ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK DENG
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK DENGAN METODE
BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE UNTUK SAMPEL KECIL
Dinda Tri Wisudawati1), Deden Istiawan2)
Departemen Statistika, AIS Muhammadiyah Semarang
email: [email protected]
email: [email protected]
Abstract
Analysis about level of bankruptcies in the banking firm is usually reflected on
finance report and it need to do because bank is necessary institute on economy. The
method that can be used is logistic regression. It is generally used to determine a
relationship between response variable which has only two or more possible values with
one or more predictor variable. The usual method of logistic regression is Maximum
Likelihood Estimation where the parameter estimation process is preceded by the
formation of likelihood function. Logistic Regression Model Parameter Estimates with
small sample is caused bias estimation, it is one of the problems of logistic regression. To
solve the problem, it can use resampling on data with bootstrap and jackknife method. One
of the advantages of both method is can solve the estimation problem with good level of
accuracy. Bootstrap is resampling with replacement, whereas jackknife is resampling
without replacement by deleting d observation from real sample. Computers are needed to
use those methods. In this research, the best method will be chosen to get the best possible
estimate based on small sample from the minimum standard error. The data from
previously research is illustrated in determination about level of bankruptcies in the
Indonesian banking firm. Based on the results, jackknife deleted-2 is the best method to
reduce the standard errors the amount of 0,033971.
Keywords: Logistic Regression, Resampling, Bootstrap Method, Jackknife Method, Parameter
Estimates
PENDAHULUAN
Statistika sudah banyak diketahui di
kalangan masyarakat guna memperoleh suatu
informasi. Upaya memperoleh dan mengolah
informasi statistik mempunyai sejarah yang
panjang, sepanjang peradaban manusia. Di
Jepang, menurut Andrea Gabor pelajaran
statistika telah diberikan sejak sekolah
menengah umum (SMU), sehingga budaya
statistika menjadi dasar bagi berkembangnya
pengawasan
mutu,
dan
pemahaman
probabilitas telah memainkan peranan
penting bagi suksesnya produk-produk
Jepang (Suharyadi & Purwanto, 2009).
Menurut Moore dalam (Sukestiyarno, 2013),
secara sederhana mendefinisikan “Statistics
is the science of collecting, organizing, and
interpreting numerical facts”.
Dalam statistika terdapat berbagai jenis
sub bahasan salah satunya yaitu regresi
logistik. Regresi logistik pertama kali
THE 5TH URECOL PROCEEDING
diperkenalkan oleh Pierre Francois Verhulst
yang merupakan seorang Professor dari
Belgian Military College. Regresi Logistik
digunakan untuk memodelkan populasi pada
tahun 1800an yang merupakan salah satu
bentuk regresi non linear dimana hubungan
antara variabel bebas dan variabel terikatnya
tidak berbentuk garis lurus setelah dibuatkan
plotnya.
Regresi
logistik
bersifat
dichotomous (berskala nominal atau ordinal
dengan 2 kategori) atau polychotomous
(mempunyai skala nominal atau ordinal
dengan lebih dari 2 kategori) dengan 1 atau
lebih variabel prediktor. Sedangkan variabel
respon bersifat kontinyu atau kategorik.
Regresi logistik tepat digunakan untuk
variabel respon yang bersifat dikotomi.
Fokus dalam penelitian ini yaitu regresi
logistik biner. Regresi logistik biner
merupakan suatu metode analisis untuk
mencari hubungan antara variabel respon
230
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
(Y ) yang bersifat biner atau dikotomous
dengan variabel prediktor (X) besifat
polikotomous. Variabel respon (Y) terdiri
dari dua kategori yaitu “sukses” dan “gagal”
yang dinotasikan dengan Y=1 (sukses) dan
Y=0 (gagal). Variabel Y mengikuti distribusi
Bernouli (Archer, Lemeshow, & Hosmer,
2007).
Asumsi regresi logistik salah satunya
yaitu sampel yang diperlukan dalam jumlah
relatif besar, minimum dibutuhkan hingga 50
sampel data untuk sebuah variabel prediktor
atau independen (Anwar Hidayat, 2015).
Berdasarkan pernyataan tersebut salah satu
kelemahan regresi logistik yaitu ketika
jumlah sampelnya kecil. Sampel kecil
mempunyai
keterbatasan
dalam
menyediakan informasi yang cukup
(Maharani, Adji, Setiawan, & Hidayah,
2015). Sampel kecil adalah sampel dengan
jumlahnya yang kurang dari 30 (Widi, 2015).
Penelitian-penelitian sebelumnya mengenai
sampel kecil pada regresi logistik telah
banyak dilakukan. Salah satunya yaitu
penelitian seputar sampel kecil untuk regresi
logistik multinomial menggunakan A
modified score function estimator (MPLE)
dengan hasilnya yaitu, pada sampel kecil
MPLE mampu mengurangi error lebih baik
dibanding MLE (Bull, Mak, & Greenwood,
2002).
Pada penelitian ini, peneliti memfokuskan
penelitian menggunakan metode resampling
bootstrap dan jackknife. Didasarkan pada
penelitian
terdahulu
karya
Hana
Fitrianingrum tahun 2013 dengan judul
“Estimasi Parameter Model Regresi Logistik
Menggunakan Metode Jackknife”. Bootstrap
didasarkan pada observasi dan sampling
error, sedangkan Jackknife didasarkan pada
observasi terhapus-1 dan terhapus-d
(Sahinler dan Topuz, 2007). Bootstrap
diperkenalkan pertama kali oleh Efron tahun
1979. Bootstrap dapat digunakan untuk
mengatasi permasalahan dalam statistika baik
masalah data yang sedikit, data yang
menyimpang dari asumsinya maupun data
yang tidak memiliki atau bebas asumsi dalam
distribusinya (Narso, Suyitno, & Artikel,
2013 dan Sungkono, 2013). Metode
bootstrap dilakukan dengan mengambil
sampel dari sampel asli dengan ukuran sama
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
dengan ukuran sampel asli dan dilakukan
dengan pengembalian. Jackknife pertama
kali diusulkan oleh M.H. Quenouille pada
tahun 1949 kemudian disempurnakan oleh
John Tukey pada tahun 1956. Penerapan
Jackknife pada estimasi parameter dengan
data yang kecil dilakukan untuk dapat
mengoreksi pendugaan Maximum Likelihood
Estimation (MSE) (Kurnia & A. Notodiputro,
2006). Metode Jackknife merupakan teknik
resampling nonparametrik, bertujuan dalam
menyelesaikan masalah estimasi parameter
dengan tingkat akurasi yang baik. Metode
jackknife dilakukan dengan mengambil
sampel dari sampel asli dengan ukuran sama
dengan ukuran sampel asli dan dilakukan
tanpa pengembalian. Estimasi standard error
untuk metode jackknife terbagi dalam
jackknife terhapus-1 dan terhapus-d.
Secara garis besar tujuan dalam penelitian
ini yaitu untuk membandingkan ketiga
metode antara lain MLE, Bootstrap dan
Jackknife dalam mengestimasi parameter
regresi logistik dimana ukuran yang menjadi
pembandingnya adalah nilai standard error
dari masing-masing metode yang akan dipilih
berdasarkan nilai terkecilnya.
KAJIAN LITERATUR DAN
PENGEMBANGAN HIPOTESIS
2.1 Dasar Penelitian
Penelitian-penelitian terdahulu yang
membahas permasalahan sampel kecil pada
regresi logistik yang memperoleh hasil
estimasi yang bias telah dilakukan.
Diantaranya penelitian yang dilakukan oleh
Bull, Mak, dan Greenwood tahun 2002.
Mereka menyebutkan bahwa, pemodelan
regresi logistik biner mempunyai hasil dalam
estimasi yang jika dilakukan terus menerus
tidak sesuai untuk sampel kecil. Menurut
Maiti & Pradhan dalam Gordóvil-merino,
Guàrdia-olmos, & Peró-cebollero tahun
2012, menyebutkan bahwa
estimasi
parameter untuk analisis sampel kecil
hasilnya bias.
Selanjutnya, penelitian karya Hana
Fitrianingrum (Universitas Gadjah Mada,
2013) dengan judul estimasi parameter model
regresi logistik menggunakan metode
jackknife. Metode jackknife tersebut
digunakan untuk mengestimasi model regresi
231
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
logistik dengan mengilustrasikannya dalam
penentuan tingkat kebangkrutan perusahaan
perbankan di Indonesia dimana jumlah data
yang ditangani adalah data kecil. Dan
diperoleh kesimpulan bahwa metode
Jackknife mampu memperkecil standard
error sampai Jackknife terhapus-2.
2.2 Regresi Logistik Biner
Regresi logistik biner merupakan suatu
metode analisis untuk mencari hubungan
antara variabel respon (y) yang bersifat biner
atau dichotomous dengan variabel prediktor
(x) besifat polychotomous. Variabel respon
(y) terdiri dari dua kategori yaitu “sukses”
dan “gagal” yang dinotasikan dengan y=1
(sukses) dan y=0 (gagal). Variabel y
mengikuti distribusi Bernouli untuk setiap
observasi tunggal (Archer et al., 2007).
Model regresi logistiknya adalah sebagai
berikut:
π ( x)
e
β 0 β1 x1 ... β p x p
1 e
β 0 β1 x1 ... β p x p
dimana p = banyaknya variabel prediktor.
2.3 Metode Bootstrap
Bootstrap diperkenalkan pertama kali oleh
Efron tahun 1979. Bootstrap adalah metode
dan teknik resampling nonparametrik yang
berbasis komputer dan sangat potensial untuk
dipergunakan pada masalah keakurasian
yang didasarkan pada simulasi data untuk
keperluan inferensi statistik (Sungkono,
2013). Bootstrapping bertujuan untuk
menentukan estimasi yang kuat dari standard
error dan interval kepercayaan untuk
mengestimasi proporsi, rerata, median, odds
ratio, koefisien korelasi atau koefisien regresi
(Widhiarso, 2012).
Sampel
dengan
pengembalian
memungkinkan untuk mendapatkan jumlah
data yang sama dengan ketika 21 pertama kali
kita
melakukan
sampling,
dan
memungkinkan satu data diambil beberapa
kali. Mengingat besarnya jumlah resampling
yang bisa mencapai ribuan kali sehingga
sangatlah sulit untuk melakukan perhitungan
secara manual (Ustyannie, 2014).
Sampel asli dilambangkan dengan
x {x1,....., x n } dimana n 1,2,3,..., n dan
sampel bootstrap dilambangkan dengan
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
x * {x1* , x 2* ,..., x B* } dimana B 1,2,3,..., B .
Peluang sampel dengan pengembalian
dapat dinotasikan dengan:
P ( x1* x j | x)
1
untuk i, j 1,2,..., n
n
Masing-masing sampel bootstrap yang
diambil setiap kali pengambilan adalah sama
banyaknya dengan sampel asli.
2.4 Metode Jackknife
Metode Jackknife pertama kali ditemukan
oleh Maurice Henry Quenouille pada tahun
1949 kemudian tahun 1956 John Wilder
Tukey menyempurnakan nama metode
jackknife tersebut. Quenouille menggunakan
metode jackknife tersebut untuk mengoreksi
dan memperkirakan bias dari suatu estimator
dengan menghapus beberapa observasi
sampel. Setelah itu, Tukey menggunakan
metode tersebut untuk membangun interval
kepercayaan untuk data yang memiliki
variansi yang besar dari suatu estimator. Ini
mirip dengan metode resampling bootstrap,
namun tanpa pengembalian (Mcintosh, 1979;
Sawyer, 2005).
Secara umum sampel jackknife dapat
diperoleh melalui sampel berukuran n d
dari distribusi empiris Fn (x) tanpa
pengembalian, diperoleh X 1J , X 2J ,..., X nJ d .
Untuk selanjutnya analisis statistik dilakukan
berdasarkan
pada
sampel
Jackknife
berukuran n d tersebut (Ustyannie, 2014).
Metode Jackknife sangat bergantung pada
estimasi-estimasi dari sampel Jackknife.
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n merupakan sampel
acak berukuran n pengamatan yang
menyebar bebas dan identik dari suatu
sebaran peluang distribusi F yang tidak
diketahui. Dari sampel tersebut dilakukan
penarikan sampel kembali (resampling)
sebanyak n kali dimana setiap resampling
terdiri dari n 1 pengamatan (terhapus 1
pengamatan
secara
berturut-turut).
Selanjutnya, Fˆ merupakan suatu distribusi
empiris yang memberi bobot
1
, untuk
n
setiap nilai estimasi yang diperoleh. Dalam
perkembangannya, metode Jackknife tidak
hanya dilakukan dengan menghapus 1
232
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
pengamatan pada data ke- i , tetapi juga dapat
dilakukan dengan menghapus d pengamatan
dari sampel yang diperoleh sehingga akan
didapatkan jumlah resample sebanyak
n
N , N .
d
METODE PENELITIAN
Metode yang diusulkan pada penelitian ini
yaitu untuk meningkatkan keakurasian
Regresi Logistik dengan metode resampling
untuk menangani sampel kecil pada prediksi
tingkat kebangkrutan perusahaan perbankan
di Indonesia. Metode resampling yang
digunakan yaitu Bootstrap dan Jackknife.
Sasaran yang dilihat dalam penelitian ini
yaitu error dengan melihat nilai standard
error nya. Hasil pengukuran kinerja
menggunakan MLE, Bootstrap dan Jackknife
dengan melihat standard error untuk
mengetahui perbedaan kinerja model
sebelum dan sesudah diterapkan resampling.
Dengan melihat nilai standard error terkecil,
maka akan terpilih metode terbaik.
Selanjutnya diketahui model regresi logistik
yang terbentuk sesuai dengan metode terbaik.
Model kerangka pemikiran metode yang
diusulkan ditunjukan pada Gambar 1.
Gambar 1. Kerangka Pemikiran
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
1.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian
adalah data sekunder yang telah digunakan
pada penelitian sebelumnya yaitu penelitian
karya Hana Fitianingrum tahun 2013
mengenai status 22 perusahaan perbankan di
Indonesia.
1.2 Definisi Operasional Variabel
Penelitian
Variabel-variabel yang digunakan dalam
penelitian ini adalah:
3.2.1 Variabel Dependen
Variabel dependen merupakan variabel
yang dipengaruhi oleh variabel independen.
Variabel dependen dalam penelitian ini
adalah status kebangkrutan perbankan di
Indonesia dengan pengkategorian 1 adalah
perusahaan perbankan yang telah mengalami
kebangkrutan dan 0 adalah yang tidak
mengalami kebangkrutan.
3.2.2 Variabel Independen
Variabel independen merupakan variabel
yang mempengaruhi atau yang menjadi
penyebab bagi variabel dependen. Variabel
independen yang digunakan dalam penelitian
ini adalah merupakan variabel-variabel
dalam rasio keuangan dimana skala datanya
yaitu interval. Variabel-variabel tersebut
diantaranya:
i. CAR (X1)
CAR (Capital Adequancy Ratio) adalah
rasio yang memperlihatkan seberapa besar
jumlah seluruh aktiva bank yang
mengandung risiko (kredit, penyertaan, surat
berharga, tagihan pada bank lain). CAR
digunakan untuk mengukur kemampuan
bank dalam memenuhi kewajiban jangka
panjang atau kemampuan bank untuk
memenuhi kewajiban-kewajiban jika terjadi
likuidasi. Serta digunakan untuk menilai
keamanan dan kesehatan bank dari sisi modal
pemiliknya.
Nilai Capital (CAR) suatu bank dikatakan
baik/sehat apabila nilai pada tiap-tiap periode
lebih besar dari kriteria tingkat kesehatan
bank yang ditetapkan oleh BI yaitu sebesar
8% (Fauzan, 2007).
Rumusnya sebagai berikut:
CAR
233
ModalBank
TotalATMR
100 %
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Keterangan:
ATMR : Aktiva Tertimbang Menurut Risiko
ii. BOPO (X2)
BOPO (Biaya Operasional terhadap
Pendapatan Operasional) merupakan rasio
yang sering disebut rasio efisiensi dan
digunakan untuk mengukur kemampuan
manajemen bank dalam mengendalikan biaya
operasional terhadap pendapatan operasional.
Semakin kecil rasio ini berarti semakin
efisien biaya operasional yang dikeluarkan
bank
yang
bersangkutan
sehingga
kemungkinan suatu bank dalam kondisi
bermasalah semakin kecil. Biaya operasional
dihitung berdasarkan penjumlahan dari total
beban bunga dan total beban operasional
lainnya. Pendapatan operasional adalah
penjumlahan dari total pendapatan bunga dan
total pendapatan operasional lainnya.
Nilai BOPO suatu bank dikatakan
baik/sehat apabila nilai pada tiap- tiap
periode lebih kecil dari kriteria tingkat
kesehatan bank yang ditetapkan oleh BI yaitu
sebesar 93,52% (Fauzan, 2007). Dirumuskan
sebagai berikut:
BOPO
BiayaOperasional
100%
Pendapa tan Operasional
iii. LDR (X3)
LDR (Loan to Deposit Ratio) merupakan
rasio yang digunakan untuk menilai likuiditas
suatu bank yang dengan cara membagi
jumlah kredit yang diberikan oleh bank
terhadap dana pihak ketiga. Semakin tinggi
rasio ini, semakin rendahnya kemampuan
likuiditas bank yang bersangkutan sehingga
kemungkinan suatu bank dalam kondisi
bermasalah akan semakin besar. Kredit yang
diberikan tidak termasuk kredit kepada bank
lain sedangkan untuk dana pihak ketiga
adalah giro, tabungan, simpanan berjangka,
sertifikat deposito. Dirumuskan sebagai
berikut:
Totalkredit
LDR
100%
Totaldanapihakketiga
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
3.3 Teknik Analisis
3.3.1 Estimasi Parameter menggunakan
MLE (Maximum Likelihood
Estimation)
Salah satu metode untuk mencari estimasi
parameter logistik biner adalah metode
Maximum Likelihood Estimation (MLE)
dengan asumsi respon berdistribusi binomial
dan objek pengamatan yang saling bebas. Ide
dasar dari metode ini adalah menggunakan
nilai dalam suatu ruang parameter yang
menghubungkan dengan data observasi yang
memiliki kemungkinan (likelihood) terbesar
sebagai penduga dari parameter yang tidak
diketahui. Prosedur dari metode Maximum
Likelihood Estimation (MLE), yaitu dengan
cara memaksimumkan nilai L(θ) atau disebut
dengan conditional log-likelihood function.
Fungsi Likelihood ( ) mencapai maksimum
bila turunan pertamanya sama dengan nol dan
turunan kedua negatif.
Dimana nilai conditional log-likelihood
function
diperoleh
dari
probabilitas
persamaan regresi logistik yang akan di
estimasi. Sedangkan untuk mencari nilai
conditional log-likelihood yang maksimum
pada metode maximum likelihood dapat
menggunakan metode Newton-Rapshon,
dimana metode ini digunakan untuk
menemukan akar dari persamaan dengan
asumsi f ( x ) 0 . Setelah diperoleh nilai
estimasi parameter yang optimal, maka
langkah selanjutnya yaitu memasukkan nilai
tersebut ke dalam fungsi respon regresi
logistik (logistic response function) untuk
mendapatkan fitted value.
3.3.2 Estimasi Parameter menggunakan
Bootstrap
Estimasi bootstrap untuk standard error
tidak memerlukan perhitungan teori seperti
perhitungan lainnya dan selalu tersedia
walaupun sekompleks apapun perhitungan
statistika tersebut, artinya prosedur bootstrap
untuk standard error selalu sama untuk
semua bentuk distribusi data. Menurut Efron
dan Tibshirani, langkah-langkah prosedur
bootstrap untuk estimasi standar error
sebagai berikut:
1. Pilih sampel bootstrap, yaitu sampel yang
telah kita resampling dari sampel asli
234
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
sebanyak
Dinotasikan dengan
X , X ,..., X , masing-masing berisi nilai
data yang telah disampling secara random
dengan pengembalian dari sampel X .
2. Evaluasi hasil bootstrap yang diperoleh
untuk masing-masing sampel bootstrap
*
1
*
2
B.
*
B
θˆ b s ( xˆ b ) , dimana nilai b 1,2,..., B .
3. Estimasi standard error untuk sampel
bootstrap
B
seˆ B {b 1 (θˆ b θˆ ) 2 /( B 1) 2 }
1
dengan: θˆ
B
B
b 1
θˆ b
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
1) Sampel Jackknife ke- k , dinotasikan X JK
adalah sampel asli dengan menghapus
observasi ke- k , sehingga diperoleh n
sampel yang masing-masing berukuran
n 1.
2) Menghitung θˆ yang diinginkan dari
sampel Jackknife, sebut sebagai θˆ JK ,
dimana k 1,2,..., n .
3) Mengkonstruksikan
seˆ1 , seˆ2 ,..., seˆB .
Pendekatan bootstrap jika diulang lebih
dari satu kali akan memberikan hasil yang
berbeda, hal ini karena yang dilakukan adalah
suatu simulasi. Jika dapat dilakukan
menggunakan semua kemungkinan sampel
yaitu n n maka hasilnya akan sama
(Sungkono, 2013).
3.3.3 Estimasi Parameter menggunakan
Jackknife
Dalam
perkembangannya,
metode
Jackknife tidak hanya dilakukan dengan
menghapus 1 dari n pengamatan pada data
ke- i , tetapi dapat dilakukan dengan
menghapus d pengamatan dari sampel yang
diperoleh sehingga akan didapatkan jumlah
n
resample sebanyak N , N .
d
a. Metode Jackknife Terhapus-1
Prosedur metode Jackknife terhapus-1
adalah dengan cara menghapus satu
observasi dari sampel asli, sehingga sampel
berukuran n yaitu X 1 , X 2 ,..., X n yang
diambil dari suatu populasi dan statistik θˆ
adalah estimasi untuk parameter θ berdasar
sampel asli. Berdasarkan uraian Jackknife
menurut Efron dan Tibshirani, langkahlangkah
Jackknife
terhapus-1
dapat
dituliskan sebagai berikut:
THE 5TH URECOL PROCEEDING
distribusi
probabilitas dari θˆ JK dengan memberikan
probabilitas
1/n
pada
setiap
θˆ J 1 , θˆ J 2 ,..., θˆ Jn .
4. Mengulangi langkah 1, 2 dan 3 hingga B
kali,
sehingga
akan
diperoleh
suatu
Distribusi
tersebut
merupakan estimator Jackknife terhapus-1
untuk
distribusi
sampling
θˆ
dan
dinotasikan dengan Fˆ J .
4) Estimasi untuk θ adalah mean dari
distribusi Fˆ J , yaitu:
1 n
θˆ J k 1θˆ JK
n
b. Metode Jackknife Terhapus-d
Jackknife
terhapus-d
merupakan
perluasan dari Jackknife terhapus-1 yaitu
dengan menghapus sebanyak d observasi
dari sampel asli. Misalkan dimiliki sampel
berukuran n yaitu X 1 , X 2 ,..., X n yang
diambil dari satu populasi, maka sampel
Jackknife yang diperoleh akan berukuran
n d . Secara umum, prosedur resampling
jackknife terhapus-d sama seperti jackknife
terhapus-1. Berdasarkan jackknife terhapus1, langkah-langkah jackknife terhapus-d
sebagai berikut:
1) Sampel jackknife ke- k , X JK adalah
sampel asli dengan menghapus d
observasi, sehingga diperoleh sebanyak
N , dimana
n
N
d
sampel yang
masing-masing berukuran n d .
2) Menghitung θˆ yang diinginkan dari
sampel Jackknife, yang disebut sebagai
θˆ JK , dimana
235
k 1, 2 ,..., N .
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
3) Mengkonstruksikan
suatu
18 February 2017
distribusi
probabilitas dari θˆ JK dengan memberikan
1/ N
probabilitas
pada
setiap
θˆ , θˆ ,..., θˆ
J1
J2
JN
.
Distribusi
tersebut
merupakan estimator Jackknife terhapus-d
untuk distribusi sampling
θˆ
dan
dinotasikan dengan Fˆ .
θˆ JK (untuk
(Pseudo
data)
adalah
dapat
didefinisikan
k 1,2,..., N ),
sebagai:
seˆ jack
distribusi Fˆ J , yaitu:
1
N
θˆ J k 1θˆ JK
N
Pada jackknife terhapus-d, nilai d yang
digunakan dapat ditentukan berdasarkan
ukuran sampel asli. Jika banyaknya
N
masih
kemungkinan
sampel
memungkinkan untuk perhitungan, maka
untuk suatu sampel asli akan memberikan
hasil yang konstan walaupun prosedur
tersebut diulang beberapa kali. Akan tetapi,
jika N sangat besar maka perhitungan
menggunakan semua kemungkinan sampel
sangat tidak mungkin. Sebagai solusinya
digunakan pendekatan simulasi jackknife,
pengambilan sampel Jackknife dari sampel
asli dilakukan tanpa pengembalian dengan
ukuran kurang dari n .
c. Estimasi Standard Error Metode
Jackknife
Nilai standard error merupakan akar dari
nilai variansinya. Prosedur estimasi standard
error untuk metode Jackknife terbagi dalam
Jackknife terhapus-1 dan Jackknife terhapusd sebagai berikut:
1) Untuk Jackknife terhapus-1 dengan
estimator yang berasal dari data bayangan
1
N
(θˆ JK θˆ J ) 2
k 1
N ( N 1)
dengan: θˆ J 1
N
J
4) Estimasi untuk θˆ adalah mean dari
UAD, Yogyakarta
N
k 1
θˆ JK
Flowchart penelitian dapat dilihat pada
Gambar 2, dimulai dengan Analisa
permasalahan berdasarkan penelitian terkait.
Selanjutnya memilih dataset yang akan diuji
yaitu berasal dari penelitian sebelumnya
mengenai status kebangkrutan perusahaan
perbankan di Indonesia. Setelah itu,
dilakukan pengujian Estimasi Regresi
Logistik Biner menggunakan MLE dan
dibandingkan dengan resampling Bootstrap
dan Jackknife. Hasil pengujian tersebut untuk
melihat keakurasian dengan sasaran yang
diperhatikan yaitu nilai standard error dari
masing-masing metode. Kemudian nilai
standard error dari ketiga metode tersebut
dibandingkan dan akan dipilih nilai standard
error terkecil yang akan menjadi metode
terbaik. Maka, akan terpilih metode terbaik
berdasarkan hasil sebelum dan sesudah
dilakukan resampling. Setelah mendapatkan
model terbaik, akan dibentuk model regresi
logistiknya.
θˆ JK (untuk
data) adalah
dapat
didefinisikan
k 1,2,..., n ),
(Pseudo
sebagai:
seˆ jack
1
n
(θˆ JK θˆ J ) 2
k 1
n(n 1)
dengan: θˆ J
1 n ˆ JK
θ
n k 1
2) Untuk Jackknife terhapus-d dengan
estimator yang berasal dari data bayangan
THE 5TH URECOL PROCEEDING
236
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
eksperimen pada Tabel 1 menunjukkan ratarata standard error dari keempat parameter
pada 22 dataset status kebangkrutan
perusahaan perbankan di Indonesia sebesar
1.328.
Tabel 1. Hasil Eksperimen Regresi
Logistik
Parameter
Standard Error
Konstanta
5.125
CAR
0.109
BOPO
0.028
LDR
0.051
Rata-rata
1.328
Gambar 2. Flowchart Penelitian
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksperimen yang dilakukan dalam
penelitian ini menggunakan sebuah platform
komputer berbasis Intel® Celeron® CPU 847
@1.10GHz, RAM 4GB, dan sistem operasi
Microsoft Windows 7 Ultimate 32-bit.
Sedangkan untuk analisa hasil eksperimen
menggunakan aplikasi RStudio 0.94.110.
Dalam eksperimen yang dilakukan
menggunakan 22 data dengan tiga variabel
independen yaitu CAR, BOPO dan LDR.
Metode yang diuji yaitu Regresi Logistik
Biner tanpa resampling dan dengan
resampling. Resampling yang digunakan
adalah Bootstrap dan Jackknife.
Hasil eksperimen untuk regresi logistik
biner
dengan
Maximum
Likelihood
Estimation (MLE) disajikan dalam Tabel 1.
Informasi yang disajikan adalah akurasi.
Ukuran yang dilihat yaitu nilai standard
error untuk masing-masing parameter. Hasil
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Pada Tabel 2 ditunjukan hasil eksperimen
metode Regresi Logistik dengan Resampling
Jackknife untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia. Hasil eksperimen yang disajikan
adalah akurasi dengan melihat nilai standard
error. Hasil eksperimen pada Tabel 2
menunjukan rata-rata standard error untuk
Jackknife terhapus-1 sebesar 0.072 ,
Jackknife terhapus-2 sebesar 0.034 dan
Jackknife terhapus-3 sebesar 2.392. Dari
ketiga resampling Jackknife tersebut,
Jackknife terhapus-2 memiliki nilai rata-rata
standard error terkecil.. Maka untuk
resampling Jackknife terhapus-2 ini
merupakan metode terbaik dari 2 resampling
Jackknife yang lain.
Tabel 2. Hasil Eksperimen Resampling
Jackknife
Parameter Jackknife Jackknife Jackknife
terhapus- terhapus- terhapus1
2
3
Konstanta
0.273
0.129
8.805
CAR
0.007
0.004
0.365
BOPO
0.002
0.001
0.170
LDR
Rata-Rata
0.003
0.072
0.002
0.034
0.226
2.392
Perbandingan rata-rata standard error
untuk resampling Jackknife dapat dilihat
pada Gambar 3. Didapat bahwa rata-rata
237
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
standard error terkecil yaitu Jackknife
terhapus-2 sebesar 0.034. Maka Jackknife
terhapus-2 merupakan metode terbaik yang
didapat dari resampling Jackknife.
3
2.392
2.5
Tabel 3. Hasil Eksperimen Resampling
Bootstrap
Variabel
Standard Error
R=5
R=25
R=50
Konstan
321.921 2551.530 167.959
CAR
6.972
55.370
9.734
BOPO
1.760
10.917
4.303
LDR
4.673
38.784
1.4727
Rata83.831
664.151
45.867
rata
Variabel
2
1.5
1
0.5
0.072
0.034
Jackknife
terhapus-1
Jackknife
terhapus-2
0
Gambar
Jackknife
terhapus-3
Metode Jackknife
3. Perbandingan Rata-rata
Standard
Error Metode
Jackknife
Pada Tabel 3 ditunjukan hasil eksperimen
metode Regresi Logistik dengan resampling
Bootstrap untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia. Hasil eksperimen yang disajikan
adalah akurasi dengan melihat nilai standard
error. Hasil eksperimen pada Tabel 3
menunjukan rata-rata standard error metode
Bootstrap untuk R=5 sebesar 83.831, R=25
sebesar 664.151, R=50 sebesar 45.867,
R=100 sebesar 96.940, R=150 sebesar
34.175, R=500 sebesar 59.273, R=1000
sebesar 156.054, R=5000 sebesar 170.240
dan R=20000 sebesar 178.599. Dari hasil
tersebut diketahui bahwa rata-rata
standard error dari R=150 memiliki nilai
terkecil yaitu 34.175, maka pengulangan
terbaik
yang
digunakan
Metode
Bootstrap dalam estimasi regresi logistik
biner ini adalah R=150.
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Konstan
CAR
BOPO
LDR
Ratarata
Variabel
Konstan
CAR
BOPO
LDR
Ratarata
Standard Error
R=100
R=150
356.391
117.458
25.884
10.856
3.138
4.578
2.348
3.807
96.940
34.175
R=500
223.479
7.776
3.327
2.509
59.273
Standard Error
R=1000
R=5000 R=20000
592.373
647.537
678.928
19.067
20.252
21.535
4.055
4.115
4.292
8.722
9.055
9.640
156.054
170.240
178.599
Perbandingan rata-rata standard error
untuk resampling Bootstrap dapat dilihat
pada Gambar 4. Didapat bahwa rata-rata
standard error terkecil yaitu Bootstrap
(R=150) sebesar 34.175. Maka Bootstrap
dengan replikasi sebanyak 150 merupakan
metode terbaik yang didapat dari resampling
Bootstrap.
Perbandingan Rata-rata Standard
Error Bootstrap
Rata-rata Standard
Error
Rata-rata Standard Error
Perbandingan Rata-Rata
Standard Error Metode
Jackknife
UAD, Yogyakarta
238
664.150
800.000
156.054 178.599
600.000
96.940 59.273
400.000 83.831 45.867 34.175
170.240
200.000
0.000
Replikasi
ISBN 978-979-3812-42-7
Gambar
4. Perbandingan Rata-rata
Standard
Error
Metode
Bootstrap
Selanjutnya pada Tabel 4 menunjukkan
hasil eksperimen dari ketiga metode yang
diusulkan untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia.
Ketiga
metode
tersebut
diantaranya Maximum Likelihood Estimation
(MLE),
Resampling
Bootstrap
dan
Resampling Jackknife. Untuk resampling
Bootstrap dan Jackknife yang disajikan pada
Tabel 4 adalah yang memiliki nilai standard
error terkecil yang sudah di seleksi terlebih
dahulu. Hasilnya adalah Bootstrap dengan
replikasi sebanyak 150 dan Jackknife
terhapus-2.
Terlihat bahwa nilai standard error
terkecil untuk keempat parameter tersebut
ketika menggunakan resampling Jackknife
terhapus-2. Menghasilkan nilai standard
error
terbesar
ketika
menggunakan
resampling Bootstrap dengan banyaknya
replikasi sebanyak 150.
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
sebesar 34.175 dan Jackknife terhapus-2
sebesar 0.034. Maka terlihat jelas bahwa,
Jackknife terhapus-2 merupakan metode
yang paling tepat dalam meningkatkan
keakurasian pada sampel kecil karena
mempunyai nilai standard error terkecil.
Perbandingan Rata-rata Standard
Error Ketiga Metode
Rata-rata Standard Error
THE 5TH URECOL PROCEEDING
34.175
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Gambar
1.328
0.034
MLE
Bootstrap
Jackknife
(R=150)
terhapus-2
Metode yang diusulkan
5.
Perbandingan Rata-rata
Standard Error Terkecil
dari Setiap Metode
KESIMPULAN
Penelitian ini dengan menerapkan metode
resampling yaitu Bootstrap dan Jackknife
untuk penanganan sampel kecil yang
merupakan salah satu kelemahan dari regresi
logistik dimana data yang digunakan adalah
data yang telah digunakan pada penelitian
sebelumnya mengenai tingkat kebangkrutan
perusahaan perbankan di Indonesia. Hasil
Tabel 4. Hasil Standard Error Metode
eksperimen pada penelitian ini mendapatkan
yang diusulkan
Parameter
MLE Bootstrap Jackknife nilai rata-rata standard error untuk Maximum
Estimation (MLE) tanpa
(n=22)
(R=150)
terhapus- Likelihood
resampling sebesar 1.328. Untuk metode
2
Konstanta 5.125 117.458
0.129 Bootstrap dilakukan beberapa replikasi,
CAR
0.109
10.856
0.004 kemudian diperoleh replikasi sebanyak 150
(R=150) yang memiliki rata-rata standard
BOPO
0.028
4.578
0.001 error terkecil yaitu 34.175. Sedangkan, nilai
LDR
0.051
3.807
0.002 rata-rata standard error terkecil pada metode
Jackknife yaitu Jackknife terhapus-2 sebesar
Kemudian pada Gambar 5 menunjukkan 0.034. Berdasarkan nilai rata-rata standard
nilai rata-rata standard error untuk ketiga error dari ketiga metode tersebut diperoleh
metode tersebut agar lebih mudah dalam metode terbaik dalam meningkatkan
melihat metode apakah yang merupakan keakurasian yaitu metode Jackknife terhapusmetode terbaik. Rata-rata standard error 2 karena memiliki rata-rata standard error
MLE sebesar 1.328, Bootstrap (R=150) yang terkecil. Dapat dilihat juga hasil rata-
THE 5TH URECOL PROCEEDING
239
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
rata standard error untuk metode Jackknife
terhapus-2 (dengan resampling) lebih kecil
dibanding metode MLE (tanpa resampling).
Nilai estimasi untuk parameternya yaitu
konstanta sebesar 0.129; CAR sebesar 0,004;
BOPO sebesar 0.001; dan LDR sebesar
0.002.
REFERENSI
Archer, K. J., Lemeshow, S., & Hosmer,
D. W. (2007). Goodness-of-fit tests
for logistic regression models when
data are collected using a complex
sampling design, 51, 4450–4464.
http://doi.org/10.1016/j.csda.2006.0
7.006.
Bull, S. B., Mak, C., & Greenwood, C. M.
T. (2002). A modifed score function
estimator for multinomial logistic
regression in small samples, 39, 57–
74.
Fauzan. (2007). Analisis Kinerja
Keuangan pada Perbankan Syari'ah
( Studi pada Bank Muammalat
Indonesia ), 183–207.
Hidayat, Anwar. 2015. Regresi Logistik,
http://www.statistikian.com/2015/
02/regresi-logistik.html. (Diunduh
24 September 2016).
Kannurpatti, S. S., & Biswal, B. B.
(2005).
Bootstrap
resampling
method to estimate confidence
intervals of activation-induced CBF
changes using laser Doppler
imaging,
146,
61–68.
http://doi.org/10.1016/j.jneumeth.20
05.01.021.
Kurnia, A., & A. Notodiputro, K. (2006).
Penerapan Metode Jackknife, 11(1),
12–15.
Maharani, K., Adji, T. B., Setiawan, N.
A., & Hidayah, I. (2015).
Comparison Analysis of Data Mining
Methodology
and
Student
Performance Improvement Influence
Factors in Small Data Set, 169–174.
Mcintosh, A. I. (1979). The Jackknife :
Introduction and Basic Properties, 2,
1–11.
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
Narso, D., Suyitno, H., & Artikel, I.
(2013).
Estimasi
Parameter
Bootstrap pada Harga Saham, 2(1),
76–83.
Sahinler, S., & Topuz, D. (2007).
Statistical Research by Surveys :
Case Studies , Constraints and
Particularities
Bootstrap
And
Jackknife Resampling Algorithms
Statistical Research by Surveys :
Case Studies ,. Statistical Research,
188–199.
Sawyer, S. (2005). Resampling Data :
Using a Statistical Jackknife, 1(1),
1–5.
Suharyadi, & Purwanto. (2009). Statistika
untuk Ekonomi & Keuangan Modern.
Jakarta: Salemba Empat.
Sukestiyarno, Y. (2013). Statistika
Dasar. Yogyakarta: C.V. ANDI
OFFSET.
Sungkono, J. (2013). Bootstrap pada r,
(84), 47–54.
Ustyannie, W. (2014). Perbandingan
Metode Bootstrap dan Jackknife
untuk Estimasi Parameter Model.
Institut Sains&Teknologi AKPRIND
Yogyakarta.
Widhiarso, W. (2012). Berkenalan
dengan Bootstrap, 1–8.
Widi, Imah. 2015. Pengujian Hipotesa
Sampel Kecil Bab 14 Fungsi, Variabel,
dan Masalah dalam Analisis Regresi
Bagian I Statistik Induktif Metode dan
Distribusi
Sampling,
http://slideplayer.info/slide/3670332/.
(Diunduh 27 Oktober 2016).
240
ISBN 978-979-3812-42-7
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK DENGAN METODE
BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE UNTUK SAMPEL KECIL
Dinda Tri Wisudawati1), Deden Istiawan2)
Departemen Statistika, AIS Muhammadiyah Semarang
email: [email protected]
email: [email protected]
Abstract
Analysis about level of bankruptcies in the banking firm is usually reflected on
finance report and it need to do because bank is necessary institute on economy. The
method that can be used is logistic regression. It is generally used to determine a
relationship between response variable which has only two or more possible values with
one or more predictor variable. The usual method of logistic regression is Maximum
Likelihood Estimation where the parameter estimation process is preceded by the
formation of likelihood function. Logistic Regression Model Parameter Estimates with
small sample is caused bias estimation, it is one of the problems of logistic regression. To
solve the problem, it can use resampling on data with bootstrap and jackknife method. One
of the advantages of both method is can solve the estimation problem with good level of
accuracy. Bootstrap is resampling with replacement, whereas jackknife is resampling
without replacement by deleting d observation from real sample. Computers are needed to
use those methods. In this research, the best method will be chosen to get the best possible
estimate based on small sample from the minimum standard error. The data from
previously research is illustrated in determination about level of bankruptcies in the
Indonesian banking firm. Based on the results, jackknife deleted-2 is the best method to
reduce the standard errors the amount of 0,033971.
Keywords: Logistic Regression, Resampling, Bootstrap Method, Jackknife Method, Parameter
Estimates
PENDAHULUAN
Statistika sudah banyak diketahui di
kalangan masyarakat guna memperoleh suatu
informasi. Upaya memperoleh dan mengolah
informasi statistik mempunyai sejarah yang
panjang, sepanjang peradaban manusia. Di
Jepang, menurut Andrea Gabor pelajaran
statistika telah diberikan sejak sekolah
menengah umum (SMU), sehingga budaya
statistika menjadi dasar bagi berkembangnya
pengawasan
mutu,
dan
pemahaman
probabilitas telah memainkan peranan
penting bagi suksesnya produk-produk
Jepang (Suharyadi & Purwanto, 2009).
Menurut Moore dalam (Sukestiyarno, 2013),
secara sederhana mendefinisikan “Statistics
is the science of collecting, organizing, and
interpreting numerical facts”.
Dalam statistika terdapat berbagai jenis
sub bahasan salah satunya yaitu regresi
logistik. Regresi logistik pertama kali
THE 5TH URECOL PROCEEDING
diperkenalkan oleh Pierre Francois Verhulst
yang merupakan seorang Professor dari
Belgian Military College. Regresi Logistik
digunakan untuk memodelkan populasi pada
tahun 1800an yang merupakan salah satu
bentuk regresi non linear dimana hubungan
antara variabel bebas dan variabel terikatnya
tidak berbentuk garis lurus setelah dibuatkan
plotnya.
Regresi
logistik
bersifat
dichotomous (berskala nominal atau ordinal
dengan 2 kategori) atau polychotomous
(mempunyai skala nominal atau ordinal
dengan lebih dari 2 kategori) dengan 1 atau
lebih variabel prediktor. Sedangkan variabel
respon bersifat kontinyu atau kategorik.
Regresi logistik tepat digunakan untuk
variabel respon yang bersifat dikotomi.
Fokus dalam penelitian ini yaitu regresi
logistik biner. Regresi logistik biner
merupakan suatu metode analisis untuk
mencari hubungan antara variabel respon
230
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
(Y ) yang bersifat biner atau dikotomous
dengan variabel prediktor (X) besifat
polikotomous. Variabel respon (Y) terdiri
dari dua kategori yaitu “sukses” dan “gagal”
yang dinotasikan dengan Y=1 (sukses) dan
Y=0 (gagal). Variabel Y mengikuti distribusi
Bernouli (Archer, Lemeshow, & Hosmer,
2007).
Asumsi regresi logistik salah satunya
yaitu sampel yang diperlukan dalam jumlah
relatif besar, minimum dibutuhkan hingga 50
sampel data untuk sebuah variabel prediktor
atau independen (Anwar Hidayat, 2015).
Berdasarkan pernyataan tersebut salah satu
kelemahan regresi logistik yaitu ketika
jumlah sampelnya kecil. Sampel kecil
mempunyai
keterbatasan
dalam
menyediakan informasi yang cukup
(Maharani, Adji, Setiawan, & Hidayah,
2015). Sampel kecil adalah sampel dengan
jumlahnya yang kurang dari 30 (Widi, 2015).
Penelitian-penelitian sebelumnya mengenai
sampel kecil pada regresi logistik telah
banyak dilakukan. Salah satunya yaitu
penelitian seputar sampel kecil untuk regresi
logistik multinomial menggunakan A
modified score function estimator (MPLE)
dengan hasilnya yaitu, pada sampel kecil
MPLE mampu mengurangi error lebih baik
dibanding MLE (Bull, Mak, & Greenwood,
2002).
Pada penelitian ini, peneliti memfokuskan
penelitian menggunakan metode resampling
bootstrap dan jackknife. Didasarkan pada
penelitian
terdahulu
karya
Hana
Fitrianingrum tahun 2013 dengan judul
“Estimasi Parameter Model Regresi Logistik
Menggunakan Metode Jackknife”. Bootstrap
didasarkan pada observasi dan sampling
error, sedangkan Jackknife didasarkan pada
observasi terhapus-1 dan terhapus-d
(Sahinler dan Topuz, 2007). Bootstrap
diperkenalkan pertama kali oleh Efron tahun
1979. Bootstrap dapat digunakan untuk
mengatasi permasalahan dalam statistika baik
masalah data yang sedikit, data yang
menyimpang dari asumsinya maupun data
yang tidak memiliki atau bebas asumsi dalam
distribusinya (Narso, Suyitno, & Artikel,
2013 dan Sungkono, 2013). Metode
bootstrap dilakukan dengan mengambil
sampel dari sampel asli dengan ukuran sama
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
dengan ukuran sampel asli dan dilakukan
dengan pengembalian. Jackknife pertama
kali diusulkan oleh M.H. Quenouille pada
tahun 1949 kemudian disempurnakan oleh
John Tukey pada tahun 1956. Penerapan
Jackknife pada estimasi parameter dengan
data yang kecil dilakukan untuk dapat
mengoreksi pendugaan Maximum Likelihood
Estimation (MSE) (Kurnia & A. Notodiputro,
2006). Metode Jackknife merupakan teknik
resampling nonparametrik, bertujuan dalam
menyelesaikan masalah estimasi parameter
dengan tingkat akurasi yang baik. Metode
jackknife dilakukan dengan mengambil
sampel dari sampel asli dengan ukuran sama
dengan ukuran sampel asli dan dilakukan
tanpa pengembalian. Estimasi standard error
untuk metode jackknife terbagi dalam
jackknife terhapus-1 dan terhapus-d.
Secara garis besar tujuan dalam penelitian
ini yaitu untuk membandingkan ketiga
metode antara lain MLE, Bootstrap dan
Jackknife dalam mengestimasi parameter
regresi logistik dimana ukuran yang menjadi
pembandingnya adalah nilai standard error
dari masing-masing metode yang akan dipilih
berdasarkan nilai terkecilnya.
KAJIAN LITERATUR DAN
PENGEMBANGAN HIPOTESIS
2.1 Dasar Penelitian
Penelitian-penelitian terdahulu yang
membahas permasalahan sampel kecil pada
regresi logistik yang memperoleh hasil
estimasi yang bias telah dilakukan.
Diantaranya penelitian yang dilakukan oleh
Bull, Mak, dan Greenwood tahun 2002.
Mereka menyebutkan bahwa, pemodelan
regresi logistik biner mempunyai hasil dalam
estimasi yang jika dilakukan terus menerus
tidak sesuai untuk sampel kecil. Menurut
Maiti & Pradhan dalam Gordóvil-merino,
Guàrdia-olmos, & Peró-cebollero tahun
2012, menyebutkan bahwa
estimasi
parameter untuk analisis sampel kecil
hasilnya bias.
Selanjutnya, penelitian karya Hana
Fitrianingrum (Universitas Gadjah Mada,
2013) dengan judul estimasi parameter model
regresi logistik menggunakan metode
jackknife. Metode jackknife tersebut
digunakan untuk mengestimasi model regresi
231
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
logistik dengan mengilustrasikannya dalam
penentuan tingkat kebangkrutan perusahaan
perbankan di Indonesia dimana jumlah data
yang ditangani adalah data kecil. Dan
diperoleh kesimpulan bahwa metode
Jackknife mampu memperkecil standard
error sampai Jackknife terhapus-2.
2.2 Regresi Logistik Biner
Regresi logistik biner merupakan suatu
metode analisis untuk mencari hubungan
antara variabel respon (y) yang bersifat biner
atau dichotomous dengan variabel prediktor
(x) besifat polychotomous. Variabel respon
(y) terdiri dari dua kategori yaitu “sukses”
dan “gagal” yang dinotasikan dengan y=1
(sukses) dan y=0 (gagal). Variabel y
mengikuti distribusi Bernouli untuk setiap
observasi tunggal (Archer et al., 2007).
Model regresi logistiknya adalah sebagai
berikut:
π ( x)
e
β 0 β1 x1 ... β p x p
1 e
β 0 β1 x1 ... β p x p
dimana p = banyaknya variabel prediktor.
2.3 Metode Bootstrap
Bootstrap diperkenalkan pertama kali oleh
Efron tahun 1979. Bootstrap adalah metode
dan teknik resampling nonparametrik yang
berbasis komputer dan sangat potensial untuk
dipergunakan pada masalah keakurasian
yang didasarkan pada simulasi data untuk
keperluan inferensi statistik (Sungkono,
2013). Bootstrapping bertujuan untuk
menentukan estimasi yang kuat dari standard
error dan interval kepercayaan untuk
mengestimasi proporsi, rerata, median, odds
ratio, koefisien korelasi atau koefisien regresi
(Widhiarso, 2012).
Sampel
dengan
pengembalian
memungkinkan untuk mendapatkan jumlah
data yang sama dengan ketika 21 pertama kali
kita
melakukan
sampling,
dan
memungkinkan satu data diambil beberapa
kali. Mengingat besarnya jumlah resampling
yang bisa mencapai ribuan kali sehingga
sangatlah sulit untuk melakukan perhitungan
secara manual (Ustyannie, 2014).
Sampel asli dilambangkan dengan
x {x1,....., x n } dimana n 1,2,3,..., n dan
sampel bootstrap dilambangkan dengan
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
x * {x1* , x 2* ,..., x B* } dimana B 1,2,3,..., B .
Peluang sampel dengan pengembalian
dapat dinotasikan dengan:
P ( x1* x j | x)
1
untuk i, j 1,2,..., n
n
Masing-masing sampel bootstrap yang
diambil setiap kali pengambilan adalah sama
banyaknya dengan sampel asli.
2.4 Metode Jackknife
Metode Jackknife pertama kali ditemukan
oleh Maurice Henry Quenouille pada tahun
1949 kemudian tahun 1956 John Wilder
Tukey menyempurnakan nama metode
jackknife tersebut. Quenouille menggunakan
metode jackknife tersebut untuk mengoreksi
dan memperkirakan bias dari suatu estimator
dengan menghapus beberapa observasi
sampel. Setelah itu, Tukey menggunakan
metode tersebut untuk membangun interval
kepercayaan untuk data yang memiliki
variansi yang besar dari suatu estimator. Ini
mirip dengan metode resampling bootstrap,
namun tanpa pengembalian (Mcintosh, 1979;
Sawyer, 2005).
Secara umum sampel jackknife dapat
diperoleh melalui sampel berukuran n d
dari distribusi empiris Fn (x) tanpa
pengembalian, diperoleh X 1J , X 2J ,..., X nJ d .
Untuk selanjutnya analisis statistik dilakukan
berdasarkan
pada
sampel
Jackknife
berukuran n d tersebut (Ustyannie, 2014).
Metode Jackknife sangat bergantung pada
estimasi-estimasi dari sampel Jackknife.
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n merupakan sampel
acak berukuran n pengamatan yang
menyebar bebas dan identik dari suatu
sebaran peluang distribusi F yang tidak
diketahui. Dari sampel tersebut dilakukan
penarikan sampel kembali (resampling)
sebanyak n kali dimana setiap resampling
terdiri dari n 1 pengamatan (terhapus 1
pengamatan
secara
berturut-turut).
Selanjutnya, Fˆ merupakan suatu distribusi
empiris yang memberi bobot
1
, untuk
n
setiap nilai estimasi yang diperoleh. Dalam
perkembangannya, metode Jackknife tidak
hanya dilakukan dengan menghapus 1
232
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
pengamatan pada data ke- i , tetapi juga dapat
dilakukan dengan menghapus d pengamatan
dari sampel yang diperoleh sehingga akan
didapatkan jumlah resample sebanyak
n
N , N .
d
METODE PENELITIAN
Metode yang diusulkan pada penelitian ini
yaitu untuk meningkatkan keakurasian
Regresi Logistik dengan metode resampling
untuk menangani sampel kecil pada prediksi
tingkat kebangkrutan perusahaan perbankan
di Indonesia. Metode resampling yang
digunakan yaitu Bootstrap dan Jackknife.
Sasaran yang dilihat dalam penelitian ini
yaitu error dengan melihat nilai standard
error nya. Hasil pengukuran kinerja
menggunakan MLE, Bootstrap dan Jackknife
dengan melihat standard error untuk
mengetahui perbedaan kinerja model
sebelum dan sesudah diterapkan resampling.
Dengan melihat nilai standard error terkecil,
maka akan terpilih metode terbaik.
Selanjutnya diketahui model regresi logistik
yang terbentuk sesuai dengan metode terbaik.
Model kerangka pemikiran metode yang
diusulkan ditunjukan pada Gambar 1.
Gambar 1. Kerangka Pemikiran
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
1.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian
adalah data sekunder yang telah digunakan
pada penelitian sebelumnya yaitu penelitian
karya Hana Fitianingrum tahun 2013
mengenai status 22 perusahaan perbankan di
Indonesia.
1.2 Definisi Operasional Variabel
Penelitian
Variabel-variabel yang digunakan dalam
penelitian ini adalah:
3.2.1 Variabel Dependen
Variabel dependen merupakan variabel
yang dipengaruhi oleh variabel independen.
Variabel dependen dalam penelitian ini
adalah status kebangkrutan perbankan di
Indonesia dengan pengkategorian 1 adalah
perusahaan perbankan yang telah mengalami
kebangkrutan dan 0 adalah yang tidak
mengalami kebangkrutan.
3.2.2 Variabel Independen
Variabel independen merupakan variabel
yang mempengaruhi atau yang menjadi
penyebab bagi variabel dependen. Variabel
independen yang digunakan dalam penelitian
ini adalah merupakan variabel-variabel
dalam rasio keuangan dimana skala datanya
yaitu interval. Variabel-variabel tersebut
diantaranya:
i. CAR (X1)
CAR (Capital Adequancy Ratio) adalah
rasio yang memperlihatkan seberapa besar
jumlah seluruh aktiva bank yang
mengandung risiko (kredit, penyertaan, surat
berharga, tagihan pada bank lain). CAR
digunakan untuk mengukur kemampuan
bank dalam memenuhi kewajiban jangka
panjang atau kemampuan bank untuk
memenuhi kewajiban-kewajiban jika terjadi
likuidasi. Serta digunakan untuk menilai
keamanan dan kesehatan bank dari sisi modal
pemiliknya.
Nilai Capital (CAR) suatu bank dikatakan
baik/sehat apabila nilai pada tiap-tiap periode
lebih besar dari kriteria tingkat kesehatan
bank yang ditetapkan oleh BI yaitu sebesar
8% (Fauzan, 2007).
Rumusnya sebagai berikut:
CAR
233
ModalBank
TotalATMR
100 %
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Keterangan:
ATMR : Aktiva Tertimbang Menurut Risiko
ii. BOPO (X2)
BOPO (Biaya Operasional terhadap
Pendapatan Operasional) merupakan rasio
yang sering disebut rasio efisiensi dan
digunakan untuk mengukur kemampuan
manajemen bank dalam mengendalikan biaya
operasional terhadap pendapatan operasional.
Semakin kecil rasio ini berarti semakin
efisien biaya operasional yang dikeluarkan
bank
yang
bersangkutan
sehingga
kemungkinan suatu bank dalam kondisi
bermasalah semakin kecil. Biaya operasional
dihitung berdasarkan penjumlahan dari total
beban bunga dan total beban operasional
lainnya. Pendapatan operasional adalah
penjumlahan dari total pendapatan bunga dan
total pendapatan operasional lainnya.
Nilai BOPO suatu bank dikatakan
baik/sehat apabila nilai pada tiap- tiap
periode lebih kecil dari kriteria tingkat
kesehatan bank yang ditetapkan oleh BI yaitu
sebesar 93,52% (Fauzan, 2007). Dirumuskan
sebagai berikut:
BOPO
BiayaOperasional
100%
Pendapa tan Operasional
iii. LDR (X3)
LDR (Loan to Deposit Ratio) merupakan
rasio yang digunakan untuk menilai likuiditas
suatu bank yang dengan cara membagi
jumlah kredit yang diberikan oleh bank
terhadap dana pihak ketiga. Semakin tinggi
rasio ini, semakin rendahnya kemampuan
likuiditas bank yang bersangkutan sehingga
kemungkinan suatu bank dalam kondisi
bermasalah akan semakin besar. Kredit yang
diberikan tidak termasuk kredit kepada bank
lain sedangkan untuk dana pihak ketiga
adalah giro, tabungan, simpanan berjangka,
sertifikat deposito. Dirumuskan sebagai
berikut:
Totalkredit
LDR
100%
Totaldanapihakketiga
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
3.3 Teknik Analisis
3.3.1 Estimasi Parameter menggunakan
MLE (Maximum Likelihood
Estimation)
Salah satu metode untuk mencari estimasi
parameter logistik biner adalah metode
Maximum Likelihood Estimation (MLE)
dengan asumsi respon berdistribusi binomial
dan objek pengamatan yang saling bebas. Ide
dasar dari metode ini adalah menggunakan
nilai dalam suatu ruang parameter yang
menghubungkan dengan data observasi yang
memiliki kemungkinan (likelihood) terbesar
sebagai penduga dari parameter yang tidak
diketahui. Prosedur dari metode Maximum
Likelihood Estimation (MLE), yaitu dengan
cara memaksimumkan nilai L(θ) atau disebut
dengan conditional log-likelihood function.
Fungsi Likelihood ( ) mencapai maksimum
bila turunan pertamanya sama dengan nol dan
turunan kedua negatif.
Dimana nilai conditional log-likelihood
function
diperoleh
dari
probabilitas
persamaan regresi logistik yang akan di
estimasi. Sedangkan untuk mencari nilai
conditional log-likelihood yang maksimum
pada metode maximum likelihood dapat
menggunakan metode Newton-Rapshon,
dimana metode ini digunakan untuk
menemukan akar dari persamaan dengan
asumsi f ( x ) 0 . Setelah diperoleh nilai
estimasi parameter yang optimal, maka
langkah selanjutnya yaitu memasukkan nilai
tersebut ke dalam fungsi respon regresi
logistik (logistic response function) untuk
mendapatkan fitted value.
3.3.2 Estimasi Parameter menggunakan
Bootstrap
Estimasi bootstrap untuk standard error
tidak memerlukan perhitungan teori seperti
perhitungan lainnya dan selalu tersedia
walaupun sekompleks apapun perhitungan
statistika tersebut, artinya prosedur bootstrap
untuk standard error selalu sama untuk
semua bentuk distribusi data. Menurut Efron
dan Tibshirani, langkah-langkah prosedur
bootstrap untuk estimasi standar error
sebagai berikut:
1. Pilih sampel bootstrap, yaitu sampel yang
telah kita resampling dari sampel asli
234
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
sebanyak
Dinotasikan dengan
X , X ,..., X , masing-masing berisi nilai
data yang telah disampling secara random
dengan pengembalian dari sampel X .
2. Evaluasi hasil bootstrap yang diperoleh
untuk masing-masing sampel bootstrap
*
1
*
2
B.
*
B
θˆ b s ( xˆ b ) , dimana nilai b 1,2,..., B .
3. Estimasi standard error untuk sampel
bootstrap
B
seˆ B {b 1 (θˆ b θˆ ) 2 /( B 1) 2 }
1
dengan: θˆ
B
B
b 1
θˆ b
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
1) Sampel Jackknife ke- k , dinotasikan X JK
adalah sampel asli dengan menghapus
observasi ke- k , sehingga diperoleh n
sampel yang masing-masing berukuran
n 1.
2) Menghitung θˆ yang diinginkan dari
sampel Jackknife, sebut sebagai θˆ JK ,
dimana k 1,2,..., n .
3) Mengkonstruksikan
seˆ1 , seˆ2 ,..., seˆB .
Pendekatan bootstrap jika diulang lebih
dari satu kali akan memberikan hasil yang
berbeda, hal ini karena yang dilakukan adalah
suatu simulasi. Jika dapat dilakukan
menggunakan semua kemungkinan sampel
yaitu n n maka hasilnya akan sama
(Sungkono, 2013).
3.3.3 Estimasi Parameter menggunakan
Jackknife
Dalam
perkembangannya,
metode
Jackknife tidak hanya dilakukan dengan
menghapus 1 dari n pengamatan pada data
ke- i , tetapi dapat dilakukan dengan
menghapus d pengamatan dari sampel yang
diperoleh sehingga akan didapatkan jumlah
n
resample sebanyak N , N .
d
a. Metode Jackknife Terhapus-1
Prosedur metode Jackknife terhapus-1
adalah dengan cara menghapus satu
observasi dari sampel asli, sehingga sampel
berukuran n yaitu X 1 , X 2 ,..., X n yang
diambil dari suatu populasi dan statistik θˆ
adalah estimasi untuk parameter θ berdasar
sampel asli. Berdasarkan uraian Jackknife
menurut Efron dan Tibshirani, langkahlangkah
Jackknife
terhapus-1
dapat
dituliskan sebagai berikut:
THE 5TH URECOL PROCEEDING
distribusi
probabilitas dari θˆ JK dengan memberikan
probabilitas
1/n
pada
setiap
θˆ J 1 , θˆ J 2 ,..., θˆ Jn .
4. Mengulangi langkah 1, 2 dan 3 hingga B
kali,
sehingga
akan
diperoleh
suatu
Distribusi
tersebut
merupakan estimator Jackknife terhapus-1
untuk
distribusi
sampling
θˆ
dan
dinotasikan dengan Fˆ J .
4) Estimasi untuk θ adalah mean dari
distribusi Fˆ J , yaitu:
1 n
θˆ J k 1θˆ JK
n
b. Metode Jackknife Terhapus-d
Jackknife
terhapus-d
merupakan
perluasan dari Jackknife terhapus-1 yaitu
dengan menghapus sebanyak d observasi
dari sampel asli. Misalkan dimiliki sampel
berukuran n yaitu X 1 , X 2 ,..., X n yang
diambil dari satu populasi, maka sampel
Jackknife yang diperoleh akan berukuran
n d . Secara umum, prosedur resampling
jackknife terhapus-d sama seperti jackknife
terhapus-1. Berdasarkan jackknife terhapus1, langkah-langkah jackknife terhapus-d
sebagai berikut:
1) Sampel jackknife ke- k , X JK adalah
sampel asli dengan menghapus d
observasi, sehingga diperoleh sebanyak
N , dimana
n
N
d
sampel yang
masing-masing berukuran n d .
2) Menghitung θˆ yang diinginkan dari
sampel Jackknife, yang disebut sebagai
θˆ JK , dimana
235
k 1, 2 ,..., N .
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
3) Mengkonstruksikan
suatu
18 February 2017
distribusi
probabilitas dari θˆ JK dengan memberikan
1/ N
probabilitas
pada
setiap
θˆ , θˆ ,..., θˆ
J1
J2
JN
.
Distribusi
tersebut
merupakan estimator Jackknife terhapus-d
untuk distribusi sampling
θˆ
dan
dinotasikan dengan Fˆ .
θˆ JK (untuk
(Pseudo
data)
adalah
dapat
didefinisikan
k 1,2,..., N ),
sebagai:
seˆ jack
distribusi Fˆ J , yaitu:
1
N
θˆ J k 1θˆ JK
N
Pada jackknife terhapus-d, nilai d yang
digunakan dapat ditentukan berdasarkan
ukuran sampel asli. Jika banyaknya
N
masih
kemungkinan
sampel
memungkinkan untuk perhitungan, maka
untuk suatu sampel asli akan memberikan
hasil yang konstan walaupun prosedur
tersebut diulang beberapa kali. Akan tetapi,
jika N sangat besar maka perhitungan
menggunakan semua kemungkinan sampel
sangat tidak mungkin. Sebagai solusinya
digunakan pendekatan simulasi jackknife,
pengambilan sampel Jackknife dari sampel
asli dilakukan tanpa pengembalian dengan
ukuran kurang dari n .
c. Estimasi Standard Error Metode
Jackknife
Nilai standard error merupakan akar dari
nilai variansinya. Prosedur estimasi standard
error untuk metode Jackknife terbagi dalam
Jackknife terhapus-1 dan Jackknife terhapusd sebagai berikut:
1) Untuk Jackknife terhapus-1 dengan
estimator yang berasal dari data bayangan
1
N
(θˆ JK θˆ J ) 2
k 1
N ( N 1)
dengan: θˆ J 1
N
J
4) Estimasi untuk θˆ adalah mean dari
UAD, Yogyakarta
N
k 1
θˆ JK
Flowchart penelitian dapat dilihat pada
Gambar 2, dimulai dengan Analisa
permasalahan berdasarkan penelitian terkait.
Selanjutnya memilih dataset yang akan diuji
yaitu berasal dari penelitian sebelumnya
mengenai status kebangkrutan perusahaan
perbankan di Indonesia. Setelah itu,
dilakukan pengujian Estimasi Regresi
Logistik Biner menggunakan MLE dan
dibandingkan dengan resampling Bootstrap
dan Jackknife. Hasil pengujian tersebut untuk
melihat keakurasian dengan sasaran yang
diperhatikan yaitu nilai standard error dari
masing-masing metode. Kemudian nilai
standard error dari ketiga metode tersebut
dibandingkan dan akan dipilih nilai standard
error terkecil yang akan menjadi metode
terbaik. Maka, akan terpilih metode terbaik
berdasarkan hasil sebelum dan sesudah
dilakukan resampling. Setelah mendapatkan
model terbaik, akan dibentuk model regresi
logistiknya.
θˆ JK (untuk
data) adalah
dapat
didefinisikan
k 1,2,..., n ),
(Pseudo
sebagai:
seˆ jack
1
n
(θˆ JK θˆ J ) 2
k 1
n(n 1)
dengan: θˆ J
1 n ˆ JK
θ
n k 1
2) Untuk Jackknife terhapus-d dengan
estimator yang berasal dari data bayangan
THE 5TH URECOL PROCEEDING
236
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
eksperimen pada Tabel 1 menunjukkan ratarata standard error dari keempat parameter
pada 22 dataset status kebangkrutan
perusahaan perbankan di Indonesia sebesar
1.328.
Tabel 1. Hasil Eksperimen Regresi
Logistik
Parameter
Standard Error
Konstanta
5.125
CAR
0.109
BOPO
0.028
LDR
0.051
Rata-rata
1.328
Gambar 2. Flowchart Penelitian
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksperimen yang dilakukan dalam
penelitian ini menggunakan sebuah platform
komputer berbasis Intel® Celeron® CPU 847
@1.10GHz, RAM 4GB, dan sistem operasi
Microsoft Windows 7 Ultimate 32-bit.
Sedangkan untuk analisa hasil eksperimen
menggunakan aplikasi RStudio 0.94.110.
Dalam eksperimen yang dilakukan
menggunakan 22 data dengan tiga variabel
independen yaitu CAR, BOPO dan LDR.
Metode yang diuji yaitu Regresi Logistik
Biner tanpa resampling dan dengan
resampling. Resampling yang digunakan
adalah Bootstrap dan Jackknife.
Hasil eksperimen untuk regresi logistik
biner
dengan
Maximum
Likelihood
Estimation (MLE) disajikan dalam Tabel 1.
Informasi yang disajikan adalah akurasi.
Ukuran yang dilihat yaitu nilai standard
error untuk masing-masing parameter. Hasil
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Pada Tabel 2 ditunjukan hasil eksperimen
metode Regresi Logistik dengan Resampling
Jackknife untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia. Hasil eksperimen yang disajikan
adalah akurasi dengan melihat nilai standard
error. Hasil eksperimen pada Tabel 2
menunjukan rata-rata standard error untuk
Jackknife terhapus-1 sebesar 0.072 ,
Jackknife terhapus-2 sebesar 0.034 dan
Jackknife terhapus-3 sebesar 2.392. Dari
ketiga resampling Jackknife tersebut,
Jackknife terhapus-2 memiliki nilai rata-rata
standard error terkecil.. Maka untuk
resampling Jackknife terhapus-2 ini
merupakan metode terbaik dari 2 resampling
Jackknife yang lain.
Tabel 2. Hasil Eksperimen Resampling
Jackknife
Parameter Jackknife Jackknife Jackknife
terhapus- terhapus- terhapus1
2
3
Konstanta
0.273
0.129
8.805
CAR
0.007
0.004
0.365
BOPO
0.002
0.001
0.170
LDR
Rata-Rata
0.003
0.072
0.002
0.034
0.226
2.392
Perbandingan rata-rata standard error
untuk resampling Jackknife dapat dilihat
pada Gambar 3. Didapat bahwa rata-rata
237
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
standard error terkecil yaitu Jackknife
terhapus-2 sebesar 0.034. Maka Jackknife
terhapus-2 merupakan metode terbaik yang
didapat dari resampling Jackknife.
3
2.392
2.5
Tabel 3. Hasil Eksperimen Resampling
Bootstrap
Variabel
Standard Error
R=5
R=25
R=50
Konstan
321.921 2551.530 167.959
CAR
6.972
55.370
9.734
BOPO
1.760
10.917
4.303
LDR
4.673
38.784
1.4727
Rata83.831
664.151
45.867
rata
Variabel
2
1.5
1
0.5
0.072
0.034
Jackknife
terhapus-1
Jackknife
terhapus-2
0
Gambar
Jackknife
terhapus-3
Metode Jackknife
3. Perbandingan Rata-rata
Standard
Error Metode
Jackknife
Pada Tabel 3 ditunjukan hasil eksperimen
metode Regresi Logistik dengan resampling
Bootstrap untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia. Hasil eksperimen yang disajikan
adalah akurasi dengan melihat nilai standard
error. Hasil eksperimen pada Tabel 3
menunjukan rata-rata standard error metode
Bootstrap untuk R=5 sebesar 83.831, R=25
sebesar 664.151, R=50 sebesar 45.867,
R=100 sebesar 96.940, R=150 sebesar
34.175, R=500 sebesar 59.273, R=1000
sebesar 156.054, R=5000 sebesar 170.240
dan R=20000 sebesar 178.599. Dari hasil
tersebut diketahui bahwa rata-rata
standard error dari R=150 memiliki nilai
terkecil yaitu 34.175, maka pengulangan
terbaik
yang
digunakan
Metode
Bootstrap dalam estimasi regresi logistik
biner ini adalah R=150.
THE 5TH URECOL PROCEEDING
Konstan
CAR
BOPO
LDR
Ratarata
Variabel
Konstan
CAR
BOPO
LDR
Ratarata
Standard Error
R=100
R=150
356.391
117.458
25.884
10.856
3.138
4.578
2.348
3.807
96.940
34.175
R=500
223.479
7.776
3.327
2.509
59.273
Standard Error
R=1000
R=5000 R=20000
592.373
647.537
678.928
19.067
20.252
21.535
4.055
4.115
4.292
8.722
9.055
9.640
156.054
170.240
178.599
Perbandingan rata-rata standard error
untuk resampling Bootstrap dapat dilihat
pada Gambar 4. Didapat bahwa rata-rata
standard error terkecil yaitu Bootstrap
(R=150) sebesar 34.175. Maka Bootstrap
dengan replikasi sebanyak 150 merupakan
metode terbaik yang didapat dari resampling
Bootstrap.
Perbandingan Rata-rata Standard
Error Bootstrap
Rata-rata Standard
Error
Rata-rata Standard Error
Perbandingan Rata-Rata
Standard Error Metode
Jackknife
UAD, Yogyakarta
238
664.150
800.000
156.054 178.599
600.000
96.940 59.273
400.000 83.831 45.867 34.175
170.240
200.000
0.000
Replikasi
ISBN 978-979-3812-42-7
Gambar
4. Perbandingan Rata-rata
Standard
Error
Metode
Bootstrap
Selanjutnya pada Tabel 4 menunjukkan
hasil eksperimen dari ketiga metode yang
diusulkan untuk 22 dataset status
kebangkrutan perusahaan perbankan di
Indonesia.
Ketiga
metode
tersebut
diantaranya Maximum Likelihood Estimation
(MLE),
Resampling
Bootstrap
dan
Resampling Jackknife. Untuk resampling
Bootstrap dan Jackknife yang disajikan pada
Tabel 4 adalah yang memiliki nilai standard
error terkecil yang sudah di seleksi terlebih
dahulu. Hasilnya adalah Bootstrap dengan
replikasi sebanyak 150 dan Jackknife
terhapus-2.
Terlihat bahwa nilai standard error
terkecil untuk keempat parameter tersebut
ketika menggunakan resampling Jackknife
terhapus-2. Menghasilkan nilai standard
error
terbesar
ketika
menggunakan
resampling Bootstrap dengan banyaknya
replikasi sebanyak 150.
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
sebesar 34.175 dan Jackknife terhapus-2
sebesar 0.034. Maka terlihat jelas bahwa,
Jackknife terhapus-2 merupakan metode
yang paling tepat dalam meningkatkan
keakurasian pada sampel kecil karena
mempunyai nilai standard error terkecil.
Perbandingan Rata-rata Standard
Error Ketiga Metode
Rata-rata Standard Error
THE 5TH URECOL PROCEEDING
34.175
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Gambar
1.328
0.034
MLE
Bootstrap
Jackknife
(R=150)
terhapus-2
Metode yang diusulkan
5.
Perbandingan Rata-rata
Standard Error Terkecil
dari Setiap Metode
KESIMPULAN
Penelitian ini dengan menerapkan metode
resampling yaitu Bootstrap dan Jackknife
untuk penanganan sampel kecil yang
merupakan salah satu kelemahan dari regresi
logistik dimana data yang digunakan adalah
data yang telah digunakan pada penelitian
sebelumnya mengenai tingkat kebangkrutan
perusahaan perbankan di Indonesia. Hasil
Tabel 4. Hasil Standard Error Metode
eksperimen pada penelitian ini mendapatkan
yang diusulkan
Parameter
MLE Bootstrap Jackknife nilai rata-rata standard error untuk Maximum
Estimation (MLE) tanpa
(n=22)
(R=150)
terhapus- Likelihood
resampling sebesar 1.328. Untuk metode
2
Konstanta 5.125 117.458
0.129 Bootstrap dilakukan beberapa replikasi,
CAR
0.109
10.856
0.004 kemudian diperoleh replikasi sebanyak 150
(R=150) yang memiliki rata-rata standard
BOPO
0.028
4.578
0.001 error terkecil yaitu 34.175. Sedangkan, nilai
LDR
0.051
3.807
0.002 rata-rata standard error terkecil pada metode
Jackknife yaitu Jackknife terhapus-2 sebesar
Kemudian pada Gambar 5 menunjukkan 0.034. Berdasarkan nilai rata-rata standard
nilai rata-rata standard error untuk ketiga error dari ketiga metode tersebut diperoleh
metode tersebut agar lebih mudah dalam metode terbaik dalam meningkatkan
melihat metode apakah yang merupakan keakurasian yaitu metode Jackknife terhapusmetode terbaik. Rata-rata standard error 2 karena memiliki rata-rata standard error
MLE sebesar 1.328, Bootstrap (R=150) yang terkecil. Dapat dilihat juga hasil rata-
THE 5TH URECOL PROCEEDING
239
ISBN 978-979-3812-42-7
THE 5TH URECOL PROCEEDING
rata standard error untuk metode Jackknife
terhapus-2 (dengan resampling) lebih kecil
dibanding metode MLE (tanpa resampling).
Nilai estimasi untuk parameternya yaitu
konstanta sebesar 0.129; CAR sebesar 0,004;
BOPO sebesar 0.001; dan LDR sebesar
0.002.
REFERENSI
Archer, K. J., Lemeshow, S., & Hosmer,
D. W. (2007). Goodness-of-fit tests
for logistic regression models when
data are collected using a complex
sampling design, 51, 4450–4464.
http://doi.org/10.1016/j.csda.2006.0
7.006.
Bull, S. B., Mak, C., & Greenwood, C. M.
T. (2002). A modifed score function
estimator for multinomial logistic
regression in small samples, 39, 57–
74.
Fauzan. (2007). Analisis Kinerja
Keuangan pada Perbankan Syari'ah
( Studi pada Bank Muammalat
Indonesia ), 183–207.
Hidayat, Anwar. 2015. Regresi Logistik,
http://www.statistikian.com/2015/
02/regresi-logistik.html. (Diunduh
24 September 2016).
Kannurpatti, S. S., & Biswal, B. B.
(2005).
Bootstrap
resampling
method to estimate confidence
intervals of activation-induced CBF
changes using laser Doppler
imaging,
146,
61–68.
http://doi.org/10.1016/j.jneumeth.20
05.01.021.
Kurnia, A., & A. Notodiputro, K. (2006).
Penerapan Metode Jackknife, 11(1),
12–15.
Maharani, K., Adji, T. B., Setiawan, N.
A., & Hidayah, I. (2015).
Comparison Analysis of Data Mining
Methodology
and
Student
Performance Improvement Influence
Factors in Small Data Set, 169–174.
Mcintosh, A. I. (1979). The Jackknife :
Introduction and Basic Properties, 2,
1–11.
THE 5TH URECOL PROCEEDING
18 February 2017
UAD, Yogyakarta
Narso, D., Suyitno, H., & Artikel, I.
(2013).
Estimasi
Parameter
Bootstrap pada Harga Saham, 2(1),
76–83.
Sahinler, S., & Topuz, D. (2007).
Statistical Research by Surveys :
Case Studies , Constraints and
Particularities
Bootstrap
And
Jackknife Resampling Algorithms
Statistical Research by Surveys :
Case Studies ,. Statistical Research,
188–199.
Sawyer, S. (2005). Resampling Data :
Using a Statistical Jackknife, 1(1),
1–5.
Suharyadi, & Purwanto. (2009). Statistika
untuk Ekonomi & Keuangan Modern.
Jakarta: Salemba Empat.
Sukestiyarno, Y. (2013). Statistika
Dasar. Yogyakarta: C.V. ANDI
OFFSET.
Sungkono, J. (2013). Bootstrap pada r,
(84), 47–54.
Ustyannie, W. (2014). Perbandingan
Metode Bootstrap dan Jackknife
untuk Estimasi Parameter Model.
Institut Sains&Teknologi AKPRIND
Yogyakarta.
Widhiarso, W. (2012). Berkenalan
dengan Bootstrap, 1–8.
Widi, Imah. 2015. Pengujian Hipotesa
Sampel Kecil Bab 14 Fungsi, Variabel,
dan Masalah dalam Analisis Regresi
Bagian I Statistik Induktif Metode dan
Distribusi
Sampling,
http://slideplayer.info/slide/3670332/.
(Diunduh 27 Oktober 2016).
240
ISBN 978-979-3812-42-7