stabil ketika
,
sehingga terjadi bifurkasi Hopf pada titik kritis , yang merupakan nilai positif
terkecil dari
memenuhi
Titik tetap
pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990)
dan memenuhi
dan kondisi tranversalitas
pada persamaan diferensial dengan waktu
sehingga titik tetap
tunda memiliki kestabilan bersifat tidak stabil ketika waktu tunda
(Sharma
dan Samanta 2013).
Menggunakan Klaim 1 dan Klaim 2, titik tetap
Hurwitz (Fisher 1990) dan memenuhi
memenuhi
pada kriteria Routhkemudian memenuhi
sehingga titik tetap
dan kondisi tranversalitas
pada persamaan diferensial dengan waktu tunda memiliki
kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika waktu tunda
dan
bersifat tidak stabil ketika waktu tunda
(Sharma dan Samanta
2013).Dengan
menunjukkan adanya bifurkasi Hopf pada
Titik tetap
merupakan nilai parameter yang membuat titik tetap
mengalami bifurkasi Hopf (Sharma dan Samanta 2013).
,
Perkiraan Panjang Waktu Tunda
Mempertimbangkan bahwa sistem persamaan diferensial Model
dan
setiap nilai real merupakan fungsi kontinu yang didefinisikan pada [–
] dari
suatu kondisi awal [–
]. Dapat dilakukan perkiraan panjang waktu tunda untuk
mempertahankan kestabilan suatu sistem.
Pelinearan sistem persamaan dengan waktu tunda tunggal diskret pada titik
diperoleh
tetap
21
dengan,
Transformasikan persamaan (30) menggunakan transformasi Laplace,
diperoleh
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(31)
dengan
dan ̅
̅
̅
adalah hasil transformasi
∫
Laplace dari
Gunakan persamaan (31) dan persamaan (23), diperoleh
̅
̅
(Lampiran 10)
Invers transformasi Laplace dari ̅
akan memunyai terminologi
eksponensial yang meningkat terhadap waktu, jika ̅ memiliki kutub dengan
stabil asimtotik lokal jika
bagian real positif. Titik tetap
memenuhi syarat cukup dan perlu untuk setiap kutub dari ̅
yaitu memiliki
bagian real negatif (Erbe et al. 1986).
Kriteria Nyquist merupakan kriteria penguat kestabilan yang fokus pada
pemaksimuman nilai frekuensi dari akar persamaan karakteristik berbentuk
imajiner murni
(Nyquist 1932).
(Erbe et al. 1986) menjelaskan kriteria Nyquist. Jika
adalah panjang
busur lingkaran sepanjang suatu kurva yang melingkari separuh lingkaran pada
bagian kanan, kemudian kurva ̅ akan mengelilingi nilai awalsebanyak selisih
banyaknya kutub dan banyaknya nol pada kurva separuh lingkaran bagian kanan,
memiliki stabil asimtotik
maka dapat ditunjukkan titik tetap
lokal bila memenuhi kondisi berikut.
dengan
.
Menggunakan lema Butler, kestabilan titik tetap yang bersifat stabil asimtotik
lokal dipertahankan dengan memastikan bagian real bernilai negatif secara
harus
kontinu. Lema ini menyatakan bahwa titik tetap
kemudian
memenuhi
bagian real dari solusi persamaan (22) memiliki nilai negatif ketika
,
22
dengan
adalah nilai waktu tunda paling kecil dimana ada suatu solusi
bagian real bernilai nol (Freedman dan Rao 1983).
Menggunakan persamaan (32), persamaan (33), dan persamaan (24), diperoleh
(34)
(35)
Menggunakan persamaan (34) dan persamaan (35), diperoleh
Dengan
[|
Dan
|
√|
|
|
√
dengan
|
| ],
(36)
(37)
|
jadi, kestabilan sistem terjadi ketika
, dengan
maksimum bagi sistem bersifat stabil asimtotik lokal.
merupakan waktu
(Lampiran 10)
SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA
Dinamika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar untuk kurun
waktu tertentu dapat ditunjukkan melalui kurva bidang solusi dan bidang fase.
Proses komputasi untuk menghasilkan kurva bidang solusi dan bidang fase ini
menggunakan bantuan software matematika dengan terlebih dahulu memberikan
nilai untuk parameter dan nilai awal untuk masing-masing variabel.
Asumsikan bahwa tingkat kematian populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar adalah positif atau
agar tidak terjadi kepunahan
pada populasi. Asumsi ini memberikan syarat
yang berarti
bahwa tingkat pertumbuhan populasi spesies tunggal pada kondisi populasi tidak
terkena polutan harus positif. Dengan demikian, batas konsentrasi polutan yang
. Dalam simulasi ini,
terdapat pada populasi pada waktu t adalah
asumsi tersebut harus dipenuhi oleh setiap titik tetap. Khusus untuk titik tetap
nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih dahulu
memenuhi dua kondisi parameter batas keberadaan titik tetap
yaitu
dan
Kondisi
merepresentasikan bahwa tingkat
pengurangan polutan pada lingkungan tercemar harus lebih kecil daripada
23
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar untuk
memperoleh kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal. Kondisi
merepresentasikan bahwa tingkat pengurangan polutan pada lingkungan tercemar
harus lebih besar daripada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar untuk memperoleh kestabilan bersifat tidak stabil.
nilai-nilai parameter yang
Selanjutnya, untuk titik tetap
digunakan harus terlebih dahulu memenuhi dua kondisi parameter batas
yaitu
dan
Kondisi
keberadaan titik tetap
merepresentasikan bahwa kemampuan populasi mengurangi polutan
yang berasal dari lingkungan tercemar harus lebih besar daripada pengurangan
polutan secara alami oleh alam. Representasi kondisi
untuk titik tetap
.
sama seperti kondisi
untuk
Tabel 1 Nilai parameter yang digunakan pada pada Model
dengan
Parameter
Nilai
p
2.28
q
2.92
a
4.14
d
0.54
h
0.2
Tabel 2 Nilai parameter yang digunakan Model
Parameter
p
q
a
d
h
dan Model
dan
Nilai
2.28
2.92
4.14
0.54
0.1
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
Untuk mengamati dinamika Model = 0 pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 1 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 2, dan Z(0) = 0.2.
Dihasilkan titik tetap
, , dengan nilai eigen
2 28
- 292, dan
- 2 , sehingga titik tetap
bersifat tidak stabil. Dihasilkan pula titik tetap
2 28 , , dengan nilai eigen
-2 28
- 1 5 dan
= -9.639,
sehingga titik tetap
bersifat stabil asimtotik lokal.
24
Gambar 1 Bidang solusi Model
Gambar 1 menunjukkan dinamika Model
yaitu kondisi model ketika
tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada
model ini, konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi menurun.
Pengurangan ini dapat mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan
tercemar yang ditandai dengan meningkatnya konsentrasi biomassa populasi.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
<
> 0 dengan
Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 2 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan
Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap
,4 28 ,12 5
dengan nilai eigen
-2 92
- 1 dan
-2
sehingga titik tetap adalah stabil asimtotik lokal.
Gambar 2 Bidang solusi pada Model
dan
Gambar 2 menunjukkan dinamika Model
dan
yaitu kondisi
model ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan
tercemar dan pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model
25
ini, terjadi peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi.
Peningkatan tersebut mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah.
Hal ini menggambarkan bahwa keberadaan populasi pada lingkungan tercemar
terancam punah.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
>
> 0 dengan
Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 1 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan
Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap
,2 14 ,6 25 dengan nilai eigen
-2 92 ,
- 2
dan
139 sehingga titik tetap
bersifat tidak stabil. Dan
dihasilkan pula titik tetap
432,1 847,4 596 dengan nilai eigen yang
diperoleh adalah = -0.008 + 0.157 I,
= -0.003 – 0.157 I, dan
- 893
sehingga titik tetap
bersifat stabil asimtotik lokal.
Gambar 3 Bidang solusi pada Model
dan
Gambar 3 menunjukkan dinamika Model > 0 dan
yaitu kondisi
ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan
pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada penambahan
input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model ini, terjadi
perubahan kestabilan yang ditandai dengan adanya osilasi kemudian menuju titik
tetap
432,1 847,4 596 .
Kestabilan Global pada Titik Tetap
Dalam melihat dinamika populasi spesies tunggal pada titik tetap
melalui
bidang fase, digunakan nilai parameter pada Tabel 1 dan = 1.25, serta nilai awal
( X(0), Y(0), Z(0) ) = (2,1,3), (4,3,5), (6,4,8), (5,3,8), (7,8,4).
26
Gambar 4 Bidang fase yang menunjukkan kestabilan global
Gambar 4 menunjukkan untuk semua titik awal akan bergerak menuju satu
titik tetap yang sama, yaitu titik tetap
432,1 847,4 596 yang berbentuk
spiral.
Titik tetap
merupakan titik tetap yang memiliki kestabilan yang
tetap, yaitu selalu bersifat tidak stabil dan bersifat stabil asimtotik lokal.
Sedangkan titik tetap
merupakan titik tetap yang dapat berubah sesuai
dengan perubahan nilai parametertingkat pengurangan polutan pada tubuh
populasi melalui sekresi, metabolisme, atau pengurangan polutan lainnya (q), nilai
parameter tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak ada polutan
dalam populasi (p), dan nilai parameter penambahan polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar ( ). Pada simulasi karya ilmiah ini akan dibahas perubahan
kestabilan titik tetap dan
.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter q
Tabel 4 Pengaruh perubahan nilai parameter q terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik Tetap
No
q
.
1
< 2.90
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
2
2.90-2.91
Tidak stabil
Tidak stabil
3
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
27
Gambar 5 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.92
Gambar 6 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.905
Gambar 7 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.87
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperkecil
parameter q. Parameter q merepresentasikan kemampuan populasi mengurangi
konsentrasi polutan pada tubuhnya melalui sekresi, metabolisme, atau
pengurangan polutan lainnya. Semakin kecil nilai parameter q, populasi pada
lingkungan tercemar semakin terancam punah. Hal ini ditandai dengan
konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi dan konsentrasi
28
biomassa populasi relatif rendah. Selanjutnya, pada gambar-gambar bidang fase di
atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya bifurkasi Hopf.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter p
Tabel 5 Pengaruh perubahan nilai parameter p terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik Tetap
No
p
1
2
2.29-2.3
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
Gambar 8 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.28
Gambar 9 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.29
29
Gambar 10 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.3
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperbesar
parameter p. Parameter p menggambarkan tingkat pertumbuhan alami populasi
dengan kondisi populasi bebas daripengaruh polutan. Parameter p yang semakin
besar mengakibatkan ketidakstabilan pada sistem yang ditandai dengan adanya
osilasi dan peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan. Kondisi ini dapat
mengancam keberadaan populasi pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada
gambar-gambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya
bifurkasi Hopf.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter
Tabel 6 Pengaruh perubahan nilai parameter terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik tetap
No
1
2
3
4
1.270-1.291
1.291
>1.33
Tidak stabil
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Tidak berlaku
Gambar 11 Bidang solusi dan bidang fase = 0.5
30
Gambar 12 Bidang solusi dan bidang fase = 0.93
Gambar 13 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.25
Gambar 14 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.279
31
Gambar 15 Bidang solusi dan bidang fase
Gambar 16 Bidang solusi dan bidang
Gambar 17 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.298
= 1.33
= 1.5
32
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan mengubah parameter
menjadi lebih besar. Parameter merepresentasikan penambahan input polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Memperbesar parameter
mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah, tetapi konsentrasi
polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi. Hal ini menggambarkan
populasi terancam punah pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada gambargambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat terjadi bifurkasi
Hopf.
DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA
Pada bagian ini akan dibahas dinamika populasi spesies tunggal dalam
lingkungan tercemar yang mempertimbangkan efek waktu tunda. Parameter waktu
tunda yang akan digunakan adalah
dan
,
dengan
dan
diperoleh
0.025,
0.160, dan
0.021. Selanjutnya terjadi perubahan
kestabilan pada titik tetap
432,1 847,4 596 karena perubahan nilai
parameter .
Tabel 7 Perubahan kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 berdasarkan nilai
parameter
Titik tetap
Kondisi
Kestabilan
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
432,1 847,4 596
Muncul bifurkasi Hopf
33
Selanjutnya,
menggunakan
kriteria
Nyquist,
nilai
frekuensi
dimaksimumkan untuk mendapatkan nilai waktu tunda maksimum.
Penggunaan kriteria ini dimaksudkan untuk mempertahankan kestabilan model
dengan waktu tunda. Nilai frekuensi dan nilai waktu tunda maksimum yang akan
digunakan adalah
|
|
√|
|
|
|
√
dengan
|
|
diperoleh nilai
2.217 dan
0.672. Sehingga kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 dapat dipertahankan jika kondisi waktu tunda yang
diberikan pada interval (0, ).
Tabel 8 Perubahan kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 berdasarkan nilai
parameter
Titik tetap
Kondisi
Kestabilan
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
432,1 847,4 596
Muncul bifurkasi Hopf
Adanya perubahan kestabilan akibat perubahan parameter yang terjadi pada
titik tetap
432,1 847,4 596 dapat dijadikan indikasi munculnya bifurkasi.
Akan tetapi, kemunculan bifurkasi Hopf yang dapat dilihat melalui kemunculan
limit cycle masih sulit dibuktikan dalam bidang fase karena keterbatasan penulis
dalam menggunakan software matematika lain yang lebih mumpuni dalam
menganalisis sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda dimensi tiga.
SIMPULAN
Dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan tercemar dipengaruhi
oleh kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, tingkat
pertumbuhan alami populasi tanpa pengaruh polutan dan penambahan polutan
eksogen yang diberikan pada lingkungan. Semakin besar kemampuan populasi
mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, semakin besar pula kemampuan
populasi bertahan pada lingkungan tercemar. Semakin besar tingkat pertumbuhan
alami populasi, semakin banyak polutan yang diberikan populasi pada lingkungan,
34
sehingga polutan pada lingkungan meningkat dan populasi pada lingkungan
tersebut terancam punah. Semakin besar penambahan polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar, semakin mengancam keberadaan populasi pada lingkungan
tercemar semakin terancam punah. Dengan demikian, kondisi yang mampu
mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan tercemar adalah
peningkatan dalam hal kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam
tubuhnya, penurunan tingkat pertumbuhan alami populasi dan pengurangan input
polutan eksogen yang diberikan pada lingkungan tercemar.
Selain pengaruh di atas, dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan
tercemar juga dapat dipengaruhi oleh parameter waktu tunda . Adanya efek
waktu tunda membuat model mempertimbangkan realitas. Realitas yang
dimaksudkan adalah penyerapan polutan oleh populasi dari lingkungan tercemar
tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan membutuhkan waktu hingga
akhirnya mencemari populasi. Dengan mengubah nilai-nilai parameter, dinamika
populasi akantidak stabil. Akan tetapi, melalui pendugaan panjang waktu tunda
didapatkan nilai waktu tunda maksimum. Oleh sebab itu, kestabilan dinamika
populasi terjadi pada selang waktu tunda
.
DAFTAR PUSTAKA
Erbe LH, Freedman HI, Rao VSH. 1986. Three Species Food Chain Models with
Mutual Interference and Time Delays. Mathematical Biossciences.
80(1):57-80.
Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth
& Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.
Freedman HI, Rao VSH. 1983. The Trade Off Between Mutual Interference and
Time Lags in Predator Prey Systems. Bulletin of Mathematical Biology. 45,
(6):991–1004.
Giesl P. 2007.Construction of Global Lyapunov Functions Using
LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA
TUNGGAL DISKRET
LAILATUL QODARIAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Model
Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda
Tunggal Diskret adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Lailatul Qodariah
NIM G5100016
ABSTRAK
LAILATUL QODARIAH. Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada
Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret. Dibimbing oleh
ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
Dalam karya ilmiah ini dijelaskan tentang model populasi spesies tunggal
pada lingkungan tercemar. Dalam model ini dipelajari perilaku kestabilan
populasi spesies tunggal yang terkena efek polutan akibat pencemaran
lingkungan. Perilaku kestabilan yang dipelajari adalah perilaku kestabilan yang
dibatasi, yaitu perilaku kestabilan model ketika tidak ada penambahan polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan ketika ada penambahan polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada kondisi titik tetap tertentu, perilaku
kestabilan lokal ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz dan perilaku kestabilan
global dianalisis menggunakan fungsi Lyapunov. Mengubah nilai-nilai parameter
sistem seperti parameter penambahan polutan eksogen ke dalam lingkungan
tercemar akan memunculkan bifurkasi Hopf. Keberadaan bifurkasi Hopf dianalisis
menggunakan kriteria Liu yang berkaitan dengan kriteria Routh-Hurwitz. Model
populasi spesies tunggal pada karya ilmiah ini juga mempelajari efek waktu tunda
tunggal diskret sebagai realisasi bahwa penyerapan polutan oleh populasi dari
lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan
membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Panjang waktu tunda
ditentukan menggunakan kriteria Nyquist sebagai upaya mempertahankan
kestabilan model. Simulasi menggunakan software matematika digunakan sebagai
upaya mengilustrasikan hasil analisis model.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, spesies tunggal, waktu tunda.
ABSTRACT
LAILATUL QODARIAH. The Dynamics of a Single-Species Population in a
Polluted Environment with Single Discrete Time Delay. Supervised by ELIS
KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.
This manuscript describes a single-species population model in a polluted
environment. This model describes the stability of a single-species population
behavior which is affected by the pollution effect. The focus of stability is
restricted, the stability of behavior when there is no additional of exogenous
pollutants into the polluted environment and the opposite condition, there is an
additional of exogenous pollutants into the environment. For a certain fixed point,
a condition of local stability behavior was determined by Routh-Hurwitz criterion
and the behavior of global stability was analyzed by Lyapunov function.
Changing the value of parameters system such as the parameter of additional of
exogenous pollutants into the polluted environment will trigger Hopf bifurcation
existence. The occurrence of Hopf bifurcation was analyzed by Liu criterion that
related to the Routh-Hurwitz criterion. A single-species population model in this
manuscript also describes the effect of a single discrete time delay as a realization
that the absorption of pollutants was not immediately absorbed by the population,
but needing a time to contaminate the population. Furthermore, the time delay was
estimated by using the Nyquist criterion in order to maintain the stability of the
model. Mathematical simulation using a software was used to illustrate the results
of models analysis.
Keywords: Hopf bifurcation, single-species, time delay
DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA
LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA
TUNGGAL DISKRET
LAILATUL QODARIAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan
Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
Nama
: Lailatul Qodariah
NIM
: G54100016
Disetujui oleh
Elis Khatizah, MSi
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam studi pustaka yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan
Waktu Tunda Tunggal Diskret.
Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini khususnya Ibu Elis Khatizah, MSi dan Bapak
Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi yang
telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan
kepada Bapak Winardi dan Ibu Masyitoh selaku orangtua yang memberikan
dukungan, semangat, dan doa tanpa henti. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada adik, kakak, seluruh keluarga, serta teman-teman atas segala
doa, semangat, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Lailatul Qodariah
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Model Matematika
8
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Tanpa Waktu Tunda
8
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
15
Perkiraan Panjang Waktu Tunda
20
SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA
22
DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA
32
SIMPULAN
33
DAFTAR PUSTAKA
34
LAMPIRAN
36
RIWAYAT HIDUP
55
DAFTAR GAMBAR
1 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model = 0
2 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan
<
0
3 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan
>
0
4 Kestabilan Global pada Titik Tetap
5 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter q
6 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter p
7 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter
23
24
25
25
26
28
29
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Penondimensionalan Model
Penentuan Titik Tetap untuk Model = 0
Penentuan Titik Tetap untuk Model > 0
Penentuan Nilai Eigen untuk Model = 0
Penentuan Nilai Eigen untuk Model > 0
Kestabilan Global
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Mencari Persamaan Karakteristik Model dengan Waktu tunda
Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda
Transformasi Laplace pada Model dengan Waktu Tunda
Kriteria Nyquist
Kode Program Bidang Solusi
Kode Program Bidang Fase
Kode Program Gambar Bidang Fase Kestabilan Global
36
37
37
39
41
44
44
47
48
49
51
53
53
54
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pencemaran lingkungan merupakan risiko yang timbul dari pesatnya
perkembangan industri saat ini. Kehadiran racun atau polutan yang merupakan zat,
bahan, atau unsur yang tercampur dalam lingkungan dengan kadar berlebih dapat
mengubah, menghalangi, atau mengganggu fungsi lingkungan. Hal ini merupakan
indikator terjadinya pencemaran lingkungan (Siahaan 2004). Fenomena
pencemaran ini akan menyebabkan berkurangnya daya dukung lingkungan yang
kemudian akan memengaruhi laju pertumbuhan spesies di lingkungan.
Hujan asam adalah salah satu contoh fenomena lingkungan yang
menggambarkan adanya fenomena pencemaran udara. Hujan asam disebabkan
oleh jenis senyawa tertentu dari polusi udara yang bercampur dengan uap air,
seperti hujan atau kabut. Hujan asam ini kemudian jatuh ke bumi sebagai larutan
asam dengan komponen utamanya adalah oksidasi dari Sulfur dan Nitrogen.
Kedua komponen ini secara dominan dihasilkan dari pembangkit listrik
pembakaran batu bara, pelumeran tembaga, pabrik, dan emisi kendaraan bermotor.
Oksidasi ini berubah secara kimiawi pada atmosfer dan kembali ke bumi melalui
hujan, salju, kabut atau debu. Proses pengasaman lingkungan ini dapat mengubah
struktur ekologi sehingga memengaruhi komunitas ekologi (Van Lier dan
Irene1980).
Beberapa tahun terakhir, masalah polusi lingkungan ini menjadi perhatian
serius karena polusi dapat memengaruhi kelangsungan hidup jangka panjang dari
spesies dan keanekaragaman hayati dari habitat (Siahaan 2004). Oleh karena itu,
studi tentang efek dari polutan pada populasi dan penilaian risiko untuk populasi
menjadi cukup penting. Masalah memperkirakan efek dari polutan pada populasi
melalui model matematika merupakan cara yang efektif.
Penelitian terkait pendugaan efek polutan pada sistem ekologi menggunakan
model matematika dilakukan pertama kali oleh Hallam dan rekannya pada tahun
1983 (Hallam et al. 1983). Sejak itu banyak penelitian yang mempelajari efek dari
polutan pada lingkungan tercemar, termasuk Pal dan Samanta yang memaparkan
model populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan
mempertimbangkan adanya kontrol pencemaran pada populasi (Pal dan Samanta
2010).
Selanjutnya, dipahami bahwa banyak proses alami atau buatan manusia pada
sistem ekologi, pengobatan, proses kimia, dan proses lainnya merupakan proses
yang melibatkan waktu tunda. Waktu tunda sangat sering terjadi, hampir pada
semua kondisi, sehingga memedulikannya adalah memedulikan realitas (Kuang
1993). Mempertimbangkan waktu tunda dalam mempelajari efek polutan terhadap
populasi pada lingkungan tercemar juga dianggap perlu. Hal ini terjadi karena
polutan pada lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi,
melainkan membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi tersebut.
Dalam karya ilmiah ini, dianalisis model matematika populasi spesies tunggal
pada lingkungan tercemar tanpa waktu tunda dan model matematika populasi
spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret
2
yang disusun oleh Sharma dan Samanta (2013). Dari model ini akan dianalisis
karakteristik, kestabilan, dinamika, dan perkiraan panjang waktu tunda pada
populasi spesies tunggal yang dipengaruhi oleh lingkungan tercemar.
Tujuan Karya Ilmiah
Tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf
pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar
tanpa waktu tunda Sharma dan Samanta (2013).
2. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf
pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar
dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma and Samanta (2013).
3. Memperkirakan panjang waktu tunda pada model matematika populasi spesies
tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma
dan Samanta (2013).
TINJAUAN PUSTAKA
Diberikan fungsi persamaan diferensial sebagai berikut.
̇
(1)
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan x(t)
adalah nilai real fungsi dari waktu dan f(x) adalah nilai real fungsi dari yang
bergantung terhadap waktu. Persamaan (1) memunyai titik tetap
jika
memenuhi
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan
(Tu 1994).
Persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial linear jika f merupakan
fungsi linear dan persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial taklinear
jika f merupakan fungsi taklinear. Untuk suatu sistem persamaan diferensial
taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Tahap pertama
dalam pelinearan terhadap persamaan (1) adalah mengasumsikan persamaan (1)
sebagai persamaan taklinear dengan turunan parsial dari persamaan (1) kontinu di
Rn. Menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh
̇
,
dengan
[
]
,
(2)
3
dan
adalah suku berorde tinggi yang memiliki sifat
1994).
Persamaan (2) dapat dituliskan dalam bentuk
̇
(Tu
.
Misalkan matriks A berukuran
, maka suatu vektor taknol x di Rn disebut
vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A,
berlaku
(3)
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk
mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran
, maka persamaan (3)
dapat ditulis sebagai berikut.
(4)
dengan I adalah matriks identitas, maka persamaan (4) akan memiliki solusi
taknol jika dan hanya jika
,
(5)
dengan
merupakan persamaan karakteristik dari A (Meiss 2007).
(Giesl 2007; Meiss 2007) menjelaskan bahwa kestabilan titik tetap dapat
ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu
yang
diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap
memunyai perilaku sebagai berikut.
1. Stabil, jika
untuk setiap i.
a.
, untuk setiap
.
b. Terdapat ( )
untuk sembarang j dan
untuk setiap i. Stabil asimtotik terbagi
Stabil asimtotik jika
menjadi dua, yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. Titik dikatakan
titik tetap stabil asimtotik lokal jika hanya berlaku untuk nilai-nilai state
awal di sekitar titik tetap, sedangkan titik
dikatakan titik tetap stabil
asimtotik global jika berlaku untuk semua nilai-nilai state awal, semua
state akan bergerak menuju satu titik tetap yang sama.
.
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
, untuk
untuk i dan j sembarang). Sadel hiperbolik, jika
setiap i.
Dalam permasalahan tertentu, tidak mudah menentukan kestabilan titik tetap
dengan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik tetap lain yang dapat menentukan
tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah satu metode
yang dapat digunakan adalah metode kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu suatu
metode untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akar-akar
persamaan karakteristik secara langsung. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
terdapat pada teorema berikut.
4
Teorema Routh-Hurwitz Criterion 1: Misalkan
bilangan-bilangan
real,
jika
. Semua nilai dari persamaan karakteristik
,
(6)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap i=1,2,…,k,
determinan dari matriks Mi
[
]
adalah positif. Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz dalam teorema 1, untuk
suatu k,
disebutkan bahwa titik tetap stabil asimtotik lokal jika dan
hanya jika
,
Untuk kasus k = 3, kondisi Routh-Hurwitz disajikan pada teorema berikut.
Teorema Routh-Hurwitz Criterion 2: Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real
dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
(7)
adalah negatif jika dan hanya jika A, B, C positif dan AB > C (Fisher 1990).
Bukti:
Routh – Hurwitz criterion 2: Misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian
real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik
3
2
adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C.
3
2
Dari persamaan
maka
.
Menurut teorema Routh – Hurwitz criterion 2 persamaan karakteristik
3
2
memunyai bagian real nilai eigen negatif jika
| | positif, sehingga
| || |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
5
|
|
|
|
|
|
karena
maka
Routh – Hurwitz criterion 2 terbukti
Kestabilan dapat bersifat lokal dan bersifat global. Kestabilan lokal mudah
ditentukan dengan pendekatan linear. Sedangkan kestabilan global cukup sulit
ditentukan. Menggunakan fungsi Lyapunov adalah salah satu metode yang dapat
digunakan dalam menentukan kestabilan global. Verhulst (1990) menjelaskan
bahwa fungsi Lyapunov dari suatu sistem persamaan diferensial bersifat tidak
tunggal. Misal diberikan fungsi
dan
titik kestabilan
persamaan (1). Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi ketiga
pernyataan berikut.
1. Fungsi V kontinu dan memunyai turunan parsial pertama yang kontinu
Pada E.
2. Fungsi
untuk
dengan
, dan
= 0 dengan
(dengan titik tetap merupakan titik minimum global).
untuk setiap
.
3. Fungsi ̇
L o ’ (2009) memberikan fungsi Lyapunov yang memenuhi ketiga
pernyataan di atas.
1. Fungsi Lyapunov logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk sistem LoktaVolterra
∑
)
(
2. Fungsi Lyapunov kuadratik umum (common quadratic Lyapunov functions)
∑
3. Fungsi Lyapunov kuadratik gabungan (composite quadratic Lyapunov
function)
[∑
]
Titik kestabilan sistem persamaan (1) dikatakan memiliki kestabilan global
jika terdapat fungsi Lyapunov V dengan titik tetap
sehingga,
|
1.
untuk suatu k > 0, merupakan himpunan terbatas.
untuk setiap
.
2. ̇
6
}, maka
3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam
{
| ̇
setiap solusi x(t) menuju ke M untuk
.
Persamaan diferensial dengan waktu tunda merupakan salah satu bentuk
persamaan diferensial dimana turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa
waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai dari fungsi waktu yang
dibutuhkan suatu proses. Bentuk umum persamaan diferensial dengan waktu
tunda untuk
, yaitu
(
),
(8)
Dengan positif yang merepresentasikan lama waktu tunda. Pada persamaan (8), f
adalah fungsi bentuk
ke
Bentuk persamaan diferensial dengan
waktu tunda kontinu, yaitu
∫
,
(9)
dan persamaan diferensial dengan waktu tunda diskret, yaitu
,
(10)
untuk
, dan
.
Persamaan (8) disebut persamaan diferensial dengan waktu tunda berbentuk
linear jika f merupakan fungsi linear dan persamaan (8) disebut persamaan
diferensial dengan waktu tunda berbentuk taklinear jika f merupakan fungsi
taklinear. Persamaan diferensial dengan waktu tunda yang berbentuk taklinear,
memerlukan pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Menggunakan
transformasi koordinat berikut.
,
dengan
merupakan titik tetap persamaan diferensial waktu tunda taklinear.
Diperoleh
̇
,
(11)
adalah perpindahan jarak sangat kecil dari titik tetap diantara
Menggunakan ekspansi Taylor disekitar titik tetapnya, diperoleh
dengan
(
)
̇
dan
,
(
)
merupakan matriks Jacobi x yang dievaluasi pada titik tetapnya dan
merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetapnya.
.
7
Misalkan matriks ̇ berukuran
, maka suatu vektor taknol A di Rn
disebut vektor eigen dari ̇ , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen
dari ̇ , berlaku
̇
(12)
Dengan solusi
dan vektor A disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk mencari nilai eigen dari matriks ̇ yang
berukuran
, maka persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut.
(
)
(13)
I adalah matriks identitas, maka persamaan (13) akan memiliki solusi taknol jika
dan hanya jika
(
)
,
(14)
̇ (Lakshamanan dan
dengan
merupakan persamaan karakteristik dari
Senthilkumar 2010).
Sharma dan Samanta (2013) menjelaskan secara umum, jika merupakan
titik tetap bersifat stabil yang memiliki bagian real nilai eigen negatif dengan akar
persamaan karakteristik (14) adalah
Analisis kestabilan titik tetap
berdasarkan nilai waktu tunda dapat dilakukan dengan memperhatikan kestabilan
titik tetap dan kondisi transversalitas, yaitu kondisi yang dapat mengubah sifat
kestabilan bila melewati suatu titik kritis pada garis imajiner
dan akar
persamaan karakteristik (14) akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif
ketika nilai waktu tunda melebihi titik kritis
Kondisi untuk transversalitas
adalah sebagai berikut.
karena
.
Dengan demikian, titik tetap
memunyai batasan kestabilan menurut waktu
tunda sebagai berikut.
1.
stabil untuk
,
2.
tidak stabil untuk
, dan
3.
mengalami bifurkasi Hopf pada saat
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu
sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem
dinamika tersebut. Bifurkasi adalah perubahan jumlah titik tetap (titik kestabilan)
dan perubahan kestabilan dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika
terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Sedangkan bifurkasi Hopfadalah
kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis
yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa saat kesetimbangan mengalami
perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Dalam
bifurkasi Hopf terdapat keadaan terisolasi, artinya orbit (lintasan) di sekelilingnya
tidak tertutup. Orbit (lintasan) ini bergerak secara spiral menuju atau menjauhi
limit cycle. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan
limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil.
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Pal dan Samanta (2010) memodelkan populasi spesies tunggal pada
lingkungan tercemar dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol
berupa input polutan eksogen pada populasi, kemudian mempertimbangkan
adanya efek waktu tunda diskret bagi polutan dalam mencemari lingkungan
tercemar. Kemudian, Sharma dan Samanta (2013) dengan menggunakan model
dasar yang sama seperti Pal dan Samanta, mempertimbangkan kembali adanya
efek waktu tunda tunggal diskret bagi polutan pada lingkungan tercemar dalam
mencemari populasi dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol
berupa input polutan eksogen dalam lingkungan yang tercemar.
Model Matematika Populasi Spesies Tunggal
pada Lingkungan Tercemar Tanpa Waktu Tunda
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model populasi spesies tunggal pada
lingkungan tercemar Sharma dan Samanta (2013), untuk melihat dinamika
pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar. Modelnya
sebagai berikut.
Asumsi yang dipakai pada model adalah
A1. Ada polutan yang diberikan pada lingkungan dan organisme hidup, yang
kemudian polutan tersebut masuk ke dalam lingkungan dan tubuh organisme
hidup tersebut.
A2. Untuk tingkat pertumbuhan populasi, diasumsikan bahwa tingkat kelahiran
adalah
dan tingkat kematian adalah
, dengan
,
dan semua parameter positif.
Persamaan (16) dengan banyak parameter ditransformasikan ke bentuk yang
lebih sederhana dengan cara penondimensionalan model. Skala parameter yang
digunakan, yaitu
9
Melalui penondimensionalan ini, sistem persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
dengan
.
(Lampiran 1)
Notasi
n(t)
c(t)
s(t)
X
Y
Z
k
r
m
h
f
u(t)
a
p
q
Tabel Notasi
Definisi
konsentrasi biomassa populasi pada waktu t
konsentrasi polutan pada populasi pada waktu t
konsentrasi polutan pada lingkungan pada waktu t
merepresentasikan konsentrasi biomassa populasi
merepresentasikan konsentrasi polutan pada populasi
merepresentasikan konsentrasi polutan pada lingkungan
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena
adanya asupan populasidari lingkungantercemar
tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena
adanya sekresi
tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena
adanya metabolisme
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan secara alami
oleh lingkungan
tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena
kaitannya dengan konsentrasi polutan pada populasi
tingkat pengurangan konsentrasi biomassa populasi karena
kompetisi antarspesies
tingkat input polutan eksogen yang diasumsikan fungsi
smooth bounded taknegatif pada waktu t
merepresentasikan tingkat pengurangan polutan pada
lingkungan karena adanya asupan populasi dari lingkungan
tercemar dan tingkat pengurangan konsentrasi biomassa
populasi karena kompetisi antarspesies
tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak
ada polutan dalam populasi
tingkat pengurangan polutan pada tubuh populasi melalui
sekresi, metabolisme, atau pengurangan konsentrasi
10
biomassa populasi akibat kompetisi antarspesies
tingkat pengurangan polutan pada populasi yang
berhubungan dengan sekresi dan kematian populasi
merepresentasikan penambahan input polutan eksogen ke
dalam lingkungan pada waktu t
d
Penentuan Titik Tetap Model Populasi Spesies Tunggal
pada Lingkungan Tercemar
Dalam penentuan titik tetap model populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar tanpa waktu tunda, terdapat dua kasus, yaitu kasus pertama
merepresentasikan tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan
,
sehingga mengubah sistem persamaan (16) menjadi Model
kasus kedua merepresentasikan ada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan
.
Selanjutnya kasus kedua ini akan disebut sebagai Model
.
Analisis Titik Tetap untuk Model
Titik tetap Model
berikut.
Diperoleh titik tetap
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
.
(Lampiran 2)
11
Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model
Pelinearan Model
menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut.
Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks
Jacobi Model
yang dievaluasi pada titik tetap tersebut.
substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
. Diperoleh
(
Selanjutnya
penyelesaian
persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
)
(
karakteristik
, yaitu
)
Parameter p dan q diasumsikan bernilai positif, sehingga
,
dan
. Dari nilai eigen yang diperoleh, disimpulkan bahwa kestabilan
bersifat sadel hiperbolik karena bagian real nilai eigen pertama bernilai positif dan
bagian real kedua nilai eigen selanjutnya bernilai negatif serta nilai eigen yang
diperoleh merupakan nilai eigen taknol (Meiss 2007).
Substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
, diperoleh
Selanjutnya, penyelesaian persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
karakteristik
, yaitu
(
)
0,
√
Jika
dan
, maka bagian real
nilai eigen kompleks akan bernilai negatif. Dari nilai eigen yang diperoleh,
disimpulkan bahwa kestabilan
bersifat stabil asimtotik lokal (Giesl 2007).
(Lampiran 4)
12
Analisis Titik Tetap untuk Model
Diberikan Model
Titik tetap Model
berikut.
>0
sebagai berikut.
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
(20)
Diperoleh titik tetap Model
yaitu
dengan
(Lampiran 3)
Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model
Untuk
menganalisis
kestabilan
titik
tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
(
>0
substitusikan
, diperoleh
)
13
Selanjutnya
penyelesaian
persamaan
menghasilkan nilai eigen untuk matriks
karakteristik
, yaitu
Jika
, maka komponen nilai eigen
akan bernilai positif dan
kestabilan titik tetap bersifat tidak stabil, karena tidak semua bagian real nilai
eigen bernilai negatif. Sedangkan jika
maka komponen nilai eigen
akan bernilai negatif dan kestabilan titik tetap bersifat stabil asimtotik
lokal, karena semua bagian real nilai eigen bernilai negatif (Giesl 2007).
Substitusikan
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap
ke dalam persamaan matriks Jacobi Model
.Diperoleh
Untuk menyederhanakan
, dimisalkan
)
(
Selanjutnya,
(
dilakukan
)
penyelesaian
, yaitu
terhadap
persamaan
karakteristik
,
dengan
(Lampiran 5)
Karena semua parameter diasumsikan positif, jika
dan
maka menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem bersifat stabil asimtotik
lokal (Fisher 1990).
tidak selalu
Verhulst(1990) menjelaskan titik tetap
memiliki kestabilan global, terdapat kondisi yang harus dipenuhi agar titik tetap
memiliki kestabilan global, yaitu jika X(t), Y(t), dan Z(t)
dibatasi. Misalkan terdapat nilai
dan
dengan i = 1, 2, 3. Sehingga
14
,
, dan
Menggunakan fungsi
dapat
Lyapunov yang bersifat definit positif pada titik tetap
yang harus dipenuhi agar memiliki
ditentukan batas titik tetap
kestabilan global. Pal dan Samanta (2010) menggunakan fungsi Lyapunov berikut
pada model spesies tunggal pada lingkungan tercemar
(
)
Turunan dari fungsi Lyapunov terhadap t, diperoleh
dengan
Untuk memenuhi kondisi kestabilan global, turunan dari fungsi Lyapunov
terhadap t harus memiliki sifat definit negatif, oleh karena itu harus memenuhi
,
Titik tetap
berikut.
memiliki kestabilan global jika memenuhi batas
(Lampiran 6)
Analisis Bifurkasi Hopf untuk Model
>0
bifurkasi Hopf tidak dapat terlihat secara
Pada titik tetap
eksplisit dari parameter yang terdapat pada Model
. Sehingga diasumsikan
adalah salah satu dari semua parameter yang terkait pada Model > 0. Jika
,
nilai parameter
terjadi saat bifurkasi Hopf di titik tetap
maka dengan kondisi
, Liu (1994) membuktikan bahwa syarat perlu dan
cukup agar terjadi bifurkasi Hopf, yaitu
15
mengalami bifurkasi Hopf pada
Dengan demikian, titik tetap
Model Matematika Populasi SpesiesTunggal Pada
Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret
Selanjutnya akan dibahas model populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret. Model ini menggambarkan
pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan ada
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar pada waktu t
dan efek penundaan yang membuat model lebih mempertimbangkan realitas.
Konsep penundaan ini terjadi karena penyerapan polutan oleh populasi dari
lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan
membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Berikut ini adalah
sistem persamaan modelnya
dengan
nilai
awal
dan
untuk
Semua parameter yang digunakan dalam persamaan (21) sama seperti yang
digunakan pada Model
kecuali parameter yang merupakan konstanta
positif waktu tunda. merepresentasikan waktu yang diperlukan polutan untuk
mencemari populasi.
Analisis Titik Tetap dan Kestabilan Model Populasi Spesies
Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda
Tunggal Diskret
Titik tetap Model
yaitu
dan
memiliki
kestabilan bersifat asimtotik lokal. Khusus titik tetap
kestabilan tidak hanya bersifat stabil asimtotik lokal, tetapi juga memiliki
kestabilan bersifat asimtotik global yang telah dianalisis menggunakan fungsi
Lyapunov, sehingga model dengan waktu tunda memiliki kestabilan yang sama
pula, karena titik tetap yang memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik akan
membuat semua turunan waktu menghilang secara bersamaan yang dinotasikan
dengan
(Lakshamanan dan Senthilkumar 2010). Dalam
menganalisis lebih lanjut dinamika kestabilan sistem persamaan (21), akan
16
, yang memiliki kestabilan bersifat stabil
digunakan titik tetap
asimtotik lokal dan global.
Dilakukan transformasi koordinat pada sistem (21) agar sistem tetap berpusat
Transformasi koordinat yang
pada kesetimbangan titik tetap
dilakukan sebagai berikut.
dengan u(t), v(t), dan w(t) adalah perpindahan jarak titik tetap sangat kecil dari
titik tetap yang berada diantara
.
Selanjutnya dilakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (21). Dihasilkan dua
matriks Jacobi sebagai berikut.
(
)
merupakan matriks Jacobi X,Y,Z yang dievaluasi pada titik tetapnya dan
yang dievaluasi pada titik tetapnya. Dengan
merupakan matriks Jacobi
demikian, diperoleh
.
Misalkan
dan
Misalkan
),
(
(
)
maka
(
).
17
Penggunaan ekspansi Taylor, pada pelinearan sistem persamaan (21) diperoleh
(
)
(
)
(Lampiran 7)
Selanjutnya, diasumsikan solusi sistem persamaan yang menggambarkan
perpindahan jarak sangat kecil karena adanya penundaan. Solusi sistem ini adalah
fungsi eksponensial seperti pada persamaan diferensial biasa, yaitu
dengan
(
)
, diperoleh persamaan karakteristik
,
(22)
dimana
(23)
(Lampiran 8)
Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda Tunggal
Diskret
Asumsikan persamaan karakteristik (22) memiliki solusi imajiner murni
berbentuk
. Dengan dipertimbangkan adanya bifurkasi Hopf pada titik
. Kemungkinan adanya perubahan kestabilan pada
tetap
dapat terjadi karena adanya perubahan nilai parameter
sehingga terjadi
perubahan kestabilan bersifat stabil jika
dan bersifat tidak stabil jika
. Oleh karena itu digunakan nilai eigen
dengan
dalam
melakukan analisis adanya bifurkasi Hopf.
Substitusikan nilai eigen
pada persamaan (22) dan pisahkan antara bagian
real dan bagian imajiner, diperoleh
(24)
Eliminasi dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan bagian real
dan bagian imajiner, diperoleh
(25)
18
dimana
Misalkan
, diperoleh
(26)
Klaim 1
Untuk
selanjutnya
, maka persamaan (26) tidak memiliki akar positif.
, atau
,
(27)
kemudian, diperoleh
√
Jika
maka
sehingga (
)
Hal ini
menunjukkan bahwa tidak ada satupun dari
yang bernilai positif
dan
menunjukkan bahwa persamaan (26) tidak memiliki akar
yang positif. Sehingga tidak ada sedemikian sehingga membuat nilai eigen dari
persamaan (26) adalah
positif. Oleh karena itu, hanya mungkin jika setiap
bagian real nilai eigen persamaan (22) negatif ketika waktu tunda
Titik
memenuhi
tetap
pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990) dan
memenuhi
yang memiliki bagian real nilai eigen negatif pada
pada persamaan diferensial
waktu tunda
dan titik tetap
dengan waktu tunda memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika
waktu tunda
.
Klaim 2
Untuk
maka
sehingga persamaan
(26) memiliki setidaknya satu akar positif.
(
)
Jika
maka (
)
dan
sehingga persamaan (25) memiliki akar positif pada solusi berbentuk akar
imajiner
. Dari persamaan (24), diperoleh
19
ketika
, maka persamaan (22) akan memiliki akar berbentuk imajiner
dengan kondisi sebagai berikut.
.
dan
Untuk mengetahui kurva berada pada keadaan stabil, dilakukan identifikasi
kondisi tranversalitas sebagai berikut.
Dari persamaan (22), diperoleh
dan
(
)
(
(
)
)
(Lampiran 9)
Substitusikan
pada persamaan (29), maka diperoleh bagian real dan
bagian imajiner sebagai berikut.
(
)
(
)
Jika
adalah akar positif dari persamaan (26), maka
yang
merupakan akar dari persamaan (25) adalah akar positif, sehingga kondisi
tranversalitas terpenuhi, yaitu
karena
.
20
Kondisi ini menunjukkan bahwa terjadi kondisi tidak stabil ketika
,
sehingga terjadi bifurkasi Hopf pada titik kritis , yang merupakan nilai positif
terkecil dari
memenuhi
Titik tetap
pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990)
dan memenuhi
dan kondisi tranversalitas
pada persamaan diferensial dengan waktu
sehingga titik tetap
tunda memiliki kestabilan bersifat tidak stabil ketika waktu tunda
(Sharma
dan Samanta 2013).
Menggunakan Klaim 1 dan Klaim 2, titik tetap
Hurwitz (Fisher 1990) dan memenuhi
memenuhi
pada kriteria Routhkemudian memenuhi
sehingga titik tetap
dan kondisi tranversalitas
pada persamaan diferensial dengan waktu tunda memiliki
kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika waktu tunda
dan
bersifat tidak stabil ketika waktu tunda
(Sharma dan Samanta
2013).Dengan
menunjukkan adanya bifurkasi Hopf pada
Titik tetap
merupakan nilai parameter yang membuat titik tetap
mengalami bifurkasi Hopf (Sharma dan Samanta 2013).
,
Perkiraan Panjang Waktu Tunda
Mempertimbangkan bahwa sistem persamaan diferensial Model
dan
setiap nilai real merupakan fungsi kontinu yang didefinisikan pada [–
] dari
suatu kondisi awal [–
]. Dapat dilakukan perkiraan panjang waktu tunda untuk
mempertahankan kestabilan suatu sistem.
Pelinearan sistem persamaan dengan waktu tunda tunggal diskret pada titik
diperoleh
tetap
21
dengan,
Transformasikan persamaan (30) menggunakan transformasi Laplace,
diperoleh
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(31)
dengan
dan ̅
̅
̅
adalah hasil transformasi
∫
Laplace dari
Gunakan persamaan (31) dan persamaan (23), diperoleh
̅
̅
(Lampiran 10)
Invers transformasi Laplace dari ̅
akan memunyai terminologi
eksponensial yang meningkat terhadap waktu, jika ̅ memiliki kutub dengan
stabil asimtotik lokal jika
bagian real positif. Titik tetap
memenuhi syarat cukup dan perlu untuk setiap kutub dari ̅
yaitu memiliki
bagian real negatif (Erbe et al. 1986).
Kriteria Nyquist merupakan kriteria penguat kestabilan yang fokus pada
pemaksimuman nilai frekuensi dari akar persamaan karakteristik berbentuk
imajiner murni
(Nyquist 1932).
(Erbe et al. 1986) menjelaskan kriteria Nyquist. Jika
adalah panjang
busur lingkaran sepanjang suatu kurva yang melingkari separuh lingkaran pada
bagian kanan, kemudian kurva ̅ akan mengelilingi nilai awalsebanyak selisih
banyaknya kutub dan banyaknya nol pada kurva separuh lingkaran bagian kanan,
memiliki stabil asimtotik
maka dapat ditunjukkan titik tetap
lokal bila memenuhi kondisi berikut.
dengan
.
Menggunakan lema Butler, kestabilan titik tetap yang bersifat stabil asimtotik
lokal dipertahankan dengan memastikan bagian real bernilai negatif secara
harus
kontinu. Lema ini menyatakan bahwa titik tetap
kemudian
memenuhi
bagian real dari solusi persamaan (22) memiliki nilai negatif ketika
,
22
dengan
adalah nilai waktu tunda paling kecil dimana ada suatu solusi
bagian real bernilai nol (Freedman dan Rao 1983).
Menggunakan persamaan (32), persamaan (33), dan persamaan (24), diperoleh
(34)
(35)
Menggunakan persamaan (34) dan persamaan (35), diperoleh
Dengan
[|
Dan
|
√|
|
|
√
dengan
|
| ],
(36)
(37)
|
jadi, kestabilan sistem terjadi ketika
, dengan
maksimum bagi sistem bersifat stabil asimtotik lokal.
merupakan waktu
(Lampiran 10)
SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA
Dinamika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar untuk kurun
waktu tertentu dapat ditunjukkan melalui kurva bidang solusi dan bidang fase.
Proses komputasi untuk menghasilkan kurva bidang solusi dan bidang fase ini
menggunakan bantuan software matematika dengan terlebih dahulu memberikan
nilai untuk parameter dan nilai awal untuk masing-masing variabel.
Asumsikan bahwa tingkat kematian populasi spesies tunggal pada lingkungan
tercemar adalah positif atau
agar tidak terjadi kepunahan
pada populasi. Asumsi ini memberikan syarat
yang berarti
bahwa tingkat pertumbuhan populasi spesies tunggal pada kondisi populasi tidak
terkena polutan harus positif. Dengan demikian, batas konsentrasi polutan yang
. Dalam simulasi ini,
terdapat pada populasi pada waktu t adalah
asumsi tersebut harus dipenuhi oleh setiap titik tetap. Khusus untuk titik tetap
nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih dahulu
memenuhi dua kondisi parameter batas keberadaan titik tetap
yaitu
dan
Kondisi
merepresentasikan bahwa tingkat
pengurangan polutan pada lingkungan tercemar harus lebih kecil daripada
23
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar untuk
memperoleh kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal. Kondisi
merepresentasikan bahwa tingkat pengurangan polutan pada lingkungan tercemar
harus lebih besar daripada penambahan input polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar untuk memperoleh kestabilan bersifat tidak stabil.
nilai-nilai parameter yang
Selanjutnya, untuk titik tetap
digunakan harus terlebih dahulu memenuhi dua kondisi parameter batas
yaitu
dan
Kondisi
keberadaan titik tetap
merepresentasikan bahwa kemampuan populasi mengurangi polutan
yang berasal dari lingkungan tercemar harus lebih besar daripada pengurangan
polutan secara alami oleh alam. Representasi kondisi
untuk titik tetap
.
sama seperti kondisi
untuk
Tabel 1 Nilai parameter yang digunakan pada pada Model
dengan
Parameter
Nilai
p
2.28
q
2.92
a
4.14
d
0.54
h
0.2
Tabel 2 Nilai parameter yang digunakan Model
Parameter
p
q
a
d
h
dan Model
dan
Nilai
2.28
2.92
4.14
0.54
0.1
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
Untuk mengamati dinamika Model = 0 pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 1 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 2, dan Z(0) = 0.2.
Dihasilkan titik tetap
, , dengan nilai eigen
2 28
- 292, dan
- 2 , sehingga titik tetap
bersifat tidak stabil. Dihasilkan pula titik tetap
2 28 , , dengan nilai eigen
-2 28
- 1 5 dan
= -9.639,
sehingga titik tetap
bersifat stabil asimtotik lokal.
24
Gambar 1 Bidang solusi Model
Gambar 1 menunjukkan dinamika Model
yaitu kondisi model ketika
tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada
model ini, konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi menurun.
Pengurangan ini dapat mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan
tercemar yang ditandai dengan meningkatnya konsentrasi biomassa populasi.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
<
> 0 dengan
Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 2 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan
Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap
,4 28 ,12 5
dengan nilai eigen
-2 92
- 1 dan
-2
sehingga titik tetap adalah stabil asimtotik lokal.
Gambar 2 Bidang solusi pada Model
dan
Gambar 2 menunjukkan dinamika Model
dan
yaitu kondisi
model ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan
tercemar dan pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada
penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model
25
ini, terjadi peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi.
Peningkatan tersebut mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah.
Hal ini menggambarkan bahwa keberadaan populasi pada lingkungan tercemar
terancam punah.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model
>
> 0 dengan
Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai
parameter pada Tabel 1 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan
Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap
,2 14 ,6 25 dengan nilai eigen
-2 92 ,
- 2
dan
139 sehingga titik tetap
bersifat tidak stabil. Dan
dihasilkan pula titik tetap
432,1 847,4 596 dengan nilai eigen yang
diperoleh adalah = -0.008 + 0.157 I,
= -0.003 – 0.157 I, dan
- 893
sehingga titik tetap
bersifat stabil asimtotik lokal.
Gambar 3 Bidang solusi pada Model
dan
Gambar 3 menunjukkan dinamika Model > 0 dan
yaitu kondisi
ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan
pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada penambahan
input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model ini, terjadi
perubahan kestabilan yang ditandai dengan adanya osilasi kemudian menuju titik
tetap
432,1 847,4 596 .
Kestabilan Global pada Titik Tetap
Dalam melihat dinamika populasi spesies tunggal pada titik tetap
melalui
bidang fase, digunakan nilai parameter pada Tabel 1 dan = 1.25, serta nilai awal
( X(0), Y(0), Z(0) ) = (2,1,3), (4,3,5), (6,4,8), (5,3,8), (7,8,4).
26
Gambar 4 Bidang fase yang menunjukkan kestabilan global
Gambar 4 menunjukkan untuk semua titik awal akan bergerak menuju satu
titik tetap yang sama, yaitu titik tetap
432,1 847,4 596 yang berbentuk
spiral.
Titik tetap
merupakan titik tetap yang memiliki kestabilan yang
tetap, yaitu selalu bersifat tidak stabil dan bersifat stabil asimtotik lokal.
Sedangkan titik tetap
merupakan titik tetap yang dapat berubah sesuai
dengan perubahan nilai parametertingkat pengurangan polutan pada tubuh
populasi melalui sekresi, metabolisme, atau pengurangan polutan lainnya (q), nilai
parameter tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak ada polutan
dalam populasi (p), dan nilai parameter penambahan polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar ( ). Pada simulasi karya ilmiah ini akan dibahas perubahan
kestabilan titik tetap dan
.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter q
Tabel 4 Pengaruh perubahan nilai parameter q terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik Tetap
No
q
.
1
< 2.90
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
2
2.90-2.91
Tidak stabil
Tidak stabil
3
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
27
Gambar 5 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.92
Gambar 6 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.905
Gambar 7 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.87
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperkecil
parameter q. Parameter q merepresentasikan kemampuan populasi mengurangi
konsentrasi polutan pada tubuhnya melalui sekresi, metabolisme, atau
pengurangan polutan lainnya. Semakin kecil nilai parameter q, populasi pada
lingkungan tercemar semakin terancam punah. Hal ini ditandai dengan
konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi dan konsentrasi
28
biomassa populasi relatif rendah. Selanjutnya, pada gambar-gambar bidang fase di
atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya bifurkasi Hopf.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter p
Tabel 5 Pengaruh perubahan nilai parameter p terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik Tetap
No
p
1
2
2.29-2.3
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
Gambar 8 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.28
Gambar 9 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.29
29
Gambar 10 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.3
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperbesar
parameter p. Parameter p menggambarkan tingkat pertumbuhan alami populasi
dengan kondisi populasi bebas daripengaruh polutan. Parameter p yang semakin
besar mengakibatkan ketidakstabilan pada sistem yang ditandai dengan adanya
osilasi dan peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan. Kondisi ini dapat
mengancam keberadaan populasi pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada
gambar-gambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya
bifurkasi Hopf.
Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar
Berdasarkan Parameter
Tabel 6 Pengaruh perubahan nilai parameter terhadap bifurkasi Hopf
Kestabilan Titik tetap
No
1
2
3
4
1.270-1.291
1.291
>1.33
Tidak stabil
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
Stabil asimtotik lokal
Tidak berlaku
Gambar 11 Bidang solusi dan bidang fase = 0.5
30
Gambar 12 Bidang solusi dan bidang fase = 0.93
Gambar 13 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.25
Gambar 14 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.279
31
Gambar 15 Bidang solusi dan bidang fase
Gambar 16 Bidang solusi dan bidang
Gambar 17 Bidang solusi dan bidang fase
= 1.298
= 1.33
= 1.5
32
Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan mengubah parameter
menjadi lebih besar. Parameter merepresentasikan penambahan input polutan
eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Memperbesar parameter
mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah, tetapi konsentrasi
polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi. Hal ini menggambarkan
populasi terancam punah pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada gambargambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat terjadi bifurkasi
Hopf.
DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA
Pada bagian ini akan dibahas dinamika populasi spesies tunggal dalam
lingkungan tercemar yang mempertimbangkan efek waktu tunda. Parameter waktu
tunda yang akan digunakan adalah
dan
,
dengan
dan
diperoleh
0.025,
0.160, dan
0.021. Selanjutnya terjadi perubahan
kestabilan pada titik tetap
432,1 847,4 596 karena perubahan nilai
parameter .
Tabel 7 Perubahan kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 berdasarkan nilai
parameter
Titik tetap
Kondisi
Kestabilan
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
432,1 847,4 596
Muncul bifurkasi Hopf
33
Selanjutnya,
menggunakan
kriteria
Nyquist,
nilai
frekuensi
dimaksimumkan untuk mendapatkan nilai waktu tunda maksimum.
Penggunaan kriteria ini dimaksudkan untuk mempertahankan kestabilan model
dengan waktu tunda. Nilai frekuensi dan nilai waktu tunda maksimum yang akan
digunakan adalah
|
|
√|
|
|
|
√
dengan
|
|
diperoleh nilai
2.217 dan
0.672. Sehingga kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 dapat dipertahankan jika kondisi waktu tunda yang
diberikan pada interval (0, ).
Tabel 8 Perubahan kestabilan titik tetap
432,1 847,4 596 berdasarkan nilai
parameter
Titik tetap
Kondisi
Kestabilan
Stabil asimtotik lokal
Tidak stabil
432,1 847,4 596
Muncul bifurkasi Hopf
Adanya perubahan kestabilan akibat perubahan parameter yang terjadi pada
titik tetap
432,1 847,4 596 dapat dijadikan indikasi munculnya bifurkasi.
Akan tetapi, kemunculan bifurkasi Hopf yang dapat dilihat melalui kemunculan
limit cycle masih sulit dibuktikan dalam bidang fase karena keterbatasan penulis
dalam menggunakan software matematika lain yang lebih mumpuni dalam
menganalisis sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda dimensi tiga.
SIMPULAN
Dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan tercemar dipengaruhi
oleh kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, tingkat
pertumbuhan alami populasi tanpa pengaruh polutan dan penambahan polutan
eksogen yang diberikan pada lingkungan. Semakin besar kemampuan populasi
mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, semakin besar pula kemampuan
populasi bertahan pada lingkungan tercemar. Semakin besar tingkat pertumbuhan
alami populasi, semakin banyak polutan yang diberikan populasi pada lingkungan,
34
sehingga polutan pada lingkungan meningkat dan populasi pada lingkungan
tersebut terancam punah. Semakin besar penambahan polutan eksogen ke dalam
lingkungan tercemar, semakin mengancam keberadaan populasi pada lingkungan
tercemar semakin terancam punah. Dengan demikian, kondisi yang mampu
mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan tercemar adalah
peningkatan dalam hal kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam
tubuhnya, penurunan tingkat pertumbuhan alami populasi dan pengurangan input
polutan eksogen yang diberikan pada lingkungan tercemar.
Selain pengaruh di atas, dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan
tercemar juga dapat dipengaruhi oleh parameter waktu tunda . Adanya efek
waktu tunda membuat model mempertimbangkan realitas. Realitas yang
dimaksudkan adalah penyerapan polutan oleh populasi dari lingkungan tercemar
tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan membutuhkan waktu hingga
akhirnya mencemari populasi. Dengan mengubah nilai-nilai parameter, dinamika
populasi akantidak stabil. Akan tetapi, melalui pendugaan panjang waktu tunda
didapatkan nilai waktu tunda maksimum. Oleh sebab itu, kestabilan dinamika
populasi terjadi pada selang waktu tunda
.
DAFTAR PUSTAKA
Erbe LH, Freedman HI, Rao VSH. 1986. Three Species Food Chain Models with
Mutual Interference and Time Delays. Mathematical Biossciences.
80(1):57-80.
Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth
& Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.
Freedman HI, Rao VSH. 1983. The Trade Off Between Mutual Interference and
Time Lags in Predator Prey Systems. Bulletin of Mathematical Biology. 45,
(6):991–1004.
Giesl P. 2007.Construction of Global Lyapunov Functions Using