Penyelesaian Masalah Fisis Integrasi Num

Laporan Praktikum

Penyelesaian Masalah Integrasi Numerik
Menggunakan Metode Simpson dan Trapesium
Diajukan untuk memenuhi laporan kegiatan Praktikum Komputasi Fisika

Disusun Oleh :
Nama

: Yedija Yosua

NIM

: 14/366738/PA/16249

Hari,Tanggal Praktikum

: 13 April 2016

Asisten

: Rizky Zul Ashari Hasibuan
Muhammad Yusrul Hanna

LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2016

1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang

Dalam dunia sains dan teknik sudah sangat dikenal bahwa bentuk model bagi sistem fisis sering
kali dapat berupa persamaan integral. Untuk beberapa kasus, permasalahan integral ini tidak
bisa diselesaikan secara analitik. Sehingga pada keadaan demikian diperlukan pendekatan
numeric. Pada analisis numeric, Integrasi numerik membentuk sebuah cabang yang luas
mengenai algoritma untuk menghitung nilai numeric dari integral tentu dan dengan adanya
perluasan, maka hasil yang didapatkan tersebutkan juga terkadang digunakan untuk
mendeskripsikan penyelesaian numeric dari persamaan diferensial.

Untuk beberapa kasus yang bisa diselesaikan secara analitik, melalui penyelesaian numeric
seringkali dapat dihasilkan perhitungan operasi integral dengan cepat dan dengan akurasi yang
dapat diterima. Oleh karena itu, perhitungan integral bisa dikatakan sebagai permasalahan
umum yang elementer dalam komputasi numerik. Seiring dengan itu terdapat banyak
pendekatan numeric yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan integral. Pada
penyelesaian masalah fisis berikut, digunakan metode trapesium dan metode simpson. Kedua
metode tersebut akan diterapkan untuk mendapatkan nilai numeric dari hasil perhitungan
komputasi. Kemudian, dari kedua metode tersebut akan diperoleh perbandingan hasil antara
dua metode dan hasil analitik menggunakan program atau perhitungan praktikan.
Pada praktikum tersebut, praktikan akan menyelesaikan masalah fisis mengenai persamaan
gerak suatu mass (mencari kecepatan awal

) dan perumusan Debye untuk panas spesifik

dimana akan dicari nilai perbandingan temperature absolut dan temperature debye. Manfaat
dari praktikum tersebut yaitu praktikan dapat memahami beberapa metode integrasi numeric
dan menerapkannya dalam penyelesaian masalah fisis.

1.2 Tujuan
1. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan

metode trapesium dan metode simpson
2. Menentukan nilai kecepatan massa dari sistem pegas dari hasil perhitungan percepatan
massa dengan menggunakan metode trapesim dan simpson
3. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye
dengan menggunakan metode simpson

2. Dasar Teori
Pada bagian ini akan dijelaskan metode untuk menyelesaikan masalah integrasi numeric suatu
fungsi matematis dengan metode Simpson. Dalam analisis numerik, metode simpson digunakan
untuk menyelesaikan integral tentu melalui aproksimasi numerik . Metode simpson juga
merupakan salah satu jenis rumus dari 3 titik Newton-Cotes “tertutup”. Metode tersebut
merupakan salah satu metode integrasi fungsi yang berbentuk sederhana namun memiliki
keakuratan yang cukup tinggi.
Dengan cara tersebut, kemudian dapat dinyatakan integral tersebut sebagai fungsi bobot nilai
dari fungsi tersebut di tiga titik yaitu :

∫
Karena tiga nilai dari fungsi di atas dibutuhkan, kemudian akan diperluas hasil di atas untuk
permasalahan integrasi yaitu dengan mendefinisikan fungsi tersebut pada 2 titik ujung dan satu
titik tengah yaitu sebagai berikut :

∫

∫

∫

Metode Simpson membutuhkan integrasi elementer untuk memiliki lebih banyak pasangan
interval, dimana hal tersebut membutuhkan yaitu keseluruhan jumlah angka dari interval
tersebut dapat bernilai genap atau jumlah titik N tersebut bernilai ganjil. Agar metode simpson
tersebut dapat berlaku pada seluruh interval, kemudian akan ditambahkan kontribusi nilai dari
setiap pasangan sub-interval, yaitu dinyatakan sebagai berikut :

∫
Sehingga, didapatkan ungkapan metode simpson yang utuh dari penurunan di atas yaitu di
bagian halaman selanjutnya tersebut :

∫
Dimana

dan

[

∑

∑

]

masing-masing adalah batas bawah dan batas atas integral,

,N

adalah cacah interval dan h adalah ukuran langkah atau lebar interval yang diberikan oleh kaitan

Perlu ditekankan bahwa dalam menerapkan metode simpson tersebut maka cacah interval yaitu
N harus berupa bilangan genap.
Selain metode simpson yang digunakan dalam penyelesaian masalah integrasi numerik, ada juga
salah satu metode yang cukup sederhana dalam hal menyelesaikan masalah integrasi yaitu

metode trapesium.Metode trapesium bekerja dengan melakukan pendekatan nilai luasan di
bawah grafik fungsi

sebagai trapesium. Berikut merupakan perumusan dari metode

trapesium yaitu
∫

[

]

Meskipun metode trapesium merupakan bagian dari rumus integrasi numeric Newton-Cotes,
namun berdasarkan karakteristik berbeda dengan metode simpson. Metode Simpson memiliki
karakteristik konvergensi yang lebih cepat daripada metode trapesium, untuk fungsi yang
secara kontinu terdiferensiabel dua kali. Namun untuk fungsi yang sederhana, metode
trapesium memiliki konvergensi nilai yang lebih cepat daripada metode simpson.
Berikut ini merupakan beberapa contoh permasalahan integrasi numerik laporan tersebut yaitu :
1) Masalah sistem massa pegas yang bergerak pada batang mendatar dinyatakan dalam

bentuk percepatan massa :
√
Dengan kecepatan massa di x = 0 diberikan oleh
√ ∫
2) Perumusan Debye untuk panas spesifik pada padatan

∫

dimana

3. Metode Eksperimen
Listing 1: Program pertama saat menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas
dengan menggunakan metode trapesium (n=20 dan n=40)
Program integrasi
IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,integ,m,myu,k,g,b,v0
Integer :: n,i
!--------------------------------------------------!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!--------------------------------------------------x0=0.0

xn=0.4
n=20
m=0.8
myu=0.3
k=80.0
g=9.810
b=0.4
!--------------------------------------------------!Hitung ukuran langkah
!--------------------------------------------------h=(xn-x0)/n
!--------------------------------------------------!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!--------------------------------------------------sum=fung(x0)+fung(xn)
!---------------------------------------------------

!Jumlahkan bagian ganjil
!--------------------------------------------------Do i=1,(n-1)
x2i1=x0+i*h
sum=sum+2.0*fung(x2i1)
write (*,*) sum
End Do

!--------------------------------------------------!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!--------------------------------------------------integ = h*sum/2.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ
v0=sqrt(2*integ)
!--------------------------------------------------!Nilai kecepatan awal massa sistem pegas
!--------------------------------------------------Write (*,*) "Kecepatan awal massa",v0

CONTAINS

FUNCTION fung(x)
Real :: fung
Real, INTENT(in) :: x

fung=(myu*g)+k/m*(myu*b+x)*(1-(b/sqrt(b**2+x**2)))

End Function fung
End Program integrasi

Listing 2.Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan
menggunakan metode simpson (n=20 dan n=40)

Program integrasi
IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,x2i,integ,m,myu,k,g,b,v0
Integer :: n,i
!--------------------------------------------------!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!--------------------------------------------------x0=0.0
xn=0.4
n=20
m=0.8
myu=0.3
k=80.0
g=9.810
b=0.4
!--------------------------------------------------!Hitung ukuran langkah
!--------------------------------------------------h=(xn-x0)/n
!--------------------------------------------------!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!--------------------------------------------------sum=fung(x0)+fung(xn)
!--------------------------------------------------!Jumlahkan bagian ganjil

!--------------------------------------------------Do i=1,(n/2)
x2i1=x0+(2*i-1)*h
sum=sum+4.0*fung(x2i1)
write (*,*) sum
End Do
!--------------------------------------------------!Jumlahkan bagian genap
!--------------------------------------------------Do i=1,((n/2)-1)
x2i=x0+2*i*h
sum=sum+2.0*fung(x2i)
write (*,*) sum
End Do
!--------------------------------------------------!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!--------------------------------------------------integ = h*sum/3.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ
v0=sqrt(2*integ)
!--------------------------------------------------!Nilai kecepatan awal massa sistem pegas
!--------------------------------------------------Write (*,*) "Kecepatan awal massa",v0

CONTAINS
FUNCTION fung(x)
Real :: fung
Real, INTENT(in) :: x

fung=(myu*g)+k/m*(myu*b+x)*(1-(b/sqrt(b**2+x**2)))

End Function fung
End Program integrasi

Listing 3. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature
debye dengan menggunakan metode simpson (n=20; h=0.05)
Program numerik
IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,x2i,integ,u,a,b,c
Integer :: n,i
!--------------------------------------------------!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!--------------------------------------------------x0=0.0
xn=1.0
n=20
u=1.0
!--------------------------------------------------!Hitung ukuran langkah
!--------------------------------------------------h=(xn-x0)/n
!--------------------------------------------------!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!--------------------------------------------------sum=fung(x0)+fung(xn)

!--------------------------------------------------!Jumlahkan bagian ganjil
!--------------------------------------------------Do i=1,(n/2)
x2i1=x0+(2*i-1)*h
sum=sum+4.0*fung(x2i1)
write (*,*) sum
End Do
!--------------------------------------------------!Jumlahkan bagian genap
!--------------------------------------------------Do i=1,((n/2)-1)
x2i=x0+2*i*h
sum=sum+2.0*fung(x2i)
write (*,*) sum
End Do
!--------------------------------------------------!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!--------------------------------------------------integ = h*sum/3.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ

CONTAINS
FUNCTION fung(x)
Real :: fung
Real, INTENT(in) :: x

a=u**3
b=(x**4)*(exp(x))

c=(exp(x)-0.999999)**2

fung=((a*b)/c)

End Function fung
End Program numerik

4. Hasil Eksperimen
Setelah dilakukan pembuatan listing program dan mengcompilenya sehingga didapatkan hasil
sebagai berikut :
1. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan
metode trapesium
-

n=20

-

Nilai integral numerik adalah 3.12170

-

Kecepatan awal massa

2.49868 m/s

2. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan
metode simpson
-

n=20

-

Nilai integral numerik adalah 3.11919

-

Kecepatan awal massa

2.49767 m/s

3. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan
metode trapesium

-

n=40

-

Nilai integral numerik adalah 3.11982

-

Kecepatan awal massa

2.49793 m/s

4. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan
metode simpson
-

n=40

-

Nilai integral numerik adalah 3.11919

-

Kecepatan awal massa

2.49767 m/s

5. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye
dengan menggunakan metode simpson
-

n=20 ; h=0.05

-

Nilai integral numerik adalah 0.317243

6. Menentukan hasil integrasi fungsi nisbah temperatur absolut dan temperature debye
melalui plotting grafik dengan wolfram alpha

Gambar 1 : Plotting grafik fungsi hasil integrasi fungsi nisbah temperatur absolut
Dan temperature debye

5. Pembahasan
Pada praktikum “Penyelesaian masalah integrasi numeric menggunakan metode simpson dan
trapesium” ini menggunakan bahasa pemrograman fortran 90 pada saat berlangsungnya
praktikum dan fortran 95 pada saat pengerjaan program di laporan ini. Praktikum tersebut
terbagi menjadi 2 bagian yaitu menyelesaikan masalah integrasi percepatan massa dari sistem
pegas dan masalah integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan
menggunakan metode simpson dan trapesium. Pada permasalahan sistem massa pegas, nantinya
hasil yang diperoleh akan digunakan untuk menentukan nilai

dari massa tersebut.

Pada percobaan program pertama ini yaitu menghitung nilai integrasi percepatan massa dari
sistem pegas dengan menggunakan metode trapesium dan simpson. Pertama, praktikan akan
menghitung nilai integrasi numeric tersebut dengan perhitungan analitik melalui program
Wolfram alpha. Setelah dilakukan perhitungan analitik tersebut diperoleh hasil yaitu 3.11919.
Kemudian, dari nilai tersebut disubstitusikan ke dalam rumus

dan didapatkan nilai 2.49767

m/s. Nilai tersebut merupakan hasil dari perhitungan analitik integral tentu. Selanjutnya,
praktikan akan menghitung nilai integrasi numeric tersebut dengan metode trapesium. Listing
program metode trapesium dinyatakan dalam program dan dilakukan proses compile program.
Jumlah iterasi yang ditentukan adalah n=20 dengan ukuran langkah 0.05. Maka, dari proses
compile program tersebut diperoleh nilai integrasi numeric yaitu 3.12170 dan nilai

adalah

2.49868 m/s. Kemudian, untuk metode simpson dengan jumlah iterasi dan ukuran langkah yang
sama diperoleh nilai integrasi numeric yaitu 3.11919 dan nilai

adalah 2.49767 m/s.

Berdasarkan hasil compile program dari masalah sistem massa pegas diperoleh bahwa nilai
integrasi numeric pada metode trapesium dengan n=20 memiliki perbedaan selisih nilai dengan
hasil analitik sebesar 2.51 x 10-3. Hasil yang didapatkan tersebut menunjukkan bahwa dengan
perhitungan menggunakan metode trapesium n=20 diperoleh nilai yang sangat mendekati
dengan perhitungan analitik. Selain karena metode trapesium yang memiliki nilai konvergensi
yang lebih baik pada fungsi percepatan massa yang bersifat linear dan sederhana juga karena
nilai n yang diambil juga sudah cukup untuk mendapatkan jawaban dari aproksimasi hasil
tersebut. Kemudian, untuk hasil pada metode simpson dengan n=20 diperoleh nilai yang sama

dengan perhitungan analitik yaitu 3.11919. Dari hasil yang didapatkan dari metode simpson
dengan n=20, tampak bahwa dengan metode simpson nilai yang didapatkan jauh lebih baik
daripada metode trapesium karena konvergensi menuju hasil analitik yang sebenarnya jauh
lebih cepat. Konvergensi dengan metode simpson tersebut juga berpengaruh karena dengan
ukuran langkah yang sama diperoleh hasil yang mendekati dengan hasil perhitungan analitik.
Kemudian, praktikan juga ingin membandingkan hasil yang diperoleh dari metode trapesium
dan simpson pada n=40. Pada nilai n=40 dengan metode trapesium diperoleh hasil compile
program yaitu 3.11982. Pada nilai n=40 dengan metode trapesium diperoleh hasil compile
program yaitu 3.11919. Dari kedua hasil yang didapatkan dengan metode yang berbeda tersebut,
diperoleh bahwa dengan metode simpson diperoleh hasil yang sama dengan hasil analitik.
Sedangkan, pada metode trapesium nilai yang didapatkan lebih baik pada n=40 terhadap hasil
analitik. Hasil yang didapatkan tersebut memiliki arti bahwa untuk metode simpson dengan
nilai n bernilai genap dengan urutan nilai n yaitu 20,40,60 diperoleh jawaban yang relatif sama.
Sedangkan untuk metode trapesium dengan nilai n yang sama diperoleh kekonvergensian yang
sangat lambat daripada metode simpson. Sebagai contoh saja yang didapatkan praktikan, untuk
metode trapesium, nilai n yang dibutuhkan untuk mencapai hasil yang sama dengan hasil
analitik adalah 500. Hal tersebut menunjukkan bahwa metode simpson lebih baik untuk
mendapatkan hasil yang lebih akurat.
Pada percobaan program kedua ini yaitu menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature
absolut dan temperature debye. Metode yang digunakan praktikan yaitu metode simpson 1/3.
Tujuan praktikan menggunakan metode simpson dalam menyelesaikan masalah tersebut agar
didapatkan hasil yang lebih akurat dengan nilai n yang tidak terlalu besar. Pertama, praktikan
akan menghitung nilai integrasi fungsi tersebut dengan perhitungan analitik melalui program
Wolfram alpha. Setelah dilakukan perhitungan analitik tersebut diperoleh hasil yaitu 0.317244.
Nilai tersebut merupakan hasil dari perhitungan analitik integral tentu. Selanjutnya, praktikan
akan menghitung nilai integrasi fungsi tersebut dengan metode aimpson. Listing program
metode simpson dinyatakan dalam program dan dilakukan proses compile program. Jumlah
iterasi yang ditentukan adalah n=20 dengan ukuran langkah 0.05. Maka, dari proses compile
program tersebut diperoleh nilai integrasi numeric yaitu 0.317243.

Berdasarkan hasil compile program dari fungsi nisbah temperature absolut dan temperature
debye diperoleh bahwa nilai integrasi numeric pada metode simpson dengan n=20 memiliki
perbedaan selisih nilai dengan hasil analitik sebesar 1.00 x 10-6. Hasil yang didapatkan tersebut
menunjukkan bahwa dengan perhitungan menggunakan metode simpson pada n=20 diperoleh
nilai yang sangat mendekati dengan perhitungan analitik. Selain karena metode simpson yang
memiliki nilai konvergensi yang sangat cepat dan tidak membutuhkan nilai n yang besar, pada
fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye memiliki karakteristik fungsi
eksponensial yang sesuai dengan metode simpson. Kemudian, praktikan juga telah melakukan
plotting hasil dari fungsi masalah fisis di atas dan didapatkan bahwa bentuk grafik fungsi
tersebut berbentuk grafik eksponensial. Praktikan menganalisis berdasarkan grafik tersebut
didapatkan bahwa luasan yang terdapat di bawah kurva grafik fungsi tersebut merupakan nilai
integrasi dari fungsi tersebut. Sehingga, dapat ditampilkan bentuk penyelesaian masalah fisis
tersebut dalam bentuk integrasi numerik dan plot grafik fungsi.

6. Kesimpulan
Dari pemaparan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Untuk nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode
trapesium dan metode simpson didapatkan hasil sebagai berikut :
-Untuk metode trapesium dengan n=20 diperoleh hasil numerik yaitu 3.12170
-Untuk metode trapesium dengan n=40 diperoleh hasil numerik yaitu 3.11982
-Untuk metode simpson dengan n=20 diperoleh hasil numerik yaitu 3.11919
-Untuk metode simpson dengan n=40 diperoleh hasil numerik yaitu 3.11919

2. Untuk nilai kecepatan massa sistem pegas yang didapatkan dari hasil perhitungan
numerik menggunakan metode trapesium dan metode simpson diperoleh hasil sebagai
berikut :
-Untuk metode trapesium dengan n=20 diperoleh

yaitu 2.49868 m/s

-Untuk metode trapesium dengan n=40 diperoleh

yaitu 2.49793 m/s

-Untuk metode simpson dengan n=20 diperoleh

yaitu 2.49767 m/s

-Untuk metode simpson dengan n=40 diperoleh

yaitu 2.49767 m/s

3. Untuk nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan
menggunakan metode simpson didapatkan hasil sebagai berikut :
-Untuk metode simpson dengan n=20 dan h=0.05 diperoleh hasil numerik yaitu 0.317243

7. Daftar Pustaka
[1] Pekik Nurwantoro, 2001. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi, Universitas Gadjah
Mada:Yogyakarta
[2] Chapra Steven, Canale R.P, 2010. Numerical Methods for Engineers, Sixth Edition, Mcgraw hill:
USA.
[3] Landau R.H. , Paez M.J. , Bordeianu C.C. 2007.
University; USA

Computational Physics, Oregon State

Lampiran