Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari B

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga Integral Lipat Tiga [MA1124] KALKULUS II

  Integral Lipat Tiga pada Balok Integral Lipat Tiga pada Balok

  1. Partisi balok B menjadi n bagian; B , B , …, B , …, B

1

2 k n

  B k ∆z

  Definisikan || ∆|| = diagonal k

  ( x , y , z ) _{k k k} ruang terpanjang dari B k

  ∆x k

2. Ambil

  ( x , y , z ) ∈ B _{k k k k} B z

  3. Bentuk jumlah Riemann ∆y n k f ( x , y , z ) ∆ _{k k k k}

  V ∑ _{k = 1}

  

4. Jika ||

∆||Æ 0 diperoleh limit jumlah Riemann _n

  ∆ lim f ( x , y , z ) _{k k k k}

  V

  ∑ ∆ → y _{k 1}

  = x

  Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis _n

  = ∆ f ( x , y , z ) dV lim f ( x , y , z ) _{k k k k}

  V

  ∑ ∫∫∫ _B ∆ → _{k = 1} 7/6/2007

  [MA 1124]

  2

  7/6/2007 [MA 1124]

  3 Integral Integral

  Lipat Lipat

  Tiga Tiga pada pada

  Balok Balok

  (2) (2)

  ∆v k

  = ∆x k

  ∆y k

  ∆z

k

  ÆdV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius: ∫∫∫ ∫∫∫

  = _{B B} ) dz dy dx z , y , x ( f dV ) z , y , x ( f

  7/6/2007 [MA 1124]

  = ² ₁ ^{1 2}

  4

  = z

  ⎜ ⎝ ⎛

  7 ⎟ ⎠ ⎞

  6

  1

  2

  1 ²

  7 ₂

  3

  1

  2

  ⎜ ⎝ ⎛

  4 Contoh Contoh

  ⎟ ⎠ ⎞

  dz y z ∫

  1

  3

  = ² ₁ ^{1 2} ₁ ³

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  dz dy x yz ∫ ∫

  = ² ₁ ^{1 2} ₁ ²

  ∫ ∫ ∫

  ∫∫∫ _B dV yz x ² dz dy dx yz x

  ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab.

  ∫∫∫ _B dV yz x ² Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x,y,z)| 1

  7 =

  7/6/2007 [MA 1124]

  5 Integral Integral

  Lipat Lipat

  Tiga Tiga pada pada

  Daerah Daerah

  Sembarang Sembarang

  Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) x y z

  B S ∫∫∫ _S ²

  dV yz x

  Hitung , Jika S benda padat sembarang (gb. 1)

  Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah

  Sembarang (2) Sembarang (2)

  Jika S dipandang sebagai ψ z= (x,y) ₂ himpunan z sederhana (gb.2) z

  1 z= (x,y), dan proyeksi S pada

ψ

  (S dibatasi oleh z= (x,y) dan ψ

  2 S bidang XOY dipandang sebagai z= ψ (x,y) ₁ daerah jenis I) maka: _{b φ ψ 2 ( x ) ( x , y ) 2}

  ( , , ) = ( , , ) f x y z dV f x y z dz dy dx a y

  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ _{S a ( x ) ( x , y )} φ ψ _{1 1} y= φ (x) ₁ y= φ (x) ₂ S b

  Catatan: xy x f ( x , y , z ) dV

  Jika f(x,y,z) = 1, maka ∫∫∫ _S

  (gb. 2) menyatakan volume benda pejal S

  7/6/2007

[MA 1124]

  6 Contoh Contoh

  Hitung f ( x , y , z ) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

  ∫∫∫ _S

  2 padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 z ₂ z = 2 – ½ x

  Jawab. y = x

  Dari gambar terlihat bahwa y= 0

  S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x

  2 0≤z≤ 2 – ½x } Sehingga, ₁ y _{2 − x} ² ₂ S _{x y 2 x 2}

  2 xyz dV

  2 xyz dz dy dx = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ x _{S 2 x 0 0 2 2 − x 1 2} S = proyeksi S pada XOY ² xy

  = xy z dy dx _{0 0} ∫ ∫

  (segitiga) 7/6/2007

  [MA 1124]

  7 Contoh ( lanjutan ) Contoh ( lanjutan ) _{2 x 2}

  1 ₂ ⎞ = xy 2 x dy dx ⎜ ⎛ − ⎟

  ∫ ∫

  2 _{2 0 0} ⎝ ⎠ _x

  1

  1 ⎛ ⎞

  = x ^{2 4 2}

  2 x x y dx ⎜ ⎟

• 4 −

  ∫

  4

  2 ₂ ⎝ ⎠

  1 ⎛ ⎞ _{3 5 7}

  = 2 − + ⎜ x x x ⎟ dx

  ∫

  ⎝ ⎠ ₂

  1 ₄

  1 ₆

  1 ₈ = x x x − +

  2

  6

  64

  32

  4 = − +

  8 4 =

  3

  3

  7/6/2007 [MA 1124]

  8 Latihan Latihan

  , S benda padat di oktan pertama yang

1. Hitung z dV

  ∫∫∫ _S dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung

  2

  2 x + z = 1.

  2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi

  2

  2 tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

  3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :

  2 a. y = x , y + z = 4, x = 0, z = 0.

  2

  2 b. 1 = z +y , y = x, x = 0.

  2

  2 c. x = y, z =y, y = 1,x = 0.

  2 d. y = x + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. _y π / ^{2 z}

  4. Hitung

• sin( x y z ) dxdydz

  ∫ ∫∫ 7/6/2007

  [MA 1124]

  9 Integral Lipat Tiga ( Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga ( Koordinat Tabung dan Bola) dan Bola)

  Koordinat Tabung Koordinat Bola z

  P( ρ,θ,φ) z P( r ,θ,z ) φ z z

  ρ r

  θ r y

  θ y x x

  Sy a r a t & h u bu n ga n dg Ka r t e siu s , 0 ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π π

  ρ ≤ φ ≤ r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π x = r cos θ x = r cos θ x =

  } ρ cos θ sin φ r = ρ sin φ y = r sin θ y = r sin θ z = z y =

  } ρ sin θ sin φ r = _{2 2 2}

  ρ sin φ r = x + y z = ρ cos φ _{2 2 2 2} x + y + z =

  ρ Jik a D be n da pe j a l pu n ya su m bu sim e t r i Æ Koor din a t Ta bu n g Jik a D be n da pe j a l ya n g sim e t r i t e r h a da p sa t u t it ik Æ Koor din a t Bola

  7/6/2007

[MA 1124]

  10

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh

• y

  7/6/2007 [MA 1124]

  11 Contoh Contoh

  tabung x

  2

  2 =4 dan bidang z = 0, z = 4 z Jawab. x y r

4 D dalam koordinat:

  θ

  2

  2

  a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}

  4

  − x

  

b. Tabung:

D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤ θ≤ π/2, 0≤z≤4} x ² + y ² = 4

2. Sketsa D; D bagian bola x

• y
• z

  2 ρ _{2 2}

  2

  2

  2 =4 di oktan I.

  Jawab. z

  D dalam koordinat: x y r

  − y x z − =

  4

a. Cartesius:

  4

  7/6/2007 [MA 1124]

  b. bola: D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤ φ ≤ π/2,

0≤

  θ ≤ π/2}

  2

  ₂

  4

  − y x − ^{2 2}

  0≤z≤ }

  θ

2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

  12 Contoh Contoh

  − x

  7/6/2007 [MA 1124]

  ∂ ∂

  ∂ =

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  13 Penggantian Penggantian

  ) w , v , u ( J ∂

  = _{D D} ) dw dv du w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f dz dy dx ) z , y , x ( f w z v z u z w y v y u y w x v x u x

  ∫∫∫ ∫∫∫

  Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka: dimana

  Tiga Tiga

  Lipat Lipat

  Integral Integral

  Peubah Peubah dalam dalam

  Jacobian

  7/6/2007 [MA 1124]

  ∂ ∂

  ∫∫∫ ∫∫∫

  ∂ =

  ∂ ∂

  ∂ θ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ θ ∂

  ∂ ∂

  14 Koordinat Koordinat

  ∂ θ ∂

  = ∂

  ) w , v , u ( J ^{2 2} = θ + θ = θ θ θ − θ

  1 cos r sin sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x

  r sin r cos r

  Tabung Tabung x = r cos θ y = r sin θ z = z Matriks Jacobiannya:

  Æ Æ

  Kartesius Kartesius

  θ θ θ = _{D D} ) dz d dr r z , sin r , cos r ( f dz dy dx ) z , y , x ( f

  7/6/2007

[MA 1124]

  ∂ θ ∂

  ∫∫∫ ∫∫∫

  ) w , v , u ( J ²

  ∂ = sin 1 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin z z z y y y x x x

  ∂ ρ ∂

  ∂ θ ∂

  ∂ φ ∂

  ∂ ρ ∂

  ∂ φ ∂

  15 Koordinat Koordinat

  ∂ ρ ∂

  ∂ θ ∂

  = φ ∂

  θ φ ρ θ φ ρ θ φ θ φ ρ θ φ ρ − θ φ

  φ ρ − = φ

  Bola Bola x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya:

  Æ Æ

  

Kartesius

Kartesius

  φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ = _D ² _D ) d d d sin cos , sin sin , cos sin ( f dz dy dx ) z , y , x ( f Contoh ( Tabung ) Contoh ( Tabung )

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

  2

  2 z = x + y dan z = 4. _Z Jawab. z = 4

  Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: _{2 2 y} 4 x − −

  4 x , S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ −

  2

  

2

x

• y ≤ z ≤ 4} _x

  S _{x y} Dalam koordinat tabung:

  2

,z)|0

  S={(r, θ ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2 π , r ≤ z ≤ 4} Sehingga, volume benda pejalnya adalah _{2 2 π 4} V = dV

  1 r dz d dr = θ

  ∫∫∫ _S ∫ ∫ ∫ _{r 2} 7/6/2007

  [MA 1124]

  16

  7/6/2007 [MA 1124]

  4

  r r π π

  − =

  ⎜ ⎝ ⎛

  2 ⎟ ⎠ ⎞

  2

  1

  4

  θ _{2 4 2}

  dr r r π

  − = ^{2 2 2}

  17 Contoh Contoh

  ( ) ∫

  π θ dr d z r _r

  = ^{2 2 4 2}

  V ∫ ∫

  π θ _r dr d dz r

  = ^{2 2 4} ₂

  ∫ ∫ ∫

  ) )

  Lanjutan Lanjutan

  ( (

  8 = Jadi volume benda pejalnya adalah 8 π Contoh (bola) Contoh (bola)

  2

  2

  2

2. Hitung volume bola pejal x + y + z = 4 di oktan I Jawab.

  z _{2 2} z = − x − y

  4 D dalam koordinat:

  2

a. Cartesius:

  ρ ₂ D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤

  4 − x ,

  2 _{2 2} 0≤z≤ }

  4 − x − y

  y θ

  2 b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤ ≤2, 0≤ ≤

  ρ φ π/2, x

  0≤ ≤ θ π/2}

  Sehingga, volume benda pejalnya adalah _{/ 2 / 2} π π ² ₂ V = dV

  1 d d d = ρ sin φ ρ φ θ

  ∫∫∫ _S ∫ ∫ ∫ 7/6/2007

  

[MA 1124]

  18 Contoh ( Lanjutan ) Contoh ( Lanjutan )

  π / ^{2 π / 2 2} ₂ V d d d

  = ρ sin φ ρ φ θ

  ∫ ∫ ∫ ₂ π / ^{2 π / 2}

  1 ⎛ ⎞ ₃ sin d d

  = φ ρ φ θ ⎜ ⎟

  ∫ ∫

  3 ⎝ ⎠

  π / ² π / ²

  8 cos φ d θ = ( − )

  ∫

  3

  π / ²

  8

  4 = θ

  ( )

  = π

  3

  3 Jadi volume benda pejalnya adalah 4

  π/3 7/6/2007

  [MA 1124]

  19 Latihan Latihan

  2

  x dV

  , dengan D benda pejal yang dibatasi

1. Hitung

  ∫∫∫ _D

  2

  2 z =9 – x – y dan bidang xy.

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

  2

  2

  2

  2

  2

  2 bola x + y + z = 1 dan x + y + z =4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

  2

  2

  2 bola r + z = 5 dan di bawah r =4z.

  

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

  2

  2 z = x + y dan bidang z =4.

  5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

  2

  2

  2

x + y + z = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara

  2

  2 menyamping oleh tabung x +y =4. 7/6/2007

  

[MA 1124]

  20

6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola

• =
• y
• z
³ ₃ ⁹ ₉ ⁹ ₉ ^{2 / 3 2 2 2 2} ₂ ^{2 2} _{2 2} ^x _x ^{y x} _{y x}

  −

  

4

x y x dx dy dz y x z

  2 ^{2 2 2}

  2

  4

  4

  2

  − − − − −

  8. Hitung ∫ ∫ ∫

  dx dy dz y x

  7. Hitung ∫ ∫ ∫

  dx dy dz z y x

  − − −

  − − − − − −

  ( ) ∫ ∫ ∫

  2 = 9, dan berada dalam kerucut ^{2 2} y x z

  2

  2

  x

  Lanjutan Lanjutan

• ³
^{9 2 2 2 2 x}

9. Hitung

  21 Latihan Latihan

  7/6/2007 [MA 1124]