Ukuran Kemiringan dan Keruncingan Data Isna Nur Azizah B2A018009

  

Lembar Tugas Metode Statistika

Menghitung Ukuran Kemiringan dan

Keruncingan pada Data Tunggal dan Data

Kelompok

  

Disusun oleh :

Nama : Isna Nur Azizah NIM : B2A018009

  

PROGRAM STUDI S1 STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SEMARANG

2018

1. UKURAN KEMIRINGAN (SKEWNESS)

• Ukuran kemiringan kurva merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data.Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data,yaitu :

A. KOEFISIEN KEMIRINGAN PEARSON

• Nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku.

  RUMUS :

  1. Kurva positif,yaitu apabila rata-rata hitung (mean) > modus atau nilai tengahnya (median).

  2. Kurva negatif,yaitu apabila rata-rata hitung (mean) < modus atau nilai tengahnya (median)

  B. KOEFISIEN KEMIRINGAN QUARTIL (BOWLEY)

• Koefisien kemiringan bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi.

  RUMUS :

  C. KOEFISIEN KEMIRINGAN PERSENTIL (BOWLEY)

• Koefisien kemiringan bowley berdasarkan pada hubungan persentil dari sebuah distribusi.

  RUMUS :

  D. KOEFISIEN KEMIRINGAN MOMEN

  Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut dengan momen. Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi dat dalam suatu variabel.Momen dapat ditulis “Mr (Momen ke-r)”.

  RUMUS :

  

Kriteria untuk mengetahui model distribusi

dari koefisien kemiringan :

  1. Jika koefisien kemiringan < nol,maka bentuk

distribusinya negatif (ekor bagian kiri lebih panjang)

  2. Jika koefisien kemiringan = nol,maka bentuk distribusinya simetrik

  3. Jika koefisien kemiringan > nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang)

2. DERAJAT KEMENCENGAN KURVA

  RUMUS : a

  1. Jika 3 = 0,maka distribusi datanya simetris. a

  2. Jika 3 < 0,maka distribusi datanya menceng ke kiri. a

  3. Jika 3 > 0,maka distribusi datanya menceng ke kanan.

  3. UKURAN KERUNCINGAN (KURTOSIS)

• Ukuran keruncingan merupakan derajat kepuncakan dari suatu distribusi,biasanya siambil reelatif terhadap distribusi normal.

  1. Jika kofisien kurtosis lebih dari 0,263 maka distrbusinya adalah leptokurtis.

  2. Jika kofisien kurtosis sama dengan 0,263 maka distrbusinya adalah mesokurtis.

  Jika kofisien kurtosis kurang dari 0,263 maka 3. distrbusinya adalah platikurtis.

  A. KOEFISIEN KERUNCINGAN PERSENTIL

• Koefisien keruncingan persetil dilambangkan dengan K (Kappa).Untuk distribusi nilai normal,nilai k = 0,263.

  RUMUS :

  B. KOEFISIEN KERUNCINGAN MOMEN RUMUS :

4. DERAJAT KERUNCINGAN KURVA

  RUMUS :

  SOAL !

  

1. Carilah data tunggal dan hitung ukuran serta derajat kemiringannya dan

ukuran serta derajat keruncingannya !

  Tabel data tunggal :

  Andil Inflasi Kabupaten Cilacap Bulan Januari Tahun 2017 dari Berbagai Sektor Unit

I. Ukuran Kemiringan Data

A) Koefisien Kemiringan Pearson :

  3. Median

  0,09+0,22

  8

  JAWAB :

  0,31

  8

  X (

  Untuk menentukan median,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh : Karena data tunggal pada tersebut merupakan data genap,maka harus menggunakan rumus kedua,sehingga dapat diketahui bahwa nilai tengah (median) pada data tersebut yaitu :

  Berdasarkan tabel disamping,datum yang paling banyak muncul adalah 0,05. Jadi,modus yang didapatkan sebesar 0,05.

  X

  2. Modus

  = 0,2475 Jadi,nilai rata-rata (mean) yang didapatkan sebesar 0,2475.

  8

  1,98

  =

  8

  0,99+0,29+0,09+0,25+0,05+0,04+0,05+0,022

  1. Mean ¿

  Yang perlu dicari nilainya :

  4

• X
• X (
• 1)

  =

  2

  5

  2

  =

  2

  2

  =

  2

  2

  = 0,155 Jadi,nilai tengah (median) yang didapatkan sebesar 0,155.

  Me =

  )

4. Simpangan Baku

  = 0,513 Jadi koefisien kemiringan pearson pertama data tersebut adalah 0,513.

  

Karena koefisien kemiringan pearson > nol,maka bentuk

distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

  = 0,721 Jadi koefisien kemiringan pearson kedua data tersebut adalah 0,721.

  3(0,0925) 0,3849

  ¿

  3(0,2475−0,155) 0,3849

  s ¿

  3(x−Me)

  : KK=

   Koefisien Kemiringan Pearson Kedua

  Karena nilai s

  2

  ¿

  0,2475−0,05 0,3849

  ¿

  KK= x−Mo s

   Koefisien Kemiringan Pearson Pertama :

  = 0,3849 Jadi,nilai simpangan baku data tersebut sebesar 0,3849.

  0,1481

  s= √

  sudah diketahui,yaitu sebesar 0,14935 ,maka :

  0,1975 0,3849

B) Koefisien Kemiringan Quartil (Bowley) :

  1

  )= 0,05+

  X

  1

  2

  X

  =

  1

  4 Q

  2

  X

  4 =

  9

  4 =

  = 1(8+1)

  1

  1. Kuartil Bawah Letak Q

  Yang harus dicari : Untuk menentukan nilai kuartil,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh :

  0,05−0,05) = 0,05 Jadi,nilai kuartil bawah dari data tersebut sebesar 0,05.

  −

• 1

  2

• 2

  )= 0,25+

  3

  4 Q

  3

  =

  X

  6

  4 (

  X

  7

  −

  X

  6

  3

  4 =

  4 (

  0,29−0,25) = 0,25 + 0,03 = 0,28 Jadi,nilai dari kuartil atas data tersebut adalah 0,28.

   Koefisien Kemiringan Bowley

  

:

KK = Q

  3 −

  2 Q

  2

  1 Q

  3 − Q

  1 ¿

  0,28−2 (0,155)+0,05 0,28−0,05

  ¿

  0,02 0,23

  6

  27

  3

  4 =

  4 (

  4 (

  2. Kuartil Tengah Letak Q

  2

  = 2(8+1)

  4 =

  18

  4 =

  4

  2

  4 Q

  2

  =

  X

  4

  4 (

  X

  −

  X

  4

  )= 0,09+

  1

  2 ( 0,22−0,09) = 0,09 + 0,065 = 0,155 Jadi,nilai dari kuartil tengah data tersebut adalah 0,155.

  3. Kuartil Atas Letak Q

  3

  = 3(8+1)

  5

• 3
• Q

C) Koefisien Kemiringan Persentil

  90

  )= 0,99+

  8

  X

  −

  9

  X

  = 0,99 – 0,099 = 0,891 Jadi,persentil ke-90 data tersebut adalah 0,891

  8

  X

  =

  P

  ( 0−0,99)

  10 100

  8

  =

  810 100

  100 =

  = 90(8+1)

  90

  1. Persentil ke-90 Letak P

  Yang harus dicari : Untuk menentukan nilai kuartil,maka data pada tabel harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil,sehingga dapat diperoleh :

  ¿ 0,087 Jadi,koefisien kemiringan bowley data trsebut sebesar 0,087.

  

Karena koefisien kemiringan quartil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

  10 100

• 10

  100 (

  =

  3. Persentil ke-10 Letak P

  10

  = 10(8+1)

  100 =

  90 100

  P

  10

  X

  2. Persentil ke-50 Letak P

  100 (

  X

  1

  −

  X

  )= 0+

  90 100

  ( 0,04−0) = 0 + 0,036 = 0,036

  ( 0,22−0,09) = 0,09 + 0,065 = 0,155 Jadi,persentil ke-50 data tersebut adalah 0,155.

  50 100

  )= 0,09+

  4

  50

  = 50(8+1)

  100 =

  450 100

  =

  50 100

  P

  50

  =

  X

  4

• 50

  100 (

  X

  5

  −

  X

  4

• 90

Jadi,persentil ke-10 data tersebut adalah 0,036.

  :

   Koefisien Kemiringan Persentil

  P −

  2 P P +

  90

  50

  10 KK= P − P

  90

  10

  0,891−2 (0,155)+0,036

  ¿

  0,891−0,036 0,671

  ¿

  0,855

  =0,785 Jadi,koefisien kemiringan persentil dari data tersebut sebesar 0,785.

  

Karena koefisien kemiringan persentil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

  D)Koefisien Kemiringan Momen

  1

3 Mr = ( Xi−X )

  3 n

  1

  3

  0,155−0,2475)

  ¿ (

  8 − 0,0008

  ¿

  8

  ¿ − ¿ 0,0001 Jadi,koefisien kemiringan momen teseebut sebesar -0,0001.

  

Karena koefisien kemiringan momen < nol,maka bentuk

distribusinya negatif (ekor bagian kiri lebih panjang).

II. DERAJAT KEMIRINGAN KURVA

  Mr

  3 α

  =

  3

3 S

  0,0001 −

  ¿

  3

  ( 0,3849) 0,0001

  −

  ¿

  0,057

  ¿ − ¿ 0,00175 Jadi,derajat kemiringan kurva tersebut sebesar -0,00175.

  α

  3 

  Karena < nol,maka distribusi datanya menceng ke kiri.

III. UKURAN KERUNCINGAN DATA

A) Koefisien Keruncingan Persentil

  1 ( Q − Q )

  3

  1

  2 K=

  P − P

  90

  10

  1 ( 0,28−0,05)

  2

  ¿

  0,891−0,036 0,115

  ¿

  0,855

  0,135 ¿ Jadi,ukuran keruncingan data tersebut sebesar 0,135.

   Karena koefisien keruncingan persentil < 0,263 ,maka

B) Koefisien Keruncingan Momen

  Mr 4= ¿

  

Karena koefisien keruncingan momen < 0,263 ,maka

bentuk distribusinya adalah platikurtik.

  ¿

  1

  8 (0,155−0,2475)

  4 ¿

  0,000073

  8

  ¿

  0,000009 Jadi,koefisien keruncingan momen data tersebut sebesar 0,000009.

  1 n ^{( Xi− X ) 4 ¿}

IV. DERAJAT KERUNCINGAN KURVA

4 S

  =0,0000234 Jadi,derajat keruncingan kurva tersebut sebesar 0,0000234.

   Karena

  α

  4 < 3,maka keruncingan distibusi data tersebut adalah platikurtik.

  0,000009 0,3849

  4 =

  α= Mr

  2. Carilah data kelompok dan hitung ukuran serta derajat kemiringannya dan ukuran serta derajat keruncingannya !

  Tabel Data Kelompok : Seorang Manajer Produksi ingin mengetahui distribusi data mengenai umur karyawannya di unit kerjanya.Data-data yang diperoleh oleh Manajer Produksi adalah sebagai berikut ini.

  Sumber : https://teknikelektronika.com/cara-membuat-histogram-di-excel/ Untuk membuat tabel distribusi,data di atas harus diurutkan terlebih dahulu,sehingga menjadi : Sehingga,berdasarkan tabel tersebut dapat diperoleh tabel distribusi fekuensi sebagai berikut :

  JAWAB :

I. Ukuran Kemiringan Data

A) Koefisien Kemiringan Pearson :

  Yang perlu dicari nilainya :

1. Mean

  Untuk menghitung rata-rata kelompok,harus menggunakan nilai tengah dengan menggunakan tabel penolong seperti berikut : Sehingga nilai rata-rata (mean) data tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

  X =

  4392 100

  = 43,92 Jadi,rata-rata (mean) umur karyawannya di pabrik tersebut adalah 43,92. Untuk mencari letak modus,maka yang diambil adalah data dengan frekuensi terbesar/ terbanyak.Bagian tabel yang berwarna merah merupakan letak modus.

  d = 21−18=3

  1 d = 21−15=6

  2 C = 6

  3

  18 Mo=40,5+ 6=40,5+

  = 42,5 ( 3+6 )

  9 Jadi,nilai yang sering muncul (modus) dari data tersebut adalah 42,5.

3. Median

  Untuk menghitung nilai tengah kelompok,harus menggunakan frekuensi komulatif dan titik bawah dengan menggunakan tabel penolong seperti berikut :

  1

  1

  n= 100=50

  2

  2 Panjang Kelas : 6

  Untuk mempermudah,tabel di samping yang berwarna merah merupakan data yang dibutuhkan untuk dimasukkan ke dalam rumus.

  54 50−41

  Me=40,5+

  6

  = 40,5 + = 40,5 + 2,57 = 43,07

  21

  (

  21 )

4. Simpangan Baku

  = 0,128 Jadi koefisien kemiringan pearson pertama data tersebut adalah 0,128.

  = 0,076 Jadi koefisien kemiringan pearson kedua data tersebut adalah 0,076.

  3(0,85) 11,137

  ¿

  3(43,92−43,07) 11,137

  s ¿

  3(x−Me)

  : KK=

   Koefisien Kemiringan Pearson Kedua

  Untuk menghitung standard deviasi,diperlukan tabel penolong seperti di bwah ini (nilai µ diperoleh dari perhitungan mean sebelumnya,sehingga µ = 43,92) :

  σ = √

  ¿

  43,92−42,5 11,137

  ¿

  KK= x−Mo s

   Koefisien Kemiringan Pearson Pertama :

  = 11,137 Jadi,simpangan baku umur karyawan di pabrik tersebut adalah 11,137.

  124,0236

  ¿ √

  12402,36 100

  1,42 11,137

B) Koefisien Kemiringan Bowley :

  Yang harus dicari :

  Q

  1. Kuartil Bawah

  1

  1 Letak Q = . 100

  1

  4

  ¿

  25 25−23

  12 Q 34,5+ 6=34,5+ = = 34,5 + 0,67 = 35,17

  1

  18

  18

  ( ) Jadi,nilai dari kuartil bawah data tersebut adalah 35,17.

  2. Kuartil Tengah (Q 2) ¿¿ ¿

  Sehingga,dapat diketahui bahwa nilai dari kuartil tengah (Q ¿¿ 2) ¿ , yaitu :

  2 Letak Q = . 100

  2

  4

  ¿

  50

  50−41

  54 Q 40,5+ 6=40,5+ = = 40,5 + 2,57 = 43,07

  2

  21

  21

  ( ) Jadi,nilai dari kuartil tengah data tersebut adalah 43,07.

  3)

  3. Kuartil Atas (Q ¿¿ ¿

  Sehingga,dapat diketahui bahwa nilai dari kuartil atas (Q ¿¿ 3) ¿ , yaitu :

  3 Letak Q = . 100

  3

  4

  75 ¿

  75−62

  78 Q = 46,5+ 6=46,5+

  = 46,5 + 5,2 = 51,7

  3

  15

  15

  ( ) Jadi,nilai dari kuartil atas data tersebut adalah 51,7.

  :

   Koefisien Kemiringan Bowley

  Q

  2 Q Q

• −

  3

  2

1 KK=

  Q Q

  −

  3

  1

  51,7−2 (43,07 )+35,17

  ¿

  51,7−35,17 0,73

  ¿

  16,53

  ¿ 0,044 Jadi,koefisien kemiringan bowley data trsebut sebesar 0,044.

  

Karena koefisien kemiringan quartil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

C) Koefisien Kemiringan Persentil

  Yang harus dicari :

1. Persentil ke-10

  10 Letak P = . 100

  10

  100

  ¿

  10

  10−7

  18 D 28,5+ 6=28,5+ = = 28,5 + 1,125 = 29,625

  10

  16

  16

  ( )

  90

  = 0,13 Jadi,koefisien kemiringan persentil dari data tersebut sebesar 0,13.

  2 P

  50

  10 P

  90 − P

  10 ¿

  60,5−2 (43,07 )+29,625 60,5−29,625

  ¿

  3,985 30,875

  Letak P

  : KK= P

  50

  =

  50 100

  . 100 ¿

  50 Letak P

  90

  =

  90 100

  . 100 ¿

  90 −

   Koefisien Kemiringan Persentil

  2. Persentil ke-50 D

  . 6 = 40,5 + 2,57 = 43,07 Jadi,nilai dari persentil ke-50 data tersebut adalah 43,07.

  50

  = 40,5+

  (

  50−41

  21

  )

  6=40,5+

  9

  21

  3. Persentil ke-90 D

  = 58,5 + 2 = 60,5 Jadi,nilai dari persentil ke-94 data tersebut adalah 60,5.

  90

  = 58,5+

  (

  90−87

  9

  )

  6=58,5+

  18

  9

• P

  

Karena koefisien kemiringan persentil (bowley) >

nol,maka bentuk distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

D) Koefisien Kemiringan Momen

  1

  3 Mr = f X −

  X 3 i ( i ) n

  40351,696

  ¿

  100

  ¿ 403,51696 ¿ 403,52 Jadi,koefisien kemiringan momen teseebut sebesar 403,52.

  

Karena koefisien kemiringan momen > nol,maka bentuk

distribusinya positif (ekor bagian kanan lebih panjang).

II. DERAJAT KEMIRINGAN KURVA

  Mr

  3 α

  =

  3

3 S

  403,52

  ¿ ¿ ¿

  403,52

  ¿

  1381,35

  ¿ 0,292 Jadi,derajat kemiringan kurva tersebut sebesar 0,292.

  α

  3 

  Karena > nol,maka distribusi datanya menceng ke kanan.

III. UKURAN KERUNCINGAN DATA

  A) Koefisien Keruncingan Persentil

  1 Q Q ( − )

  3

  1

  2 K=

  P P

  −

  90

  10

  1 51,7−35,17)

  (

  2

  ¿

  60,5−29,625 8,,265

  ¿

  30,875 0,268

  ¿ Jadi,ukuran keruncingan data tersebut sebesar 0,268.

   Karena koefisien keruncingan persentil > 0,263 ,maka bentuk distribusinya adalah leptokurtik.

  B) Koefisien Keruncingan Momen

  Mr

  1 ⁴ 4= ¿ f ( _{i i} X − X ) ¿ n

  3494686,181

  ¿

  100

  ¿ 34946,86181 ¿ 34946,86 Jadi,koefisien keruncingan momen data tersebut sebesar 34946,86.

  

Karena koefisien keruncingan momen > 0,263 ,maka

bentuk distribusinya adalah leptokurtik.

IV. DERAJAT KERUNCIINGAN KURVA

  Mr

  4 α =

  4

4 S

  34946,86

  4 =

  ( 11,137) 34946,86

  =

  15384,13

  =2,272 Jadi,derajat keruncingan kurva tersebut sebesar 2,272.

  α

  4 

  Karena < 3,maka keruncingan distibusi data tersebut adalah platikurtik.