CONTOH LEMBAR KERJA SISWA SMA MA
TUGAS !!
TELAAH MATEMATIKA SM
“LEMBAR KERJA SISWA (LKS) KELAS XII SEMESTER II SMA/MA”
OLEH :
KELOMPOK I
1.
RISKA NOVIANTY
(AIA313046)
2.
NURHIDAYAH
(A1A313037)
3.
WAYAN NINIK R
(A1A313061)
4.
RHISKIKAH WAHYUNI
(A1A313044)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEMBILANBELAS NOVEMBER KOLAKA
KOLAKA
2016
KATA PENGANTAR
Pertama-tama marilah kita panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, atas
limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga tugas Telaah Matematika SM ini ( Lembar Kerja
Siswa Kelas XII Semester II SMA/MA) dapat terselesaikan. Tugas ini disusun berdasarkan
pengumpulan dari berbagai sumber, dan untuk memehuni tugas Telaah Matematika SM.
Penulis ucapkan terimakasih juga kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian tugas ini. Semoga tugas yang penulis buat dapat bermanfaat bagi penulis
pribadi maupun pihak yang membaca.
Penulis menyadari bahwa tugas ini sangat jauh dari sempurna, masih banyak
kelemahan dan kekurangan. Setiap saran, kritik, dan komentar yang bersifat membangun
dari pembaca sangat penulis harapkan untuk meningkatkan kualitas dan menyempurnakan
tugas ini.
Kolaka,
Juni 2016
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL
.......................................
KATA PENGANTAR
....................................... i
DAFTAR ISI
....................................... ii
LEMBAR KERJA SISWA
A.
Menggunakan Konsep Barisan dan Deret dalam Pemecahan Masalah
1. Menentukan Suku Ke-n Barisan dan Jumlah n Suku Deret
Aritmetika dan Geometri
.......................
2. Menggunakan Notasi Sigma dalam Deret dan Induksi
Matematika dalam Pembuktian
........................
3. Merancang Model Matematika dari Masalah
Yang Berkaitan dengan deret
........................
4. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang
Berkaitan dengan Deret dan Penafsirannya
B.
........................
Mengguanakan Aturan yang Berkaitan dengan Fungsi Eksponen dan Logaritma
Dalam Pemecahan Masalah
1. Menggunakan Sifat-sifat Fungsi Eksponen dan Logaritma
Dalam Pemecahan Masalah
DAFTAR PUSTAKA
........................
........................
32
LEMBAR KERJA SISWA ( L K S )
SATUAN PENDIDIKAN
: SMA
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS
: XII
SEMESTER
: II
STANDAR KOMPETENSI
: MENGGUNAKAN BARISAN DAN DERET
DALAM PEMECAHAN MASALAH
KOMPETENSI DASAR
: 1. MENENTUKAN SUKU KE-n DERET
ARITMETIKA DAN GEOMETRI
INDIKATOR
: 1. MENJELASKAN ARTI BARISAN DAN DERET
2. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN
DERET ARITMETIKA
3. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN
DERET GEOMETRI
4. MENGHITUNG SUKU KE-n DAN JUMLAH n
SUKU DERET ARITMETIKA DAN GEOMETR
TUJUAN
: 1. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
2. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
3. SISWA DAPAT MENENTUKAN
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
RUMUS
4. SISWA DAPAT MENGHITUNG SUKU KE-n
DAN JUMLAH n SUKU DERET ARITMETIKA
DAN GEOMETR
ALOKASI WAKTU
: 4 X 40’
A.
Menjelaskan Arti Barisan dan Deret
1. Barisan
Contoh barisan
a. 1, 4, 7, 10, 13, ....
b. 2, 7, 12, 17, 22, ....
c. 9, 8, 7, 6, 5, ....
d. 1, 2, 3, 4, 5, ....
Kesimpulan : Barisan adalah ...
2. Deret Bilangan
Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1 , U2 , U3 , ... , Un dan Sn adalah
jumlah dari suku-suku barisan itu.
Maka : Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn disebut dengan deret bilangan
Kesimpulan :Deret bilangan adalah ....
B.
Menemukan Rumus Barisan dan Deret Aritmetika
1. Rumus Barisan Aritmetika
U1 , U2 , U3 , U4 , ... , Un
a = U1
== > Maka a adalah suku ke- ....
b = U2 - U1 == > Maka rumus b adalah suku ke- .... di kurang dengan suku
ke- ....
𝑈1
𝑈2
𝑈3
𝑈4
𝑈5
.
.
.
𝑈𝑛
=⋯
= …+ 𝑏
= … + 2𝑏
= … + 3𝑏
= … + 4𝑏
= 𝑎 + (… − 1) 𝑥 ….
Jadi, rumus suku ke- n adalah
Keterangan :
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑈𝑛 = 𝑎 + (… − 1) 𝑥 …
2.
Deret Aritmetika
𝑈1 = ⋯
𝑈2
𝑈3
𝑈4
𝑈5
.
.
.
𝑈𝑛
=
=
=
=
𝑈1 +
𝑈2 +
𝑈3 +
𝑈4 +
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
= (𝑎 + 𝑏 ) + ⋯
= (𝑎 + 2𝑏 ) + ⋯
= (𝑎 + 3𝑏 ) + ⋯
= ⋯+ 𝑏
= ⋯ + 2𝑏
= ⋯ + 3𝑏
= ⋯ + 4𝑏
= 𝑎 + (… − 1) 𝑏
Dengan demikian, diperoleh 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + ( … − 1 )𝑏
............ (1)
Dapat pula dinyatakan bahwa nilai setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.
𝑈𝑛−1 = 𝑈𝑛 − 𝑏
𝑈𝑛−2 = 𝑈𝑛−1 − 𝑏
𝑈𝑛−3 = 𝑈…….. − 𝑏
= ⋯ − 2𝑏
= ⋯ − 3𝑏
Dengan demikian seterusnya sehingga 𝑆𝑛 dapat dituliskan :
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + ⋯ + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + (𝑈𝑛 − 𝑏) + 𝑈𝑛 ................. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) jika kita jumlahkan, diperoleh :
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (… − 1 )𝑏)
𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + (𝑈𝑛 − 𝑏) + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + ⋯ + 𝑎
+
2𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + ⋯ ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + ⋯ + (𝑎 + ⋯ )
Dengan demikian : 2𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 )
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 )
2
1
𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎 + (… + ( … − 1)𝑏)
2
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏)
2
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah ...
1
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 ) atau 𝑆𝑛 = 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏)
2
2
Keterangan :
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛
C.
Menentukan Rumus Barisan dan Deret Geometri
1. Rumus Barisan Geometri
Contoh soal :
a. 3, 6, 12, 24, ...
Untuk mencari rasionya adalah
2
6
3
=
12
=
8
=
…
…
12
= ⋯ = 2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 =
b. 2, -4, 8, -16, ...
Untuk mencari rasionya adalah
−2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 = 2
−4
2
=
…
…
8
=⋯=
Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1 , U2 , U3 , ... , Un barisan geometri dengan
Un adalah rumus ke-n dan r adalah rasio, berlaku :
….
𝑟=
𝑈𝑛−1
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan
rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.
𝑈1 = 𝑎
𝑈2
𝑈3
𝑈4
.
.
.
𝑈𝑛
= 𝑈1 × 𝑟
= 𝑈2 × 𝑟
= 𝑈3 × 𝑟
= ⋯𝑟
= ⋯ 𝑟…
= ⋯ 𝑟…
= 𝑈𝑛−1 × … = (𝑎𝑟 … × 𝑟 ) = 𝑎𝑟 …
Dengan demikian diperoleh barisan goemetri a, ar, ar2 , ..., arn-1.
Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri, yaitu :
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 …
Keterangan :
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 𝑛
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
2.
Rumus Deret Geometri
Jika U1 , U2 , U3 , ... , Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... +
Un adalah deret geometri dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n
suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misal 𝑆𝑛 notasi dari jumlah
n suku pertama.
𝑛
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = ∑ 𝑈𝑖
𝑖=1
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 ......................... (1)
Jika kedua ruas dikalikan dengan r, maka diperoleh :
… 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 … ......................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), maka diperoleh :
… 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 …
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
_
… 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛
↔ (𝑟 − ⋯ )𝑆𝑛 = … (…𝑛 − 1)
↔ 𝑆𝑛 =
… (…𝑛 − 1)
(𝑟 − ⋯ )
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
↔ 𝑆𝑛 =
↔ 𝑆𝑛 =
… (…𝑛 − 1)
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1
(𝑟 − ⋯ )
… (1 − …𝑛 )
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1
(𝑟 − ⋯ )
Keterangan :
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
D.
Menghitung Suku Ke-n Suku Deret Aritmetika dan Jumlah Suku n Deret Geometri
Contoh soal :
1.
Menghitung Suku Ke-n Deret Aritmetika
a. Diketahui barisan 3, 5, 7, 9, .... Tentukan suku ke-10nya.
Jawab :
Dik : a = 3 dan b = 5- ... = 2
Dit : Suku ke-10
Peny :
Langkah 1 tentukan rumus ke-n
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
=
=
=
=
=
𝑎 + (… − 1) 𝑏
3 + (… − 1) …
3 + (… − 1) ….
3 + ⋯𝑛 − 2
3 − ⋯+ ⋯𝑛
Langkah 2 cari suku ke-10
𝑈𝑛 = 3 − ⋯ + ⋯ 𝑛
𝑈10 = 3 − ⋯ + ⋯ × 10
𝑈10 = 3 − ⋯ + 20
𝑈10 = 21
b. Diketahui barisan 7, 11, 15, .... Tentukan suku ke-15nya.
Jawab :
Dik : a = 7 dan b = 11- ... = 4
Dit : Suku ke-15
Peny :
Langkah 1 tentukan rumus ke-n
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
=
=
=
=
=
𝑎 + (… − 1) 𝑏
7 + (… − 1) …
7 + (… − 1) ….
7 + ⋯𝑛 − 4
7 − ⋯+ ⋯𝑛
Langkah 2 cari suku ke-10
𝑈𝑛 = 7 − ⋯ + ⋯ 𝑛
𝑈15 = 7 − ⋯ + ⋯ × 15
𝑈15 = 7 − ⋯ + 60
𝑈15 = 63
2. Menghitung Jumlah Suku n Deret Geometri
a. Diketahui barisan 1, 2, 4 .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya.
Jawab :
2
Dik : a = 1 dan 𝑟 = = 2
Dit : Suku ke-6
Peny :
… (… . .𝑛 − 1)
𝑆𝑛 =
(𝑟 − ⋯ )
… (… . .6 − 1)
𝑆6 =
(𝑟 − ⋯ )
… (64 − 1)
𝑆6 =
(𝑟 − ⋯ )
𝑆6 = 63
1
b. Diketahui barisan 8, 4, 2, .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya.
Jawab :
4
Dik : a = 8 dan 𝑟 = =
8
Dit : Suku ke-6
Peny :
… (… − … . .𝑛 )
(… . . −𝑟 )
… (… − … . .6 )
𝑆𝑛 =
1
(… . . − )
2
1
… (… −
)
64
𝑆𝑛 =
1
(… . . − )
2
1008
𝑆𝑛 =
…
𝑆𝑛 =
𝑆𝑛 =
63
4
1
2
Lembar kerja siswa
Satuan pendidikan
: SMA
Mata pelajaran
: MATEMATIKA
Kelas
: XII
Semester
: II
Standar kompetensi
: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Kompetensi dasar
: menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika
dalam pembuktian.
Indikator
: 1. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma
2. menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
Tujuan pembelajaran : 1. siswa dapat menuliskan suatu deret dangan notasi sigma
2. siswa dapat menggunakan induksi matematikadalampembuktian
Alokasi waktu
: 2 X 45 menit
A. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma
Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”∑” adalah sebuah huruf Yunani yang
artinya penjumlahan. Sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan bentuk panjang sukusuku suatu deret. ∑𝑛𝑖=1 𝑥1 dimana i merupakan batas bawah, n merupakan batas bawah, dan
𝑥1 adalah rumus sigma.
Jika diketahui tak terhingga 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , … , 𝒂𝒏 , maka jumlah n suku pertama barisan
tersebut dinyatakan dengan ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏
Contoh soal
1. 1+5+8+...+29
Jika diselidiki deret tersebut adalah deret aritmetika dengan beda 4, maka dapat
digunakan rumus Baris aritmetika yaitu
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= 1 + (𝑛 − 1)4
= 1 + 4𝑛 − 4
= 4𝑛 − 3
Soal
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(4𝑛 − 3)
Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan
1. 11 + 18 + 25 + ... + 102
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= ⋯ + (. . . −1) …
= 11 + ⋯ − 8
= 8𝑛 + ⋯
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
2. 22+ 29 + 34 + ... + 104
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
=. … + (. … − 1) ….
= ⋯+ ⋯− ⋯
= ⋯𝑛 +⋯
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
3. 1+3+5+7+9
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
=. … + (. … − 1) ….
= ⋯+ ⋯− ⋯
= ⋯𝑛 +⋯
= ....
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
4. 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 𝑛2
𝑛
∑ 𝑘 2 = 𝑛( … +. . . )(… +. . . )
𝑘=1
B. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 merupakan jumlah n bilangan ganjil pertama.
Untuk membuktikan kedua ruas bernilai sama dapat menggunakan induksi matematika
yang telah kalian pelajari di Kelas X. Langkah- langkah pembuktian tersebut adalah
sebagai berikut:
1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar
2. Langkah Induksi : Untuk n = k benar
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar yaitu
1 = 12
1=1
2. Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘 2
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 juga benar
Bukti :
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2
𝑘2
𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2
(𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
Soal:
1
a) Buktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
Penyelesaian:
Basis Induksi : Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu
1
1 = … (… + ⋯ )
2
1
1 = 1(2)
2
1=⋯
Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
1
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = ⋯ (⋯ + ⋯ )
2
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
1
Bukti:
1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑘 + 1) = (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ )
2
1
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (⋯ + 1) = (𝑘 + ⋯ )(⋯ + 2)
1
2
2
1
𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) = (⋯ + ⋯ )(𝑘 + ⋯ )
2
1
2
𝑘(𝑘 + 1) +
1
2
2(⋯+1)
2
1
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
1
(𝑘 + 1)(⋯ + 2) = (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ )
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
2
1
b) Buktikan 12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑛2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Penyelesaian
Basis Induksi Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu
1=
1
6
1
1(… +. . . )(2 𝑥 … +. . . )
1 = …𝑥…
6
1=1
Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 =
1
𝑘(… + 1)(… 𝑘 + 1)
6
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 + (𝑘 + 1)2 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)
1
6
𝑘(𝑘 + ⋯ )(… 𝑘 + ⋯ ) + (𝐾 + ⋯ )2
= (k+...)(
….𝑘 2
6
+
….𝑘
…..
+ 1)
= (k + ...)(… 𝑘 2 + ⋯ 𝑘 + 6)
= (k + ...)(k + ...)(...k+ ...)
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
Lembar kerja siswa
Satuan pendidikan
: SMA
Mata pelajaran
: MATEMATIKA
Kelas
: XII
Semester
: II
Standar kompetensi
: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Kompetensi dasar
: merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
deret
indikator
:1. mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret
2. merumuskan model matematika dari masalah deret
Tujuan pembelajaran :1. siswa dapat mengidentifasi masalah yang berkaitan dengan deret
2. siswa dapat merumuskan matematika dari masalah deret
Alokasi waktu
:2 X 45 menit
A. Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret
Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang ekonomi seperti perbankan,
perdagangan, dan lain sebagainya. Lebih jelasnya,
1. Rina menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%. Berapa
besar modal setelah 2 tahun?
Penyelesaian
1.
Misalkan M adalah modal awal, b adalah bunga setiap tahun, n adalah
periode, dan Mn adalah modal setelah ditambah bunga majemuk.
M = 20.000.000,00
n=2
b = 5% = ..................
𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑏)𝑛
=. . . … … … … … … … . . . (1 + ⋯ )2
= 20.000.000 (1,05)2
=..............................................
2. Wagiman membeli sebuah komputer seharga Rp 3.000.000,00. Setiap satu bulan
kerja terjadi penyusutan sebesar 10% dari harga beli. Berapakah harga jual komputer
tersebut pada akhir 9 bulan kerja?
Penyelesaian
Misalkan M adalah harga beli, p adalah penyusutan, n adalah periode, dan Mn adalah modal
setelah ditambah harga majemuk.
M = Rp 3.000.000,00
p = ...........
n=9
Harga komputer pada akhir periode n adalah 𝑀 = 𝑀(1 −
Maka harga jual komputer pada akhir 9 bulan kerja adalah
3.000.000(1 −
10 9
) = 3.000.000(1 − ⋯ )9
100
= ................(0,9)9
= 3.000.000 x 0,387
= ..............................
𝑝
)𝑛
100
B. merumuskan model matematika dari masalah deret
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan
menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dalam menyelesaikan suatu
masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan
adalah mengubah masalah nyata tersebut ke dalam model matematika, setelah itu
dicari solusinya. Solusi yang didapat diinterpretasikan kembali ke masalah nyata
yang tadi dimodelkan, sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata.
Soal
1. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 3.000 unit barang. Pada tahuntahun berikutnya, usahanya meningkat sehingga produksinya naik secara tetap
sebesar 100 unit per tahun. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut
memproduksi 5.600 unit barang?
Jawab:
Dengan cara memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika,
diperoleh suku pertama 3.000 dan bedanya 100, serta Un = 5600. Dengan
demikian, yang dicari adalah n. Gunakan rumus suku ke–n, yaitu
Un = a + (n – 1) b
5600 = ...... + (n – 1).......
5600 = ....... + 100 n –.............
5600 = ......... + 100 n
100 n = ......... – 2900
100 n = .......
n=
2700
100
= 27
Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 5600 unit barang pada tahun ke 27
2. Suatu keluarga memiliki 5 orang anak. Saat ini, usia kelima anak tersebut
membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 12 tahun dan usia anak
ke-5 adalah 7 tahun, tentukan jumlah usia kelima anak tersebut.
Jawab:
Dengan memodelkan permasalahan tersebut, diperoleh
n=5
U3 = 12 = ...... + 2b
...(1)
U5 = 7 = a + ......b _ ...(2)
5 = –2b
b = –2,5
Dengan menyubstitusikan b = –2,5 ke persamaan (1), diperoleh
a + 2b = 12
a + .......(–2,5) = .......
a – ...... = 12
a = ....... + 5 = 17
Dengan demikian,
S5 =
=
=
5
2
5
2
5
2
(… … 𝑎(… . . −1)𝑏)
(… … 𝑥 17 + ⋯ (−2,5))
(34 − ⋯ )
= 60
Jadi, jumlah usia kelima anak tersebut adalah 60 tahun.
Lembar Kerja Siswa (LKS)
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Standar kompetensi
masalah
Kompetensi dasar
Indikator
Tujuan
Alokasi Waktu
:
:
:
:
SMA/MA
Matematika
XII/2(Genap)
Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan
: Meyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan
deret dan penafsirannya
: Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan
dengan deret
: Agar siswa dapat menyelesaikan model-model matematika yang
berkaitan dengan deret
: 2 x 45 menit
Seringkali kita menjumpai barisan bilangan dan kita ingin mengetahui jumlah
bilangan-bilangan tersebut. Sebagai contoh, berikut ini adalah barisan bilngan yang
menyatakan banyaknya kaset yang terjual tiap hari selama lima hari berturut-turut di
suatu took kaset. Kita ingin mengetahui jumlah penjualan kaset selama lima hari
tersebut.
25, 30, 35, 40, 45
Pada hari pertama kase yang terjual adalah 25. Setelah 2 hari, kaset yang terjual
adalah 25 + 30 = 55. Setelah 3 hari, kaset yang terjual adalah 25 + 30 + 35 = 90,
demikian seterusnya sehingga jumlah keseluruhan kaset yang terjual selama 5 hari
adalah 25 + 30 + 35 + 40 + 45 = 175. Penjumlahan suku-suku dari barisan bilngan
tersebut selanjutnya disebut sebagai deret bilangan.
Secara umum dapat dituliskan berikut ini.
Jika 𝑢1 , 𝑢2, 𝑢3,…. 𝑢𝑛 adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian
dengan barisan tersebut adalah 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 … 𝑢𝑛
1. Hitung nilai dari : 3 + 5 + 7 + …+ 155.
Jawab:
Barisan aritmetika yang bersesuaian dengan deret 3 + 5 + 7 + …+ 155 mempunyai
suku pertama a = 3, beda b = 5 – 3 = 2, dan suku ke-n adalah 𝑢𝑛 = 155. Banyaknya
suku dari barisan tersebut dicari sebagai berikut.
𝑢𝑛 = 155
𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏 = 155
… + (n - 1) 2…= 155
…𝑛
= 155
…𝑛 = 155
n = 155/…
n = 77
sehingga
𝑛
𝑆𝑛 = (a + 𝑈𝑛 )
𝑆77 =
2
77
2
(…+ 155)
𝑆77 = (77)(…)
𝑆77 = 6083
Jadi, 3 + 5 + 7 + … + 155 = 6083
2. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 3, 7, 11, 15,…
Jawab:
Dari barisan tersebut diperoleh a = 3 dan b = 7 – 3 =4.
𝒏
Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 = (𝟐𝒂 + (n - 1) b)
𝑠𝑛 =
𝑠𝑛 =
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
(2(… )+ (n - 1) b)
𝟐
(…+ (n - 1) 4)
= (… + …n - 4)
2
𝑛
= (…n + 2)
2
Sn = 2n² + n
3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmetika 3,7,11,15,…
Jawab:
Jumlah 20 suku pertama adalah
Sn = 2n² + n
S20 = … . 20² + 20
= … + 20
= 820
4. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 2, 6, 10, 14,…
Jawab:
Dari barisan tersebut diperoleh a = 2 dan b = 6 – 2 =4.
𝒏
Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 =
𝑠𝑛 =
𝑠𝑛 =
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
𝟐
(2(4)+ (n - 1) 4)
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
(…+ (n - 1) 4)
= (… + 4n - …)
2
𝑛
= (4n + …)
2
Sn = 2n² + n
5. Tentukan jumlah 40 suku pertama dari barisan aritmetika 2,6,10,14,…
Jawab:
Jumlah 40 suku pertama adalah
Sn = 2n² + n
S40 = 2 . …² + …
= 3200 + …
= 3240
6. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan suku
ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…
Jawab:
Un= a + (n-1) b
𝑈3 = a + 2𝑏 = 36
…
(i)
𝑈5 + 𝑈7 = 144
(a + 4𝑏 ) + (a + 6𝑏 ) = 144
2𝑎
a
+
+ 10𝑏
= 144
…𝑏 = 72
...
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a
+
…𝑏
(36 - 2𝑏 ) + 5𝑏
= 72
= 72
36 + (… .𝑏 − …𝑏 ) = 72
…𝑏
b
= 36
=
36
…
= 12
1
(dikalikan )
2
(ii)
kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 36 - 2𝑏
36 – 2(12) = 12
Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 :
𝒔𝒏 =
𝒏
𝑠10 =
𝟐
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
…
2
(… (12) + (10 - 1) …)
= … (24 + (9) …)
= …(24 + ….)
= …(132)
= 660
7. Dari suatu barisan aritmetika, suku kelima adalah 50, jumlah suku ketujuh dan suku
kesembilan adalah 222. Jumlah empatbelas suku pertama deret tersebut adalah…
Jawab:
Un= a + (n-1) b
𝑈5 = a + 2𝑏 = 50
…
(i)
𝑈7 + 𝑈9 = 222
(a + 6𝑏 ) + (a + 8𝑏 ) = 222
2𝑎
a
+
+ 14𝑏
= 222
7𝑏 = 111
...
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a
+
7𝑏
(50 - 2𝑏 ) + 7𝑏
= 111
= 111
50 + (7𝑏 − 2𝑏 ) = 111
5𝑏
b
= 50
=
50
5
= 10
1
(dikalikan )
2
(ii)
kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 50 - 2𝑏
… – 2(…) =30
Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 :
𝒔𝒏 =
𝑠14 =
𝒏
𝟐
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
14
2
(2(… ) + (… - 1) …)
= 7 (…+ (…) …)
= 5 (… + …)
= 5 (…)
= 1330
8. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret
aritmetika, semakin muda usia anak maka semakin banyak permen yang dieroleh.
Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah,
maka jumlah seluruh permen adalah … buah.
Jawab:
𝑈2 = a + b = 11 … (i)
𝑈4 = a + 3𝑏 = 19 … (ii)
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :
a + 3𝑏 = 19
3𝑏 – b = 19 -…
2𝑏 = 8
8
b= =4
2
kemudian subtitusi nilai b tersebut kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
menjadi :
a = 11 – b
=…–…
=7
Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut kerumusnya :
𝑺𝒏 =
𝒏
𝑆5 =
𝟐
5
2
5
= 2
=
(𝟐𝒂 – (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
(2(… ) – (… . −1) …)
(… + ⋯ )
5
2
(… )
= 75
9. Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar
bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000, 00, bulan kedua Rp.
55.000,00, bulan ketiga Rp. 60.000,00 dan seterusnya besar tabungan anak tersebut
selama dua tahun adalah …
Jawab:
𝑈1 = a = Rp. 50.000,00
𝑈2 = Rp. 55.000,00
𝑈3 = Rp. 60.000,00
b = 𝑈2 - 𝑈1
= Rp.55.000 – Rp.50.000
= Rp.5.000,00
2 tahun = 24 bulan, jadi n = 24
𝑺𝒏 =
𝒏
𝑆24 =
𝟐
(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
24
2
(2(… ) – (… − 1) ….)
= 12 (…. + 23 (…))
= 12 (…. + 115.000)
= …(215.000)
= 2.580.000
10. Dari suatu deret aritmetika diketahui 𝑈3 = 13 dan 𝑈7 = 29. Jumlah dua puluh lima
suku pertama deret tersebut adalah …
Jawab:
𝑈3 = a + 2𝑏 = 13 … (i)
𝑈7 = a + 6𝑏 = 29 …(ii)
Subtitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
(13 - 2𝑏 ) + 6𝑏 = 29
…𝑏 - 2𝑏 = 29 – …
…𝑏 = 16
b=
16
=4
4
kemudian nilai b disubtitusi kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 13 - 2𝑏
= 13 – 2(…) = …
𝑺𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
𝑆25 =
𝑆25 =
𝑆25 =
𝑆25 =
25
2
25
2
25
2
25
2
(2(… ) + (… − 1) 4)
(10 + (… ) 4)
(… + ⋯ )
(… ) = 1325
Lembar Kerja Siswa (LKS)
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Standar kompetensi
dan
:
:
:
:
Kompetensi dasar
:
Indikator
:
Tujuan
:
Alokasi Waktu
:
SMA/MA
Matematika
XII/2(Genap)
Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen
logaritma dalam pemecahan masalah
Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam
Pemecahan masalah
a.menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
b.menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma
c.menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen
dan logaritma
Agar siswa dapat menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan
logaritma dalam pemecahan masalh
2 x 45 menit
Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
Pangkat merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan tersebut disebut dengan fungsi
eksponen.
Fungsi eksponen dan penerapannya
1. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 1
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 35𝑥−10 = 1
2
b. 22𝑥 +3𝑥−5 = 1
Jawab :
a. 35𝑥−10 = 1
3…𝑥−⋯ = 30
…x - … = 0
…x
= 10
X
=2
b. 22𝑥
2 +3𝑥−5
2𝑥 2 +3𝑥−5
=1
2
= …0
2x²+3x-5 = 0
(…x + …) (x - 1) = 0
…x + …= 0 x – 1 = 0
X=
5
𝑥=1
2
2. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = p.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 52𝑥−1 = 625
b. 22𝑥−7 =
1
32
Jawab :
a. 52𝑥−1 = 625
…2𝑥−1 = 5…
2x – 1 = …
…x
=4
X
=2
b. 22𝑥−7 =
1
32
2…𝑥−⋯ = …−5
…x – 7 = -5
…x
= 2
X
=1
𝑓(𝑥)
3. Bentuk 𝑎
= 𝑎 𝑔(𝑥)
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) dengan a>0 dan a≠0, maka 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥)
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2
2
a. 9𝑥 +𝑥 = 27𝑥 −1
b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥
Jawab :
a. 9𝑥
2 +𝑥
2
= 27𝑥
2 −1
2
…2(𝑥 +𝑥) = …3𝑥 −1
2(x² + x) = 3(…² - 1)
…x² + …x = 3…² - 3
x² - …x – 3 = 0
(x - …) (x + …) = 0
X = … x = -…
Jadi HP = {-1,3}
b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥
…x + … = -… + x
…x – x = -1 – …
X = -…
Jadi HP = {-5}
…2(𝑥+2) = …−1(1−𝑥)
4. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥)
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3
2
2 −5𝑥+6
2
2
b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥
Jawab :
a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3
X–…=0
…=…
Jadi HP = {3}
b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥 −5𝑥+6
…² - …x + … = 0
(x - ..) (x + …) = 0
X = … x = -…
Jadi HP = {-1,6}
5. Bentuk 𝐴(𝑎 𝑓(𝑥) )² = B(𝑏 𝑓(𝑥) ) + 𝑐 = 0
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan
kuadrat : Ap² + Bp + c = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0
b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27
Jawab :
a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0
22𝑥 − …𝑥 . …3 + 16 = 0
Dengan memisahkan 2𝑥 = p, maka persamaan menjadi :
p² - 8p + 16 = 0
(p - …) (p - …) = 0
P=4
Untuk p = 4 => 2𝑥 = …
2 𝑥 = …2
X=2
Jadi HP = {2}
b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27
(… ²)𝑥 − 2. …𝑥 . …1 = 27
(… ²)𝑥 − …. 3𝑥 . 3 − 27 = 0
(… ²)𝑥 − 6. …𝑥 − 27 = 0
(3𝑥 − ⋯ ) (3𝑥 + ⋯ ) = 0
3𝑥 = ⋯ 𝑎𝑡𝑎𝑢 3𝑥 = -…
Dari 3𝑥 = ⋯ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 3𝑥 = ..² x = 2
Dari 3𝑥 = −3 tidak diperoleh nilai pengganti x sebab 3𝑥 harus positif.
Jadi HP = {2}
Menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritmaType equation here.
1. Sifat-sifat eksponen
Misalnya a dan b bilangan real (a≠0,b≠0) serta x dan y bilangan rasional,maka
berlaku hubungan berikut.
a. 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎
b. ( )
𝑏
𝑎𝑦𝑥
𝑥
𝑦
e. 𝑎−𝑥 =
𝑎𝑥
1
𝑎𝑥
f. (𝑎 𝑥 )y = 𝑎 𝑥𝑦
= 𝑏𝑥
g. 𝑎0 = 1
c.
= √𝑎 𝑥
d. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦
Sederhanakan tiap bentuk berikut !
a.
3𝑛+2 −3𝑛
3𝑛 −3𝑛−1
Jawab:
3𝑛+2 −3𝑛
3𝑛 −3𝑛−1
…𝑛 …²−3𝑛
= 3𝑛 −…𝑛 …−1
=
=
3𝑛 (..²−1)
3𝑛 (1−…−1 )
8
2
3
= 12
2. Sifat-sifat logaritma
Untuk bilangan pokok positif tetapi tidak sama dengan satu dan numerous positif,
berlaku sifat-sifat logaritma berikut.
𝑎
a.
log a = 1; 𝑎 log 1 = 0; 𝑎 log 𝑎𝑛 =n;
𝑎
b.
log xy = 𝑎 log x + 𝑎 log y
c.
d.
e.
f.
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑥
𝑎
log =
𝑦
𝑦
log x -
log 𝑥 = 𝑦
log x =
log x.
𝑎
𝑎
𝑎 log x
𝑎 log a
log x
log y =
𝑎
𝑎
log y ;
𝑎
𝑥
log = 𝑦
𝑎
log
𝑦
𝑥
log y
Sederhanakanlah bentuk log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 !
Jawab :
log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 = log x + log …4 + log …9
= log (x …4 …9)
= log … .14
= 14 log x
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma
1. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 2𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {3,2,1,0,-1,-2,-3}.
Jawab:
f(x) = 2𝑥
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 2… = 8
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 2… = 4
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 2… = 2
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 2… = 1
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 2− ⋯ =
−⋯
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 2
−⋯
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 2
=
=
1
2
1
4
1
8
2. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 4𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}.
Jawab:
f(x) = 4𝑥
untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = 44 = …
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 43 = ….
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 42 = …
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 41 = ….
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 40 = …
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 4−1 = ….
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 4−2 = ….
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 4−3 = …
untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = 4−4 = …
3. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 21−𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}.
Jawab:
f(x) = 21−𝑥
untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = … =
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = … =
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = … =
1
8
1
4
1
2
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = … = 1
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = … = 2
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = … = 4
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = … = 16
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = … = 32
untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = … = 64
DAFTAR PUSTAKA
Anwar, cecep, H.F.S dan Pesta E. S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid III untuk SMA/MA
Kelas XII Program Study Ilmu Alam. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional
Tim Edukatif HTS. 2009. Modul Matematika. Surakarta : CV Hayati Tumbuh Subur
Tim Metode Ilham. 2010. Ilmu Hitung Matematika dengan Otak Kanan
TELAAH MATEMATIKA SM
“LEMBAR KERJA SISWA (LKS) KELAS XII SEMESTER II SMA/MA”
OLEH :
KELOMPOK I
1.
RISKA NOVIANTY
(AIA313046)
2.
NURHIDAYAH
(A1A313037)
3.
WAYAN NINIK R
(A1A313061)
4.
RHISKIKAH WAHYUNI
(A1A313044)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEMBILANBELAS NOVEMBER KOLAKA
KOLAKA
2016
KATA PENGANTAR
Pertama-tama marilah kita panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, atas
limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga tugas Telaah Matematika SM ini ( Lembar Kerja
Siswa Kelas XII Semester II SMA/MA) dapat terselesaikan. Tugas ini disusun berdasarkan
pengumpulan dari berbagai sumber, dan untuk memehuni tugas Telaah Matematika SM.
Penulis ucapkan terimakasih juga kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian tugas ini. Semoga tugas yang penulis buat dapat bermanfaat bagi penulis
pribadi maupun pihak yang membaca.
Penulis menyadari bahwa tugas ini sangat jauh dari sempurna, masih banyak
kelemahan dan kekurangan. Setiap saran, kritik, dan komentar yang bersifat membangun
dari pembaca sangat penulis harapkan untuk meningkatkan kualitas dan menyempurnakan
tugas ini.
Kolaka,
Juni 2016
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL
.......................................
KATA PENGANTAR
....................................... i
DAFTAR ISI
....................................... ii
LEMBAR KERJA SISWA
A.
Menggunakan Konsep Barisan dan Deret dalam Pemecahan Masalah
1. Menentukan Suku Ke-n Barisan dan Jumlah n Suku Deret
Aritmetika dan Geometri
.......................
2. Menggunakan Notasi Sigma dalam Deret dan Induksi
Matematika dalam Pembuktian
........................
3. Merancang Model Matematika dari Masalah
Yang Berkaitan dengan deret
........................
4. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang
Berkaitan dengan Deret dan Penafsirannya
B.
........................
Mengguanakan Aturan yang Berkaitan dengan Fungsi Eksponen dan Logaritma
Dalam Pemecahan Masalah
1. Menggunakan Sifat-sifat Fungsi Eksponen dan Logaritma
Dalam Pemecahan Masalah
DAFTAR PUSTAKA
........................
........................
32
LEMBAR KERJA SISWA ( L K S )
SATUAN PENDIDIKAN
: SMA
MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA
KELAS
: XII
SEMESTER
: II
STANDAR KOMPETENSI
: MENGGUNAKAN BARISAN DAN DERET
DALAM PEMECAHAN MASALAH
KOMPETENSI DASAR
: 1. MENENTUKAN SUKU KE-n DERET
ARITMETIKA DAN GEOMETRI
INDIKATOR
: 1. MENJELASKAN ARTI BARISAN DAN DERET
2. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN
DERET ARITMETIKA
3. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN
DERET GEOMETRI
4. MENGHITUNG SUKU KE-n DAN JUMLAH n
SUKU DERET ARITMETIKA DAN GEOMETR
TUJUAN
: 1. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
2. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n
DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
3. SISWA DAPAT MENENTUKAN
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
RUMUS
4. SISWA DAPAT MENGHITUNG SUKU KE-n
DAN JUMLAH n SUKU DERET ARITMETIKA
DAN GEOMETR
ALOKASI WAKTU
: 4 X 40’
A.
Menjelaskan Arti Barisan dan Deret
1. Barisan
Contoh barisan
a. 1, 4, 7, 10, 13, ....
b. 2, 7, 12, 17, 22, ....
c. 9, 8, 7, 6, 5, ....
d. 1, 2, 3, 4, 5, ....
Kesimpulan : Barisan adalah ...
2. Deret Bilangan
Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1 , U2 , U3 , ... , Un dan Sn adalah
jumlah dari suku-suku barisan itu.
Maka : Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn disebut dengan deret bilangan
Kesimpulan :Deret bilangan adalah ....
B.
Menemukan Rumus Barisan dan Deret Aritmetika
1. Rumus Barisan Aritmetika
U1 , U2 , U3 , U4 , ... , Un
a = U1
== > Maka a adalah suku ke- ....
b = U2 - U1 == > Maka rumus b adalah suku ke- .... di kurang dengan suku
ke- ....
𝑈1
𝑈2
𝑈3
𝑈4
𝑈5
.
.
.
𝑈𝑛
=⋯
= …+ 𝑏
= … + 2𝑏
= … + 3𝑏
= … + 4𝑏
= 𝑎 + (… − 1) 𝑥 ….
Jadi, rumus suku ke- n adalah
Keterangan :
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑈𝑛 = 𝑎 + (… − 1) 𝑥 …
2.
Deret Aritmetika
𝑈1 = ⋯
𝑈2
𝑈3
𝑈4
𝑈5
.
.
.
𝑈𝑛
=
=
=
=
𝑈1 +
𝑈2 +
𝑈3 +
𝑈4 +
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
= (𝑎 + 𝑏 ) + ⋯
= (𝑎 + 2𝑏 ) + ⋯
= (𝑎 + 3𝑏 ) + ⋯
= ⋯+ 𝑏
= ⋯ + 2𝑏
= ⋯ + 3𝑏
= ⋯ + 4𝑏
= 𝑎 + (… − 1) 𝑏
Dengan demikian, diperoleh 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + ( … − 1 )𝑏
............ (1)
Dapat pula dinyatakan bahwa nilai setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.
𝑈𝑛−1 = 𝑈𝑛 − 𝑏
𝑈𝑛−2 = 𝑈𝑛−1 − 𝑏
𝑈𝑛−3 = 𝑈…….. − 𝑏
= ⋯ − 2𝑏
= ⋯ − 3𝑏
Dengan demikian seterusnya sehingga 𝑆𝑛 dapat dituliskan :
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + ⋯ + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + (𝑈𝑛 − 𝑏) + 𝑈𝑛 ................. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) jika kita jumlahkan, diperoleh :
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (… − 1 )𝑏)
𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + (𝑈𝑛 − 𝑏) + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + ⋯ + 𝑎
+
2𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + ⋯ ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + ⋯ + (𝑎 + ⋯ )
Dengan demikian : 2𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 )
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 )
2
1
𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎 + (… + ( … − 1)𝑏)
2
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏)
2
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah ...
1
1
𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 ) atau 𝑆𝑛 = 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏)
2
2
Keterangan :
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛
C.
Menentukan Rumus Barisan dan Deret Geometri
1. Rumus Barisan Geometri
Contoh soal :
a. 3, 6, 12, 24, ...
Untuk mencari rasionya adalah
2
6
3
=
12
=
8
=
…
…
12
= ⋯ = 2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 =
b. 2, -4, 8, -16, ...
Untuk mencari rasionya adalah
−2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 = 2
−4
2
=
…
…
8
=⋯=
Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1 , U2 , U3 , ... , Un barisan geometri dengan
Un adalah rumus ke-n dan r adalah rasio, berlaku :
….
𝑟=
𝑈𝑛−1
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan
rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.
𝑈1 = 𝑎
𝑈2
𝑈3
𝑈4
.
.
.
𝑈𝑛
= 𝑈1 × 𝑟
= 𝑈2 × 𝑟
= 𝑈3 × 𝑟
= ⋯𝑟
= ⋯ 𝑟…
= ⋯ 𝑟…
= 𝑈𝑛−1 × … = (𝑎𝑟 … × 𝑟 ) = 𝑎𝑟 …
Dengan demikian diperoleh barisan goemetri a, ar, ar2 , ..., arn-1.
Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri, yaitu :
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 …
Keterangan :
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 𝑛
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
2.
Rumus Deret Geometri
Jika U1 , U2 , U3 , ... , Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... +
Un adalah deret geometri dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n
suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misal 𝑆𝑛 notasi dari jumlah
n suku pertama.
𝑛
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = ∑ 𝑈𝑖
𝑖=1
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 ......................... (1)
Jika kedua ruas dikalikan dengan r, maka diperoleh :
… 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 … ......................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), maka diperoleh :
… 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 …
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
_
… 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛
↔ (𝑟 − ⋯ )𝑆𝑛 = … (…𝑛 − 1)
↔ 𝑆𝑛 =
… (…𝑛 − 1)
(𝑟 − ⋯ )
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
↔ 𝑆𝑛 =
↔ 𝑆𝑛 =
… (…𝑛 − 1)
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1
(𝑟 − ⋯ )
… (1 − …𝑛 )
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1
(𝑟 − ⋯ )
Keterangan :
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢
D.
Menghitung Suku Ke-n Suku Deret Aritmetika dan Jumlah Suku n Deret Geometri
Contoh soal :
1.
Menghitung Suku Ke-n Deret Aritmetika
a. Diketahui barisan 3, 5, 7, 9, .... Tentukan suku ke-10nya.
Jawab :
Dik : a = 3 dan b = 5- ... = 2
Dit : Suku ke-10
Peny :
Langkah 1 tentukan rumus ke-n
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
=
=
=
=
=
𝑎 + (… − 1) 𝑏
3 + (… − 1) …
3 + (… − 1) ….
3 + ⋯𝑛 − 2
3 − ⋯+ ⋯𝑛
Langkah 2 cari suku ke-10
𝑈𝑛 = 3 − ⋯ + ⋯ 𝑛
𝑈10 = 3 − ⋯ + ⋯ × 10
𝑈10 = 3 − ⋯ + 20
𝑈10 = 21
b. Diketahui barisan 7, 11, 15, .... Tentukan suku ke-15nya.
Jawab :
Dik : a = 7 dan b = 11- ... = 4
Dit : Suku ke-15
Peny :
Langkah 1 tentukan rumus ke-n
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
𝑈𝑛
=
=
=
=
=
𝑎 + (… − 1) 𝑏
7 + (… − 1) …
7 + (… − 1) ….
7 + ⋯𝑛 − 4
7 − ⋯+ ⋯𝑛
Langkah 2 cari suku ke-10
𝑈𝑛 = 7 − ⋯ + ⋯ 𝑛
𝑈15 = 7 − ⋯ + ⋯ × 15
𝑈15 = 7 − ⋯ + 60
𝑈15 = 63
2. Menghitung Jumlah Suku n Deret Geometri
a. Diketahui barisan 1, 2, 4 .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya.
Jawab :
2
Dik : a = 1 dan 𝑟 = = 2
Dit : Suku ke-6
Peny :
… (… . .𝑛 − 1)
𝑆𝑛 =
(𝑟 − ⋯ )
… (… . .6 − 1)
𝑆6 =
(𝑟 − ⋯ )
… (64 − 1)
𝑆6 =
(𝑟 − ⋯ )
𝑆6 = 63
1
b. Diketahui barisan 8, 4, 2, .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya.
Jawab :
4
Dik : a = 8 dan 𝑟 = =
8
Dit : Suku ke-6
Peny :
… (… − … . .𝑛 )
(… . . −𝑟 )
… (… − … . .6 )
𝑆𝑛 =
1
(… . . − )
2
1
… (… −
)
64
𝑆𝑛 =
1
(… . . − )
2
1008
𝑆𝑛 =
…
𝑆𝑛 =
𝑆𝑛 =
63
4
1
2
Lembar kerja siswa
Satuan pendidikan
: SMA
Mata pelajaran
: MATEMATIKA
Kelas
: XII
Semester
: II
Standar kompetensi
: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Kompetensi dasar
: menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika
dalam pembuktian.
Indikator
: 1. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma
2. menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
Tujuan pembelajaran : 1. siswa dapat menuliskan suatu deret dangan notasi sigma
2. siswa dapat menggunakan induksi matematikadalampembuktian
Alokasi waktu
: 2 X 45 menit
A. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma
Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”∑” adalah sebuah huruf Yunani yang
artinya penjumlahan. Sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan bentuk panjang sukusuku suatu deret. ∑𝑛𝑖=1 𝑥1 dimana i merupakan batas bawah, n merupakan batas bawah, dan
𝑥1 adalah rumus sigma.
Jika diketahui tak terhingga 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , … , 𝒂𝒏 , maka jumlah n suku pertama barisan
tersebut dinyatakan dengan ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏
Contoh soal
1. 1+5+8+...+29
Jika diselidiki deret tersebut adalah deret aritmetika dengan beda 4, maka dapat
digunakan rumus Baris aritmetika yaitu
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= 1 + (𝑛 − 1)4
= 1 + 4𝑛 − 4
= 4𝑛 − 3
Soal
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(4𝑛 − 3)
Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan
1. 11 + 18 + 25 + ... + 102
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= ⋯ + (. . . −1) …
= 11 + ⋯ − 8
= 8𝑛 + ⋯
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
2. 22+ 29 + 34 + ... + 104
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
=. … + (. … − 1) ….
= ⋯+ ⋯− ⋯
= ⋯𝑛 +⋯
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
3. 1+3+5+7+9
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
=. … + (. … − 1) ….
= ⋯+ ⋯− ⋯
= ⋯𝑛 +⋯
= ....
Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )
4. 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 𝑛2
𝑛
∑ 𝑘 2 = 𝑛( … +. . . )(… +. . . )
𝑘=1
B. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 merupakan jumlah n bilangan ganjil pertama.
Untuk membuktikan kedua ruas bernilai sama dapat menggunakan induksi matematika
yang telah kalian pelajari di Kelas X. Langkah- langkah pembuktian tersebut adalah
sebagai berikut:
1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar
2. Langkah Induksi : Untuk n = k benar
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar yaitu
1 = 12
1=1
2. Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘 2
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 juga benar
Bukti :
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2
𝑘2
𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2
(𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
Soal:
1
a) Buktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
Penyelesaian:
Basis Induksi : Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu
1
1 = … (… + ⋯ )
2
1
1 = 1(2)
2
1=⋯
Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
1
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = ⋯ (⋯ + ⋯ )
2
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
1
Bukti:
1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑘 + 1) = (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ )
2
1
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (⋯ + 1) = (𝑘 + ⋯ )(⋯ + 2)
1
2
2
1
𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) = (⋯ + ⋯ )(𝑘 + ⋯ )
2
1
2
𝑘(𝑘 + 1) +
1
2
2(⋯+1)
2
1
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
1
(𝑘 + 1)(⋯ + 2) = (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ )
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
2
1
b) Buktikan 12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑛2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Penyelesaian
Basis Induksi Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu
1=
1
6
1
1(… +. . . )(2 𝑥 … +. . . )
1 = …𝑥…
6
1=1
Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu
12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 =
1
𝑘(… + 1)(… 𝑘 + 1)
6
Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu
12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 + (𝑘 + 1)2 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)
1
6
𝑘(𝑘 + ⋯ )(… 𝑘 + ⋯ ) + (𝐾 + ⋯ )2
= (k+...)(
….𝑘 2
6
+
….𝑘
…..
+ 1)
= (k + ...)(… 𝑘 2 + ⋯ 𝑘 + 6)
= (k + ...)(k + ...)(...k+ ...)
Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar
Lembar kerja siswa
Satuan pendidikan
: SMA
Mata pelajaran
: MATEMATIKA
Kelas
: XII
Semester
: II
Standar kompetensi
: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Kompetensi dasar
: merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
deret
indikator
:1. mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret
2. merumuskan model matematika dari masalah deret
Tujuan pembelajaran :1. siswa dapat mengidentifasi masalah yang berkaitan dengan deret
2. siswa dapat merumuskan matematika dari masalah deret
Alokasi waktu
:2 X 45 menit
A. Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret
Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang ekonomi seperti perbankan,
perdagangan, dan lain sebagainya. Lebih jelasnya,
1. Rina menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%. Berapa
besar modal setelah 2 tahun?
Penyelesaian
1.
Misalkan M adalah modal awal, b adalah bunga setiap tahun, n adalah
periode, dan Mn adalah modal setelah ditambah bunga majemuk.
M = 20.000.000,00
n=2
b = 5% = ..................
𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑏)𝑛
=. . . … … … … … … … . . . (1 + ⋯ )2
= 20.000.000 (1,05)2
=..............................................
2. Wagiman membeli sebuah komputer seharga Rp 3.000.000,00. Setiap satu bulan
kerja terjadi penyusutan sebesar 10% dari harga beli. Berapakah harga jual komputer
tersebut pada akhir 9 bulan kerja?
Penyelesaian
Misalkan M adalah harga beli, p adalah penyusutan, n adalah periode, dan Mn adalah modal
setelah ditambah harga majemuk.
M = Rp 3.000.000,00
p = ...........
n=9
Harga komputer pada akhir periode n adalah 𝑀 = 𝑀(1 −
Maka harga jual komputer pada akhir 9 bulan kerja adalah
3.000.000(1 −
10 9
) = 3.000.000(1 − ⋯ )9
100
= ................(0,9)9
= 3.000.000 x 0,387
= ..............................
𝑝
)𝑛
100
B. merumuskan model matematika dari masalah deret
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan
menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dalam menyelesaikan suatu
masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan
adalah mengubah masalah nyata tersebut ke dalam model matematika, setelah itu
dicari solusinya. Solusi yang didapat diinterpretasikan kembali ke masalah nyata
yang tadi dimodelkan, sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata.
Soal
1. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 3.000 unit barang. Pada tahuntahun berikutnya, usahanya meningkat sehingga produksinya naik secara tetap
sebesar 100 unit per tahun. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut
memproduksi 5.600 unit barang?
Jawab:
Dengan cara memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika,
diperoleh suku pertama 3.000 dan bedanya 100, serta Un = 5600. Dengan
demikian, yang dicari adalah n. Gunakan rumus suku ke–n, yaitu
Un = a + (n – 1) b
5600 = ...... + (n – 1).......
5600 = ....... + 100 n –.............
5600 = ......... + 100 n
100 n = ......... – 2900
100 n = .......
n=
2700
100
= 27
Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 5600 unit barang pada tahun ke 27
2. Suatu keluarga memiliki 5 orang anak. Saat ini, usia kelima anak tersebut
membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 12 tahun dan usia anak
ke-5 adalah 7 tahun, tentukan jumlah usia kelima anak tersebut.
Jawab:
Dengan memodelkan permasalahan tersebut, diperoleh
n=5
U3 = 12 = ...... + 2b
...(1)
U5 = 7 = a + ......b _ ...(2)
5 = –2b
b = –2,5
Dengan menyubstitusikan b = –2,5 ke persamaan (1), diperoleh
a + 2b = 12
a + .......(–2,5) = .......
a – ...... = 12
a = ....... + 5 = 17
Dengan demikian,
S5 =
=
=
5
2
5
2
5
2
(… … 𝑎(… . . −1)𝑏)
(… … 𝑥 17 + ⋯ (−2,5))
(34 − ⋯ )
= 60
Jadi, jumlah usia kelima anak tersebut adalah 60 tahun.
Lembar Kerja Siswa (LKS)
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Standar kompetensi
masalah
Kompetensi dasar
Indikator
Tujuan
Alokasi Waktu
:
:
:
:
SMA/MA
Matematika
XII/2(Genap)
Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan
: Meyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan
deret dan penafsirannya
: Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan
dengan deret
: Agar siswa dapat menyelesaikan model-model matematika yang
berkaitan dengan deret
: 2 x 45 menit
Seringkali kita menjumpai barisan bilangan dan kita ingin mengetahui jumlah
bilangan-bilangan tersebut. Sebagai contoh, berikut ini adalah barisan bilngan yang
menyatakan banyaknya kaset yang terjual tiap hari selama lima hari berturut-turut di
suatu took kaset. Kita ingin mengetahui jumlah penjualan kaset selama lima hari
tersebut.
25, 30, 35, 40, 45
Pada hari pertama kase yang terjual adalah 25. Setelah 2 hari, kaset yang terjual
adalah 25 + 30 = 55. Setelah 3 hari, kaset yang terjual adalah 25 + 30 + 35 = 90,
demikian seterusnya sehingga jumlah keseluruhan kaset yang terjual selama 5 hari
adalah 25 + 30 + 35 + 40 + 45 = 175. Penjumlahan suku-suku dari barisan bilngan
tersebut selanjutnya disebut sebagai deret bilangan.
Secara umum dapat dituliskan berikut ini.
Jika 𝑢1 , 𝑢2, 𝑢3,…. 𝑢𝑛 adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian
dengan barisan tersebut adalah 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 … 𝑢𝑛
1. Hitung nilai dari : 3 + 5 + 7 + …+ 155.
Jawab:
Barisan aritmetika yang bersesuaian dengan deret 3 + 5 + 7 + …+ 155 mempunyai
suku pertama a = 3, beda b = 5 – 3 = 2, dan suku ke-n adalah 𝑢𝑛 = 155. Banyaknya
suku dari barisan tersebut dicari sebagai berikut.
𝑢𝑛 = 155
𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏 = 155
… + (n - 1) 2…= 155
…𝑛
= 155
…𝑛 = 155
n = 155/…
n = 77
sehingga
𝑛
𝑆𝑛 = (a + 𝑈𝑛 )
𝑆77 =
2
77
2
(…+ 155)
𝑆77 = (77)(…)
𝑆77 = 6083
Jadi, 3 + 5 + 7 + … + 155 = 6083
2. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 3, 7, 11, 15,…
Jawab:
Dari barisan tersebut diperoleh a = 3 dan b = 7 – 3 =4.
𝒏
Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 = (𝟐𝒂 + (n - 1) b)
𝑠𝑛 =
𝑠𝑛 =
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
(2(… )+ (n - 1) b)
𝟐
(…+ (n - 1) 4)
= (… + …n - 4)
2
𝑛
= (…n + 2)
2
Sn = 2n² + n
3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmetika 3,7,11,15,…
Jawab:
Jumlah 20 suku pertama adalah
Sn = 2n² + n
S20 = … . 20² + 20
= … + 20
= 820
4. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 2, 6, 10, 14,…
Jawab:
Dari barisan tersebut diperoleh a = 2 dan b = 6 – 2 =4.
𝒏
Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 =
𝑠𝑛 =
𝑠𝑛 =
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
𝟐
(2(4)+ (n - 1) 4)
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
(…+ (n - 1) 4)
= (… + 4n - …)
2
𝑛
= (4n + …)
2
Sn = 2n² + n
5. Tentukan jumlah 40 suku pertama dari barisan aritmetika 2,6,10,14,…
Jawab:
Jumlah 40 suku pertama adalah
Sn = 2n² + n
S40 = 2 . …² + …
= 3200 + …
= 3240
6. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan suku
ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…
Jawab:
Un= a + (n-1) b
𝑈3 = a + 2𝑏 = 36
…
(i)
𝑈5 + 𝑈7 = 144
(a + 4𝑏 ) + (a + 6𝑏 ) = 144
2𝑎
a
+
+ 10𝑏
= 144
…𝑏 = 72
...
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a
+
…𝑏
(36 - 2𝑏 ) + 5𝑏
= 72
= 72
36 + (… .𝑏 − …𝑏 ) = 72
…𝑏
b
= 36
=
36
…
= 12
1
(dikalikan )
2
(ii)
kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 36 - 2𝑏
36 – 2(12) = 12
Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 :
𝒔𝒏 =
𝒏
𝑠10 =
𝟐
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
…
2
(… (12) + (10 - 1) …)
= … (24 + (9) …)
= …(24 + ….)
= …(132)
= 660
7. Dari suatu barisan aritmetika, suku kelima adalah 50, jumlah suku ketujuh dan suku
kesembilan adalah 222. Jumlah empatbelas suku pertama deret tersebut adalah…
Jawab:
Un= a + (n-1) b
𝑈5 = a + 2𝑏 = 50
…
(i)
𝑈7 + 𝑈9 = 222
(a + 6𝑏 ) + (a + 8𝑏 ) = 222
2𝑎
a
+
+ 14𝑏
= 222
7𝑏 = 111
...
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a
+
7𝑏
(50 - 2𝑏 ) + 7𝑏
= 111
= 111
50 + (7𝑏 − 2𝑏 ) = 111
5𝑏
b
= 50
=
50
5
= 10
1
(dikalikan )
2
(ii)
kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 50 - 2𝑏
… – 2(…) =30
Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 :
𝒔𝒏 =
𝑠14 =
𝒏
𝟐
(𝟐𝒂 + (n - 1) b)
14
2
(2(… ) + (… - 1) …)
= 7 (…+ (…) …)
= 5 (… + …)
= 5 (…)
= 1330
8. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret
aritmetika, semakin muda usia anak maka semakin banyak permen yang dieroleh.
Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah,
maka jumlah seluruh permen adalah … buah.
Jawab:
𝑈2 = a + b = 11 … (i)
𝑈4 = a + 3𝑏 = 19 … (ii)
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :
a + 3𝑏 = 19
3𝑏 – b = 19 -…
2𝑏 = 8
8
b= =4
2
kemudian subtitusi nilai b tersebut kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
menjadi :
a = 11 – b
=…–…
=7
Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut kerumusnya :
𝑺𝒏 =
𝒏
𝑆5 =
𝟐
5
2
5
= 2
=
(𝟐𝒂 – (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
(2(… ) – (… . −1) …)
(… + ⋯ )
5
2
(… )
= 75
9. Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar
bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000, 00, bulan kedua Rp.
55.000,00, bulan ketiga Rp. 60.000,00 dan seterusnya besar tabungan anak tersebut
selama dua tahun adalah …
Jawab:
𝑈1 = a = Rp. 50.000,00
𝑈2 = Rp. 55.000,00
𝑈3 = Rp. 60.000,00
b = 𝑈2 - 𝑈1
= Rp.55.000 – Rp.50.000
= Rp.5.000,00
2 tahun = 24 bulan, jadi n = 24
𝑺𝒏 =
𝒏
𝑆24 =
𝟐
(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
24
2
(2(… ) – (… − 1) ….)
= 12 (…. + 23 (…))
= 12 (…. + 115.000)
= …(215.000)
= 2.580.000
10. Dari suatu deret aritmetika diketahui 𝑈3 = 13 dan 𝑈7 = 29. Jumlah dua puluh lima
suku pertama deret tersebut adalah …
Jawab:
𝑈3 = a + 2𝑏 = 13 … (i)
𝑈7 = a + 6𝑏 = 29 …(ii)
Subtitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
(13 - 2𝑏 ) + 6𝑏 = 29
…𝑏 - 2𝑏 = 29 – …
…𝑏 = 16
b=
16
=4
4
kemudian nilai b disubtitusi kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga
diperoleh :
a = 13 - 2𝑏
= 13 – 2(…) = …
𝑺𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)
𝑆25 =
𝑆25 =
𝑆25 =
𝑆25 =
25
2
25
2
25
2
25
2
(2(… ) + (… − 1) 4)
(10 + (… ) 4)
(… + ⋯ )
(… ) = 1325
Lembar Kerja Siswa (LKS)
Satuan Pendidikan
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Standar kompetensi
dan
:
:
:
:
Kompetensi dasar
:
Indikator
:
Tujuan
:
Alokasi Waktu
:
SMA/MA
Matematika
XII/2(Genap)
Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen
logaritma dalam pemecahan masalah
Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam
Pemecahan masalah
a.menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
b.menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma
c.menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen
dan logaritma
Agar siswa dapat menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan
logaritma dalam pemecahan masalh
2 x 45 menit
Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
Pangkat merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan tersebut disebut dengan fungsi
eksponen.
Fungsi eksponen dan penerapannya
1. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 1
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 35𝑥−10 = 1
2
b. 22𝑥 +3𝑥−5 = 1
Jawab :
a. 35𝑥−10 = 1
3…𝑥−⋯ = 30
…x - … = 0
…x
= 10
X
=2
b. 22𝑥
2 +3𝑥−5
2𝑥 2 +3𝑥−5
=1
2
= …0
2x²+3x-5 = 0
(…x + …) (x - 1) = 0
…x + …= 0 x – 1 = 0
X=
5
𝑥=1
2
2. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = p.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 52𝑥−1 = 625
b. 22𝑥−7 =
1
32
Jawab :
a. 52𝑥−1 = 625
…2𝑥−1 = 5…
2x – 1 = …
…x
=4
X
=2
b. 22𝑥−7 =
1
32
2…𝑥−⋯ = …−5
…x – 7 = -5
…x
= 2
X
=1
𝑓(𝑥)
3. Bentuk 𝑎
= 𝑎 𝑔(𝑥)
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) dengan a>0 dan a≠0, maka 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥)
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2
2
a. 9𝑥 +𝑥 = 27𝑥 −1
b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥
Jawab :
a. 9𝑥
2 +𝑥
2
= 27𝑥
2 −1
2
…2(𝑥 +𝑥) = …3𝑥 −1
2(x² + x) = 3(…² - 1)
…x² + …x = 3…² - 3
x² - …x – 3 = 0
(x - …) (x + …) = 0
X = … x = -…
Jadi HP = {-1,3}
b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥
…x + … = -… + x
…x – x = -1 – …
X = -…
Jadi HP = {-5}
…2(𝑥+2) = …−1(1−𝑥)
4. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥)
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3
2
2 −5𝑥+6
2
2
b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥
Jawab :
a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3
X–…=0
…=…
Jadi HP = {3}
b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥 −5𝑥+6
…² - …x + … = 0
(x - ..) (x + …) = 0
X = … x = -…
Jadi HP = {-1,6}
5. Bentuk 𝐴(𝑎 𝑓(𝑥) )² = B(𝑏 𝑓(𝑥) ) + 𝑐 = 0
Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan
kuadrat : Ap² + Bp + c = 0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0
b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27
Jawab :
a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0
22𝑥 − …𝑥 . …3 + 16 = 0
Dengan memisahkan 2𝑥 = p, maka persamaan menjadi :
p² - 8p + 16 = 0
(p - …) (p - …) = 0
P=4
Untuk p = 4 => 2𝑥 = …
2 𝑥 = …2
X=2
Jadi HP = {2}
b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27
(… ²)𝑥 − 2. …𝑥 . …1 = 27
(… ²)𝑥 − …. 3𝑥 . 3 − 27 = 0
(… ²)𝑥 − 6. …𝑥 − 27 = 0
(3𝑥 − ⋯ ) (3𝑥 + ⋯ ) = 0
3𝑥 = ⋯ 𝑎𝑡𝑎𝑢 3𝑥 = -…
Dari 3𝑥 = ⋯ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 3𝑥 = ..² x = 2
Dari 3𝑥 = −3 tidak diperoleh nilai pengganti x sebab 3𝑥 harus positif.
Jadi HP = {2}
Menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritmaType equation here.
1. Sifat-sifat eksponen
Misalnya a dan b bilangan real (a≠0,b≠0) serta x dan y bilangan rasional,maka
berlaku hubungan berikut.
a. 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎
b. ( )
𝑏
𝑎𝑦𝑥
𝑥
𝑦
e. 𝑎−𝑥 =
𝑎𝑥
1
𝑎𝑥
f. (𝑎 𝑥 )y = 𝑎 𝑥𝑦
= 𝑏𝑥
g. 𝑎0 = 1
c.
= √𝑎 𝑥
d. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦
Sederhanakan tiap bentuk berikut !
a.
3𝑛+2 −3𝑛
3𝑛 −3𝑛−1
Jawab:
3𝑛+2 −3𝑛
3𝑛 −3𝑛−1
…𝑛 …²−3𝑛
= 3𝑛 −…𝑛 …−1
=
=
3𝑛 (..²−1)
3𝑛 (1−…−1 )
8
2
3
= 12
2. Sifat-sifat logaritma
Untuk bilangan pokok positif tetapi tidak sama dengan satu dan numerous positif,
berlaku sifat-sifat logaritma berikut.
𝑎
a.
log a = 1; 𝑎 log 1 = 0; 𝑎 log 𝑎𝑛 =n;
𝑎
b.
log xy = 𝑎 log x + 𝑎 log y
c.
d.
e.
f.
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑥
𝑎
log =
𝑦
𝑦
log x -
log 𝑥 = 𝑦
log x =
log x.
𝑎
𝑎
𝑎 log x
𝑎 log a
log x
log y =
𝑎
𝑎
log y ;
𝑎
𝑥
log = 𝑦
𝑎
log
𝑦
𝑥
log y
Sederhanakanlah bentuk log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 !
Jawab :
log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 = log x + log …4 + log …9
= log (x …4 …9)
= log … .14
= 14 log x
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma
1. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 2𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {3,2,1,0,-1,-2,-3}.
Jawab:
f(x) = 2𝑥
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 2… = 8
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 2… = 4
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 2… = 2
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 2… = 1
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 2− ⋯ =
−⋯
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 2
−⋯
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 2
=
=
1
2
1
4
1
8
2. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 4𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}.
Jawab:
f(x) = 4𝑥
untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = 44 = …
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 43 = ….
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 42 = …
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 41 = ….
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 40 = …
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 4−1 = ….
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 4−2 = ….
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 4−3 = …
untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = 4−4 = …
3. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 21−𝑥 . Tentukan hasil kali
pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}.
Jawab:
f(x) = 21−𝑥
untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = … =
untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = … =
untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = … =
1
8
1
4
1
2
untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = … = 1
untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = … = 2
untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = … = 4
untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = … = 16
untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = … = 32
untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = … = 64
DAFTAR PUSTAKA
Anwar, cecep, H.F.S dan Pesta E. S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid III untuk SMA/MA
Kelas XII Program Study Ilmu Alam. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional
Tim Edukatif HTS. 2009. Modul Matematika. Surakarta : CV Hayati Tumbuh Subur
Tim Metode Ilham. 2010. Ilmu Hitung Matematika dengan Otak Kanan