MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI
TUNGGAL
Makalah
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA
2014

i

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

MAKALAH

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI
TUNGGAL
Oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005


Telah disetujui oleh:

Pembimbing

Hartono, Ph.D

.

Tanggal 18 Juli 2014

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Makalah


Model Pertumbuhan Populasi Tunggal
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 24 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia penguji
Nama Lengkap

TandaTangan

Ketua

Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si.

Sekretaris

Sudi Mungkasi, Ph.D.


Anggota

Hartono, Ph.D.

Yogyakarta, 24 Juli 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas sanata Dharma
Dekan,

(P.H. Prima Rosa,S.Si.,M.Sc)

iii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI


HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dan Bunda Maria
dalam hidupku.

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang
apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal
keinginanmu kepada Allah dalam doa dan
permohonan dengan ucapan syukur.”
(Filipi 4:6)

Karya ini aku persembahkan untuk:
Orang-orang terkasih: Bapak, Ibu, Fiyan
Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009
Orang-orang terbaik: mas Diko dan keluarganya
Orang-orang termanis: sahabat-sahabat kos Banana

iv

PLAGIAT

PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 18 Juli 2014
Penulis

Maria Etik Damayanti

v

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN

MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama

: Maria Etik Damayanti

Nomor Mahasiswa

: 093114005

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam
bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara
terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan
akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 28 Agustus 2014

Yang menyatakan

( Maria Etik Damayanti )

vi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN

MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan
kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan
pada suatu populasi (disebut model pendugaan). Pertama-tama akan dimodelkan
dengan

pertumbuhan

eksponensial.

Kemudian

akan

diperluas


dengan

menggunakan pertumbuhan logistik. Pada pertumbuhan logistik, memasukkan
batas untuk populasinya sehingga tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Maka,
jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Dalam makalah
ini, model pertumbuhan populasi yang dibahas hanya dibatasi untuk model
pertumbuhan populasi tunggal.
Dalam penerapannya terdapat tiga model pertumbuhan yang akan dibahas,
yaitu model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model
pertumbuhan terbatas dengan pemanenan. Model pertumbuhan eksponensial
dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun). Model
pertumbuhan logistik dikembangkan dengan memperhatikan parameter daya
dukung yang bergantung pada waktu. Selanjutnya akan dikaji model pemanenan
dengan menentukan fungsi panen yang seimbang. Persamaan model ini dianalisis
untuk mengetahui kestabilan sistem.

vii

PLAGIAT

PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT

Topics covered in this paper is a continuous model of population growth.
This model aims to predict the state in a population (called the prediction model).
First we will describe the exponential growth model. Then it is expanded to a
logistic growth model. In logistic growth model, we put a limit to the population
so it will not grow infinitely. Thus, the amount of the population will always be
limited to a certain value. In this paper, the population growth model discussed is
only limited to a single.
In practice there are three models of population growth that will be
discussed, namely the model of exponential growth, logistic growth model and
limited growth model with harvesting. The Exponential growth model produce a
solution in the form of monotone functions (up or down). The Logistic growth
model was developed by taking into account the carrying capacity parameters that
depend on time. Furthermore, the model will be assessed by determining the
balance of the crop harvesting function. Then, the model equations are analyzed to
determine the stability of the system.

viii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan
makalah ini dengan lancar. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu
syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak
pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika atas dukungannya.
2. Hartono, Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah sabar dalam
membimbing, memberi pengetahuan dan memberi saran-saran kepada
penulis selama penulisan makalah ini.
3. Romo, Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan pengetahuan kepada
penulis selama proses perkuliahan ini.
4. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa selalu memberikan doa dan
dukungan.
5. Teman-teman Matematika 2009: Yohana, Idut, Ochie, Jojo, Sekar, Erlika,
Dimas dan Doweek, terima kasih untuk kebersamaan selama proses
kuliah, saling berbagi dalam suka maupun dalam duka dan semangat yang
selalu diberikan kepada penulis. Kalian hebat.
6. Mas diko yang selalu memberikan semangat dan sebagai tempat curahan
hati.
7. Romo-romo Sarikat Jesus Kolsani: Romo Bayu, Romo Tomy dan Romo
Marko

yang

selalu

memberikan

menyelesaikan penulisan makalah ini.

ix

keteguhan

hati

dalam

proses

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

8. Teman-teman Flater Sarikat Jesus Kolsani: Flater Tama, Flater Heri, Flater
Suryadi, Flater Dimas, Flater Eko yang selalu memberikan dukungan
beserta doa-doanya.
9. Teman-teman kos Banana: Rosa, Yustin, Rina, Deta, Yani, Nanik dan
mbak Icot yang selalu menjadi tempat curahan hati dalam proses penulisan
makalah ini
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang terlibat dalam
proses penulisan makalah ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan
makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik demi
penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini
dapat berguna bagi para pembaca.

Yogyakarta, 18 Juli 2014

Penulis

x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………………..

ii

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………………..

iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………..…………………….……

iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….…….

v

ABSTRAK …………………………………………………………………………

vi

ABSTRACT ……………………………………………………………………..…

vii

KATA PENGANTAR ………………………………………………………….….

viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH….…….....…

x

DAFTAR ISI ………………………………………….…………………………....

xi

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………….…….…..

xiii

BAB 1 PENDAHULUAN………………………………………………………....

1

A. LATAR BELAKANG ………………………………………...……………….

1

B. RUMUSAN MASALAH ………………………………………………….…...

5

C. BATASAN MASALAH …………………………………………………….…

6

D. TUJUAN PENULISAN ………………………………………….………….…

6

E. MANFAAT PENULISAN …………………………………………………….

6

F. METODE PENULISAN ………………………………………………….……

7

G. SISTEMATIKA PENULISAN ………………………………….………….….

7

BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .….…..

9

2.1 PENGERTIAN, TUJUAN DAN JENIS MODEL ……………...……………

9

2.2 LIMIT …………………………………………………………………………

11

2.3 KONTINUITAS ………………………………………………………………

13

2.4 TURUNAN ……………………………………………………………………

14

2.5 INTEGRAL ………………………………………………………………...…

37

2.6 PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………………………...…………

40

xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL ……………….…

55

3.1 PENDAHULUAN ………………………………………………………….…

55

3.2 MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL …………………………...…

56

3.3 MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK …………………………………..…

62

3.4 MODEL PERTUMBUHAN TERBATAS DENGAN PEMANENAN ………

70

BAB IV APLIKASI MODEL …………………………………………………...…

80

4.1 PENDAHULUAN………………………………………………………….…..

80

4.2 MEMODELKAN PERKEMBANGAN TEKNOLOGI ………………………

80

4.3 KEPADATAN BERGANTUNG PADA KELAHIRAN ……………………..

84

4.4 MODEL PANENAN …………………………………………………………..

86

4.5 MEMANCING DENGAN BATASAN ……………………………………….

88

BAB V PENUTUP ………………………………………………………………….

92

A. KESIMPULAN …………………………………………………………………

92

B. SARAN …………………………………………………………………………

94

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………

95

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Diagram masuk-keluar populasi ………………………………………

2

Gambar 2.1 Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis …………..

21

Gambar 2.2 Grafik naik dan turun …………………………………………………

27

Gambar 2.3 Grafik kemiringan …………………………………………………….

28

Gambar 2.4 Grafik kecekungan ……………………………………………………

30

Gambar 2.5 Grafik nilai maksimum, minimum dan ekstrim lokal ………………...

33

Gambar 3.1 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin bertambah …….

59

Gambar 3.2 Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil …………………...

60

Gambar 3.3 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin berkurang ……..

60

Gambar 3.4 Grafik populasi laju pertumbuhan per-kapita …………………………

68

Gambar 3.5 Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan ……………………..

69

Gambar 3.6 Grafik untuk model pertumbuhan logistik ……………………………

70

xiii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG
Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu,
dimulai dari kelahiran, pertumbuhan, hingga kematian. Untuk menggambarkan
pertumbuhan suatu populasi, diperkenalkan suatu model pertumbuhan yang
disebut

model

pertumbuhan

eksponensial.

Dalam

model

pertumbuhan

eksponensial ini diasumsikan tidak ada penundaan waktu pada proses
pertumbuhan populasi. Selain itu pada model ini dihasilkan solusi yang berbentuk
fungsi monoton (naik atau turun), dimana dapat ditafsirkan bahwa jumlah
populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang
(tidak pernah bertambah).
Dalam kenyataannya, sepanjang waktu lingkungan atau daya dukung
lingkungan dapat berubah. Populasi tidak dapat terus bertambah secara
exponensial dari waktu ke waktu karena adanya keterbatasan sumber daya
dan/atau adanya persaingan dengan spesies lainnya. Dalam makalah ini,
permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan model populasi tunggal dengan
memperhitungkan persaingan atau sumber daya terbatas yang diamati dalam
populasi. Pada populasi tunggal terdapat beberapa macam model pertumbuhan
diantaranya: model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan
model pertumbuhan terbatas dengan panenan.

1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2

Model pertumbuhan eksponensial merupakan model pertumbuhan yang
sangat sederhana. Pada model ini individu berkembang dengan tidak dibatasi oleh
lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan suplai makanan. Laju perubahan
populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui.
Dinamika populasi dapat dihampiri dengan model ini hanya untuk periode waktu
yang pendek saja.
Secara umum model populasi dapat digambarkan sebagai berikut:
kelahiran

kematian
dunia

Gambar 1.1: Diagram masuk-keluar populasi.
Bagan tersebut mengarah ke dalam persamaan yang menggambarkan perubahan
populasi,
{

} = ,

- -

,

-.

Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan
kemudian proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol.
Asumsi dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan antara individu dapat diabaikan.
2. Kelahiran dan kematian kontinu dalam waktu.
3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan dalam
waktu.
4. Dalam pengembangan model, pada mulanya imigrasi dan emigrasi
diabaikan, selanjutnya akan dimasukkan kemudian.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3

Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal
bernilai

, dengan laju kelahiran per-kapita adalah

dan laju kematian

perkapita adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada
waktu t. Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan
bahwa penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi
atau emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat
sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu. Karena laju kelahiran per-kapita
diasumsikan konstan, maka laju kelahiran adalah laju kelahiran per-kapita
dikalikan besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian adalah
laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat ditulis,
,

,

- =

X( t ),

=

X( t ).

-

Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh
dX

dt

X-

X.

Selanjutnya akan dibahas secara umum mengenai model pertumbuhan
logistik, yang menggunakan kaidah logistik (logistic law) yaitu bahwa persediaan
logistik ada batasnya. Model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu
jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini
besarnya laju kelahiran per-kapita dan besarnya laju kematian per-kapita dianggap
sama, sehingga grafiknya akan mendekati konstan (zero growth). Model ini akan
diperluas untuk memasukkan laju kematian tambahan karena pembatasan sumber
daya, dan dengan demikian pertumbuhan dibatasi.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4

Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan,
maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan
populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada
suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dimana

{

(

}

adalah laju kematian per-kapita dan

)

adalah laju kematian per-

kapita yang bergantung pada suatu populasi. Perhatikan bahwa untuk
kematian per-kapita mendekati

, laju

, sedangkan dengan meningkatnya besarnya

populasi maka laju kematian per-kapita akan meningkat. Bentuk linear ini
merupakan bentuk yang paling sederhana untuk laju kematian per-kapita yang
bergantung pada peningkatan besarnya populasi. Laju kematian adalah laju
kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu yang dinyatakan sebagai
berikut:
,

Sehingga diperoleh

Dengan

-

menyatakan laju reproduksi populasi, maka diperoleh

model pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang
dinyatakan sebagai berikut:

Dengan

maka

,

sehingga

persamaan

tersebut

menjadi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5

Maka secara umum laju pertumbuhan yang bergantung pada suatu populasi
dinyatakan sebagai berikut:
X
dX

 rX 1  
K
dt


Selanjutnya akan dibahas model pertumbuhan populasi terbatas dengan
panenan. Pengaruh pemungutan panenan pada suatu populasi secara teratur atau
konstan sangatlah penting bagi banyak industri. Salah satu contohnya adalah
industri perikanan. Persamaan akan dirumuskan dalam laju panenan yang konstan
pada model logistik sehingga dapat ditulis,
{

} = ,

{

}- {

- - ,

- –
}.

Dengan asumsi laju panenan adalah konstan, maka model di atas dapat dinyatakan
ke dalam persamaan diferensial,
dX
X

 rX 1    h
dt
K


Di mana h adalah laju panenan yang dianggap konstan (banyaknya tangkapan per
satuan waktu, atau kematian akibat panenan per satuan waktu).

B. RUMUSAN MASALAH
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Bagaimana model pertumbuhan eksponensial dari suatu populasi tunggal ?

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6

2. Bagaimana model pertumbuhan logistik dari suatu populasi tunggal?
3. Bagaimana model pertumbuhan terbatas dengan panenan dari suatu
populasi tunggal?

C. BATASAN MASALAH
Model pertumbuhan populasi yang dibahas dalam tulisan ini yaitu model
populasinya tunggal.

D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh penyelesaian pertumbuhan
populasi tunggal dengan beberapa macam model pertumbuhan yaitu: model
pertumbuhan

eksponensial,

model

pertumbuhan

logistik

dan

model

pertumbuhan terbatas dengan panenan.

E. MANFAAT PENULISAN
Memperoleh pengetahuan tentang penyelesaian pertumbuhan populasi
tunggal.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7

F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan model matematika untuk
menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.

G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
A. Pengertian, Tujuan dan Jenis Model
B. Limit
C. Kontinuitas
D. Turunan
E. Integral
F. Persamaan Diferensial

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8

BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL
A. Pendahuluan
B. Model Pertumbuhan Eksponensial
C. Model Pertumbuhan Logistik
D. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Panenan
BAB IV APLIKASI MODEL
A. Pendahuluan
B. Memodelkan Perkembangan Teknologi
C. Kepadatan Bergantung pada Kelahiran
D. Model Panenan
E. Memancing dengan Batasan
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Pada Bab sebelumnya telah dibahas gambaran secara umum mengenai
pertumbuhan populasi tunggal. Pertumbuhan tersebut berkaitan dengan model
matematika untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.
Penyelesaian tersebut antara lain: limit, turunan, integral dan persamaan
diferensial biasa. Untuk Subbab 1 pada Bab II ini akan dibahas mengenai
pengertian, tujuan dan jenis model.

2.1

Pengertian, Tujuan dan Jenis Model

Definisi 2.1.1
Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun
berdasarkan tujuan tertentu.
Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu
proses tertentu. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan sistem adalah suatu
himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan
tertentu. Model hanya menirukan sebagian dari segi obyek sesuai dengan tujuan
penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari dan
dimanipulasi lebih lanjut.

9

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10

Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas 3 kategori sebagai berikut:
1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari
keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model ini disebut dengan model
keterkaitan.
2. Guna mengadakan pendugaan untuk dapat memperbaiki keadaan obyek.
Model hasilnya disebut model pendugaan.
3. Guna mengadakan optimisasi bagi obyek. Modelnya disebut model
optimisasi.
Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus
melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai
pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan atau
menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin.
Model dapat dibagi menurut jenisnya yaitu sebagai berikut:
1. Model fisis yaitu model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi
fisis, misalnya bentuknya, atau polanya.
Model fisis dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
a) Model ikonik yaitu model yang biasanya menekankan keadaan statis
obyek atau keadaan dinamis sesaat.
Contoh model ikonik: peta timbul, patung dsb.
b) Model analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang
mempunyai kesamaan sifat dengan obyek.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11

Contoh model analog: pola baju, denah rumah dsb.
2. Model simbolik (model matematika) yaitu model yang menggunakan
lambang-lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku
obyek, maka ini disebut model matematika. Model ini dapat dianggap
sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analisis atau numeris dalam
bentuk persamaan-persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka
hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap obyek.
Untuk kerja yang besar proses matematika dapat dibantu oleh perangkat
komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer disebut
model komputer.
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai limit. Dalam subbab ini akan
dibahas mengenai pengertian limit secara intuisi dan limit sepihak yang akan
digunakan untuk membahas pada subbab kontinuitas dan turunan.

2.2

Limit

Definisi 2.2.1 (Pengertian Limit Secara Intuisi)
( )

Mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana

dekat dengan ,

tetapi tidak sama dengan , maka ( ) dekat ke .
Contoh 2.2.1
Carilah
Penyelesaian
Bilamana

(

).

dekat , maka

dekat terhadap

. Dapat dituliskan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12

(

)

Definisi 2.2.2 (Definisi Limit secara Formal)
( )

Mengatakan bahwa

yang

yang berpadanan sedemikian sehingga | ( )

diberikan, terdapat
|

asalkan bahwa

berarti bahwa untuk tiap

|

|

; yaitu

|

|

| ( )

|

Contoh 2.2.2
Buktikan bahwa

Bukti
Andaikan diberikan
|

|

|

(

. Maka

. Pilih
)(

)

|

|

|

|

|

| (

mengimplikasikan
)|

|

|



Limit-limit Sepihak. Bila suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit
tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian berlaku
limit-limit sepihak. Anggaplah lambang
dari kanan atau
dari kiri atau

, dan sebaliknya jika

berarti bahwa

mendekati

berarti bahwa

mendekati

. Berikut adalah definisi mengenai limit kanan dan limit kiri.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13

Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri)
( )

Mengatakan bahwa
sebelah kanan , maka
( )

berarti bahwa bilamana

dekat tetapi pada

( ) dekat ke . Hal yang serupa, mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana

dekat tetapi pada sebelah kiri , maka

( ) adalah dekat ke .
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai kekontinuan pada suatu
interval. Pada subbab ini mencakup mengenai kekontinuan itu sendiri.
2.3

Kontinuitas

Definisi 2.3.1
Andaikan
bahwa

terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung . Dinyatakan

kontinu di jika
( )

Contoh 2.3.1
Andaikan ( )

( )

. Definisikan

di

agar kontinu di titik itu!

Penyelesaian:

(
Karena itu, akan didefinisikan
Jika

)(
( ).

)

(

tidak kontinu di , dapat dikatakan bahwa

)


diskontinu di

atau

punya satu diskontinuitas di . Dari definisi 2.3.1 mensyaratkan tiga hal yang
harus dipenuhi agar fungsi yang didefinisikan kontinu pada c, yaitu:

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14

i.
ii.

( ) terdefinisi (yaitu

berada di daerah asal );

( ) ada (sehingga

haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka

yang memuat );
( )

iii.

( )

Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan. Pada subbab ini akan
membahas mengenai turunan itu sendiri dan penerapannya seperti, kemonotonan,
kecekungan, nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim.

2.4

Turunan

Definisi 2.4.1
Turunan fungsi

adalah fungsi lain ’ (dibaca “ aksen”) yang nilainya

pada sebarang bilangan adalah
(

( )

)

( )

jika limitnya ada.

Contoh 2.4.1
Carilah

( ) jika ( )

Penyelesaian

( )


(

)

Dengan merasionalkan pembilangnya,

( )





PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15

( )


0

(

turunan dari
).







(√

√ )

(√

√ )

(√

√ )



Jadi,





diberikan oleh



1




( )

⁄( √ ). Daerah asalnya adalah

Definisi 2.4.2
Jika

, maka definisi di atas ekivalen dengan
( )

( )

( )

Teorema 2.4.1 (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan)
Jika
Bukti

( ) ada, maka

kontinu di .

Perlu diperlihatkan bahwa
( )

( )

( )

( )

( ).

( )

(

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16

maka,
( )

( )

0 ( )
( )

( )

( )

( )
( )

(

( )

( )

)1
(

)

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni
dengan menyusun hasil bagi dengan selisih
(

)

( )

dan menghitung limitnya dapat memakan waktu yang banyak. Oleh karena itu,
akan dikembangkan cara-cara untuk memperpendek proses dan untuk mencari
turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan cepat.
Mengingat kembali bahwa turunan suatu fungsi
Ketika menurunkan
simbol

, artinya mendiferensialkan

adalah fungsi lain

.

. Biasanya menggunakan

untuk menandakan operasi diferensial. Simbol

mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, dapat dituliskan

menyatakan
( )

( ).

Teorema 2.4.2 (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika
yakni

Bukti

( )

dengan

suatu konstanta, maka untuk sebarang

( )

( )

;

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17

(

( )

)

( )

Teorema 2.4.3 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika ( )

, maka

( )

; yakni
( )

Bukti
(

( )

)

( )

Teorema 2.4.4 (Aturan Pangkat)
Jika ( )

, dengan

bilangan bulat positif, maka
(

Bukti
(

( )

)
)

)
( )

(
(

[

(

( )

; yakni

)

)
)

]

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertaa mempunyai
sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
( )

sebagai faktor,

mendekati nol. Jadi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18

adalah Operator Linear.
Teorema 2.4.5 (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika

suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( )

( ); yakni,

( )

( )

jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta
operator

dapat dikeluarkan dari

.

Bukti
Andaikan F(x)=k∙f(x), maka
(

( )

)

(

( )
(

)

)

( )

( )
(

)

( )

( )
Teorema 2.4.6 (Aturan Jumlah)
Jika
( )

dan

adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialan, maka (

( ); yakni,

( )

( )

( )

( )

)

( )

)( )

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari
turunan-turunan.
Bukti
Andaikan ( )

( )

( )

( ) maka
(

)

(

( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19

0

b.

( )
(

)
(

(

( )
)

)

( )

(

( )
( )

Sebarang operator
a.

(

)

1

( )

( )

disebut linear jika untuk semua fungsi dan :
( ), untuk setiap konstanta ;

)

()

( )

Teorema 2.4.7 (Aturan Selisih)
Jika
( )

dan

adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (

( ); yakni,

( )

( )

(

)

( )

( )

)

( )

) ( )

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu selisih adalah selisih dari
turunan-turunan.
Bukti
( )

0

( )

(
(
(

)
)
( )

( )
( )

(
(

( )
)
)

( )
( )

1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20

Contoh 2.4.2
Tentukan turunan dari

.

Penyelesaian
(

)

(

(

)

)

( )

(

)

( )

( )

(Teorema 2.4.7)
( )

( )

(Teorema 2.4.6)
(Teorema 2.4.5)

(Teorema 2.4.4, 2.4.3, dan 2.4.2)



Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dihadapkan masalah untuk
mendapatkan cara terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang
petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan
besar. Seringkali dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga melibatkan
pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan. Metodemetode kalkulus menyediakan sarana untuk memecahkan permasalahan tersebut.
Dengan demikian, akan ditentukan nilai maksimum dan minimumnya.

Definisi 2.4.3 (Maksimum dan Minimum)
Misalkan , daerah asal , mengandung titik . Dapat dikatakan bahwa
i.

( ) adalah nilai maksimum

pada

;
ii.
iii.

( ) adalah nilai minimum

( ) adalah nilai ekstrim

minimum;

pada
pada

jika ( )
jika ( )

( ) untuk semua
( ) untuk semua

di

di ;

jika ia adalah nilai maksimum atau nilai

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21

iv.

Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi
obyektif.

Teorema 2.4.8 (Teorema Keberadaan Maks-Min)
Jika

kontinu pada interval tertutup

, maka

mencapai nilai maksimum dan

nilai minimum.
Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali
terjadi pada titik-titik kritis, seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.1: Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis
Namun, walaupun Teorema di atas secara intuitif sangat masuk akal, namun sukar
dibuktikan sehingga pembuktiannya diabaikan.

Contoh 2.4.3
Carilah titik-titik kritis dari ( )

pada *

+.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22

Penyelesaian
Titik-titik ujung adalah
menyelesaikan

dan 2. Untuk mencari titik stasioner dengan

( )

untuk , diperoleh

dan . Tidak ada


titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah

Teorema 2.4.9 (Teorema Titik Kritis)
Misalkan

yang memuat titik . Jika ( ) adalah

didefinisikan pada interval

nilai ekstrim, maka

haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain,

adalah

salah satu dari
i.

titik ujung dari ;

ii.

titik stasioner dari ; yakni titik di mana

iii.

titik singular dari ; yakni titik di mana

( )

; atau

( ) tidak ada.

Bukti untuk kasus maksimum
Lihatlah kasus maksimum di mana ( ) adalah nilai maksimum

dan misalkan bahwa

pada

bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus

dibuktikan bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai maksimum, maka ( )
yaitu

Jadi jika
( )

, sehingga

( )

( )

, maka

( )

( )

( ) untuk semua

dalam ;

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23

sedangkan jika

, maka
( )

( )

( ) ada, karena

Tetapi
( )

( )

bukan titik singular. Sehingga, diperoleh
( )

. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Bukti untuk kasus minimum

.

( )

Pada kasus minimum di mana ( ) adalah nilai minimum

misalkan bahwa

dan

pada

dan

bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan

bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai minimum, maka ( )
yaitu

Jadi jika

, sehingga

( )

sedangkan jika
( )

Tetapi
masing

( )

dalam ;

( )

, maka

( )

( )

( )

( )

, maka

( ) ada, karena
( )

( ) untuk semua

dan

( )

bukan titik singular. Sehingga, diperoleh masing. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Contoh 2.4.4
Mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari
( )

( )

.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24

+.

pada *

Penyelesaian:

1. Langkah pertama mencari tititk-titik kritis yaitu dengan cara mencari turunan
dari fungsi tersebut.
( )

( )

( )
(

)

Dari perhitungan tersebut, diperoleh titik kritisnya, yaitu
2. Kemudian dicari nilai fungsi saat
Saat
Saat
Saat
Saat

(

( )

.

sebagai berikut

)

( )

( )

Maka, diperoleh nilai maksimumnya, yaitu
) dan nilai minimumnya yaitu

(dicapai pada

(dicapai pada

).

dan


Dalam Subbab 2.4 ini, terdapat pembuktian Teorema Kemonotonan (Teorema
2.4.12) yang menggunakan Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 2.4.10).

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25

Teorema 2.4.10 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan)
Jika
(

kontinu pada selang tertutup

dan terdiferensialan pada titik-titik dari

), maka terdapat paling sedikit satu bilangan
( )

( )

dalam (

( )

Bukti

( )

Pembuktian bersandar pada analisis dari fungsi
( ) adalah persamaan garis yang melalui (

(

( )

( ). Di sini

( )) dan (

( )

( ) (

( )

( )

garis ini mempunyai kemiringan

) dengan

( )). Karena

) dan melalui titik

( )), bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah
( )

( )

(

)

Ini kemudian menghasilkan rumus untuk ( ), yaitu
( )

( )

Perhatikan bahwa ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dan bahwa untuk
( )

Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan
( )

( )

( )
dalam (

(

( )

dalam (

)

)

) yang memenuhi

, pembuktian akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan
( )

( )

( )

yang setara dengan kesimpulan teorema tersebut.
Untuk melihat bahwa
sebagai berikut. Jelas

( )

kontinu pada

untuk suatu

dalam (

), alasannya

, karena merupakan selisih dua fungsi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26

kontinu. Jadi, menurut Teorema Keberadaan Maks-Min,
nilai maksimum ataupun nilai minimum pada
, maka ( ) secara identik adalah

adalah

dalam (

untuk semua

harus mencapai baik

. Jika kedua nilai ini kebetulan
pada

, akibatnya

( )

), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan.

Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan , maka
nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam
Sekarang

, karena

mempunyai turunan di setiap titik dari (

Teorema Titik Kritis,

( )

.

( )

( )

.

), sehingga dengan

Contoh 2.4.5
Andaikan ( )

pada

. Carilah semua bilangan

yang

memenuhi kesimpulan Teorema nilai Rata-rata.
Penyelesaian
Dengan
( )

(

(

)

menurunkan
)

persamaan,

( )

diperoleh

.

Kemudian diselesaikan dengan



)

dan

atau, secara ekuivalen,

dari persamaan kuadrat. Terdapat dua penyelesaian (

yang berpadanan dengan

tersebut dalam selang (

).

dan

. kedua bilangan



Banyak orang yang masih bingung dalam memutuskan di mana suatu

fungsi itu naik atau turun. Mungkin ada yang menyarankan dengan menggambar
grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27

membuat beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva
mulus. Tetapi cara tersebut masih kurang meyakinkan, karena titik-titik tersebut
mungkin akan bergoyang di antara titik-titik yang dibuat.

Definisi 2.4.4 (Kemonotonan)
Misalkan

terdefinisi pada interval

(terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat

dikatakan bahwa:
i.

ii.

iii.

naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan
( )

( )

( )

( )

turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan

monoton murni pada jika

dan

dalam ,

dan

dalam ,

naik pada atau turun pada .

Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:

Gambar 2.2: Grafik naik dan turun
Ingat kembali bahwa turunan pertama
singgung pada grafik

( ) memberi kemiringan dari garis

di titik . Kemudian, jika

( )

maka garis singgung

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28

( )

naik ke kanan. Demikian juga, jika

, maka garis singgung menurun ke

kanan. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini,

Gambar 2.3: Grafik kemiringan

Teorema 2.4.11 (Teorema Kemonotonan)
Misalkan

kontinu pada interval

dan terdiferensialkan pada setiap titik-dalam

dari .
i.

Jika

ii.

Jika

( )

( )

untuk semua titik di dalam , maka

naik pada .

untuk semua titik di dalam , maka

turun pada .

Bukti (i)
Andaikan bahwa

kontinu pada dan bahwa

dalam . Tinjaulah dua titik sebarang

dan

( )

dari

di setiap titik
dengan

dalam (

) yang memenuhi
( )

( )

( )(

. Menurut
, terdapat sebuah

Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang
bilangan

di bagian

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29

Ini yang dimaksud bahwa

yakni, ( )

( )

, dapat dilihat bahwa ( )

( )

Karena

naik pada .

( ).

Bukti (ii)
Andaikan bahwa

kontinu pada dan bahwa

dalam . Tinjaulah dua titik sebarang

dan

( )

di setiap titik

dari

dengan

Karena

) yang memenuhi

dalam (

( )

( )

( )(

, dapat dilihat bahwa ( )

( )

Ini yang dimaksud bahwa

turun pada .

)

( )

. Menurut
, terdapat sebuah

Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang
bilangan

di bagian

yakni, ( )

( ).

Contoh 2.4.6
Tentukanlah di mana ( )

⁄(

Penyelesaian

) naik dan di mana turun.

Dengan menurunkan persamaan di atas diperoleh
(

( )

(

)

Karena penyebut selalu positif,
(

(

)(

)(

)

(

)

(

)(

)

dan

, menentukan tiga selang

). Bilamana ditemukan bahwa

yang pertama dan yang ketiga dan bahwa

( )

( )

dan

), naik pada

.

pada selang

pada selang tengah. Dapat

disimpulkan dari Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) bahwa
(

)

( ) mempunyai tanda sama dengan pembilang

). Titik-titik pemisah,
)(

)

(

(

turun pada


PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30

Definisi 2.4.5
Misalkan terdiferensialkan pada interval terbuka . Dapat dikatakan bahwa (dan
grafiknya) cekung ke atas pada jika

naik pada dan dikatakan bahwa cekung

ke bawah pada jika turun pada .
Definisi di atas diperlihatkan dalam gambar di bawah ini:

Gambar 2.4: Grafik kecekungan

Teorema 2.4.12 (Teorema Kecekungan)
Misalkan terdiferensial dua kali pada interval terbuka I.
i. Jika
ii.

Jika

( )

( )

untuk semua dalam , maka f cekung ke atas pada .
untuk semua dalam , maka cekung ke bawah pada

Bukti (i)
Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa
dalam beberapa interval terbuka
dan

dari dengan

pada selang

( )

,

naik

yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang

. Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan

, terdapat sebuah bilangan c dalam (
( )

( )

( )(

)

) yang memenuhi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31

Karena

naik,

( )(

)

( )

( ), maka ( )

( ). Tetapi, ( )

( )(

( )(

)

)

( )

( ) adalah persamaan

garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di atas garis singgung adalah
cekung ke atas.
Bukti (ii)
( )

Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa
dalam beberapa interval terbuka
dan

dari dengan

pada selang

Karena

naik,

( )(

)

,

turun

yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang

. Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan

, terdapat sebuah bilangan dalam (a,b) yang memenuhi
( )

( )

( )

( ), maka ( )

( ). Tetapi, ( )

( )(

( )(

( )(
)

)

)

( )

( ) adalah persamaan garis

singgung di . Jadi kurva yang terbentang di bawah garis singgung adalah cekung
ke bawah.

Contoh 2.4.7
Di mana ( )
Penyelesaian

⁄ ((

)) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah?

Contoh ini sama seperti contoh 2.4.6, bahwa
dan naik pada

turun pada (

dan

. Untuk menganalisa kecekungan perlu dihitung

( )

(

( )

) (

)

(
(

(

)
)

)( )(

)(

)

.

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
32

(

) (

)(

(
)

(

)
)
(

(

(

)(
)

)

)

Karena penyebut selalu positif, maka harus diselesaikan
(

)

. Titik-titik pemisah



(

)

dan

dan √ . Tiga titik pemisah itu

menentukan empat selang. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Dapat disimpulkan bahwa
bawah pada (

cekung ke atas pada ( √

√ ) dan ( √ ).

) dan bahwa cekung ke

Definisi 2.4.6
Andaikan , daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa:
i.

( ) nilai maksimum lokal

jika terdapat selang (

) yang memuat

( ) nilai minimum lokal

jika terdapat selang (

) yang memuat

ii.

sedemikian sehingga ( ) adalah nilai maksimum

iii.

sedemikian sehingga ( ) adalah nilai minimum
( ) nilai ekstrim lokal

pada (

pada (

)

)

;

;

jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai

minimum lokal.

Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33

Gambar 2.5: Grafik maksimum, minimum dan ekstrim lokal

Teorema 2.4.13 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan

kontinu pada selang terbuka (
( )

) yang memuat titik kritis .

dalam (

) dan

( )

untuk semua

dalam (

) dan

( )

untuk semua

, maka

( ) bukan nilai

i.

Jika

ii.

dalam (

) maka ( ) adalah nilai maksimum lokal .

iii.

dalam (

) maka ( ) adalah nilai minimum lokal .

Jika

Jika

( )

untuk semua

untuk semua

( ) bertanda sama pada kedua pihak

ekstrim lokal .
Bukti (i)
Karena

( )

untuk semua

kemonotonan (Teorema 2.4.11)
di (

). Karena

( )

dalam (

naik pada (

untuk semua

) maka menurut Teorema

). Berarti ( ) nilai maksimum

dalam (

) maka menurut Teorema

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34

Kemonotonan (Teorema 2.4.11)
di (

turun pada (

). Berarti ( ) nilai maksimum

). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah maksimum lokal.

Bukti (ii)

( )

Karena

kemonotonan (Teorema 2.4.11)
di (

). Karena

( )

turun pada (

untuk semua

Kemonotonan (Teorema 2.4.11)
(

dalam (

untuk semua

) maka menurut Teorema

). Berarti (

dalam (

naik pada (

) nilai minimum

) maka menurut Teorema

). Berarti ( ) nilai minimum di

). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah minimum lokal.

Bukti (iii)
Karena

( )

dalam (

untuk semua

Kemonotonan (Teorema 2.4.11)
( )

di (

). Karena

di (

). Sebaliknya, karena

naik pada (

). Berarti ( ) nilai maksimum

naik pada (

). Berarti ( ) nilai maksimum

untuk semua

kemonotonan (Teorema 2.4.11)

) maka menurut Teorema

( )

dalam (

untuk semua

menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11)
( ) nilai minimum di (

). Karena

) maka menurut Teorema

( )

turun pada (

untuk semua

maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11)
Berarti ( ) nilai minimum di (
nilai ekstrim lokal .

dalam (

) maka

). Berarti

dalam (

turun pada (

)

).

). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) bukan

Contoh 2.4.8
Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi ( )

pada (

).

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35

Penyelesaian
Fungsi polinomial

kontinu di mana-mana, dan turunannya,

untuk semua . Jadi satu-satunya titik kritis untuk
dari
pada (

( )

, yakni

. Karena

dan karena (

)

( )

untuk

(

( )

adalah penyelesaian tunggal

,

)

untuk
naik pada

itu, menurut Teorema Uji Turunan Pertama (Teorema 2.4.13), ( )

nilai minimum lokal

ada

,

turun

). Karena

adalah

. Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak


terdapat nilai ekstrim lain.

Teorema 2.4.14 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan
andaikan
i.

Jika

ii.

Jika

Bukti (i)

dan
( )

( )

( )

ada pada setiap titik selang terbuka (

.

) yang memuat , dan

, ( ) adalah nilai maksimum lokal .

, ( ) adalah nilai minimum lokal .

Menurut definisi dan hipotesis,
( )

( )

( )

dapat disimpulkan bahwa terdapat interval (

dengan

( )

( )
) (mungkin pendek) di sekitar

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36

( )

Tetapi pertaksamaan ini mengimplikasikan bahwa
dan

( )

untuk

. Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah

untuk

nilai maksimum lokal.
Bukti (ii)
Menurut definisi dan hipotesis,

( )

( )

( )

( )

sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interval (

sekitar dengan

) (mungkin pendek) di

( )
Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa
dan

( )

( )

untuk

. Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah

untuk

nilai minimum lokal.

Contoh 2.4.9
Untuk

( )

, gunakanlah Teorema Uji Turunan Kedua untuk

mengenali ekstrim lokal.
Penyelesaian
Perhatikanlah bahwa
( )

( )

Jadi

(
( )

dan

)
( )

.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37

Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Kedua,

( ) adalah nilai minimum


lokal.

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai turunan. Dalam tiap kasus,
operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. Oleh karena itu,
kasus-kasus pada turunan mempunyai kasus-kasus kebalikannya, balikannya
tersebut disebut antiturunan atau integrasi.

2.5 Integral
Definisi 2.5.1
Kita sebut
jika

( )

suatu antiturunan
( ) untuk semua

pada selang

jika

dalam . (Jika

( )

suatu titik ujung ,

perlu berupa turunan sepihak).

Teorema 2.5.1 (Aturan Pangkat)
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali


dengan

adalah sebarang konstanta.

Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk

cukup dengan menunjukkan

∫ ( )

( )

( ) pada

, maka

yakni,

( ) hanya

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
38

( )

Dalam kasus ini
0

( )
(

1

)

Contoh 2.5.1


Carilah antiturunan yang umum dari ( )

.

Penyelesaian









Integral Tak-tentu adalah Linear. Ingatlah kembali dari Subbab Turunan bahwa
adalah suatu operator linear, yaitu
( )

a.

( )

b.

( )

c.

Ternyata bahwa ∫

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

juga memiliki sifat operator linear.

Teorema 2.5.2 (Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear)
Andaikan

dan

mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan

suatu konstanta. Maka:
i.
ii.



( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

;

∫ ( )

∫ ( )

;

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
39

iii.

∫ ( )

∫ ( )

( )

Bukti (i)

∫ ( )

.

Cukup mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[ ∫ ( )

Bukti (ii)

∫ ( )

]

( )

Sama seperti cara bukti (i), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka
akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( )

∫ ( )

Bukti (iii)

]

( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

Sama seperti cara bukti (i) dan (ii), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan,
maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

]

( )

( )

∫ ( )

Contoh 2.5.2
Hitunglah dengan menggunakan kelinearan integral!
∫(

Penyelesaian
∫(





)







)






PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
40

Dalam subbab selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan diferensial.
Persamaan ini mengembangkan metode pemisahan peubah untuk mencari suatu
solusi.

2.6 Persamaan Diferensial
Definisi 2.6.1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau
diferensial dari satu atau lebih fungsi.
Persamaan diferensial bermula dari penyelidikan hukum-hukum yang
mengatur dunia fisika. Istilah persamaan “diferensial” diperkenalkan oleh
Gottfried Leibniz (1646-1716) yang bersama-sama Newton dikenal sebagai
penemu kalkulus. Banyak teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang
dikenal para matematikawan dalam abad ke tujuh belas. Tidak sampai abad ke
sembilan belas, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) mengembangkan teori
umum persamaan diferensial yang bebas dari gejala-gejala fisika.
Seperti yang telah dijelaskan di atas, persamaan diferensial adalah suatu
persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi.

Contoh 2.6.1
Beberapa contoh persamaan diferensial:

1.
2.
3.

(

(

)

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
41

4.
5.

( )

6.
7.


8.

Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan dalam banyak cara. Jika
fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantu