HOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE )

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 98 – 102

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

HOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG

DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE )

  

RISCHA DEVITA

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

rischadevita@ymail.com

_n , yang dapat disederhanakan menjadi

  Diberikan suatu ruang topologi X ⊂ R

suatu graf. Kemudian graf tersebut direpresentasikan secara kombinatorik. Selanjutnya

dari kombinatorik ini diperoleh suatu kuantitas aljabar H ∗ (X) yang disebut homologi

dari X. Grup homologi ke-k dari X adalah grup kuosien yang dinotasikan H k (X). Sedan-

gkan homologi dari X adalah koleksi dari semua grup homologi ke-k dari X yang dino-

_k

tasikan oleh H ∗ (X) := {H (X)} . Pada paper ini, akan dikaji suatu cara yang dina-

_k∈Z

makan dengan elementary collapse untuk mereduksi jumlah kubus dasar yang ada pada

himpunan kubik. Kemudian ditunjukkan bahwa homologi dari himpunan kubik sebelum

dan sesudah direduksi adalah isomorfik. Suatu contoh diberikan untuk lebih memahami

teori ini. Kata Kunci: Ruang topologi, elementary collapse, isomorfik

  1. Pendahuluan Topologi merupakan cabang matematika yang merupakan pengembangan dari ge- ometri. Awal kajian topologi dilakukan oleh Euler (sejalan dengan berkembangnya teori graf) dan konsep topologinya sendiri diperkenalkan beberapa abad kemu- dian oleh B. Listing. Kajian topologi ini dikembangkan dengan menggunakan konsep teori himpunan, dengan memperhatikan himpunan titik-titik dan kelu- arga himpunan tersebut. Salah satu konsep penting yang dikaji dalam topologi adalah pemetaan (fungsi) dari grup ke grup yang bersifat homomorfisma. Misalkan _n

  , yang dapat disederhanakan menjadi suatu diberikan suatu ruang topologi X ⊂ R graf. Kemudian graf tersebut direpresentasikan secara kombinatorik. Selanjutnya _∗ dari kombinatorik ini diperoleh suatu kuantitas aljabar H (X) yang disebut ho- mologi dari X.

  Sebuah kubus dasar Q adalah suatu hasil kali berhingga dari interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l] untuk suatu l ∈ Z. Jadi _d Q = I × I × I × · · · × I d .

  1

  2 3 ⊂ R Suatu himpunan kubik yang sangat sederhana, memuat banyak (hingga) kubus dasar. Pada paper ini, akan dikaji suatu cara yang dinamakan dengan elementary

  collapses

  untuk mereduksi jumlah kubus dasar yang ada pada suatu himpunan ku- bik. Kemudian ditunjukkan bahwa homologi sebelum dan sesudah direduksi adalah isomorfik.

  Homologi dari Himpunan Kubik yang Direduksi ( Elementary Collapse)

  99

  2. Homologi dari Himpunan Kubik yang Direduksi (Elementary Collapse

  ) Berikut merupakan definisi dari face dan proper face pada himpunan kubik. Definisi 2.1. [4] Misal X himpunan kubik dan misalkan Q ∈ K(X). Jika Q bukan

  proper face dari suatu ^max

  P ∈ K(X), maka Q disebut maximal face pada X. K (X)

  menyatakan himpunan dari

  maximal faces pada X. Sebuah face yang merupakan proper face dari persis satu kubus dasar pada X disebut free face pada X. Lema 2.2. [4] Misalkan X adalah sebuah himpunan kubik. Misalkan Q ∈ K(X) _max

  

adalah sebuah free face pada X dan asumsikan Q ≺ P ∈ K(X). Maka P ∈ K (X)

dan dim Q = dim P − 1.

  Bukti. Asumsikan P ≺ R, untuk suatu R ∈ K(X). Maka Q ≺ R, hal ini bertentan- gan dengan Q sebagai free face dari X. Akan dibuktikan bahwa dim Q = dim P − 1. Misalkan dim Q 6= dim P − 1. Artinya (1) dim Q > dim P − 1, atau (2) dim Q < dim P − 1.

  Jelas bahwa Kasus (1) dim Q > dim P − 1 tidak berlaku, karena Q merupakan

  proper face

  dari P . Asumsikan bahwa Kasus (2) dim Q < dim P − 1 berlaku. Maka terdapat R ∈ K(X) yang berbeda dari Q dan P sedemikian sehingga Q ≺ R ≺ P . Hal ini tidak mungkin, karena bertentangan lagi dengan Q sebagai sebuah free face dari X. Jelas bahwa pengandaian bahwa dim Q 6= dim P − 1 adalah salah.

  Definisi 2.3. [4] Misalkan Q adalah sebuah free face pada X dan misalkan P adalah

  

kubus tunggal pada K(X), sedemikian sehingga Q adalah proper face dari P . Mis-

_′ alkan K

  (X) := K(X)\{Q, P }. Definisikan _′ [ X := R. _{R ∈K ′ ′} (X)

  Maka disebut sebuah ruang kubik yang diperoleh dari

  X X melalui sebuah elemen-

  tary collapse dari P oleh Q. _′ adalah sebuah ruang kubik yang diperoleh dari

  Proposisi 2.4. [4] Jika X

  X

  melalui elementary collapse pada

  P oleh Q, maka _{′ ′ ′ ′ ′ ′} K(X ) = K (X). Bukti. Jelas bahwa K (X) ⊂ K(X ), karena K(X ) dibentuk oleh X = S ′ ′ _{R ∈K ′ R. Akan dibuktikan K(X ) ⊂ K (X). Asumsikan terdapat sebuah kubus}

  (X) _{′ ′ ′} dasar S ∈ K(X )\K (X). Maka S ∈ {P, Q}. Misalkan x ∈ ˚ S ⊂ S ⊂ X . Maka x ∈ R _{′ ′} untuk suatu R ∈ K (X) dan R ∩ ˚ S ⊃ {x} 6= ∅. Maka, S ⊂ R. Karena S 6∈ K (X), _′ maka S adalah proper face dari R ∈ K (X) ⊂ K(X). Akan tetapi, baik S = Q ataupun S = P dapat menjadi proper face dari R, kontradiksi.

  100 Rischa Devita

  2 yang memuat sembilan kubus dasar dapat

  Suatu himpunan kubik X ⊂ R direduksi menjadi menjadi sebuah himpunan kubik yang hanya memuat satu kubus dasar saja, yaitu hanya memuat satu titik. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa homologinya adalah isomorfik. _′

  diperoleh dari

  Lema 2.5. [4] Asumsikan X adalah himpunan kubik dan X

  X

  melalui elementary collapse dari P ∈ K k (X) oleh Q ∈ K k − (X). Maka _′

  1

  1. k k − k

  {c ∈ C (X)|∂c ∈ C (X)} ⊂ C (X ),

  1 _{′ ′ ′}

  2. untuk setiap k − k −

  c ∈ C (X) terdapat c ∈ C (X ) sedemikian sehingga c − c ∈ _{k −}

  1

  1 B (X).

  1 Bukti. _k (1) Karena P adalah elemen tunggal dari K (X) sedemikian sehingga Q adalah i = 0 bilamana P 6= P sebuah face, maka h∂ b P , b Q . Dengan cara yang sama, karena P kubus dasar berdimensi k dan Q sebuah face dari P berdimensi i = ±1. Asumsikan bahwa c ∈ C k k − 1, maka h∂ b P , b Q (X) sedemikian sehingga _{k − 6⊂ |∂c| dan sebagai akibatnya ′ ′}

  ∂c ∈ C 1 (X ). Maka |∂c| ⊂ X . Khususnya, Q h∂c, b i = 0.

  Q Karena c = Σ P ∈K hc, b P i b P , diperoleh _k

  (X)

  X X hc, b i = hc, b i = ±hc, c i, 0 = h∂ P i b P , c Q P ih∂ b P , c Q P _{P P ∈K ∈K k k (X) k (X) ′} untuk itu, c ∈ C (X ). _{k − ′} (2) Asumsikan bahwa c ∈ C (X). Misalkan c := c − hc, b Q ih∂ b P , b Q i∂ b P . _′

  1 _{k −} Maka, c − c = hc, b Q ih∂ b P , b Q i∂ b P ∈ B (X). _′

  1 _{′ ′}

  2 _{k −} Karena hc , b Q i = hc, b Q i − hc, b Q ih∂ b P , b Q i = 0 , maka c ∈ C (X ). _′

  1 Teorema 2.6. [4] Asumsikan X adalah himpunan kubik dan X diperoleh dari

  X

  melalui elementary collapse dari P ∈ K k (X) oleh Q ∈ K k − (X). Maka _′

  1 H ∗ (X ) ∼ ∗ (X).

  = H Bukti. Bukti dimulai dengan membuat beberapa perbandingan yang jelas antara _′ rantai-rantai, siklik-siklik, dan batas-batas dari dua kubik. Karena X ⊂ X, maka _{n n n n ′ ′}

  C (X ) ⊂ C (X ) = K (X) untuk n ∈ (X) ∀n ∈ Z. Dengan Proposisi 2.4, K

  Z\{k − 1, k}. Akibatnya, _{n n ′} C (X ) = C _{n n n} (X) untuk setiap n ∈ Z\{k − 1, k}. Karena Z (X) = C (X) ∩ ker ∂ untuk sebarang himpunan kubik X dan sebarang _{n n ′}

  (X ) ⊂ Z n ∈ Z, diperoleh Z (X) untuk setiap n ∈ Z dan _{n n ′} Z (X ) = Z (X) untuk setiap n ∈ Z \ {k − 1, k}. _{n n n}

  Dengan cara yang sama, karena B (X) = ∂ +1 (C +1 (X)) untuk sebarang him- _{n n ′} (X ) ⊂ B (X) untuk punan kubik X dan sebarang n ∈ Z, maka diperoleh B setiap n ∈ Z dan _{n n ′}

  B (X ) = B

  Homologi dari Himpunan Kubik yang Direduksi ( Elementary Collapse) 101

  Amati bahwa karena siklik-siklik dan batas-batasnya adalah sama, _{n n ′} H (X ) = H (X) untuk setiap n ∈ Z \ {k − 2, k − 1, k}. Perbedaan yang mungkin dari rantai-rantai ke-k hanyalah pada pada siklik- sikliknya. Sekarang akan diperlihatkan bahwa mereka adalah sama. _{k k k}

  Z (X) = C (X) ∩ ker ∂ _{k k k} = C (X) ∩ ker ∂ ∩ ker ∂ _′

  1 _{k k k k − k} ⊂ C (X) ∩ {c ∈ C |∂ c ∈ C (X )} ∩ ker ∂ _′

  1

  2 _{k k} ⊂ C (X ) ∩ ker ∂ _{k ′} = Z (X ). _{k − ′}

  Inklusi 1 berdasarkan bahwa {0} ⊂ C (X ), dan inklusi 2 berdasarkan Lema _{k k k k ′ ′}

  1 2.5(1). Karena Z (X ) ⊂ Z (X), dapat disimpulkan bahwa Z (X ) = Z (X) dan _{k k k k ′ ′ ′} H (X ) = Z (X )/B (X ) = H (X).

  Pada tingkat rantai (k − 2) perbedaan hanya mungkin di dalam batas-batasnya. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mereka sama yaitu dengan membuktikan _{k − k − k − ′} bahwa B (X) ⊂ B (X ). Ambil b ∈ B (X). Maka b = ∂c untuk suatu _{k − k −}

  2

  2 _{′ ′}

  2 c ∈ C (X). Dengan Lema 2.5(2) terdapat c ∈ C (X ) sedemikian sehingga _′

  1 _{k − k}

  1 c − c ∈ B (X). Secara khusus, untuk suatu d ∈ C (X),

  1 _{′ ′}

  2 _{′ ′ k − k − k −} b − ∂c = ∂(c − c ) = ∂ d = 0 _′ dan b = ∂c ∈ B (X ). Untuk itu telah terlihat bahwa B (X) = B (X ). _{k − k − ′}

  2

  2

  2 Sehingga H (X ) = H (X).

  2

  2 Tinggal mempertimbangkan grup homologi pada dimensi k − 1. Dalam kasus ini, grup homologinya tidak sama, tetapi akan dikonstruksi sebuah isomorfisma. _{k − ′ X ′ k − ′} Misalkan ξ ∈ H (X ). Maka ξ = [z] untuk suatu siklik z ∈ Z (X ). Subscript _{′ X ′}

  1 _′

  1 X pada [z] menyatakan kelas homologi yang diambil dari X . Ini penting, karena _{k − k − ′} Z (X ) ⊂ Z (X), yang berarti bahwa dapat juga mempertimbangkan kelas

  1 _{X k − k − k −}

  1 _′ homologi [z] dari z pada H (X). Karena B (X ) ⊂ B (X), dengan mudah _{X ′}

  1 _{′ ′ ′ X ′ k −}

  1

  1 _X memeriksa bahwa jika [z] = [z ] untuk suatu z ∈ Z (X ), maka [z] = _{′ X k − k − ′}

  1 [z ] . Ini berarti bahwa pemetaan ι : H _{X ′ X} 1 (X ) → H 1 (X) terdefinisi dengan baik yang diberikan oleh ι([z] ) = [z] . Jelas bahwa pemetaan ini adalah sebuah homomorfisma pada grup. _{X k − k} Untuk membuktikan bahwa pemetaan adalah monomorfisma, asumsikan bahwa [z] = 0 untuk suatu z ∈ Z 1 (X). Maka z = ∂c untuk suatu c ∈ C (X). _{k ′} Berdasarkan Lema 2.5(1), diperoleh bahwa c ∈ C (X ), yang menunjukkan bahwa [z] ^{X ′ = 0. jadi, pemetaannya adalah sebuah monomorfisma. Untuk menunjukkan} ₋ bahwa ia adalah epimorfisma, pertimbangkan [z] ^{X untuk suatu z ∈ Z k (X).} _{′ ′ ′ k −}

  1 Berdasarkan Lema 2.5(2), terdapat c ∈ C (X ) sedemikian sehingga z − c ∈ _{k − ′ ′}

  1 B (X). Secara khusus, ∂(z − c ) = 0, sehingga ∂c = ∂z = 0. Ini menunjukkan

  1 _{′ ′ ′ ′ k − X ′ X X} bahwa c ∈ Z (X ) dan karena ι([c ] ) = [c ] = [z] , maka pemetaannya

  1 adalah surjektif.

  102 Rischa Devita

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Nova Noliza Bakar M.Si, Bapak Efendi, M.Si, Bapak Prof. I Made Arnawa, dan Ibu Arrival Rince Putri, M.T, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Herstein, Topics in Algebra, 1999, Second Edition, John Wiley and Sons, Sin- gapore.

  [2] Jacob, Bill, Linear Algebra, W. H. Freeman and Company, New York, 1990. [3] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek, 2000, Algebraic Topology : A Com-

  putational Approach . Springer-Verlag, New York.

  [4] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek, 2004, Computational Homology, Springer-Verlag, New York. [5] Made, I Arnawa dan Hendra Syarifudin, 2011, Pengantar Aljabar Abstrak. (tidak diterbitkan).