Ukuran Nilai Sentral walkthrough system
Ukuran Nilai Sentral
Nilai Sentral
`
`
`
`
Pengertian Nilai Sentral
Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam
rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Suatu
rangkaian
data
biasanya
memiliki
tendensi
(kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini.
Dari sekumpulan data (distribusi), ada beberapa harga/nilai
yang dapat kita anggap sebagai wakil dari kelompok data
tersebut.
Nilai-nilai yang biasa digunakan untuk mewakili data
tersebut adalah mean dan modus disebut sebagai nilai
tengah (central tendency)
Macam Nilai Sentral
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
2. Median
Merupakan suatu nilai yang terletak di tengahtengah sekelompok data setelah data tersebut
diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar.
Suatu nilai yang membagi sekelompok data
dengan jumlah yang sama besar.
Untuk data ganjil, median merupakan nilai yang
terletak di tengah sekumpulan data, yaitu di
urutan ke Untuk data genap, median merupakan rata-rata
nilai yang terletak pada urutan ke- dan
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
2. Median – (Lanjutan)
Jika datanya berkelompok, maka median dapat
dicari dengan rumus berikut:
− f kum<
.I
Median = LB +
f median
n
2
Dimana
LB
= Lower Boundary (tepi bawah kelas median)
n
= banyaknya observasi
fkum< = frekuensi kumulatif kurang dari kelas median
fmedian = frekuensi kelas median
I
= interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
3. Modus
Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul
(nilai dengan frekuensi muncul terbesar)
Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal
Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut
multimodal
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
3. Modus – (Lanjutan)
Jika data berkelompok, modus dapat dicari
dengan rumus berikut:
fa
Modus = LB +
.I
f a + fb
Dimana
LB
= Lower Boundary (tepi bawah kelas dengan
frekuensi terbesar/kelas modus)
fa
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
sebelumnya
fb
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
sesudahnya
I
= interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA TIDAK BERKELOMPOK
Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan
untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data
yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu:
425
440
450
465
480
510
575
430
440
450
470
485
515
575
430
440
450
470
490
525
580
435
445
450
472
490
525
590
435
445
450
475
490
525
600
435
445
460
475
500
535
600
435
445
460
475
500
549
600
435
445
460
480
500
550
600
440
450
465
480
500
570
615
440
450
465
480
510
570
615
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
Rata-rata Hitung (Mean)
xi
34.356
∑
x =
=
= 490,80
n
70
Median
Karena banyaknya data genap (70), maka median
merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu
(475 + 475)/2 = 475
Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA BERKELOMPOK
Dari contoh Bengkel Hudson Auto
Biaya ($)
Frekuensi
(fi)
xi
Frekuensi
kumulatif
Lower
Boundary
fixi
50 – 59
2
54,5
2
49,5
109,0
60 – 69
13
64,5
15
59,5
838,5
70 – 79
16
74,5
31
69,5
1192,0
80 – 89
7
84,5
38
79,5
591,5
90 – 99
7
94,5
45
89,5
661,5
100 – 109
5
104,5
50
99,5
522,5
Total
50
3915,0
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA BERKELOMPOK (L)
Rata-rata Hitung (Mean)
fx
∑
x=
∑f
i i
i
=
3915,0
= 78,3
50
Median
Median = 69,5 +
Modus
50
2
− 15
.10 = 75,75
16
Modus = 69,5 +
3
.10 = 72
3+9
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Rata-rata Hitung (Mean)
Kelebihan:
Melibatkan seluruh observasi
Tidak peka dengan adanya penambahan data
Contoh dari data :
3 4 5 9 11
Rata-rata = 6,4
3 4 5 9 10 11
Rata-rata = 7
Kekurangan:
Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier)
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3 4 5 9 11
Rata-rata = 6,4
Kel. II :
3 4 5 9 30
Rata-rata = 10,2
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Median
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3
4
5
13
14
Kel. II :
3
4
5
13
30
Median I = Median II = 5
Kekurangan:
Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat
dipengaruhi oleh banyaknya data)
Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam
kelompok I, maka median = 9
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Modus
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3
3
4
7
8
9
Kel. II :
3
3
4
7
8
35
Modus I = Modus II = 3
Kekurangan:
Peka terhadap penambahan jumlah data
Cohtoh: Pada data
3 3
4
7
8
9
Modus = 3
3 3
4
7
7
7
8
9 Modus = 7
DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan
menghitung
banyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi
USI A
FREKUENSI
Membuat distribusi frekuensi :
1.
Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar dengan
data paling kecil) Æ 35 – 20 = 15
2.
Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,322 log n
Æ8
1.
Menentukan panjang kelas dengan rumus
p = sebaran / banyak kelas Æ 15/8 = 2
20
5
21
6
22
13
23
4
24
7
25
7
KELOMPOK USI A
26
7
20 – 21
11
27
5
22 – 23
17
28
3
24 – 25
14
29
4
26 – 27
12
30
15
28 – 29
7
31
3
30 – 31
18
33
5
32 - 33
5
35
1
34 - 35
1
FREKUENSI
Menghitung Data Bergolong
Contoh data hasil Test kemampuan managerial terhadap 100
pegawai di kantor X dengan distribusi sbb
DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI DIKANTOR X
INTERVAL NILAI KEMAMPUAN
21 - 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
FREKUENSI / JUMLAH
2
6
18
30
20
10
8
8
jumlah
100
a. Modus ( data bergolong )
Rumus
MO = b+p ( bi
)
bi + b2
MO = Modus
b
= batas bawah klas interval dengan frekuensi terbanyak
p
= panjang klas interval
b1
= frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval
terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat
sebelumnya
b2
= frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval
berikutnya
Hitungannya sbb ;
a.
Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya = ( f, 30 )
b.
b = 51 – 0,5 = 50,5
c.
b1 = 30 –18 = 12
d.
b2 = 30 – 20 = 10
MO = 50,5 + 10 (
12
) = 55, 95
12 + 10
b. Menghitung Median
Rumus
Md = b + p ( ½n –F )
f
Md = Median
n = jumlah smpel/data
b. = batas bawah dimana median akan terletak
F = jumlah semua frekuensi sebelum klas median
f
= frekuensi klas median
Cara menghitung
½ n : ½ x 100 = 50 klas median akan terletak pada interval ke 4
b
: batas bawah adalah 51 – 0,5 = 50,5
p
: panjang klas
= 10
F
: 2 + 6 + 18
= 26
f
: frekuensi klas median
= 30
Jadi Median = 50,5 + 10 ( 50 – 26 ) = 58,5
30
C.Menghitung Mean
a Rumus x = Σf N t
n
Ket : x = rata-rata
Σ = jumlah
f = frekuensi
Nt = nilai tengah klas
n = jml data
Contoh
Berat Badan Penderita TBC
no Berat Badan
1
2
3
4
5
6
7
8
f
-- 45
46
-- 50
51
-- 55
56
-- 60
61
-- 65
66
-- 70
71
-- 75
76 -- 80
4
4
1
2
5
7
5
2
41
jumlah
Nt
f Nt
43
48
53
58
63
68
73
78
172
192
53
116
315
476
365
156
30
1.845
jadi
x = 1845 = 61,5 kg
30
Contoh Modus
No Kelas
Kelas I nt erval
Frekwensi ( f )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 100
1
6
9
31
42
32
17
10
2
Jum lah :
150
Berdasarkan t abel t ersebut :
•
•
•
•
•
Modus : kelas ke 5 ( f- nya t erbesar = 42)
p ( panj ang kelas) = 10
b = 50 – 0,5 = 49,5
b1 = 42 – 31 = 11
b2 = 42 – 32 = 10
11
Modus = 49,5 + 10(
) = 54,738
11+ 10
Contoh Median
No Kelas
Kelas I nt erval
Frekwensi ( f )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 100
1
6
9
31
42
32
17
10
2
Jum lah :
150
Diket ahui :
• n = 150
• 1/ 2n = 150/ 2 = 75
• Jadi m edian akan t erlet ak di int erval ke
5,karena sam pel ke 75 t erlet ak di int erval ke 5
• b = 51 – 0,5 = 50,5
• p = 10
• f = 42
• F = 1 + 6 + 9 + 31 = 47
75 - 47
• Median = 50,5 + 10 (
) = 57,16
42
Nilai Sentral
`
`
`
`
Pengertian Nilai Sentral
Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam
rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Suatu
rangkaian
data
biasanya
memiliki
tendensi
(kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini.
Dari sekumpulan data (distribusi), ada beberapa harga/nilai
yang dapat kita anggap sebagai wakil dari kelompok data
tersebut.
Nilai-nilai yang biasa digunakan untuk mewakili data
tersebut adalah mean dan modus disebut sebagai nilai
tengah (central tendency)
Macam Nilai Sentral
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
2. Median
Merupakan suatu nilai yang terletak di tengahtengah sekelompok data setelah data tersebut
diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar.
Suatu nilai yang membagi sekelompok data
dengan jumlah yang sama besar.
Untuk data ganjil, median merupakan nilai yang
terletak di tengah sekumpulan data, yaitu di
urutan ke Untuk data genap, median merupakan rata-rata
nilai yang terletak pada urutan ke- dan
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
2. Median – (Lanjutan)
Jika datanya berkelompok, maka median dapat
dicari dengan rumus berikut:
− f kum<
.I
Median = LB +
f median
n
2
Dimana
LB
= Lower Boundary (tepi bawah kelas median)
n
= banyaknya observasi
fkum< = frekuensi kumulatif kurang dari kelas median
fmedian = frekuensi kelas median
I
= interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
3. Modus
Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul
(nilai dengan frekuensi muncul terbesar)
Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal
Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut
multimodal
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(CENTRAL TENDENCY MEASUREMENT)
3. Modus – (Lanjutan)
Jika data berkelompok, modus dapat dicari
dengan rumus berikut:
fa
Modus = LB +
.I
f a + fb
Dimana
LB
= Lower Boundary (tepi bawah kelas dengan
frekuensi terbesar/kelas modus)
fa
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
sebelumnya
fb
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
sesudahnya
I
= interval kelas
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA TIDAK BERKELOMPOK
Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan
untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data
yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu:
425
440
450
465
480
510
575
430
440
450
470
485
515
575
430
440
450
470
490
525
580
435
445
450
472
490
525
590
435
445
450
475
490
525
600
435
445
460
475
500
535
600
435
445
460
475
500
549
600
435
445
460
480
500
550
600
440
450
465
480
500
570
615
440
450
465
480
510
570
615
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
Rata-rata Hitung (Mean)
xi
34.356
∑
x =
=
= 490,80
n
70
Median
Karena banyaknya data genap (70), maka median
merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu
(475 + 475)/2 = 475
Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA BERKELOMPOK
Dari contoh Bengkel Hudson Auto
Biaya ($)
Frekuensi
(fi)
xi
Frekuensi
kumulatif
Lower
Boundary
fixi
50 – 59
2
54,5
2
49,5
109,0
60 – 69
13
64,5
15
59,5
838,5
70 – 79
16
74,5
31
69,5
1192,0
80 – 89
7
84,5
38
79,5
591,5
90 – 99
7
94,5
45
89,5
661,5
100 – 109
5
104,5
50
99,5
522,5
Total
50
3915,0
UKURAN TENDENSI SENTRAL
(Contoh Penghitungan)
DATA BERKELOMPOK (L)
Rata-rata Hitung (Mean)
fx
∑
x=
∑f
i i
i
=
3915,0
= 78,3
50
Median
Median = 69,5 +
Modus
50
2
− 15
.10 = 75,75
16
Modus = 69,5 +
3
.10 = 72
3+9
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Rata-rata Hitung (Mean)
Kelebihan:
Melibatkan seluruh observasi
Tidak peka dengan adanya penambahan data
Contoh dari data :
3 4 5 9 11
Rata-rata = 6,4
3 4 5 9 10 11
Rata-rata = 7
Kekurangan:
Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier)
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3 4 5 9 11
Rata-rata = 6,4
Kel. II :
3 4 5 9 30
Rata-rata = 10,2
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Median
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3
4
5
13
14
Kel. II :
3
4
5
13
30
Median I = Median II = 5
Kekurangan:
Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat
dipengaruhi oleh banyaknya data)
Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam
kelompok I, maka median = 9
KELEBIHAN & KEKURANGAN
RATA-RATA , MEDIAN & MODUS
Modus
Kelebihan:
Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim
Contoh: Dari 2 kelompok data berikut
Kel. I :
3
3
4
7
8
9
Kel. II :
3
3
4
7
8
35
Modus I = Modus II = 3
Kekurangan:
Peka terhadap penambahan jumlah data
Cohtoh: Pada data
3 3
4
7
8
9
Modus = 3
3 3
4
7
7
7
8
9 Modus = 7
DISTRIBUSI FREKUENSI : mengelompokkan data interval/rasio dan
menghitung
banyaknya data dalam satu kelompok/klasifikasi
USI A
FREKUENSI
Membuat distribusi frekuensi :
1.
Mencari sebaran (range) yakni selisih antara data paling besar dengan
data paling kecil) Æ 35 – 20 = 15
2.
Menentukan banyak kelas dengan rumus k = 1 + 3,322 log n
Æ8
1.
Menentukan panjang kelas dengan rumus
p = sebaran / banyak kelas Æ 15/8 = 2
20
5
21
6
22
13
23
4
24
7
25
7
KELOMPOK USI A
26
7
20 – 21
11
27
5
22 – 23
17
28
3
24 – 25
14
29
4
26 – 27
12
30
15
28 – 29
7
31
3
30 – 31
18
33
5
32 - 33
5
35
1
34 - 35
1
FREKUENSI
Menghitung Data Bergolong
Contoh data hasil Test kemampuan managerial terhadap 100
pegawai di kantor X dengan distribusi sbb
DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI DIKANTOR X
INTERVAL NILAI KEMAMPUAN
21 - 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
FREKUENSI / JUMLAH
2
6
18
30
20
10
8
8
jumlah
100
a. Modus ( data bergolong )
Rumus
MO = b+p ( bi
)
bi + b2
MO = Modus
b
= batas bawah klas interval dengan frekuensi terbanyak
p
= panjang klas interval
b1
= frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval
terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat
sebelumnya
b2
= frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval
berikutnya
Hitungannya sbb ;
a.
Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya = ( f, 30 )
b.
b = 51 – 0,5 = 50,5
c.
b1 = 30 –18 = 12
d.
b2 = 30 – 20 = 10
MO = 50,5 + 10 (
12
) = 55, 95
12 + 10
b. Menghitung Median
Rumus
Md = b + p ( ½n –F )
f
Md = Median
n = jumlah smpel/data
b. = batas bawah dimana median akan terletak
F = jumlah semua frekuensi sebelum klas median
f
= frekuensi klas median
Cara menghitung
½ n : ½ x 100 = 50 klas median akan terletak pada interval ke 4
b
: batas bawah adalah 51 – 0,5 = 50,5
p
: panjang klas
= 10
F
: 2 + 6 + 18
= 26
f
: frekuensi klas median
= 30
Jadi Median = 50,5 + 10 ( 50 – 26 ) = 58,5
30
C.Menghitung Mean
a Rumus x = Σf N t
n
Ket : x = rata-rata
Σ = jumlah
f = frekuensi
Nt = nilai tengah klas
n = jml data
Contoh
Berat Badan Penderita TBC
no Berat Badan
1
2
3
4
5
6
7
8
f
-- 45
46
-- 50
51
-- 55
56
-- 60
61
-- 65
66
-- 70
71
-- 75
76 -- 80
4
4
1
2
5
7
5
2
41
jumlah
Nt
f Nt
43
48
53
58
63
68
73
78
172
192
53
116
315
476
365
156
30
1.845
jadi
x = 1845 = 61,5 kg
30
Contoh Modus
No Kelas
Kelas I nt erval
Frekwensi ( f )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 100
1
6
9
31
42
32
17
10
2
Jum lah :
150
Berdasarkan t abel t ersebut :
•
•
•
•
•
Modus : kelas ke 5 ( f- nya t erbesar = 42)
p ( panj ang kelas) = 10
b = 50 – 0,5 = 49,5
b1 = 42 – 31 = 11
b2 = 42 – 32 = 10
11
Modus = 49,5 + 10(
) = 54,738
11+ 10
Contoh Median
No Kelas
Kelas I nt erval
Frekwensi ( f )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 100
1
6
9
31
42
32
17
10
2
Jum lah :
150
Diket ahui :
• n = 150
• 1/ 2n = 150/ 2 = 75
• Jadi m edian akan t erlet ak di int erval ke
5,karena sam pel ke 75 t erlet ak di int erval ke 5
• b = 51 – 0,5 = 50,5
• p = 10
• f = 42
• F = 1 + 6 + 9 + 31 = 47
75 - 47
• Median = 50,5 + 10 (
) = 57,16
42