Slide CIV 209 AnalisisStruktur CIV 209 P12 13

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Analisis Struktur
: CIV - 209
: 4 SKS

Analisis Struktur Statis Tak Tentu
dengan Metode Slope-Deflection
Pertemuan – 12, 13

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan
•

Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur statis tak tentu dengan metode SlopeDeflection

• Sub Pokok Bahasan :
•

•
•
•

Persamaan Slope-Deflection
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Analisis Portal Tak Bergoyang
Analisis Portal Bergoyang

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak
diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)
• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga
disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik
• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut
rotasi pada suatu titik
• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan
perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk
menghitung reaksi tumpuan

• Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slopedeflection, distribusi momen dan metode matriks

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection

1 DOF

3 DOF
4 DOF

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
•
•
•

•

•

Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope)
dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur
Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan
beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.
Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan
sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada
tumpuan B.
Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai,
maka momen dan sudut rotasi bernilai positif
apabila memiliki arah putar searah jarum jam.
Sedangkan lendutan D dianggap bernilai
positif apabila mengakibatkan balok berputar
sebesar sudut y searah jarum jam.

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection

• SMA’ = 0

 1  M AB   L  1  M BA   2 L

0
 L
 L   
 
EI
EI
2
3
2
3









• SMB’ = 0

 1  M BA   L  1  M AB   2 L
 q AL  0
 L
 L   
 
2
3
2
3
EI
EI
 
 
 
 

(1)

(2)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection

• SMB’ = 0
 1  M   2L  1  M   L
    L  D  0
   L
EI
2
3


 2  EI   3



(3)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

Persamaan Slope-Deflection
• Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB
dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang
diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D.
• Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut
rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh
momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar
yang bekerja pada bentangan balok.
• Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan
slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi
menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.
• Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan
reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap
memiliki tumpuan jepit.

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan FixedEnd Moment (FEM)
• Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah
negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B

adalah positif (searah jarum jam)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta
beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :
 I 
 D 
 2q A  q B  3   FEM  AB
 L 
 L 

M AB  2 E 

 I 
 D 
 2q B  q A  3   FEM BA
 L 
 L 

M BA  2 E 

• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :

M N  2 Ek 2q N  q F  3   (FEM) N

(4)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Dengan :
MN
E,k
qN, qF

y

(FEM)N

adalah momen internal pada ujung dekat
adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L
adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh,
memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki
arah sesuai putaran jarum jam
adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada
tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan
bernilai positif apabila searah jarum jam
adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai
positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Persamaan Slope-Deflection
• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah
satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :

M N  3Ek q N     (FEM) N

(5)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Gambarkan diagram gaya lintang dan
momen lentur untuk balok pada Gambar,
asumsikan EI konstan
FEM BC

6(6) 2


 7,2kN  m
30
30
wL2

FEM CB  wL

2

20



6(6) 2
 10,8kN  m
20

dari persamaan slope - deflection

I
2q N  q F  3y   (FEM) N
 L

M N  2E 

EI
I
qB
M AB  2 E  2(0)  q B  3(0)  0 

8

4

EI
I
qB
M BA  2 E  2q B  0  3(0)  0 

8

2

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1

2 EI
I
q B  7,2
M BC  2 E  2q B  0  3(0)  7,2 
6

3

EI
I
q B  10,8
M CB  2 E  2(0)  q B  3(0)  10,8 

6

3

Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :
SMB = 0
MBA + MBC = 0
Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh :
MAB = 1,54 kNm
MBA = 3,09 kNm
MBC =  3,09 kNm
MCB = 12,86 kNm

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Free body diagram :

Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN ()
ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()
ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN ()
Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Diagram Gaya Geser dan
Momen Lentur :

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Gambarkan diagram gaya lintang dan
momen lentur untuk balok pada Gambar,
asumsikan EI konstan
FEM AB

40(6) 2


 120kN  m
12
12
wL2

FEM BA  wL

2

FEM BC

12



40(6) 2
 120kN  m
12

3PL
3(60)(2)


 22,5kN  m
16
16

dari persamaan slope - deflection
MN

I
 2 E  2q N  q F  3y   (FEM) N
 L

I
M AB  2 E  2(0)  q B  3(0)  120  0,3333EIq B  120
6

I
M BA  2 E  2q B  0  3(0)  120  0,667 EIq B  120
6

Untuk balok AC gunakan persamaan slope - deflection
I
q N y   (FEM) N
 L

M N  3E 

I
M BC  3E  q B  0  22,5  1,5 EIq B  22,5
2

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Dari keseimbangan gaya titik B :
SMB = 0
MBA + MBC = 0
Dan nilai qB =  144/EI.
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan
sebelumnya guna mendapatkan :
MAB =  135 kNm
MBA = 90 kNm
MBC =  90 kNm

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.3
Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila
tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm.
E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4
y AB  y BA 
k AB

0,08m
 0,02rad
4

I 5(10) 6 mm 4 (10 12 )m 4 / mm 4
 
 1,25(10) 6 m 3
L
4m





M AB  2(200 10 9 N / m 2 ) 1,25 10 6 2(0)  q B  3(0,02)  0

 500.000q B  30.000





M BA  2(200 10 9 N / m 2 ) 1,25 10 6 2q B  0  3(0,02)  0

 1.000.000q B  30.000

Dari kesetimbangan titik B :
SMB = 0

MBA – 8000N(3m) = 0
qB = 0,054 rad

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
Tentukan momen internal pada tumpuan
balok apabila titik C mengalami penurunan
sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6
mm4
FEM AB   wL

2

12



20(7,2) 2
 86,4kN  m
12

20(7,2) 2
FEM BA 

 86,4kN  m
12
12
wL2

y BC 
k AB

0,03
 0,005rad
6

y CD  

600 10 6  10 12

 83,33(10 6 )m 3
7,2

k BC 
kCD 

600 10 6  10 12
 100(10 6 )m 3
6

0,03
 0,00667 rad
4,5

600 10 6  10 12
 133,33(10 6 )m 3
4,5

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
Bentang AB :

M AB  2[200 10 6 ][83,33 10 6 ][2(0)  q B  3(0)]  86,4  33.333,3q B  86,4
M BA  2[200 10 6 ][83,33 10 6 ][2q B  0  3(0)]  86,4  66.666,7q B  86,4

Bentang BC :

M BC  2[200 10 6 ][100 10 6 ][2q B  q C  3(0,005)]  0  80.000q B  40.000q C  600
M CB  2[200 10 6 ][100 10 6 ][2q C  q B  3(0,005)]  0  80.000q C  40.000q B  600

Bentang CD :

M CD  2[200 10 6 ][133,33 10 6 ][2q C  0  3(0,00667)]  0  106.666,7q C  1066,7
M DC  2[200 10 6 ][133,33 10 6 ][20  q C  3(0,00667)]  0  53.333,3q C  1066,7

SM B  0

SM C  0

M BA  M BC  0

M CB  M CD  0

qB = 0,00444 rad

qC = -0,00345 rad

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

TUGAS :
Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
• Suatu portal dikategorikan sebagai portal tak bergoyang apabila :
1. Disediakan tumpuan yang cukup untuk menahan goyangan
2. Memiliki geometri dan pola pembebanan yang simetris

Contoh-contoh Portal Tak Bergoyang (No Sidesway)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.5
Tentukan momen pada tiap titik kumpul,
apabila EI konstan

FEM BC
FEM CB

5wL2
5(24)(8) 2


 80kN  m
96
96
5wL2 5(24)(8) 2


 80kN  m
96
96

qA  qD  0

y AB  y BC  y CD  0 (tak bergoyang)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.5

M N  2 Ek 2q N  q F  3y   FEM N

 I 
2(0)  q B  3(0)  0  0,1667 EIq B
 12 

M AB  2 E 

2q B  0  3(0)  0  0,333EIq B
 12 
 I 

M BA  2 E 
M BC

I
 2 E  2q B  q C  3(0)  80  0,5 EIq B  0,25 EIq C  80
8

I
M CB  2 E  2q C  q B  3(0)  80  0,5 EIq C  0,25 EIq B  80
8

 I 
2q C  0  3(0)  0  0,333EIq C
 12 

M CD  2 E 

 I 
2(0)  q C  3(0)  0  0,1667 EIq C
 12 

M DC  2 E 

M BA  M BC  0

M CB  M CD  0

0,833EIq B  0,25 EIq C  80 
137,1
q B  q C 
0,25 EIq B  0,833EIq C  80
EI

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.6
Tentukan momen pada tiap titik kumpul, gunakan E = 200 GPa
k AB
k BC
kCD
kCE

160(10 6 )(10 12 )

 35,56(10 6 )m 3
4,5

320(10 6 )(10 12 )

 66,67(10 6 )m 3
4,8
80(10 6 )(10 12 )

 17,78(10 6 )m 3
4,5

260(10 6 )(10 12 )

 72,23(10 6 )m 3
3,6

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.6
FEMBC



PL

8



30(4,8)
 18kN  m
8

FEMCB  PL  30(4,8)  18kN  m
FEMCE

qA  0

8

8

50(3,6) 2


 81kN  m
8
8
wL2

y AB  y BC  y CD  y CE  0 (tak bergoyang)

M BA  M BC  0

M CB  M CD  M CE  0

61.759,3q B  20.138,9q C  12  q B  2,758(10 5 )rad

20.138,9q B  81.059,0q C  42 q C  5,113(10  4 )rad

M AB  0,444 kN  m
M BA  0,888 kN  m

M BC  0,888 kN  m
M CB  49,7 kN  m
M CD  6,18 kN  m

M CE  55,9 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Bergoyang Metode Slope-Deflection
• Suatu struktur portal akan bergoyang
ke samping apabila geometri atau
pembebanan yang terjadi tidak
simetri
• Pada portal di samping beban P
menimbulkan momen MBC dan MCB
pada titik kumpul B dan C
• MBC cenderung memindahkan titik B
ke kanan, sedangkan MCB cenderung
memindahkan titik C ke kiri
• Karena MBC lebih besar daripada MCB
sebagai hasilnya portal akan timbul
simpangan sebesar D ke arah kanan,
pada titik B maupun C

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7
Tentukan momen pada tiap titik kumpul,
anggaplah EI konstan.
•
•

•
•
•

•

Struktur termasuk portal bergoyang karena
baik geometri dan beban tidak simetri
Beban bekerja pada titik B, sehingga tidak
ada FEM
Titik B dan C mengalami simpangan sama
besar yaitu D
Sehingga yAB = D/4 dan yDC = D/6
Keduanya positif karena batang AB dan CD
berotasi searah jarum jam
yAB = (6/4)yDC

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7
 I 
6

M AB  2 E   2(0)  q B  3 y DC   0  EI 0,5q B  2,25y DC 
 4 

4




6
 I 
M BA  2 E   2q B  0  3 y DC   0  EI 1,0q B  2,25y DC 
 4 

4



I
M BC  2 E  2q B  q C  3(0)  0  EI 0,8q B  0,4q C 
5

M CB
M CD

I
 2 E  2q C  q B  3(0)  0  EI 0,8q C  0,4q B 
4

I
 2 E  2q C  0  3y DC   0  EI 0,667q C  1,0y DC 
6

I
M DC  2 E  2(0)  q C  3y DC   0  EI 0,333q C  1,0y DC 
6

M BA  M BC  0

M CB  M CD  0

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.7

M AB  M BA

SM B  0

VA  

SM C  0

VD  

SF x  0

200  VA  VD  0

4

M DC  M CD

6

 200 

M AB  M BA

4

Sehingga diperoleh 3 buah persamaan :



M DC  M CD


1,8q B  0,4q C  2,25y DC  0 
EIq B  243,78

0,4q B  1,467q C y DC  0
  EIq C  75,66
800  EIy
DC  208,48
1,5q B  0,667q C  5,833y DC 

EI 

M AB  347 kN  m
M BC  225 kN  m

M BA  225 kN  m

M CB  158 kN  m

M CD  158 kN  m M DC  183 kN  m

6

0

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8
Tentukan momen pada tiap titik kumpul,
anggaplah EI konstan. A dan D jepit, serta
C adalah berupa sendi
•
•

y  yAB = yDC = D/4
qA = qD = 0

I
M AB  2 E  2(0)  q B  3y   0  0,5 EIq B  1,5 EIy
4

I
M BA  2 E  2q B  0  3y   0  EIq B  1,5 EIy
4

I
M BC  3E  q B  0  0  EIq B
3

I
M DC  3E  0 y   0  0,75 EIy
4

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8
M BA  M BC  0

M AB  M BA

SM B  0

VA  

SM C  0

VD  

SF x  0

10  VA  VD  0

4
M DC

4

 10 

M AB  M BA

4



M DC

4

0

Substitusikan nilai MAB, MBA, MBC dan MDC
sehingga diperoleh
qB 

240
21EI

y 

320
21EI

M AB  17,1 kN  m
M BC  11,4 kN  m

M BA  11,4 kN  m

M DC  11,4 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.8

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Tentukan momen pada tiap titik kumpul,
anggaplah EI konstan.

FEM BC
FEM CB
y1 

D1
3

30(3,6) 2


 32,4kN  m
12
12
wL2

30(3,6) 2


 32,4kN  m
12
12

D 2  0,5D1

wL2

y2  

D2
3,6

y3 

D3
6

D 3  0,866D1  y 2  0,417y 1

y 3  0,433y 1

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
I
M AB  2 E  2(0)  q B  3y 1   0
3

I
M BA  2 E  2q B  0  3y 1   0
3

 I 
2q B  q C  3(0,417y 1 )  32,4
 3,6 

M BC  2 E 

 I 
2q C  q B  3(0,417y 1 )  32,4
 3,6 

M CB  2 E 

I
M CD  2 E  2q C  0  3(0,433y 1 )  0
6

I
M DC  2 E  2(0)  q C  3(0,433y 1 )  0
6

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Dari kesetimbangan momen di titik B dan C :
M BA  M BC  0

M CD  M CB  0

Persamaan ketiga diperoleh dengan mengambil
jumlahan momen terhadap O
SM O  0

 M  M CD 
 M AB  M BA 
(12,24)  108(1,8)  0
(10,2)   DC
3
6





M AB  M DC  

 2,4 M AB  3,4 M BA  2,04 M CD  1,04 M DC  194,4  0

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship
Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection
Example 11.10
Diperoleh 3 buah persamaan :

0,733q B  0,167q C  0,392y 1  9,72 EI 
EIq B  35,51

0,167q B  0,533q C  0,0784y 1   9,72 EI   EIq C  33,33
 1,840q B  0,512q C  3,880y 1  58,32 EI 
EIy 1  27,47

substitusi kembali ke persamaan awal sehingga diperoleh :
M AB  31,3 kN  m
M BA  7,60 kN  m

M BC  7,60 kN  m

M CB  34,2 kN  m

M CD  34,2 kN  m

M DC  23 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

TUGAS :
Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.13 s/d 11.26