MODUL POM 1PERTEMUAN 1 2 dan 3
BAB 1
LINIER PROGRAMMING
A. Penerapan Teknik Linier Programming (LP) untuk berbagai persoalan business
Pemrograman linier atau PL adalah suatu teknik matematis yang dirancang untuk
membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan
untuk mengalokasikan sumber daya.
Semua persoalan PL mempunyai empat sifat umum:
a. Persoalan PL bertujuan memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas (pada umumnya berupa
keuntungan atau biaya). Sifat umum ini disebut fungsi tujuan (objective function) dari suatu
persoalan PL. Pada umumnya, tujuan utama suatu perusahaan adalah memaksimalkan
keuntungan pada jangka panjang. Dalam kasus sistem distribusi suatu perusahaan angkutan
atau penerbangan, tujuan pada umumnya berupa meminimalkan biaya.
b. Adanya batasan (constraints) atau kendala yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran
dapat dicapai. Sebagai contoh, keputusan untuk memproduksi banyaknya unit dari setiap
produk pada suatu lini produk perusahaan dibatasi oleh tenaga kerja dan permesinan yang
tersedia. Oleh karena itu, untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (fungsi
tujuan) bergantung pada sumber daya yang jumlahnya terbatas (batasan).
c. Harus ada beberapa alternatif tindakan yang dapat diambil. Sebagai contoh, jika suatu
perusahaan menghasilkan tiga produk yang berbeda, manajemen dapat menggunakan PL
untuk memutuskan bagaimana cara mengalokasikan sumber dayanya yang terbatas (tenaga
kerja, permesinan, dan seterusnya). Jika tidak ada alternatif yang dapat diambil, maka PL
tidak diperlukan.
d. Tujuan dan batasan dalam permasalahan pemrograman linier harus dinyatakan dalam
pertidaksamaan atau persamaan linier.
1. Persoalan Bauran Produk (Product Mix) dengan pendekatan Metode Grafik
Metode grafik merupakan bagian dari programasi linier yang dapat dijadikan sebagai
suatu alat (tool) guna membantu mencari solusi masalah programasi linier. Metode grafik
dapat digunakan untuk mencari solusi optimal terhadap masalah bauran produk (product mix
problem) yang terdiri dari dua jenis produk saja, misalnya produk A dan Produk B.
Contoh Kasus
1) Shader Electronics Company menghasilkan dua produk: (1) Shader x-pod, sebuah pemutar
musik portabel dan (2) Shader BlueBerry, sebuah ponsel berwarna dengan sambungan
Internet. Proses produksi untuk setiap produk serupa, yaitu keduanya memerlukan waktu
tertentu untuk pengerjaan elektroniknya dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitannya.
Setiap x-pod membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronik dan 2 jam
untuk perakitan. Setiap BlueBerry memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan
elektronik dan 1 jam untuk perakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu
selama 240 jam waktu pengerjaan elektronik dan 100 jam waktu perakitan. Setiap x-pod
menghasilkan keuntungan $7; dan setiap BlueBerry yang diproduksi menghasilkan
keuntungan $5. Permasalahan yang dihadapi Shader adalah menentukan kombinasi terbaik
antara jumlah x-pod dan BlueBerry yang dibuat untuk mencapai keuntungan maksimal.
Situasi bauran produk ini dapat dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier.
Penyelesaian:
1. Pemecahan masalah dimulai dengan merangkum informasi yang diperlukanuntuk
merumuskan dan memecahkan masalah ini (lihat Tabel B.1). Lebih lanjut,
a. Langkah Pertama Menentukan Fungsi Tujuan
1) X1 = jumlah x-pod yang akan diproduksi
2) X2 = jumlah BlueBerry yang akan diproduksi
3) fungsi tujuan PL dapat dibuat dalam kaitannya dengan X1 dan X2:
Memaksimalkan keuntungan = $7X1 + $5X2
b. Langkah kedua adalah membuat hubungan matematis untuk menentukan kedua
batasan dalam masalah ini
1) Batasan pertama: Waktu elektronik yang diperlukan ≤ Waktu elektronik yang
tersedia.
4X1 + 3X2 ≤ 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2) Batasan kedua: Waktu perakitan yang diperlukan ≤ Waktu perakitan yang tersedia.
2X1 + 1X2 ≤ 100 (waktu pengerjaan perakitan)
Perhitungan Manual
a. Memaksimalkan keuntungan = $7X1 + $5X2
Dengan batasan:
1) 4X1 + 3X2 ≤ 240 (batasan waktu pengerjaan elektronik)
2) 2X1 + 1X2 ≤ 100 (batasan waktu pengerjaan perakitan)
3) X1 ≥ 0 (jumlah x-pod yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0)
4) X2 ≥ 0 (jumlah BlueBerry yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0)
b. Langkah pertama yang dilakukan dalam memetakan batasan dari masalah ini adalah
mengubah pertidaksamaan batasan ini menjadi persamaan.
a. Batasan A: 4X1 + 3X2 = 240
b. Batasan B: 2X1 + 1X2 = 100
c. Untuk dapat memetakan garis pada Figur B.1, hal yang harus dilakukan adalah
mencari titik-titik di mana garis 4X1 + 3X3 = 240 akan berpotongan dengan sumbu
X1 dan X2.
a) Batasan A
Mis X1 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
4X1 + 3X2 = 240
3X2 = 240
X2 = 80
Mis X2 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
4X1 + 3X2 = 240
4X1 = 240
X1 = 60
Sehingga Batasan A : (dimulai dari titik (X1 = 0, X2 = 80) hingga (X1 = 60, X2
= 0)
b) Batasan B
Mis X1 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
2X1 + 1X2 = 100
1X2 = 100
X2 = 100
Mis X2 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
2X1 + 1X2 = 100
2X1 = 100
X1 = 50
Sehingga Batasan A : (dimulai dari titik (X1 = 0, X2 = 100) hingga (X2 = 60,
X1 = 50)
c. Figur B.3 menggambarkan kedua batasan secara bersamaan:
1) Daerah yang diarsir merupakan bagian yang memenuhi kedua batasan.
2) Daerah gelap pada Figur B.3 disebut daerah solusi yang layak, atau secara singkat
daerah yang layak (feasible region).
3) Daerah ini harus memenuhi semua kondisi yang ditetapkan oleh batasan program.
4) Setiap titik dalam daerah tersebut menjadi solusi yang layak bagi persoalan
Shader Electronics Company.
5) Setiap titik di luar daerah gelap tersebut mewakili solusi yang tidak layak. Mis:
Perusahaan dapat memproduksi 30 x-pod dan 20 BlueBerry (X1 = 30, X2 = 20),
tetapi akan melanggar batasan jika perusahaan memproduksi 70 x-pod dan 40
BlueBerry
d. Metode Solusi Titik Pojok
(Pada Figur B.7) bahwa daerah yang layak untuk Shader Electronics Company
adalah suatu poligon dengan empat titik pojok atau titik ekstrem. Titik-titik ini diberi
label 1, 2, 3, dan 4. Untuk mencari nilai-nilai (X1, X2) yang menghasilkan
keuntungan yang maksimal, harus dicari terlebih dahulu koordinat setiap titik pojok,
kemudian menentukan dan membandingkan keuntungan pada titik-titik tersebut.
a. Titik 1 : (X1 = 0, X2 = 0) Keuntungan $7(0) + $5(0) = $0
b. Titik 2 : (X1 = 0, X2 = 80) Keuntungan $7(0) + $5(80) = $400
c. Titik 4 : (X1 = 50, X2 = 0) Keuntungan $7(50) + $5(0) = $350
d. Titik 3 untuk sementara dilewatkan karena untuk mencari koordinatnya secara
tepat, kita harus terlebih dahulu menyelesaikan perpotongan antara kedua garis
batasannya.
e. Seperti pada aljabar, metode persamaan simultan dapat diterapkan pada kedua
persamaan batasan:
4X1 + 3X2 = 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2X1 + 1X2 = 100 (waktu perakitan)
f.
Untuk memecahkan persamaan ini secara simultan, persamaan kedua dikalikan
dengan 2:
2(2X1 + 1X2 = 100) = 4X1 + 2X2 = 200
g.
Kemudian ditambahkan pada persamaan yang pertama:
4X1 + 3X2 = 240
4X1 + 2X2 = 200
1X2 = 40
h.
Dengan melakukan ini, satu variabel, yaitu X1, dapat dieliminasi untuk
mendapatkan nilai X2. Sekarang, X2 dapat diganti menjadi 40 pada persamaan
asal dan mencari nilai X1. Kita gunakan persamaan yang pertama. Ketika X2 = 40,
maka:
4X1 + 3(40) = 240
4X1 + 120
= 240
4X1
= 240 – 120
4X1
= 120
X1
i.
= 120/4 = 30
Jadi, titik 3 memiliki koordinat (X1 = 30, X2 = 40). Dengan demikian,
keuntungan dapat dihitung untuk melengkapi analisis:
Titik 3: (X1 = 30, X2 = 40)
Keuntungan = $7(30) + $5(40) = $410.
j.
Karena titik 3 menghasilkan keuntungan yang paling tinggi dari semua titik pojok
yang ada, bauran produk X1 = 30 x-pod dan X2 = 40 BlueBerry menjadi solusi
optimal
k. Pada permasalahan di Shader Electronics. Solusi ini akan menghasilkan
keuntungan senilai $410 pada setiap periode produksi
Metode Grafis dengan menggunakan aplikasi POM
Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
a) Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan,
atau biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
b) Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
c) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
d) Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi
tujuannya adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada
maximize)
e) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
f) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel
X1, X2 dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan
cara mengetik seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
g) Klik tanda panah untuk mengganti tanda batasan menjadi = .
h) Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis:
i) Out put hasil analisis:
j) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan,
maka perusahaan harus memproduksi x-pod(X1) sebanyak 30 unit (nilai
optimalnya = 30) dan BlueBerry(X2) sebanyak 40 unit (nilai optimalnya = 40).
Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar $ 410, yang
diperoleh dari sepatu x-pod(X1) sebesar $210 (30 * $7) dan dari BlueBerry(X2)
sebesar $200 (40*$5).
k) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis
maka klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih
pilihan yang dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a) Table Ranging
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing
variabel (x-pod(X1) dan BlueBerry(X2)) adalah 0 (tidak memiliki reduced
cost), artinya nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini
menunjukkan bahwa penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing
batasan (Elektronik dan Perakitan) adalah sebesar 240 dan 100. Dari
penggunaan input tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah
penggunaan depatement/bagian Elektronik dan Perakitan yang ditandai
dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama
dengan nol maka setiap penambahan input (Departemen) sebesar 1 unit
(jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 1.5
untuk departemen elektronik dan 0.5 untuk Departemen Perakitan.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan
analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan
untuk memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa
merubah solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari
awal yang dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower
Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel (xpod(X1) adalah 6.67 sampai 10, sedangkan untuk variabel BlueBerry(X2)
yaitu 3.5 sampai 5.25. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa
diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena
pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai
optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan
Departemen Elektronik adalah 200 sampai 300, dan untuk Departemen
Perakitan adalah 80 sampai 120. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai
koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang
dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan
merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana xpod(X1) adalah sebesar 30 unit sedangkan untuk BlueBerry adalah sebesar 40
unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar $410.
c) Iterations
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang
dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada
permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
2) Pemilik perusahaan kayu CV. Ultra Jaya Abadi yang memiliki kayu dan tenaga kerja akan
membuat kursi dan meja. Tersedia kayu jati sebanyak 400 board feet dan tenaga kerja 450
orang/jam. Untuk membuat kursi diperlukan 5 board feet dan 10 orang/jam serta
menghasilkan keuntungan Rp45 ribu. Selanjutnya 1 meja memerlukan 20 board feet dan
15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp80 ribu. Berapa banyak menja dan kursi
harus diproduksi agar jumlah keuntungan yang dicapai maksimum dengan memperhatikan
pembatasan bahwa kayu tidak boleh melebihi 400 board feet dan tenaga tidak melebihi 450
orang/jam.
Max Z = 45X1+80X2
Subj. to:
5X1 + 20X2 ≤ 400
10X1 + 15X2 ≤ 450
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
3) Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau
biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4) Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
5) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka
yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah
batasan adalah 2).
6) Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya
adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
7) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
8) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2
dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik
seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
9) Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis:
10) Out put hasil analisis:
11) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan,
maka perusahaan harus memproduksi Kursi (X1) sebanyak 24 unit (nilai optimalnya =
24) dan Meja (X2) sebanyak 14 unit (nilai optimalnya = 14). Kombinasi produksi
tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp.2.200, yang diperoleh dari Kursi
(X1) sebesar Rp.1.080 (24 * Rp.45) dan dari Meja (X2) sebesar Rp.1.120 (14*Rp.80).
12) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka
klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang
dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a) Table Ranging
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel
(x-pod(X1) dan BlueBerry(X2)) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya nilai
biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa penggunaan
kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan
(Kayu Jati dan Tenaga Kerja) adalah sebesar 400 dan 450. Dari penggunaan input
tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan depatement/bagian
Elektronik dan Perakitan yang ditandai dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai
nol. Ketika nilai slack sama dengan nol maka setiap penambahan input
(Departemen) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai
dual pricenya yaitu Rp.1 untuk kayu jati dan Rp.4 untuk Tenaga Kerja.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis
sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk
memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah
solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang
dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper
Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk Kursi (X1)
adalah 20 sampai 53.33, sedangkan untuk Meja (X2) yaitu 67.5 sampai 180.
Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas
atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi
tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan Kayu Jati
adalah 225 sampai 600, dan untuk Tenaga Kerja adalah 300 sampai 800.
Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas
atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi
tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di Kursi (X1)
adalah sebesar 24 unit sedangkan untuk Meja adalah sebesar 14 unit, hingga
diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar Rp.2.200.
c) Iterations
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang dilalui
hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada permasalahan ini
hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
Berdasarkan grafik hasil analisis, bisa dilihat kemungkinan kombinasi produksi
untuk Kursi (X1) dan Meja (X2) yaitu pada daerah yang diblock dan kombinasi yang
optimal adalah pada 24 dan 14.
e) Apabila kita ingin memperbaiki data atau kembali pada tampilan ketika memasukkan
data, maka klik edit data.
2. Latihan Kasus Metode Grafis
1. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk yaitu P1 dan P2. Untuk menghasilkan satu
unit P1 membutuhkan dua sumberdaya (SD), masing-masing SD1 sebanyak 4 jam dan SD2
sebanyak 4 meter. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit P2 membutuhkan SD1 sebanyak
2 jam dan SD2 sebanyak 6 meter. Karena adanya keterbatasan waktu dan modal yang dimiliki
perusahaan, SD1 hanya mampu disediakan tidak lebih dari 40 jam per minggu, dan SD2
sebanyak 60 meter per minggu. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa, P1 hanya dapat
diserap pasar tidak lebih dari 10 unit dan P2 diserap tidak lebih dari 9 unit per minggu.
Keuntungan per unit untuk P1 sebesar Rp1jt dan P2 sebesar Rp1,25 jt. Permasalahan yang
dihadapi adalah, berapa unit P1 dan P2 harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal
bagi perusahaan.
2. Cari x1, x2
Fungsi Tujuan:
Max Z = 15x1 + 10x2
Subj. to:
2x1 + 3x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 5
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
3. Cari x1, x2
Fungsi Tujuan:
Max Z = 250x1 + 100x2
Subj. to:
10x1 + 5x2 ≤ 3000
5x1 + 10x2 ≤ 2200
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
2. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu
pemecahan dasar yang fisibel kepemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan
berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu
pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi
tujuan yang selalu lebih besar (lebih kecil) atau sama dari step-step sebelumnya.
Contoh Kasus:
1. Sebuah Perusahaan sepatu Merk Trendy membuat 2 macam sepatu. Sepatu pertama merek
Trendy-Queen, dengan sol karet, dan merek Trendy-Princes dengan sol kulit. Dalam
pembuatan sepatu tersebut diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 digunakan membuat sol
karet, mesin 2 untuk membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan
melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk Trendy-Queen
mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus
dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek Trendy-Princes tidak
diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di
mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2
adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu
merek Trendy-Queen = Rp 30.000,00 sedang merek Trendy-Princes = Rp 50.000,00.
Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek Trendy-Queen dan
merek Trendy-Princes yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. Berdasarkan
permasalahan di atas maka bisa disusun bentuk matematisnya sebagai berikut :
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan (constrain)
(1) 2X1 £ 8
(2) 3X2 £ 15
(3) 6X1 + 5X2 £ 30
Di mana
X1 = Sepatu Merk Trendy-Queen
X2 = Sepatu Merk Trendy-Princes
Langkah-langkah :
1. Pilih menu File, kemudian pilih New
2. Secara otomatis kita diarahkan pada menu Module, kemudian pilih program Linier
Programing hingga muncul tampilan sebagai berikut :
3. Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau biarkan
saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4. Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada angka
yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan
adalah 3).
5. Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka yang
ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah
2).
6. Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya adalah
memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
7. Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
8. Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2 dan
constraint 1-3 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik seperti
biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
9. Klik tanda panah untuk mengganti tanda batasan menjadi = .
10. Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis hingga muncul tampilan (output) sebagai
berikut:
11. Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan, maka
perusahaan harus memproduksi sepatu Merk Trendy-Queen sebanyak 0.83 lusin (nilai
optimalnya = 0.83) dan sepatu Merk Trendy-Princes sebanyak 5 lusin (nilai optimalnya = 5).
Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp 275.000,- yang
diperoleh dari sepatu Trendy-Queen sebesar Rp 25.000 (0.83 * Rp 30.000) dan dari sepatu
Trendy-Princes sebesar Rp 250.000 (5*50.000).
12. Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka klik
pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang dimaksud
hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a. Table Ranging
1) Reduced
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel (sepatu
Trendy-Queen dan Trendy-Princes) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya
nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa
penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
2) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan (mesin
1, mesin 2 dan mesin 3 adalah sebesar 8, 15, 30. Dari penggunaan input tersebut yang
sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan mesin 2 dan mesin 3 yang ditandai
dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama dengan nol
maka setiap penambahan input (mesin) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan
keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 8.33 untuk mesin 2 dan 5 untuk mesin 3.
Penggunaan mesin 1 masih belum optimal (idle capasity) karena dari kapasitas
maksimum sebesar 8 jam, masih ada sisa sebesar 6.33 jam, dalam hal ini yang
digunakan hanya sebesar 1.67
3) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis
sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk memberikan
jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah solusi optimum atau
tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang dinyatakan dengan nilai batas
atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel Sepatu TrendyQueen adalah 0 sampai 6, sedangkan untuk variabel Sepatu Trendy-Princes yaitu 2.5
sampai tak terhingga. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah
sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai
koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan mesin 1 adalah 1.67
sampai tak terhingga, untuk mesin 2 adalah 3.6 sampai 18 dan untuk mesin 3 adalah
25 sampai 49. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai
dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai
koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b. Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana Sepatu
Trendy-Queen adalah sebesar 0.833 unit sedangkan untuk Sepatu Trendy-Princes adalah
sebesar 5 unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar 27.5 satuan (Rp
275.000).
c. Iterasi
Berdasarkan tampilan Iterations, terlihat bahwa ada tiga iterasi/tahapan untuk
memperoleh solusi optimum. Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan
manual) yang dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada
permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
13. Apabila kita ingin memperbaiki data atau kembali pada tampilan ketika memasukkan data,
maka klik edit data.
3. Latihan Kasus Metode Simpleks
Kasus 1
Suatu perusahaan menghasilkan tiga jenis produk yaitu produk A (Pa), produk B (Pb), dan
Produk C (Pc). Untuk menghasilkan satu unit produk A tersebut membutuhkan proses melalui
tiga mesin yaitu mesin X (Mx) selama 5 jam mesin, mesin Y (My) selama 1 jam mesin, dan
mesin Z (Mz) selama 2 jam mesin. Untuk menghasilkan satu unit produk B membutuhkan Mx
selama 2 jam, My selama 3 jam, dan Mz selama 1 jam. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit
produk C membutuhkan Mx selama 1 jam, My selama, My selama 2 jam, dan Mz selama 4 jam.
Informasi yang diperoleh dari perusahaan menunjukkan bahwa, jam mesin yang tersedia tidak
lebih dari atau sama dengan 8 jam perhari untuk Mx, 10 jam perhari untuk My, dan 9 jam perhari
untuk Mz dengan mengasumsikan bahwa terdapat 25 hari kerja per bulan. Berdasarkan hasil
perhitungan yang dilakukan oleh pihak manajemen perusahaan, diketahui keuntungan per unit
untuk Pa sebesar Rp,70 ribu, Pb, sebesar Rp,80 ribu, dan Pc sebesar Rp,60 ribu. Permasalahan
yang dihadapi oleh perusahaan adalah berapa unit Pa, Pb, dan Pc tersebut harus diproduksi
perbulan agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan?
Kasus 2
Seorang pensiunan (purnawirawan) ABRI yang sudah berhasil mengumpulkan dana ingin ikut
menyukseskan pembangunan nasional dengan jalan menanamkan modalnya dalam berbagai
kegiatan sektor ekonomi antara lain: (1) Membeli saham melalui PT. Dana Reksa, (2)
memasukkan ke deposito, (3) Membuka lahan usaha peternakan, (4) membuka biro jasa
perjalanan, dan (5) ikut aktif dalam real estate.
Tentu saja dia menginginkan agar uangnya berkembang dan hasil investasinya (returns on
investmen) mencapai optimum atau maksimum.
Dalam mengambil keputusan yang berhubungan dengan penanaman uang nya, berbagai
alternatif kegiatan ekonomi dia pergunakan data berikut:
Jenis Kegiatan
% Hasil
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
6
13
10
20
25
Lamanya
(Dalam Tahun)
15
3
5
6
10
Risiko yang Timbul
1
3
2
5
1
Bagaimana dia harus mengalokasikan dana yang dimilikinya agar jumlah hasil yang diperoleh
maksimum. Dia memutuskan bahwa rata-rata risiko tidak lebih dari 4, penanaman uang tidak
lebih dari 15 tahun. Paling tidak dia harus menanamkan uangnya direal estate sebesar 25%.
Kalau X1, X2, X3, X4, X5 menunjukkan persentase penggunaan dana berbagai kegiatan
ekonomi tersebut, maka tentukanlah nilai X1, X2, X3, X4, X5?
Kasus 3
Untuk kebutuhan program diet ada dua jenis makanan yang akan dibeli oleh seorang ibu rumah
tangga, masing-masing sebanyak X1 dan X2 unit (satuan misalnya ons). Ada 3 jenis zat yang
dikandung oleh setiap jenis makanan yaitu tiamin, fosfor, dan zat besi. Agar badan sehat tiamin
mimimal 1 mg, fosfor paling sedikit 7,5 mg, dan zat besi tidak boleh kurang dari 10 mg. harga
dipasaran 1 unit jenis barang 1 dan 2 masing-masing sebesar Rp2 ribu dan Rp 1,7 ribu. Banyak
zat yang dikandung oleh masing-masing jenis makanan seperti terlihat dalam tel berikut:
Zat yang dikandung
Tiamin
Fosfor
Zat Besi
Jenis Barang 1 (mg/ons)
0,15
0,75
1,30
Jenis Barang 2 (mg/ons)
0,10
1,70
1,10
Berapakah jumlah jenis makanan yang harus di beli oleh ibu rumah tangga tersebut agar tidak
melebihi jumlah kebutuhan program diet nya?
LINIER PROGRAMMING
A. Penerapan Teknik Linier Programming (LP) untuk berbagai persoalan business
Pemrograman linier atau PL adalah suatu teknik matematis yang dirancang untuk
membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan
untuk mengalokasikan sumber daya.
Semua persoalan PL mempunyai empat sifat umum:
a. Persoalan PL bertujuan memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas (pada umumnya berupa
keuntungan atau biaya). Sifat umum ini disebut fungsi tujuan (objective function) dari suatu
persoalan PL. Pada umumnya, tujuan utama suatu perusahaan adalah memaksimalkan
keuntungan pada jangka panjang. Dalam kasus sistem distribusi suatu perusahaan angkutan
atau penerbangan, tujuan pada umumnya berupa meminimalkan biaya.
b. Adanya batasan (constraints) atau kendala yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran
dapat dicapai. Sebagai contoh, keputusan untuk memproduksi banyaknya unit dari setiap
produk pada suatu lini produk perusahaan dibatasi oleh tenaga kerja dan permesinan yang
tersedia. Oleh karena itu, untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (fungsi
tujuan) bergantung pada sumber daya yang jumlahnya terbatas (batasan).
c. Harus ada beberapa alternatif tindakan yang dapat diambil. Sebagai contoh, jika suatu
perusahaan menghasilkan tiga produk yang berbeda, manajemen dapat menggunakan PL
untuk memutuskan bagaimana cara mengalokasikan sumber dayanya yang terbatas (tenaga
kerja, permesinan, dan seterusnya). Jika tidak ada alternatif yang dapat diambil, maka PL
tidak diperlukan.
d. Tujuan dan batasan dalam permasalahan pemrograman linier harus dinyatakan dalam
pertidaksamaan atau persamaan linier.
1. Persoalan Bauran Produk (Product Mix) dengan pendekatan Metode Grafik
Metode grafik merupakan bagian dari programasi linier yang dapat dijadikan sebagai
suatu alat (tool) guna membantu mencari solusi masalah programasi linier. Metode grafik
dapat digunakan untuk mencari solusi optimal terhadap masalah bauran produk (product mix
problem) yang terdiri dari dua jenis produk saja, misalnya produk A dan Produk B.
Contoh Kasus
1) Shader Electronics Company menghasilkan dua produk: (1) Shader x-pod, sebuah pemutar
musik portabel dan (2) Shader BlueBerry, sebuah ponsel berwarna dengan sambungan
Internet. Proses produksi untuk setiap produk serupa, yaitu keduanya memerlukan waktu
tertentu untuk pengerjaan elektroniknya dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitannya.
Setiap x-pod membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronik dan 2 jam
untuk perakitan. Setiap BlueBerry memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan
elektronik dan 1 jam untuk perakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu
selama 240 jam waktu pengerjaan elektronik dan 100 jam waktu perakitan. Setiap x-pod
menghasilkan keuntungan $7; dan setiap BlueBerry yang diproduksi menghasilkan
keuntungan $5. Permasalahan yang dihadapi Shader adalah menentukan kombinasi terbaik
antara jumlah x-pod dan BlueBerry yang dibuat untuk mencapai keuntungan maksimal.
Situasi bauran produk ini dapat dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier.
Penyelesaian:
1. Pemecahan masalah dimulai dengan merangkum informasi yang diperlukanuntuk
merumuskan dan memecahkan masalah ini (lihat Tabel B.1). Lebih lanjut,
a. Langkah Pertama Menentukan Fungsi Tujuan
1) X1 = jumlah x-pod yang akan diproduksi
2) X2 = jumlah BlueBerry yang akan diproduksi
3) fungsi tujuan PL dapat dibuat dalam kaitannya dengan X1 dan X2:
Memaksimalkan keuntungan = $7X1 + $5X2
b. Langkah kedua adalah membuat hubungan matematis untuk menentukan kedua
batasan dalam masalah ini
1) Batasan pertama: Waktu elektronik yang diperlukan ≤ Waktu elektronik yang
tersedia.
4X1 + 3X2 ≤ 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2) Batasan kedua: Waktu perakitan yang diperlukan ≤ Waktu perakitan yang tersedia.
2X1 + 1X2 ≤ 100 (waktu pengerjaan perakitan)
Perhitungan Manual
a. Memaksimalkan keuntungan = $7X1 + $5X2
Dengan batasan:
1) 4X1 + 3X2 ≤ 240 (batasan waktu pengerjaan elektronik)
2) 2X1 + 1X2 ≤ 100 (batasan waktu pengerjaan perakitan)
3) X1 ≥ 0 (jumlah x-pod yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0)
4) X2 ≥ 0 (jumlah BlueBerry yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0)
b. Langkah pertama yang dilakukan dalam memetakan batasan dari masalah ini adalah
mengubah pertidaksamaan batasan ini menjadi persamaan.
a. Batasan A: 4X1 + 3X2 = 240
b. Batasan B: 2X1 + 1X2 = 100
c. Untuk dapat memetakan garis pada Figur B.1, hal yang harus dilakukan adalah
mencari titik-titik di mana garis 4X1 + 3X3 = 240 akan berpotongan dengan sumbu
X1 dan X2.
a) Batasan A
Mis X1 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
4X1 + 3X2 = 240
3X2 = 240
X2 = 80
Mis X2 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
4X1 + 3X2 = 240
4X1 = 240
X1 = 60
Sehingga Batasan A : (dimulai dari titik (X1 = 0, X2 = 80) hingga (X1 = 60, X2
= 0)
b) Batasan B
Mis X1 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
2X1 + 1X2 = 100
1X2 = 100
X2 = 100
Mis X2 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2),
2X1 + 1X2 = 100
2X1 = 100
X1 = 50
Sehingga Batasan A : (dimulai dari titik (X1 = 0, X2 = 100) hingga (X2 = 60,
X1 = 50)
c. Figur B.3 menggambarkan kedua batasan secara bersamaan:
1) Daerah yang diarsir merupakan bagian yang memenuhi kedua batasan.
2) Daerah gelap pada Figur B.3 disebut daerah solusi yang layak, atau secara singkat
daerah yang layak (feasible region).
3) Daerah ini harus memenuhi semua kondisi yang ditetapkan oleh batasan program.
4) Setiap titik dalam daerah tersebut menjadi solusi yang layak bagi persoalan
Shader Electronics Company.
5) Setiap titik di luar daerah gelap tersebut mewakili solusi yang tidak layak. Mis:
Perusahaan dapat memproduksi 30 x-pod dan 20 BlueBerry (X1 = 30, X2 = 20),
tetapi akan melanggar batasan jika perusahaan memproduksi 70 x-pod dan 40
BlueBerry
d. Metode Solusi Titik Pojok
(Pada Figur B.7) bahwa daerah yang layak untuk Shader Electronics Company
adalah suatu poligon dengan empat titik pojok atau titik ekstrem. Titik-titik ini diberi
label 1, 2, 3, dan 4. Untuk mencari nilai-nilai (X1, X2) yang menghasilkan
keuntungan yang maksimal, harus dicari terlebih dahulu koordinat setiap titik pojok,
kemudian menentukan dan membandingkan keuntungan pada titik-titik tersebut.
a. Titik 1 : (X1 = 0, X2 = 0) Keuntungan $7(0) + $5(0) = $0
b. Titik 2 : (X1 = 0, X2 = 80) Keuntungan $7(0) + $5(80) = $400
c. Titik 4 : (X1 = 50, X2 = 0) Keuntungan $7(50) + $5(0) = $350
d. Titik 3 untuk sementara dilewatkan karena untuk mencari koordinatnya secara
tepat, kita harus terlebih dahulu menyelesaikan perpotongan antara kedua garis
batasannya.
e. Seperti pada aljabar, metode persamaan simultan dapat diterapkan pada kedua
persamaan batasan:
4X1 + 3X2 = 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2X1 + 1X2 = 100 (waktu perakitan)
f.
Untuk memecahkan persamaan ini secara simultan, persamaan kedua dikalikan
dengan 2:
2(2X1 + 1X2 = 100) = 4X1 + 2X2 = 200
g.
Kemudian ditambahkan pada persamaan yang pertama:
4X1 + 3X2 = 240
4X1 + 2X2 = 200
1X2 = 40
h.
Dengan melakukan ini, satu variabel, yaitu X1, dapat dieliminasi untuk
mendapatkan nilai X2. Sekarang, X2 dapat diganti menjadi 40 pada persamaan
asal dan mencari nilai X1. Kita gunakan persamaan yang pertama. Ketika X2 = 40,
maka:
4X1 + 3(40) = 240
4X1 + 120
= 240
4X1
= 240 – 120
4X1
= 120
X1
i.
= 120/4 = 30
Jadi, titik 3 memiliki koordinat (X1 = 30, X2 = 40). Dengan demikian,
keuntungan dapat dihitung untuk melengkapi analisis:
Titik 3: (X1 = 30, X2 = 40)
Keuntungan = $7(30) + $5(40) = $410.
j.
Karena titik 3 menghasilkan keuntungan yang paling tinggi dari semua titik pojok
yang ada, bauran produk X1 = 30 x-pod dan X2 = 40 BlueBerry menjadi solusi
optimal
k. Pada permasalahan di Shader Electronics. Solusi ini akan menghasilkan
keuntungan senilai $410 pada setiap periode produksi
Metode Grafis dengan menggunakan aplikasi POM
Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
a) Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan,
atau biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
b) Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
c) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
d) Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi
tujuannya adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada
maximize)
e) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
f) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel
X1, X2 dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan
cara mengetik seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
g) Klik tanda panah untuk mengganti tanda batasan menjadi = .
h) Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis:
i) Out put hasil analisis:
j) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan,
maka perusahaan harus memproduksi x-pod(X1) sebanyak 30 unit (nilai
optimalnya = 30) dan BlueBerry(X2) sebanyak 40 unit (nilai optimalnya = 40).
Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar $ 410, yang
diperoleh dari sepatu x-pod(X1) sebesar $210 (30 * $7) dan dari BlueBerry(X2)
sebesar $200 (40*$5).
k) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis
maka klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih
pilihan yang dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a) Table Ranging
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing
variabel (x-pod(X1) dan BlueBerry(X2)) adalah 0 (tidak memiliki reduced
cost), artinya nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini
menunjukkan bahwa penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing
batasan (Elektronik dan Perakitan) adalah sebesar 240 dan 100. Dari
penggunaan input tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah
penggunaan depatement/bagian Elektronik dan Perakitan yang ditandai
dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama
dengan nol maka setiap penambahan input (Departemen) sebesar 1 unit
(jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 1.5
untuk departemen elektronik dan 0.5 untuk Departemen Perakitan.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan
analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan
untuk memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa
merubah solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari
awal yang dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower
Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel (xpod(X1) adalah 6.67 sampai 10, sedangkan untuk variabel BlueBerry(X2)
yaitu 3.5 sampai 5.25. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa
diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena
pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai
optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan
Departemen Elektronik adalah 200 sampai 300, dan untuk Departemen
Perakitan adalah 80 sampai 120. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai
koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang
dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan
merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana xpod(X1) adalah sebesar 30 unit sedangkan untuk BlueBerry adalah sebesar 40
unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar $410.
c) Iterations
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang
dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada
permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
2) Pemilik perusahaan kayu CV. Ultra Jaya Abadi yang memiliki kayu dan tenaga kerja akan
membuat kursi dan meja. Tersedia kayu jati sebanyak 400 board feet dan tenaga kerja 450
orang/jam. Untuk membuat kursi diperlukan 5 board feet dan 10 orang/jam serta
menghasilkan keuntungan Rp45 ribu. Selanjutnya 1 meja memerlukan 20 board feet dan
15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp80 ribu. Berapa banyak menja dan kursi
harus diproduksi agar jumlah keuntungan yang dicapai maksimum dengan memperhatikan
pembatasan bahwa kayu tidak boleh melebihi 400 board feet dan tenaga tidak melebihi 450
orang/jam.
Max Z = 45X1+80X2
Subj. to:
5X1 + 20X2 ≤ 400
10X1 + 15X2 ≤ 450
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
3) Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau
biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4) Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada
angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh,
jumlah batasan adalah 2).
5) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka
yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah
batasan adalah 2).
6) Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya
adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
7) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
8) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2
dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik
seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
9) Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis:
10) Out put hasil analisis:
11) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan,
maka perusahaan harus memproduksi Kursi (X1) sebanyak 24 unit (nilai optimalnya =
24) dan Meja (X2) sebanyak 14 unit (nilai optimalnya = 14). Kombinasi produksi
tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp.2.200, yang diperoleh dari Kursi
(X1) sebesar Rp.1.080 (24 * Rp.45) dan dari Meja (X2) sebesar Rp.1.120 (14*Rp.80).
12) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka
klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang
dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a) Table Ranging
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel
(x-pod(X1) dan BlueBerry(X2)) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya nilai
biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa penggunaan
kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan
(Kayu Jati dan Tenaga Kerja) adalah sebesar 400 dan 450. Dari penggunaan input
tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan depatement/bagian
Elektronik dan Perakitan yang ditandai dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai
nol. Ketika nilai slack sama dengan nol maka setiap penambahan input
(Departemen) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai
dual pricenya yaitu Rp.1 untuk kayu jati dan Rp.4 untuk Tenaga Kerja.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis
sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk
memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah
solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang
dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper
Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk Kursi (X1)
adalah 20 sampai 53.33, sedangkan untuk Meja (X2) yaitu 67.5 sampai 180.
Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas
atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi
tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan Kayu Jati
adalah 225 sampai 600, dan untuk Tenaga Kerja adalah 300 sampai 800.
Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas
atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi
tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di Kursi (X1)
adalah sebesar 24 unit sedangkan untuk Meja adalah sebesar 14 unit, hingga
diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar Rp.2.200.
c) Iterations
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang dilalui
hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada permasalahan ini
hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
Berdasarkan grafik hasil analisis, bisa dilihat kemungkinan kombinasi produksi
untuk Kursi (X1) dan Meja (X2) yaitu pada daerah yang diblock dan kombinasi yang
optimal adalah pada 24 dan 14.
e) Apabila kita ingin memperbaiki data atau kembali pada tampilan ketika memasukkan
data, maka klik edit data.
2. Latihan Kasus Metode Grafis
1. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk yaitu P1 dan P2. Untuk menghasilkan satu
unit P1 membutuhkan dua sumberdaya (SD), masing-masing SD1 sebanyak 4 jam dan SD2
sebanyak 4 meter. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit P2 membutuhkan SD1 sebanyak
2 jam dan SD2 sebanyak 6 meter. Karena adanya keterbatasan waktu dan modal yang dimiliki
perusahaan, SD1 hanya mampu disediakan tidak lebih dari 40 jam per minggu, dan SD2
sebanyak 60 meter per minggu. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa, P1 hanya dapat
diserap pasar tidak lebih dari 10 unit dan P2 diserap tidak lebih dari 9 unit per minggu.
Keuntungan per unit untuk P1 sebesar Rp1jt dan P2 sebesar Rp1,25 jt. Permasalahan yang
dihadapi adalah, berapa unit P1 dan P2 harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal
bagi perusahaan.
2. Cari x1, x2
Fungsi Tujuan:
Max Z = 15x1 + 10x2
Subj. to:
2x1 + 3x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 5
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
3. Cari x1, x2
Fungsi Tujuan:
Max Z = 250x1 + 100x2
Subj. to:
10x1 + 5x2 ≤ 3000
5x1 + 10x2 ≤ 2200
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
2. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu
pemecahan dasar yang fisibel kepemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan
berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu
pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi
tujuan yang selalu lebih besar (lebih kecil) atau sama dari step-step sebelumnya.
Contoh Kasus:
1. Sebuah Perusahaan sepatu Merk Trendy membuat 2 macam sepatu. Sepatu pertama merek
Trendy-Queen, dengan sol karet, dan merek Trendy-Princes dengan sol kulit. Dalam
pembuatan sepatu tersebut diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 digunakan membuat sol
karet, mesin 2 untuk membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan
melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk Trendy-Queen
mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus
dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek Trendy-Princes tidak
diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di
mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2
adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu
merek Trendy-Queen = Rp 30.000,00 sedang merek Trendy-Princes = Rp 50.000,00.
Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek Trendy-Queen dan
merek Trendy-Princes yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. Berdasarkan
permasalahan di atas maka bisa disusun bentuk matematisnya sebagai berikut :
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan (constrain)
(1) 2X1 £ 8
(2) 3X2 £ 15
(3) 6X1 + 5X2 £ 30
Di mana
X1 = Sepatu Merk Trendy-Queen
X2 = Sepatu Merk Trendy-Princes
Langkah-langkah :
1. Pilih menu File, kemudian pilih New
2. Secara otomatis kita diarahkan pada menu Module, kemudian pilih program Linier
Programing hingga muncul tampilan sebagai berikut :
3. Klik pada bagian jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau biarkan
saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4. Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada angka
yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan
adalah 3).
5. Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka yang
ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah
2).
6. Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya adalah
memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
7. Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
8. Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2 dan
constraint 1-3 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik seperti
biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
9. Klik tanda panah untuk mengganti tanda batasan menjadi = .
10. Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis hingga muncul tampilan (output) sebagai
berikut:
11. Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan, maka
perusahaan harus memproduksi sepatu Merk Trendy-Queen sebanyak 0.83 lusin (nilai
optimalnya = 0.83) dan sepatu Merk Trendy-Princes sebanyak 5 lusin (nilai optimalnya = 5).
Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp 275.000,- yang
diperoleh dari sepatu Trendy-Queen sebesar Rp 25.000 (0.83 * Rp 30.000) dan dari sepatu
Trendy-Princes sebesar Rp 250.000 (5*50.000).
12. Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka klik
pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang dimaksud
hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a. Table Ranging
1) Reduced
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel (sepatu
Trendy-Queen dan Trendy-Princes) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya
nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa
penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
2) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan (mesin
1, mesin 2 dan mesin 3 adalah sebesar 8, 15, 30. Dari penggunaan input tersebut yang
sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan mesin 2 dan mesin 3 yang ditandai
dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama dengan nol
maka setiap penambahan input (mesin) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan
keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 8.33 untuk mesin 2 dan 5 untuk mesin 3.
Penggunaan mesin 1 masih belum optimal (idle capasity) karena dari kapasitas
maksimum sebesar 8 jam, masih ada sisa sebesar 6.33 jam, dalam hal ini yang
digunakan hanya sebesar 1.67
3) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis
sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk memberikan
jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah solusi optimum atau
tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang dinyatakan dengan nilai batas
atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel Sepatu TrendyQueen adalah 0 sampai 6, sedangkan untuk variabel Sepatu Trendy-Princes yaitu 2.5
sampai tak terhingga. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah
sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai
koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan mesin 1 adalah 1.67
sampai tak terhingga, untuk mesin 2 adalah 3.6 sampai 18 dan untuk mesin 3 adalah
25 sampai 49. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai
dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai
koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b. Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana Sepatu
Trendy-Queen adalah sebesar 0.833 unit sedangkan untuk Sepatu Trendy-Princes adalah
sebesar 5 unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar 27.5 satuan (Rp
275.000).
c. Iterasi
Berdasarkan tampilan Iterations, terlihat bahwa ada tiga iterasi/tahapan untuk
memperoleh solusi optimum. Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan
manual) yang dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada
permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
13. Apabila kita ingin memperbaiki data atau kembali pada tampilan ketika memasukkan data,
maka klik edit data.
3. Latihan Kasus Metode Simpleks
Kasus 1
Suatu perusahaan menghasilkan tiga jenis produk yaitu produk A (Pa), produk B (Pb), dan
Produk C (Pc). Untuk menghasilkan satu unit produk A tersebut membutuhkan proses melalui
tiga mesin yaitu mesin X (Mx) selama 5 jam mesin, mesin Y (My) selama 1 jam mesin, dan
mesin Z (Mz) selama 2 jam mesin. Untuk menghasilkan satu unit produk B membutuhkan Mx
selama 2 jam, My selama 3 jam, dan Mz selama 1 jam. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit
produk C membutuhkan Mx selama 1 jam, My selama, My selama 2 jam, dan Mz selama 4 jam.
Informasi yang diperoleh dari perusahaan menunjukkan bahwa, jam mesin yang tersedia tidak
lebih dari atau sama dengan 8 jam perhari untuk Mx, 10 jam perhari untuk My, dan 9 jam perhari
untuk Mz dengan mengasumsikan bahwa terdapat 25 hari kerja per bulan. Berdasarkan hasil
perhitungan yang dilakukan oleh pihak manajemen perusahaan, diketahui keuntungan per unit
untuk Pa sebesar Rp,70 ribu, Pb, sebesar Rp,80 ribu, dan Pc sebesar Rp,60 ribu. Permasalahan
yang dihadapi oleh perusahaan adalah berapa unit Pa, Pb, dan Pc tersebut harus diproduksi
perbulan agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan?
Kasus 2
Seorang pensiunan (purnawirawan) ABRI yang sudah berhasil mengumpulkan dana ingin ikut
menyukseskan pembangunan nasional dengan jalan menanamkan modalnya dalam berbagai
kegiatan sektor ekonomi antara lain: (1) Membeli saham melalui PT. Dana Reksa, (2)
memasukkan ke deposito, (3) Membuka lahan usaha peternakan, (4) membuka biro jasa
perjalanan, dan (5) ikut aktif dalam real estate.
Tentu saja dia menginginkan agar uangnya berkembang dan hasil investasinya (returns on
investmen) mencapai optimum atau maksimum.
Dalam mengambil keputusan yang berhubungan dengan penanaman uang nya, berbagai
alternatif kegiatan ekonomi dia pergunakan data berikut:
Jenis Kegiatan
% Hasil
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
6
13
10
20
25
Lamanya
(Dalam Tahun)
15
3
5
6
10
Risiko yang Timbul
1
3
2
5
1
Bagaimana dia harus mengalokasikan dana yang dimilikinya agar jumlah hasil yang diperoleh
maksimum. Dia memutuskan bahwa rata-rata risiko tidak lebih dari 4, penanaman uang tidak
lebih dari 15 tahun. Paling tidak dia harus menanamkan uangnya direal estate sebesar 25%.
Kalau X1, X2, X3, X4, X5 menunjukkan persentase penggunaan dana berbagai kegiatan
ekonomi tersebut, maka tentukanlah nilai X1, X2, X3, X4, X5?
Kasus 3
Untuk kebutuhan program diet ada dua jenis makanan yang akan dibeli oleh seorang ibu rumah
tangga, masing-masing sebanyak X1 dan X2 unit (satuan misalnya ons). Ada 3 jenis zat yang
dikandung oleh setiap jenis makanan yaitu tiamin, fosfor, dan zat besi. Agar badan sehat tiamin
mimimal 1 mg, fosfor paling sedikit 7,5 mg, dan zat besi tidak boleh kurang dari 10 mg. harga
dipasaran 1 unit jenis barang 1 dan 2 masing-masing sebesar Rp2 ribu dan Rp 1,7 ribu. Banyak
zat yang dikandung oleh masing-masing jenis makanan seperti terlihat dalam tel berikut:
Zat yang dikandung
Tiamin
Fosfor
Zat Besi
Jenis Barang 1 (mg/ons)
0,15
0,75
1,30
Jenis Barang 2 (mg/ons)
0,10
1,70
1,10
Berapakah jumlah jenis makanan yang harus di beli oleh ibu rumah tangga tersebut agar tidak
melebihi jumlah kebutuhan program diet nya?