DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS

  

DESAI N SI STEM KENDALI MELALUI

ROOT LOCUS

Ì Pendahuluan Ì Tahap Awal Desain Ì Kompensasi Lead Ì Kompensasi Lag Ì Kompensasi Lag-Lead Ì Kontroler P, PI , PD dan PI D

  7 Pendahuluan

  7

• Spesifikasi Unjuk Kerja sistem
• Metoda Perancangan Tradisional
• Kompensasi Seri & Paralel
• Kompensasi Lead, Lag & Lag-Lead

  7 Tahap Awal Desain

  7

  7 Kompensasi Lead

  7

  7 Kompensasi Lag

  7

  7 Kompensasi Lag-Lead

  7

  7 Kontroler P, PD, PI dan PI D

• Hubungan antara Kompensator Lead, Lag & Lag-Lead dengan Kontroler PD, PI dan PI D

7 PENDAHULUAN

• Sistem Kontrol dirancang untuk tugas-tugas tertentu.
• Perlu spesifikasi Unjuk Kerja : - akurasi ,
• kestabilan, - kecepatan respons.
• Spesifikasi mungkin perlu diubah dalam proses perancangan (tak dapat dicapai, tak ekonomis).
• Perlu urutan prioritas spesifikasi.
• Pendekatan Konvensional untuk Perancangan:
• Spesifikasi Unjuk Kerja:

  Domain waktu: (t , % M , t )

  p p s

  Domain Frekuensi : phase margin, gain margin, bandwith.

• Alat bantu perancangan:

  Domain waktu: Root Locus Domain frekuensi: Bode Plot , Nyquist, dst.

• Terbatas pada SI SO, linear, invarian waktu.
• Spesifikasi dicoba dipenuhi melalui gain

  adjustment dengan metoda coba-coba.

• Tak selalu berhasil mengingat plant tak dapat diubah.
• Perlu rancangan ulang : kompensasi.
• Kompensasi Seri dan Paralel

• Kriteria Pemilihan:
• Sifat-sifat sinyal dalam sistem
• Ketersediaan komponen
• Faktor ekonomis
• Pengalaman Perancang
• Level daya pada beberapa titik

Kompensasi Seri: Lebih sederhana.

  ⇒

  Perlu tambahan amplifier untuk memperkuat gain

  ⇒ dan / atau membuat isolasi.

  Diletakkan pada titik dengan daya terendah pada

  ⇒ lintasan maju (mengurangi disipasi daya).

• Kompensasi Paralel:

  Jumlah komponen lebih sedikit, karena terjadi

  ⇒

  pada tranfer energi dari level lebih tinggi ke level lebih rendah. Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead

• Lead: fasa output mendahului input
• Lag : fasa output terbelakang dari input
• Lag-lead : phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah,

  phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi.

• Realisasi Kompensator:
• Divais aktif Elektronik (Op amp)
• Divais pasif : Elektrik (RC network + Amplifier)
• Mekanik
• Pneumatik
• Hydraulik
• Kombinasi

7 TAHAP AWAL DESAIN

• Perbaikan unjuk kerja sistem dengan menyisipkan kompensator.
• Pengaruh Penambahan Pole pada OLTF:

  Menarik Root Locus kekanan

  ⇒

  Cenderung menurunkan kestabilan relatif sistem

  ⇒

  Memperlambat waktu settling

  ⇒

• Pengaruh Penambahan Zero pada OLTF:

  ⇒

  Menarik Root Locus kekiri

  ⇒

  Cenderung lebih stabil

  ⇒

  Mempercepat waktu settling

• Karakteristik respons transient harus di cek lagi setelah perancangan selesai.

7 KOMPENSASI LEAD

• Untuk perbaikan respons transient tanpa banyak mempengaruhi respons steady state sistem.
• Realisasi Kompensator

  1

  1

  s s

  1 o

• E s ( ) R C R C Ts

  4

  1

  1

1 T

  K α K = = =

  1

  1 E s ( ) R C α Ts

  1 i

• c c

  3

  2 s s

  R C α T

  2

  2

  dengan: T = R C ; T= R C ; K = R C / R C ;

  1 1 α

  2 2 c

  4

  1

  3

  2

  = R C / R C

  α

  2

  2

  1

1 Kompensator Lead : bila < 1 (R C > R C )

  

α

  1

  1

  2

  2 Kompensator Lag : bila &gt; 1 (R C &lt; R C ) α

  1

  1

  2

  2

• Karakteristik Kompensator Lead
• &lt; &lt;

• =

  phase lead )

  o

  = 0,07 (memberikan max 60

  α min

  &lt; &lt; , maka pole akan terletak jauh di kiri

  1 Bila α

  1

  1

  1

  1

  α α α α

  =

  ( ) ( )

  G s K Ts Ts K s T s T c c c

• Asumsi pada Kompensasi Lead:
• - Spesifikasi diberikan dalam domain waktu

  ( ζ ω , ,% , , _{n p r s} M t t ).

• - Sistem semula tak stabil untuk setiap K atau stabil tetapi dengan respons transient yang tak memuaskan.
• Kompensasi dapat dicapai dengan menambahkan kompensator seri pada lintasan maju.
• Prosedur Desain:

• Pastikan bahwa letak pole pada butir 1 tak dapat dicapai dengan gain adjustment.
• Hitung sudut deficiency
• &lt; &lt;

• =

  φ .

  dan T ditentukan dari sudut deficiency

  1 α

  1

  1

  1

  1

  α α α α

  

( ) ( )

=

  G s K Ts Ts K s T s T ^{c c c}

  3. Anggap kompensator memiliki fungsi alih:

  (sudut yang dikontribusikan oleh kompensator lead agar Root Locus baru melalui pole-pole pada butir 1).

  φ

  2. Gambar Root Locus sistem semula.

  1. Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang diinginkan dari spesifikasi unjuk kerja.

  K c ditentukan dari kebutuhan gain lup terbuka.

  4. Bila konstanta error statik tak ditentukan, maka tentukan lokasi pole &amp; zero kompensator sbb:

  s T dan s T

  = − = −

  1

  1 α

  Bila konstanta error statik ditentukan, maka gunakan pendekatan respons frekuensi.

  5. Penguatan K

  c

  dapat ditentukan dengan menentukan gain lup terbuka sistem terkompensasi dari syarat

   magnitude.

  6. Teliti apakah semua spesifikasi unjuk kerja tercapai. Bila tidak, ulangi prosedur dengan mengatur letak pole &amp; zero kompensator.

  Bila konstanta error statik diperlukan besar, tambahkan kompensator lag atau ganti dengan kompensator lag-lead.

CONTOH SOAL

7 KOMPENSASI LAG

  Tujuan:

  Untuk perbaikan respons steady state tanpa banyak mengubah karakteristik respons transient.

  Realisasi Kompensator

  1

  1

  s s

  1 T

• E s R C R C Ts
_o ( ) _{4 1 1 1}

  K K α = = =

  1 E s R C Ts _i ( ) α _{3 2}

  1 ^{c c}

• 1

  s s

  R C T _{2 2} α

  Kompensator Lag : bila &gt; 1 (R C &lt; R C )

  α

  1

  1

  2

  2

  1

• s

  1 o

• E ( ) s Ts

  T K β K ; β

  1 = = &gt;

  1 E s ( ) β Ts

  1

• c c

  

s

β T
• i

  dengan: T = R C ; T= R C ; = R C / R C &gt; 1

  β β

  1

  1

  2

  

2

  2

  2

  1

  1

  Karakteristik Kompensator Lag

  1

• s

1 T

• Ts

  G s ( ) K β K ; β

  1 = = &gt;

  1 β

1 Ts

• c c c
• s β T
• - Bila T &lt; &lt; , maka pole dan zero akan berdekatan dan

  β mendekati titik asal.

• - Umumnya 1 &lt; &lt; 15.

  β

  Asumsi pada Kompensasi Lag:

  Respons transient sistem semula memuaskan (melalui

  gain adjustment), tetapi karakteristik steady state nya tidak memenuhi.

  Solusi:

• - Penguatan lup terbuka diperbesar tanpa banyak

  mempengaruhi bentuk Root Locus sekitar pole lup tertutup dominannya.

• Perlu kompensator lag dipasang seri pada lintasan maju.
• - Sudut yang dikontribusikan kompensator harus

  cukup kecil ( &lt; 5

  

o

).
• - Dicapai dengan menempatkan pole dan zero

  kompensator berdekatan dan dekat dengan titik asal.

• &gt;
• =

  1 bila :

  1

  Ambil :

  G s K Ts Ts

K

s T s T ^{c c c}

  ( ) ;

  =

  β β β β

  1

  1

  1

  1

1 T T β

  − ≈ −

• ≈

  = 1, maka respons transient tak berubah, tetapi penguatan total OLTF:

  ss mengecil.

  , sehingga e

  β

  Akibatnya : konstanta error statik membesar dengan faktor

  

β

.

  bertambah dengan faktor

  1

  1

  1

  β β β

  =

  G s G s K Ts Ts G s _{c c} ( ) ( ) ( ) ;

  c

  Bila K

  β

  1 =

  1

  1

  1

  ( )

  T K c c c

  G s K s T s

  = salah satu pole lup tertutup dominan, maka:

  1

  dan s

  1

• &gt;

• - Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang diinginkan dari spesifikasi transientnya.

  4. Tentukan letak pole dan zero kompensator dengan memutuskan nilai T.

  1

  β = kons ta error statik baru kons ta error statik lama tan tan

  Tentukan faktor penguatan yang perlu ditambahkan melalui:

  (s)G(s) 3. Hitung konstanta error statik sistem semula G(s).

  c

  sehingga fungsi alih loop terbuka sistem terkompensasi menjadi: G

  1

  1

• &gt;

  1

  1

  β β β β

  ( ) ; =

  G s K Ts Ts K

s

T

s

T c c c

  2. Anggap kompensator memiliki fungsi alih:

  Prosedur: 1. Gambar Root Locus sistem semula G(s).

• =

  5. Gambar Root Locus sistem terkompensasi.

• - Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang diingin
• - (Root Locus lama dan baru akan hampir berhimpitan

  bila sudut yang dikontribusikan oleh kompensator

  φ cukup kecil).

  6. Tentukan K dari syarat magnitude untuk pole-pole lup

  c tertutup dominan.

CONTOH SOAL

  K Sistem semula : G s H s ( ) ( ) dengan K 1 06 ,

  = = s s ( 1 ) ( s 2 ) _-1 + +

  Diinginkan K v = 5 sec tanpa banyak mempengaruhi karakteristik respons transientnya. Rancanglah kompensator yang diperlukan Solusi : 1.

  Menentukan karakteristik steady state dan transient sistem semula : lim s

• K G s H s ( ) ( )

  = = v s

  → lim s 1 06 ,

  −

  1 0 53 , s

  = = s s s s ( 1 ) ( s 2 )

• → + _-1 K yang diinginkan = 5s perlu kompensator lag. _v

  →

• Pers karakteristik sistem :

  1 + G(s)H(s) = 0 s(s+1) (s+2) + 1,06 = 0 (s + 2,33) (s + 0,33-j0,58) (s + 0,33 + j0,58) = 0 Pole-pole dominan lup tertutupnya : s12 = -0,33 j0,58

  ± 0 5 , atau : ξ =

  0 67 , rad s / ω = n

  Gambar RL sistem semula : Pole-pole lup tertutup dominan sistem semula

  2. Anggap kompensator lag yang diperlukan memiliki fungsi alih :

  1

• s

  1 T G ( ) s K K = β = c c c

• Ts

  1 β

• 1 Ts
• s T

  β sehingga OLTF sistem terkompensasi : Gc(s)G(s)

  3. Menentukan β : K yang diinginkan

  5 v

  

~

  10 β = =

  K semula 0 53 , v

  4. Menentukan T : Nilai T harus dipilih cukup besar agar pole dan zero kompensator berdekatan dan dekat titik asal, sehingga karakteristik transient tak banyak berubah (Root Locus sistem terkompensasi hanya tergeser sedikit dari Root Locus sistem semula). Tolok ukur besarnya perubahan karakteristik transient dapat dilihat dari sudut phase lag yang dikontribusikan oleh kompensator. Makin kecil sudut ini (berkisar 1 sampai 10 ), makin kecil pula perubahan karakteristik transient sistem.

• +

  s 0 1 ,

• c (s) = K c

  Misal : T = 10, maka G

• +

  s 0 01 ,

  Sudut yang dikontribusikan oleh G c (s) pada s = -0,33 ±j0,58 adalah :

  − K

• 0 23 , j 0 58 ,

  = = c

  φ = 0 32 , j 0 58 ,

  −

• Gc s ( )

  = − 0 58 , 0 58 ,

• S 033 j 0 58 ,

  1

  1 − − tan tan

  − = 0 23 , 0 32 ,

  − − 111 63 , 118 88 , 7 25 ,

  − = − = -3,5

  φ • Untuk T = 20, diperoleh

  φ • = -0,76 Untuk T = 100, diperoleh

  

Dengan anggapan bahwa T = 10 dapat direalisasikan dan sudut cukup

φ kecil, pilih T = 10.

  Sehingga : sistem terkompensasi

• 1 06 , K ( s 0 1 , )

  c G ( ) s G s ( )

  = c s s ( 1 )( s 2 )( s 0 01 , )

  Root Locusnya :

  6. Menentukan K c K dicari dari syarat magnitude Root Locus sistem terkompensasi : _c G ( ) ( ) s G s =

  1 c s = Pole do min an lup tertutup

  Pole dominan Lup tertutup harus dicari dengan menganggap bahwa ξ tetap seperti semula : = 0,5.

  ξ

  2 s 12 j

  n n untuk = 0,5

1 Pole dominan : = − ξω ± ω − ξ

  ξ s , 5 j ,

  5 3 ω _{1 , 2} = − ± _n ( ) atau : s σ j σ

  3 _{1 , 2} = − ± sehingga :

• 1 06 , K ( s 0 1 ,

  c

  

1

= s s ( 1 )( s 2 )( s 0 01 , s j

  3 = − + σ σ

  Diperoleh persamaan :

  3 − + σ σ = c

• 1 06 , K 0 1 , j

  ( )

  2

  2

  2

  4

  12 2 j 3 4

  2 σ σ − σ + − σ −

  ( ) ( ) [ ]

  Atau :

  2 1 06 , K 4 2 ( 1 )

  = − σ − c dan :

  2

  2 0 1 , a 0 28 , σ − σ = → = a 0 06 , tak dipakai

• 5 8 ,

  = ← Sehingga : Pole-pole dominan Lup tertutup :

  S 0 28 , j 0 48 ,

  = − ± 1 ,2 dan K c = 0,88.

• s 0 1 ,

  G ( ) s 0 88 ,

  = c

  Diperoleh :

• s 0 01 ,

7. Pengecekan ulang hasil kompensasi :

  S 0 33 , j 0 58 , Pole lup tertutup dominan semula ; = − ±

  1 ,2 0 5 , ; 0 67 , rad s / dengan ξ = ω = n

  Pole lup tertutup dominan sistem terkompensasi S 0 28 , j 0 48 ,

  = − ± 1 ,2 dengan = 0,5 dan n = 0,56 rad/ s

  ξ ω Terjadi penurunan pada sebesar 16 % : respons sistem terkompensasi

  → ω n lebih lambat K yang diperoleh : _v lim K sGc s G s ( ) ( )

  = v s

  → 1 06 0 88 , x , ( , ) 0 1

  1 −

  4 7 , s = =

  ( ) ( ) ( , 1 2 0 01 )

7 KOMPENSASI LAG-LEAD

  Kompensator Lead:

• memperbesar bandwith:
• mempercepat respons, - memperkecil % M pada respons step.

  p Kompensator Lag:

• - memperbesar gain pada frekuensi rendah

  (akurasi steady state membaik), memperlambat respons (bandwith mengecil).

• - Kompensator Lag- Lead:

  perbaikan respons transient dan steady state

• - sekaligus.
•    

  2

• +

      

  2

  4

  2

  1

  1

  3

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  1

  1

  1

  1

γ

β

  2

  1

  1

  

  Realisasi Kompensator E s E s

  R R Z s Z s

  R R R R R R C s R C s

  R C s R R C s Ambil T R R C

  

T

R C T R C T R R C o i

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) : ( ) ; ; ;

  ( ) = − 

       − 

       =

   

= + = =

= +

  

1

  6

  5

  1

  2

  4

  6

  3

  5

  1

  3

  Sehingga:

• +

     
•    
•     
•     
•     
•     
• &gt; =
• &gt; =

  1

  2

  4

  2

  2

  4

  6

  1

  3

  5

  3

  1

  2

  4

  

1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  3

  2

  1

  

  E s E s K T s

  T s T s T s

  K s T s T s

  T s T dengan

  R R R R R R K R R R R R R R R R R o i c c c

  ( ) ( ) : ;

  =

         

    =

  

  2

  

   =

  β γ γ β

  γ β γ β

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  Karakteristik Kompensator Lag- Lead

  Anggap fungsi alihnya:

   1   1  s s

•    

  T T     _{1 2} G s ( ) K ; γ 1 ; β

  1 _{c c} = &gt; &gt;  γ   1  s s

•    

  T β T     _{1 2} ⇓ ⇓ lead lag

  Atau:

      T s T s

  1

  1

  β   ₁ + + ₂   G s K

  ( )

  =   ^{c c}

+

T T s

  γ   β

  1

   ¹

^{2 }

  1

• s

    γ

   

  1

  1

      s s

•    

  T T     _{1 2} K = _c  γ  

  1 

  s s

•    

  T β T     _{1 2} dengan

  :

  γ

  1 ; β

  1

  &gt; &gt;

  Prosedur Perancangan Untuk Kasus β γ : ≠

  

(Kombinasi prosedur perancangan kompensator lead + kompensator

lag)

  1. Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang diinginkan (dari spesifikasi).

  2. Ambil fungsi alih loop terbuka sistem semula G(s) dan kompensator G (s) seperti persamaan sebelumnya.

  c

  Tentukan sudut deficiency yang harus dikontribusikan oleh

  φ bagian lead kompensator.

  3. Anggap T dipilih cukup besar, sehingga

  2

  1

• s
₁ T ₂ 1 ;

  ≈ s = salah satu pole lup tertutup dominan.

  1

  1

• s
₁ T β ₂ Tentukan T dan melalui: 1 γ

  1  

• s
₁  

  T ₁  

  φ (I ngat : solusi tak unik) ∠ =

  γ  

• s
₁  

  T  ^{1 }

  Tentukan K dari syarat magnitude:

  c

   1 

• s

    T

   ^{1 } ( )

  1 K G s _{c 1 =}  γ 

• s

    T ₁

   

  4. Bila K ditentukan pada spesifikasi, tentukan melalui:

  v β lim ( ) ( )

  K sG s G s _{v = s c} →

  1

  1     s s

•    

  T T _{1 2}     lim sK G s ( )

  = s c →

  1 γ

      s s

•    

  T β T  ^{1   2 }

  β lim sK G s ( )

  = s c →

  γ

  Tentukan T sehingga:

  2

  1

  1   s s ₁ + +

₁

 

  T T _{2 o 1 o}  

  1 ;

  5

  dan

  ≈ − &lt; ∠ &lt; 1 γ

    s s ₁

¹

  β T T _{2  1 }

  Prosedur Perancangan Untuk Kasus β γ : =

  1. Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang diinginkan (dari spesifikasi).

  2. Ambil OLTF sistem semula G(s) dan kompensator G (s)

  c seperti persamaan sebelumnya.

  Bila K ditentukan, maka K dapat dicari melalui:

  v c K lim sG s G s ( ) ( ) _{v s c} =

  →

  1

  1    

• s s    

  T T _{1 2}     lim sK G s ( )

  = _{s c} →

  β

  1     s s

•    

  T β T  ^{1   2 } lim sK G s ( )

  = _{s c} →

  3. Tentukan sudut deficiency yang harus dikontribusikan oleh

  φ bagian lead kompensator.

  4. Tentukan T dan melalui syarat magnitude dan sudut fasa:

  1 γ

  1  

    s  

• 1

  s  

• 1

  T

  1 T     ₁

  ∠ = φ K G s ( ) _{c = 1}

  1

  ; β

    β

   

• s

  s    

• 1

  T  

  1 T   ₁

  (I ngat : solusi tak unik)

  5. Pilih T (cukup besar) sehingga:

  2

  1

  1

   

  s ₁ s ₁

    T _{2 o} T _{1 o}

    ≈ 1 ;

  5

  − &lt; ∠ &lt;

  dan

  1 β

   

  s ₁ s ₁

    T β

  T ₂   ₁

  dengan : s = salah satu pole lup tertutup dominan.

1 Catatan: T tak boleh terlalu besar agar dapat direalisir.

  β

  2

CONTOH SOAL

  KONTROLER P, PD, PI DAN PI D

  fig3-1 p183

  u Fungsi Kontroler otomatik:

  1. membandingkan output plant (nilai aktual) dengan input referensi (nilai diinginkan), 2. menentukan simpangan sinyal, 3. mengeluarkan sinyal kontrol untuk menghilangkan / mengurangi simpangan tsb.

  u Mode Kontroler:

• Diskontinyu / Digital: - On / Off (2 posisi)
• 3 posisi
• Programmable (PLC)
• Microcomputer - Kontinyu / Analog : - Proporsional - I nte
• Proporsional + I ntegral
• Proporsional + Derivatif - Proporsional + I ntegral + Derivatif

  u Pemilihan mode kontroler : ditentukan oleh karakteristik plant / proses.

• Mekanik

  u I mplementasi :

• Hidraulik - Pneumatik - Elektronik : Analog / Digital
u Kontroler On- Off

  fig 3-3 p185 u(t) = U

  1

  untuk e(t) &gt; 0 = U

  2

  untuk e(t) &lt; 0 Umumnya : U

  2

  = 0 atau -U

  1 .

• I mplementasi fisik sederhana dan murah.
• Ada efek histerisis dalam implementasi praktisnya.
• Dapat menimbulkan efek cycling (osilasi disekitar nilai set point).
• Differential gap: adakalanya digunakan untuk menghindari terlalu seringnya terjadi mekanisme on-off.
• Aplikasi : Sistem skala besar dengan laju proses lambat (sistem pendingin/ pemanas ruangan).
• Contoh implementasi: Katup yang digerakkan oleh solenoid.
u Kontroler Proporsional

  fig3-6 p186 u(t) = K .e(t),

  p

  atau: U(s) = K .E(s)

  p

  dengan K : gain proporsional

  p

• Timbul error offset bila ada perubahan beban.
• Aplikasi :
• Sistem dengan manual reset dapat dilakukan, - Sistem yang tak mengalami perubahan beban besar.
• Contoh I mplementasi: Amplifier dengan penguatan yang dapat diatur.
u Kontroler I ntegral u

  fig3-7 p187

  du t ( ) K e t . ( ), = i dt atau _t u t ( ) K e t dt ( )

  = _i ∫ dengan K : konstanta yang dapat diatur. i

• Fungsi alih Kontroler:

  K U s ( ) _i =

  E s s ( )

• Bila nilai e(t) naik 2 kali, maka laju perubahan u(t) terhadap waktu menjadi 2 kali lebih cepat.
• Bila e(t) tetap (zero actuating error) , maka nilai u(t) akan tetap seperti semula (reset control).
• Aksi reset (error 0) setelah ada perubahan beban.

  ≈

  u Kontroller Proporsional + I ntegral

  fig3-8 p187

  t K _p

  ( ) = ( ) ( ) _p T _i

• u t K e t e t dt

  ∫

• Fungsi alih kontroler:

  U s ( ) 

  1 

  1

  = _{p  } E s ( ) T s

• K

    _i

  K : konstanta proporsional (adjustable)

  p

  T : waktu integral (adjustable)

  i

  1

  : laju reset : berapa kali bagian proporsional dari aksi

  T _i pengontrolan diulangi dalam waktu 1 menit.

• Aplikasi :

  Sistem dengan perubahan beban besar yang tak terlalu Cepat (perlu waktu integrasi).

  Kontroler PI dan Kompensator Lag:

• Kontroler PI :

  1 T s

 



  1 i 

• K

  G s ( ) K

  1 = c p   =

• p

  T s T  s 

 

i i
• Kompensator Lag:

  1 G s ( ) K β ; β

• Ts

  1

  

= &gt;

^{c c}

+

β Ts

  1

• Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s= -1/ T

  i

  dan pole pada s= 0 (penguatan pada frekuensi 0)

  ∞

• Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady state.
• Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.
• Pemilihan nilai K dan T harus cermat agar diperoleh

  p i

  respons transient memadai: overshoot kecil atau nol, tetapi respons lebih lambat. fig3-9 p188

  u u Kontroller Proposional + Derivatif

  u t K e t K T de t dt p p d

  ( ) ( ) ( ) = +

• Fungsi alih Kontroler:

  U s E s K T s p d

  ( ) ( ) ( )

1 K

  = +

  p

  : konstanta proporsional (adjustable) T

  d

  : waktu derivatif (adjustable)

• Magnitude output kontroler sebanding dengan laju perubahan sinyal error (rate control).
• Aksi pengaturan derivatif :
• memiliki karakter anticipatory,
• memperkuat derau,
• dapat menyebabkan efek saturasi pada kontroler,
• tak dapat berdiri sendiri (efektif hanya selama masa transient).
• Mode derivatif dapat mengatasi perubahan beban seketika
• Offset error tak dapat dihilangkan.

  Kontroler PD dan Kompensator Lead Kontroler PD:

1 T s )

  = c p d

• G s ( ) K (

  Kompensator Lead:

  1 G s ( ) K α ( α 1 ) = &lt; &lt;

• Ts

  α Ts

  1

• c c
• Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead.
• K ditentukan dari spesifikasi steady state

  p

• Frekuensi sudut 1/ T dipilih agar phase lead terjadi sekitar

  d .

  ω gco

• Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler naik terus untuk frekuensi tinggi &gt; 1/ T , sehingga

  ω d memperkuat derau pada frekuensi tinggi.

• Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan kontroler PD.
• Kontroler PD tak dapat direalisasikan dengan elemen pasif RLC, harus dengan Op Am, R dan C.
• Realisasi dengan rangkaian elektronik dapat menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila
direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik.
• Kontroler PD memperbaiki karakteristik respons transient (t &lt; , % M &lt; ).

  r p u Kontroler Proporsional + I ntegral + Derivatif u

  fig 3-10 p189

  t K p de t ( ) u t ( ) K e t ( ) e t dt K T ( )

  = + + p p d

  ∫ T dt i

  Fungsi alih kontroler:

  U s ( )

  1 K (

  1 T s ) = + + p d

  E s ( ) T s i

  K : konstanta proporsional (adjustable)

  p

  T : waktu derivatif (adjustable)

  d

  T : waktu integral (adjustable)

  i

• Dapat digunakan untuk semua kondisi proses.
• Menghilangkan error offset pada mode proporsional.
• Menekan kecenderungan osilasi.
• Kontroler PI D:
•     
• Kompensator Lag-Lead:
•   

  

  

•     
•   

  

  

•     
• Bode Plot Kontroler PI D untuk
• Kontroler PI D adalah Kompensator Lag-Lead.

  p

  1 Fig 7-47 p595

  1

  2 0 1

  ( ) ( , )( ) =

  G s s s s c

  γ β

  1 ¹ ₁ ² ₂ γ β

  1

  1

  1

  1

   &gt; &gt; ⇓ ⇓

  

  



  



  ( ) ; ; =

  T s T lead lag ^{c c}

  G s K s T s T s

  2

  1

  

1

  1

  

  ( ) ( ) = + + =

  T T T s T s s c p

i

d p i i d i

  G s K

T s

T s K

  Kontroler PI D dan Kompensator Lag-Lead:

  dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil kondisional.

• Bila K