BAB II PEUBAHAN ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG - BAB II
BAB II PEUBAHAN ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG
2.1 Rasional
Di dalam percobaan statistika yang menarik bagi kita bukan titik sampelnya, tetapi hasil numerik dari percobaan tersebut. Sebagai contoh, jika kita melantunkan tiga buah mata uang sekaligus, maka ruang sampelmya adalah S = AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA,
GGG . Sekarang, jika kita mengiginkan hanya gambar ( G ) yang muncul, maka hasil
numerinya adalah 0, 1, 2, 3. Ini berarti 0 = ( AAA ), artinya tidak ada gambar yang muncul; 1 = ( AAG, AGA, GAA ), yaitu hanya satu gambar yang muncul; 2 = (AGG, GAG, GGA), yaitu dua ganbar yang muncul; 3 = ( GGG ), yaitu tiga gambar yang muncul. Bilangan 0, 1, 2, dan 3 merupakan pengamatan acak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan tersebut dapat dipandang sebagai nilai yang diperoleh suatu peubah acak X, yang dalam hal ini menyatakan banyak kali “ gambar “ yang muncul jika tiga buah mata uang dilantunkan sekaligus.
2.2 Peubah Acak Definisi 2.1
Suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut peubah acak Peubah acak dilambangkan hurup kafital, misalnya X, Y, Z dan sebagainya. Sedangkan harganya dinyatakan dengan huruf yang bepadanan, misalnya x, y, z dan sebagainya.
Contoh 2.1
Dua kelereng diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari satu kantong berisi empat kelereng merah dan kelereng hitam. Jika Y menyatakan jumlah kelereng merah yang diambil, maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah :
Kejadian sementara Y
MM MH HM HH
2
1
1 Contoh 2.2 Sebuah mata uang dilantunkan tiga kali. Jika menyatakan jumlah Angka yang muncul, maka nilai P yang mungkin dari peubah acak P adalah : Kejadian sederhana P AAA
3 AAG
2 AGA
2 GAA
2 GGA
1 GAG
1 GGA
1 GGG Dari kedua contoh diatas ruang sampel mempunyai jumlah anggota sampel yang berhingga, artinya dapat dihitung. Akan tetapi, jika ruang sampelnya adalah banyaknya
2
2 titik dari daerah lingkaran x + y = 4, sudah barang tentu kita tidak dapat menghitungnya.
Definisi 2.2
Jika suatu ruang sampel mempunyai titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yanga banyaknya sama dengan banyaknya bilangan cacah, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel disket, dan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak disket.
Definisi 2.3
Jika suatu ruang sampel mempunyai titik sampel yang tak terhingga banyaknya dan sama dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel
kontinu, dan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak kontinu.
2.3Distribusi Peluang Diskret Definisi 2.4
Fungsi f yang dinyatakan dengan f (x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak disket X jika, untuk setiap hasil x yang mungkin : (1). f (x) > 0
f
(2). (x) = 1 x (3). P(X=x) = f(x)
Contoh 2.3: Diketahui tiga buah mata uang dilantunkan sekaligus.
a. Tentukan distribusi peluang banyaknya angka yang muncul !
b. Tentukan rumus distribusi peluangnya !
Solusi:
a. Dari ruang sampel S = AAA, AGA, AAG, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG , dapat dilihat
1
bahwa P( muncul angka 3 kali ) =
8
3 P( muncul angka 2 kali ) =
8 Distribusi kumulatif f(x) suatu peubah acak X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan dengan f(X) = P(X x ) = x t
Solusi:
1
3 = 8 (merupakan penyebut untuk nilai peluang, sesuai dengan definisi peluang yang sudah dibahas pada bab I).
Sedangkan pembilangnya merupakan suatu kejadian pengambilan tanpa memperhatikan urutan (kombinasi), yaitu :
1
3
3 ;3
2
3 ;3
3 ;1
1
3 Jadi, rumus distribusi peluangnya adalah : 3 , 2 , , 1 , 8 3 x untuk x x f
( t f ) Contoh 2.4:
Tentukan distribusi peluang kumulatif variabel X yang menyatakan banyaknya angka yang muncul, jika tiga mata uang logam dilantunkan sekaligus !
1 F(2) = F(0) + F(1) + F(2) =
F(0) = f(0) =
8
1 F(1) = f(0) + f(1) =
4
b. Banyaknya titik sampel adalah 2
8
3
3
P ( muncul angka 1 kali ) =
8
3 P ( muncul angka 0 kali ) =
8
1 Misalnya X menyatakan banyaknya angka yang muncul, maka dapat disusun distribusi
peluang sebagai berikut:
X
1
2
3
f(x)
8
1
8
3
8
2.4 Distribusi Kumulatif Suatu Peubah Acak Diskret Definisi 2.5
1
- 8
=
8
- 8
- 8
b ) dx x f (
1
) dx x f (
1. f(x) 0, untuk semua x R 2.
Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah fungsi padat peluang variabel kontiniu X, yang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real R, jika:
8
1
3
3
1
8
7 F(3) =f(0) + f(2) + f(3) =
8
=
3
3
1
8
2
=
8
- 8
- 8
8
- 8
- 1
2.5 Distribusi Peluang Kontinu Definisi 2.6
3. P ( a < X< b ) =
Contoh 2.5:
b. Hitung P( 0 < x 1 )
3 x
dx =
terbukti x
,
1
9
1
9
8
1
9 2 3
9
1 1 3 2
) dx x f (
1
9
3 x dx x
2.7. Distribusi Peluang Gabungan Definisi 2.7
Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan peubah acak diskret X dan Y, jika
1. f(x,y) 0, untuk semua (x,y) 2.
, 1 ) ( y x y y x
3. P(X,Y) A = A
f (x,y), untuk tiap daerah A dibidang xy
Contoh 2.7:
Dua bola diambil secara acak dari sebuah kantong berisi tiga bola biru, dua merah, dan tiga hijau. Jika X menyatakan bola yang berwarna biru dan Y warna merah yang terambil,
2 1
a.
Misalkan peubahan acak X mempunyai fungsi padat peluang
3
f(x) = Untuk lainnya x Untuk x x , 2 1 , 3 2
a. Buktikan bahwa syarat dua definisi terpenuhi
b. Hitung P(0< x 1)
Solusi:
a. F(x) =
x ) dt t f (
x x x t dt t 1
3
1 3 2
9
1
9
b. P( 0<X 1) = F(1) – F(0) =
Solusi:
9
1
9
1
9
2
2.6 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu Definisi 2.7
Distribusi kumulatif F(x) suatu peubahan acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) dinyatakan oleh:
F(x) = P( X x ) = x
) dt t f ( Contoh 2.6
Diketahui fungsi padat peluang variabel acak X :
f(x) = Untuk lainnya x Untuk x x 2 1 , 3 2
a. Tentukan distribusi kumulatif F(x) fungsi tersebut !
b. P ( 0 < X 1 ) =
1
6 ) ; 1 ( 1 ,
6 ) ( 1 , ;
28
1 ) ( 2 , ;
28
9 ) , ; 1 (
28
3 ) , ; 2 (
28
28
3
P(0,0)=
3 Jadi, distribusi peluang gabungannya adalah :
1
2
a. Fungsi peluang gabungan f(x,y);
3
3
2.
28
P P P P P
3
28
6
3
=
1 ) , (
28
3 ) ( 2 , ) , (
28
6 ) , ), 2 ( , ( ) , (
( 1 , ) , (
b. Rumus fungsi peluang gabungan adalah:
9 ) ), 1 ( 1 ,
28
) 1 ( , (
X P ) , (
) ,
Untuk y x Y
Untuk lainnya y x Untuk y x Untuk y x Untuk y x
6 1.
2
8
1
1
1
2.
6 3.
3 Banyaknya cara (0,1) =
2
3
2
1.
1
3 3.
8 Banyaknya cara (0,0) =
2
28
n(S) =
a. Pasangan (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (2,0), (1,1)
c. P(X,Y)A, jika A daerah (X,Y) untuk tiap daerah A dibidang xy Solusi :
b. Rumus fungsi peluang gabungan f(x,y);
3
2
2
1
3
3
1.
3 1.
3 Banyaknya cara (2,0) =
1
2
3
3
3 Banyaknya cara (0,2) =
1.
9 3.
3 Banyaknya cara (1,0) =
2
2
3
1
1.
1 1.
c. P[( X,Y )A] = P ( X +Y 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
9
- 28
- 28
28
=
Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y, jika memenuhi syarat berikut: 1. f(x,y) 0, untuk semua (x,y) 2.
) dxdy y x f , (
= 1
A ) dxdy y x f , (
, untuk tiap daerah A dibidang xy
28
2.8 Distribusi Peluang Gabungan Peubah Acak Kontinu Definisi 2.8
3. P[(X,Y) A ] =
Diketahui fungsi padat gabungan:
1
1 ; 2 ,
3
3
1 2
a. Buktikan bahwa syarat 2 definisi tepenuhi
f(x,y) = lainnya x y x y x
1
< y <
}
b. Hitumg P[(X,Y) A ], Jika A daerah {(x,y) 0 < x < 1;
2
6
=
2 1 4 1 2 1 4 1 3 2
512
23 512
1
32
1
64
1
1
3
Untuk hal kontinu: g(x) =
b. Distribusi narginal peubah acak Y Solusi :
a. Distribusi marginal peubah acak X
Dua bola dianbil secara acak dari sebuah kantong berisi tiga bola biru, dan merah, dan tiga hijau. Jika X menyatakan bola yang berwarna biru dan Y warna merah yang terambil, hitunglah
Contoh 2.9:
) dx y x f y h dy y x f , ( ) ( ; ) , ( g(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai distribusi marginal X dan Y.
y x
, y x f y h y x f ) ( ) ( ); , (
8
Jika distribusi peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi paluang X dan Y sendirian adalah: Untuk hal diskret: g(x) =
2.19Distribusi Marginal Definisi 2.9
8 1 y y dy y
3
8
8
8 dy y x x x x
8
Solusi:
1 , dy y dy y x x dxdy y x dxdy y x f x x
a.
1 2 2 1 2 2 2 2 2 1
2
3
2
1 ]
8
3
8
4
3
=
1 4 1 1
b. P[(X,Y)
=
4 ) 3 1 (
1 2 2 1 4 1
dxdy y x
4
2 1 3
terbutki y y y y
2
1
2
1
2
1
A = P(0 < x < 1 ; ¼ < y < ½ ) = Dari tabel diatas, maka:
a. distribusi marginal X:
6 ) ( 1 , x x f
9
28
3 ) , ( x x f
( jumlah unsur-unsur baris I )
h(1) =
2
7
3
28
12
28
6
28
( jumlah unsur-unsur baris II )
3
h(2) =
2
28
1
28
1 ) ( 2 , x x f
( jumlah unsur-unsur baris III ) Jadi, distribusi marginal X adalah jumlah unsur-unsur dari masing-masing kolom dan distribusi marginal Y adalah jumlah unsur-unsur dari masing-masing baris pada daftar distribusi peluang gabungan peubah acak diskret X dan Y.
Pada bab I telah dibahas secara panjang lebar tentang peluang bersyarat, yaitu P(B|A) atau P(A|B) dengan
P(B|A) =
) ( ) ( ) (
A P A P A B P
> 0
Definisi 2.10
Misalnya, A dan B menyatakan kejadian yang ditentukan masing-masing X = x dan Y = y, maka
28
28
g(0) =
28
2
14
5
28
10
28
1
28
6
28
3 ) , ( y y f
( jumlah unsur-unsur kolom I ) g(1) =
2
15
15
28
6
28
9 ) , 1 ( y y f
( jumlah unsur-unsur II ) g(2) =
2
28
3
28
3 ) , 2 ( y y f
( jumlah unsur-unsur kolom III )
b. distribusi marginal Y h(0) =
2
28
2.10 Distribusi Bersyarat
p ( X x , Y y ) f ( x , y ) ; g ( x )
P(Y=y | X= x) = p ( X x ) g ( x )
Jika X dan Y variabel acak diskret.
Jika distribusi peluang ini ditulis f(y|x), maka
f ( x , y ) ; g ( x ) f(y|x) = g ( x ) Dan f(y|x) ini disebut distribusi bersyarat variabel acak Y, jika X=x. f ( x , y ) h ( y ) ,
Dengan cara yang sama dapat ditulis f (x|y ) = yang disebut distribusi
h ( y ) bersyarat variabel X, jika Y=y.
Untuk hal kotinu, definisi distribusi peluang bersyaratnya adalah sebagai berikut:
a. Fungsi padat peluang bersyarat peubah kontinu X, jika Y=y dinyatakan dengan f(x|y ) =
f ( x , y ) g ( x ) h ( y )
b. fungsi padat peluang bersyarat peubah kontinu y, jika x=x dinyatakan dengan f (y|x ) =
f ( x , y ) g ( x ) g ( x )
Contoh 2.10:
Diketahui distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y:
X
1
2
3 Y
1
1
1
16
12
1
1
2
5
9
2
1
1
3
15
4
18 Tentukan peluang bersyarat
a. f( y | 1 ) dan
b. P( Y = 1 | X = 2 )
Solusi: 3
1
2
3
1 f ( 1 , y ) f ( 1 , 1 ) f ( 1 , 2 ) f ( 1 , 3 )
a.g(1) =
y 1
5
15
15
5 f 1 , y f 1 , y
5 . f 1 , y
1
f ( y | 1 ) = g
1
5
f ( 1 | 1 ) = 5. f (1,1) = 5 . 0 = 0
1
1 f ( 2 | 1 ) = 5. f (1,2) - 5 .
5
2
2 f ( 3 | 1 ) = 5. f (1,3) = 5 .
15
3 Distribusi bersyarat Y, jika X = 1, adalah
y
1
2
3
f ( y | 1)
1 2/3
b. P(Y = 1 |X = 2 )= f ( 2 | 1 ) = 1
Contoh 2 .11
Diketahui fungsi padat pluang gabungan peubah acak X dan Y : 6 x y 8 , x 2 ; 2 y 4
f(x,y) = untuk x lainya
Hitunglah fungsi padat peluang gabungan peubah acak X dan Y
Solusi:
Hitunglah terlebih dahulu g(x), yatu : 4 4
1 2
1 2 2
6 x y y
6 x y
6
4
2
4
2
2 x
f x , y dy dy g(x) = = =
2
8
2
8 2
8
2 6 x
6 6 2 x
=
8
8
6 2 x
Sehingga, g(x)
8 f x , y 6 x y
4
6 x y
6 2 x
Sekarang, f(y|x) = g x
3 x
3
8 3 3
4 6 2 y
4 4 y 2 dy dy 16 y 8 y
Jadi P(1 < Y < 3| X = 2 ) = 1
1 3
2 1
1
= -32 – 32 = 0
2.11 Rangkuman
1. Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap
anggota dalam ruang sampel
2. Peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang
mengandung titik sampel berhingga banyaknya
3. Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang
mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada sepotong garis.
4. Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang
suatu peubah acak diskret X jika, untuk setiap hasil x yang mungkin: (1). F (x) 0
f ( x )
1 (2).
x
(3). P(X =x ) = f (x)
5. Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah fungsi padat peluang variabel acak kontinu X, yang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real R, jika:
(1). f(x) 0, untuk semua x R
f ( x ) dx 1
(2).
b f ( x ) dx
(3). P( a < X < b ) =
a
6. Distributif kumulatif f(x) suatu peubah acak X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan F t
untuk peubah acak disket X dengan: f(X) = P(X X) = I X
7. Distribusi kumulatipf F(X) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(X) x
F t dt
dinyatakan oleh F(X) = P(X X) =
8. Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan peubah acak diskret X dan Y, jika (1). F(x,y) 0, untuk semua (x,y). f x , y
1
(2). x y
X , Y A f x , y (3). P , untuk tiap daerah A di bidang xy. A
9. Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y, jika memenuhi
syarat berikut: (1). f(x,y) 0, untuk semua (x,y) f x , dxdy y 1 (2).
X , Y A f ( x , y ) dxdy (3). P , untuk tiap daerah A di bidang xy.
A
10. Jika distribusi peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi peluang X dan Y sendiri adalah :
f ( x , y ); h ( y ) f ( x , y )
Untuk hal diskret g(x) = y x
f ( x , y ) dy ; h ( y ) f ( x , y ) dx
Untuk hal kontinu g(x) =
g(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai distribusi marginal X dan Y.
c. Misalnya, A dan B menyatakan kejadian yang ditentukan masing-masing X = x dan
P ( X x , Y y ) f ( x , y )
Y = y, maka P( Y = y | X = x ) = g(x) > 0, untuk X dan Y
P (
X x ) g ( x )
variabel acak diskret. Jika distribusi peluang ini ditulis f( y | x), maka f( y | x ) =
f ( x , y )
g(x) > 0 dan f( y | x ) ini disebut distribusi bersyarat variabel acak Y, jika X =
g ( x ) x. Dengan cara yang sama dapat ditulis f ( y | x ) ini disebut distribusi bersyarat variabel f ( x , y )
acak Y, jika X = x. Denngan cara yang sama dapat ditulis f ( y | x ) = h(y) > 0,
h ( y ) yang disebut distribusi bersarat variabel X, jika Y = y.
2.12 Soal-soal
1. Tentuka yang mana merupakan peubah diskret dan mana yang kontinu :
a. X : banyaknya kecelakan di Kabupaten Lombok Timur
b. Y : banyaknya jam mengajar guru-guru di MAN Selong
c. K: luas tanah di Kecamatan Selong
d. M : berat gabah yang dihasilkan per hektar
2. Dalam sebuah kotak kapur warna berisi dua kapur hijau, dan empat kapur merah. Dilla mengambil tiga kapur secara beraturan, tiap kapur dikembalikan sebelum pengambilan kapur selanjutnya. Tentukan distibusi peluang banyaknya kapur hijau yang terambil!
3. Dari soal nomor 2 :
a. Tentukan distribusi komulatifnya !
b. Hitunglah P(X =1) !
c. Hitunglah P(0<X<2) !
4. Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagi : p x , untuk x 3 4 1
f(x) = , untuk x lainnya
a. Tentukan nilai p !
b. Hitunglah F(x) !
c. Hitunglah P(0,3 < X < 0,6) !
5. Ibu Dimas pulang dari pasar membawa tas yang berisi buah-buahan, yang terdiri dari : tiga buah jeruk, dua buah mangga, dan tiga buah pisang. Dimas mengambil secara acak empat buah. Jika X menyatakan jeruk dan Y menyatakan banayaknya mangga yang terambil, hitunglah : a. Distribusi peluang gabungan X dan Y !
X , Y A
b. P , jika A daerah { (X,Y) | x + y 2} !
6. Dari soal no. 5 :
a. f (y | 2) !
b. P (y = 0 | x = 2) !
7. Diketahui padat peluang gabungan peubah kontinu X dan Y :
f (x,y) = 4xy, 0 < x < 1 ; 0 < y < 1
= 0, untuk x dan y lainnya
a. Hitunglah peluang bahwa : 0
X ¾ dan 1/8 Y ½
b. Hitunglah peluang bahwa Y > X
8. Dari soal no. 7 :
a. Fungsi padat marginal X !
b. Fungsi padat marginal Y !
c. P(1/4 < X < 1/2 , Y > 1/3) !
9. Dari soal no. 7 : buktikan bahwa X dan Y tidak bebas !
10. Funsi padat gabungan peubah acak X, Y, dan Z adalah : p x , untuk x 3 4 1 y 1 z 2 F(x) - , untuk x , y , dan z lainnya
a. Tentukan nilai k
b. Hitunglah P(X < ¼ ; Y > ½ ; 1 < Z < 2)