KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMEN

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI

GENERALIZED WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE

GENERALIZED MOMEN (Skripsi)

Oleh

ANDZIRNIE BIL HAQQI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

ABSTRACT

CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATOR GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION USING GENERALIZED METHOD OF

MOMENT

By

Andzirnie Bil Haqqi

Generalized weibull distribution is a generalization of the weibull distribution by adding one new parameter that a location parameter . Related to paramater estimation for continuous distribution we know several methods of estimation,one of methods is a generalized method of moment. In this study, we examine the characteristics of parameter estimator of generalized weibull distribution using generalized method of moment. We investigate the characteristics of unbiasness, minimum varianced, and consistent. The results show that the characteristics of parameter estimators ( ̂ ̂ ̂) are unbiased and have minimum variances. The variances attain Rao-Cramer lower bound. By using software R version 3.1.2, this research also present the graphs of probability density function with different values of parameters.

Keywords: Generalized Weibull Distribution, Generalized Method Of Moment, Unbiasness, MinimumVariance, Consistent.

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER

DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMEN

Oleh

Andzirnie Bil Haqqi

Distribusi generalized weibull merupakan perumuman dari distribusi weibull dengan menambahkan satu parameter baru yaitu parameter lokasi . Berkaitan dengan pendugaan parameter distribusi kontinu dikenal beberapa metode pendugaan salah satunya metode generalized momen. Pada penelitian ini mengkaji tentang karakteristik penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) memiliki karakteristik penduga yang baik yaitu tak bias, ragam minimum karena mencapai batas bawah Rao-Cramer dan konsisten. Selain itu, disajikan pula kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull menggunakan software R versi 3.1.2, untuk beberapa nilai parameter yang berbeda.

Kata Kunci : Distribusi Generalized Weibull, Metode Generalized Momen, , Tak Bias, ragam Minimum, Konsisten.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 28 Oktober 1993 di Yukum Jaya, Lampung Tengah. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara yang merupakan buah cinta dari Bapak A. Encep Syaifullah dan Ibu Alis Lisnawati.

Penulis menempuh jalur pendidikan di mulai dari pendidikan taman kanak-kanak di TK Proklamasi 45 Bandar harapan, Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 1999. Kemudian menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Proklamasi 45 Bandar harapan, Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2005. Lalu melanjutkan pendidikan ke jenjang sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2008. Selanjutnya melanjutkan pendidikan ke jenjang sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2011.

Penulis diterima sebagai mahasiswi baru Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tertulis pada tahun 2011. Selama menjadi mahasiswi Universitas Lampung, penulis pernah menjadi anggota GEMATIKA 2011/2012, anggota Bidang Kaderisasi HIMATIKA 2012/2013, anggota staf Komisi B DPM FMIPA Unila 2012/2013, anggota Biro Kesekretariatan HIMATIKA 2013/2014,

bendahara Dinas Kreativitas Mahasiswa BEM F 2013/2014. Selain itu, penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Eksplorasi Data di Jurusan matematika dan Statistika di Jurusan Ilmu Komputer. Pada bulan Januari-Maret tahun 2014 penulis mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Silir Agung,, Labuhan Ratu 3,Lampung Timur. Pada bulan Agustus-September tahun 2014 penulis melakukan kerja praktik di PT Great Giant Pineapple (GGP) Lampung Tengah.

MOTTO

“...Sesungguhnya, Allah

beserta orang-orang yang sabar

”

(Qs. Al-Baqarah : 153)

“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan

memudahkan baginya jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika

kesempatan bertemu dengan kesiapan.

PERSEMBAHAN

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena atas izin dan ridho-Nya skripsi ini dapat terselesaikan, dan dengan setulus hati, ku

persembahkan karya sederhanaku ini teruntuk:

Kedua orangtuaku tercinta Mamah dan Bapak untuk setiap do’a,

dukungan, semangat dan kasih sayang serta perhatian yang selalu menemani disetiap hariku. Adik-adikku Syifa, Faqih dan Fatwa yang

selalu memberikan keceriaan dan kerinduan. Nenekku yang selalu memberikan nasihat-nasihatnya selama ini. Rizki yang selalu

memberikan do’a, perhatian,bantuan dan semangat selama ini

Keluarga, sahabat dan teman-teman yang senantiasa memberikan do’a

dan semangat selama ini.

SANWANCANA

Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nya terselesaikanlah skripsi dengan judul “Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull Menggunakan Metode Generalized Momen”.

Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan, kritik, serta saran yang membangun dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada:

1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing pertama yang telah memberikan nasihat, bimbingan, pengarahan dan semangat sehingga dapat terselesaikan skripsi ini dengan baik.

2. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen pembimbing kedua yang senantiasa memberikan nasihat, pengarahan, dan bimbingan sehingga dapat

terselesaikannya skripsi ini dengan baik.

3. Bapak Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan saran dan kritik sehingga dapat terselesaikannya skripsi ini dengan baik.

4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah membimbing penulis dari awal perkuliahan hingga sekarang.

iii 5. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., yang senantiasa ikhlas membantu penulis dalam hal

pemrograman serta semangat sehingga skripsi ini terselesaikan dengan baik. 6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 8. Mamah, Bapak, Umi, Syifa, Faqih, dan Fatwa yang selalu mendoakan,

menasihati, dan memberikan semangat tanpa rasa lelah hingga dapat terselesaikannya skripsi ini..

9. Teman seperjuanganku Rizka, Dian, Nika, Ofi, dan Dewi yang setia memberikan bantuan pemikiran dan tenaga hingga skripsi ini selesai.

10. Sahabat-sahabat superku Rizka, Dian, Fara, Eka, Nafis, Nika, Yunita, Udya, Sherly, Wulan, Deni, Dewi, Ofi dan Mba Nova yang selalu memberikan dukungan dan candatawa serta teman-teman Matematika angkatan 2011. 11. Rizki yang selalu memberikan bantuan, nasihat serta dukungan selama ini. 12. Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNILA.

13. Seluruh pihak lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah berperan dalam penulisan skripsi ini baik langsung maupun tidak langsung.

Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.

Bandar Lampung, Februari 2015

Andzirnie Bil haqqi NPM.1117031002

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... vi

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 3

1.3. Tujuan Penelitian... 3

1.4. Manfaat Penelitian... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Weibull ... 5

2.2 Distribusi Generalized Weibull ... 7

2.3 Penduga parameter ... 8

2.4 Penduga parameter dengan Metode Generalized Momen ... 9

2.5 Matriks Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Momen ... 14

III. METODOLOGI PENELTIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16

3.2 Metode Penelitian ... 17

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized Weibull ... 18

4.1.1 tetap ... 19

4.1.2 meningkat ... 20

4.1.3 tetap ... 21

4.1.4 tetap ... 22

4.1.5 meningkat ... 23

v

4.1.7 meningkat ... 25

4.2 Fungsi Distribusi Kumulatif dari Distribusi Generalized Weibull ... 25

4.3 Fungsi Invers ... 27

4.4 Momen Peluang Terboboti ( ) untuk Distribusi Generalized Weibull ... 28

4.5 Menduga Parameter Distribusi Generalized Weibull Menggunakan Metode Generalized Momen ... 31

4.5.1 Penduga Parameter ... 31

4.5.2 Penduga Parameter δ ... 32

4.5.3 Penduga Parameter α ... 33

4.6 Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 35

4.6.1 Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 35

4.6.1.1Penduga Parameter ... 35

4.6.1.2Penduga Parameter δ ... 36

4.6.1.3 Penduga Parameter α ... 37

4.6.2 Memeriksa Varians Minimum Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 39

4.6.2.1Matriks Informasi Fisher dari Penduga Parameter pada Distribution Generalized Weibull ... 39

4.6.2.2Pertidaksamaan Rao-Cramer untuk Ragam dari Penduga parameter Distribusi Generalized Weibull ... 40

4.6.3 Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 41

4.6.3.1Penduga Parameter ... 41

4.6.3.2Penduga Parameter δ ... 43

4.6.3.3 Penduga Parameter α ... 45

4.7 Matriks Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull MenggunakanMetode Generalize Momen ... 48

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada Saat Nilai Saat Tetap ... 19 2. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

Saat Nilai Saat Meningkat ... 20 3. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

Saat Nilai Saat Tetap ... 21 4. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

Saat Nilai Saat Tetap ... 22 5. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

Saat Nilai Saat Meningkat ... 23 6. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

Saat Nilai Saat Meningkat .... 24 7. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Menurut Douglas (2007), statistika adalah ilmu dan seni tentang pengumpulan, pengaturan, menampilkan, analisis, dan penafsiran data untuk membantu pengambilan keputusan dengan lebih efektif. Statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika deskriptif dan inferensia statistik. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengambilan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Inferensia statistika merupakan proses pengambilan keputusan tentang suatu parameter (populasi) berdasarkan suatu statistik (sampel). Dalam statistika matematika terdapat distribusi khusus baik diskrit maupun kontinu. Salah satu contoh distribusi kontinu yaitu distribusi weibull.

Distribusi weibull memiliki dua parameter, yaitu parameter skala (β) dan parameter bentuk (δ). Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi ini memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Akan tetapi distribusi weibull dengan dua parameter ini kurang tepat untuk laju kerusakan/kematian yang

2

nonmonotonik. Oleh karena itu distribusi weibull ini dikembangkan menjadi distribusi generalized weibull dengan menambahkan parameter lokasi ( ). Sehingga parameter dari distribusi generalized weibull berjumlah tiga parameter yaitu parameter skala, bentuk dan lokasi. Kegunaan dari distribusi generalized weibull banyak diaplikasikan dalam model sebaran data, antara lain waktu hidup produk-produk elektronik dan analisis kelangsungan hidup.

Untuk mengetahui karakteristik dari suatu distribusi, digunakan metode pendugaan. Beberapa metode pendugaan di antaranya Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood, Method of Moments (MM) dan Generalized Method of Moments (GMM). Metode Least Square memang baik dalam proses pendugaan, namun memiliki keterbatasan diantaranya tidak bisa digunakan untuk truncated variable dan menentukan conditional covariance. Maximum Likelihood merupakan metode pendugaan yang prinsip kerjanya dengan cara memkasimumkan fungsi likelihoodnya. Namun untuk metode ini mempunyai kelemahan yaitu hanya bisa digunakan pada sampel yang berukuran besar. Tidak seperti metode pendugaan lainnya,yang diperlukan Methode of Moments hanyalah persamaan moment yang diperoleh dari model. Umumnya MM hanya dapat digunakan untuk kasus pendugaan dimana persamaan moment yang dihasilkan sama dengan banyaknya parameter yang diduga.

Sementara itu metode Generalized Moment bisa digunakan untuk pendugaan parameter pada sampel besar dan hanya bergantung pada kondisi momen yang digunakan.

3

Metode Generalized Moment merupakan perluasan dari metode Momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Hansen pada tahun 1982 yang didefinisikan sebagai metode pendugaan parameter yang meminimalkan bentuk kuadrat dari kondisi momen sampel yang terboboti matriks WT. Metode ini telah lebih awal digunakan pada bidang ilmu hidrologi.

Berdasarkan uraian tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen.

1.2Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah mengkaji karakteristik pendugan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan kekonsistenan serta menentukan varian dan kovarian asimtotik.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah

1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized weibull untuk beberapa nilai parameter.

2. Menentukan penduga parameter dari distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen.

3. Mengkaji karakteristik pendugan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen yang meliputi sifat tak bias,

4

varians minimum, dan kekonsistenan.

4. Menentukan varians dan kovarians asimtotik penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen

1.4Manfaat Penelitian

Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai karakteristik pendugan distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen yang lebih dalam.

II.TINJAUAN PUSTAKA

Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen ini, penulis menggunakan definisi dan konsep dasar yang berkaitan dengan distribusi weibull, distribusi generalized weibull, pendugaan parameter dan metode generalized momen sebagai berikut:

2.1 Distribusi weibull

Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. Distribusi Weibul memiliki dua parameter, yaitu:

: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.

6

Definisi 2.1

Misalkan adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka menurut Kundu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak weibull adalah sebagai berikut:

{

(2.1)

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:

(2.2)

Nilai harapan dari distribusi weibull adalah:

(2.3)

Ragam (variance) distribusi weibull adalah:

(2.4)

(Kundu dan Mangalick, 2004)

Sub-bab selanjutnya akan membahas tentang distribusi generalized weibull yang merupakan perumuman dari distribusi Weibull dengan penambahan satu parameter lokasi.

7

2.2 Distribusi Generalized Weibull

Distribusi Generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi generalized weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk.

Definisi 2.2

Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi generalized weibull dengan tiga parameter, maka menurut Jhonson dan Kotz (1970), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah

(2.5)

dengan

X : Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time). : Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat

lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang gagal maupun hilang.

8

: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.

: Parameter bentuk

(Jhonson dan Kotz, 1970) Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai pendugaan parameter dengan metode generalized momen.

2.3 Pendugaan Parameter

Dalam statistika inferensial, dibutuhkan pemahaman mengenai kaidah-kaidah pengambilan kesimpulan tentang suatu parameter populasi berdasarkan karakteristik sampel. Hal ini membangun apa yang disebut dengan pendugaan titik dari suatu fungsi kepekatan peluang parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.3

Misal suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui θ dengan sebarang nilai dalam suatu himpunan ruang parameter Ω , maka dinotasikan dengan

(Hogg and Craig, 1995).

Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi yang berkaitan dengan definisi sebelumnya.

9

Definisi 2.4

Misal X1, X2, … , Xn berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan peluang f(x,θ), θϵ Ω . Suatu statistik U(X1, X2, … , Xn) = U(X) yang digunakan untuk menduga g(θ ) disebut sebagai penduga bagi g(θ ) (Hogg and Craig, 1995).

Selanjutnya akan dibahas mengenai pendugaan parameter dengan GMM.

2.4 Pendugaan Parameter dengan Metode Generalized Momen

Metode Generalized Moment merupakan bentuk pengembangan dan perumuman dari metode momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982, dimana metode Generalized Moment ini digunakan untuk memperoleh penduga parameter dari model statistik. Metode tersebut telah banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan seringkali diaplikasikan pada masalah keuangan. Metode Generalized Moment didasarkan pada kondisi momen populasi, yakni

(2.6)

Dengan merupakan vektor dari parameter yang akan diduga, merupakan vektor dari peubah acak, dan merupakan suatu vektor fungsi (Hall,2009).

Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan oleh Askhar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk PWM:

∫

10

∫ (2.7)

Dimana x adalah invers dari distribusi komulatif F(x), l merupakan momen ke-l dan r adalah statistik tataan ke- +1. ini bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan metode Generalized Momen, r diambil sama dengan 0, dan l diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif (Ashkar dan Mahdi, 2006).

Berkaitan dengan pendugaan parameter menggunakan GMM, akan dijelaskan beberapa sifat penduga sebagai berikut:

Definisi 2.5 (Penduga Tak Bias)

Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g( θ ) jika

    () ,  )) (

(U X g E

(Hogg and Craig, 1995). Selanjutnya akan dibahas definisi mengenai sifat penduga konsisten.

Definisi 2.6 (Penduga Konsisten)

Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga konsisten bagi g( θ ) jika → untuk n →∞, yaitu bila

{| | } Atau

{| | }

11

Berkaitan dengan pemeriksaan sifat penduga yang konsisten, digunakan teorema pendukung sebagai berikut:

Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)

Misalkan X variabel acak dengan rata-rata dan ragam . Untuk ,

| | atau

| |

( Larsen dan Marx, 2012).

Teorema 2.2

Jika merupakan rangkaian dari penduga suatu parameter , maka berlaku:

 _→

 _→

Untuk , merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu parameter (Casella and Berger, 2002).

Selanjutnya akan dibahas sifat penduga lainnya yaitu penduga varians minimum

Definisi 2.7 (Penduga Varians Minimum)

12

tak bias bagi disebut penduga varians minimum jika ( ) untuk setiap , dimana

( ) ( )

(Bain and Engelhardt, 1992).

Berkaitan dengan sifat pendugaan varian minimum dibutuhkan beberapa faktor pendukung seperti informasi fisher, matriks informasi fisher dan pertidaksamaan cramer-rao bound atau cramer-rao lower bound.

Definisi 2.8 Informasi Fisher

Misalkan X variabel acak dengan fungsi kepekatan (p.d.f) f(x,θ), θ Information Fisher dinotasikan dengan I(θ) , dimana

{[ ] } Atau

[ ]

13

Berkaitan dengan informasi fisher tersebut, selanjutnya akan dibahas mengenai matriks informasi fisher.

Definisi 2.9 Matriks Informasi Fisher

Misalkan sampel acak X1, X2,…, Xn dari suatu distribusi dengan p.d.f. dalam kondisi yang ada. Tanpa memperhatikan kondisi yang rinci, misalkan bahwa ruang dari X dimana yang tidak meliputi

dan dapat diturunkan dibawah integralnya.

Sehingga matriks informasi fisher sebagai berikut:

[

[

]

[ ] [

]]

(Hogg and Craig, 1995).

Setelah informasi fisher dan matriks informasi fisher didapatkan, kemudian digabungkan kedalam pertidaksamaan cramer-rao bound atau cramer-rao lower bound seperti yang akan dijelaskan berikut ini.

Definisi 2.10 Pertidaksamaan Cramer-Rao Bound (CRB) atau Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)

Menurut Elandt-Johnson (1971), ketidaksamaan Cramer-Rao Bound (CRB) dapat dituliskan sebagai berikut:

14

( ̂)

Atau

( ̂)

[ ] [ ]

Karena

[

] [

]

Maka ( ̂)

Dimana

disebut sebagai Lower bound of the variance dari penduga

Definisi 2.11

Misalkan Y merupakan penduga tak bias dari suatu parameter dalam kasus pendugaan titik. Statistic y disebut penduga efisien dari jika dan hanya jika ragam dari Y mencapai batas bawah Cramer- Rao (Hogg and Craig, 1995).

2.5 Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik Menggunakan Metode Generalized Momen

Matrik varian dan kovarian asimtotik dari ̂ dan ̂ merupakan suatu sistim operasi penjumlahan varian dan kovarian dari momen sampel ̂ dan ̂ . Sehingga bentuk

15

adalah sebagai berikut:

[ ̂ ( ̂) ( ̂ ̂) ] [ ] [ ( ̂ ) ( ̂ ) ( ̂ ̂ ) ] Dimana:   ( ̂ )  ( ̂ )  _{( ̂ ̂ )} ( )

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull untuk beberapa nilai parameter menggunakan software R versi 3.1.2 2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized weibull

dengan menggunakan metode generalized momen

3. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

4. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

 Mencari matriks Information Fisher dari Penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

17

 Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

5. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

6. Mencari varians dan kovarians asimtotik penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Berdasarkan kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull dengan menggunakan software R versi 3.1`2 diperoleh bahwa merupakan parameter lokasi yang menunjukka pergeseran kurva yaitu apabila nilai parameter naik maka pergeseran kurva kearah kanan atau positif sedangkan untuk nilai parameter turun maka pergeseran kurva kearah kiri atau negatif. Parameter merupakan parameter skala yang menunjukkan keragaman data apabila nilai nya naik maka keragamannya semakin besar sedangkan apabila nilainya turun maka keragamannya semakin kecil. Dan parameter merupakan parameter bentuk dimana apabila nilainya naik maka kurva semakin meruncing sedangkan apabila nilai nya turun maka kurva semakin melebar.

2. Penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen adalah

66 ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ₍ ̂ ) ̂ ̂ ∑ ̂( ̂ _̂ ( ̂ dan ̂ ̂ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ _{̂ (} ̂ ̂

3. Penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen merupakan penduga yang baik karena memenuhi sifat tak bias, varians minimum, dan sifat kekonsistenan.

4. Matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen adalah

[ ( ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ] [ ] [ ]

DAFTAR PUSTAKA

Ashkar, F dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.

Brain, I.J. and Engelhardt, M. 2000. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Brooks/Cole. Duxbury.

Cassela, G. and Berger, R. L. 2002. Statistical Inference. Second Edition. Thomson Learning Inc., USA.

Hall, A.R. 2009. Generalized Methode Of Moments. The University of Manchester. Manchester, UK2 .

Hermita. R.S. 2008. Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Weibull Dengan Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Hogg, R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics. Prentice-Hall Inc. New Jersey.

Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.

Kundu, D. dan Mangalick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log Normal Distribution. Journal.

Larsen, R.J. and Marx, M.L. 2012. An Introduction to mathematical statistics and its applications. Fifth Edition. Pearson Education Inc., United States of America.

Speigel, M.R., 1968. Schaum’s Outline Series: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. McGraw-Hill.

15

adalah sebagai berikut:

[

̂ ( ̂) ( ̂ ̂)

] [

]

[

( ̂ )

( ̂ )

( ̂ ̂ )

]

Dimana: 



( ̂ )



( ̂ )

 _{( ̂ ̂ )} ( )

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull untuk beberapa nilai parameter menggunakan software R versi 3.1.2 2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized weibull

dengan menggunakan metode generalized momen

3. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi

generalized weibull

4. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

 Mencari matriks Information Fisher dari Penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

17

 Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull

5. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi

generalized weibull

6. Mencari varians dan kovarians asimtotik penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Berdasarkan kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull dengan menggunakan software R versi 3.1`2 diperoleh bahwa merupakan parameter lokasi yang menunjukka pergeseran kurva yaitu apabila nilai parameter naik maka pergeseran kurva kearah kanan atau positif sedangkan untuk nilai parameter turun maka pergeseran kurva kearah kiri atau negatif. Parameter merupakan parameter skala yang menunjukkan keragaman data apabila nilai nya naik maka keragamannya semakin besar sedangkan apabila nilainya turun maka keragamannya semakin kecil. Dan parameter merupakan parameter bentuk dimana apabila nilainya naik maka kurva semakin meruncing sedangkan apabila nilai nya turun maka kurva semakin melebar.

2. Penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen adalah

66 ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ₍ ̂ ) ̂ ̂ ∑ ̂( ̂ _̂ ( ̂ dan ̂ ̂ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ _{̂ (} ̂ ̂

3. Penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen merupakan penduga yang baik karena memenuhi sifat tak bias, varians minimum, dan sifat kekonsistenan.

4. Matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter distribusi

generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen adalah

[ ( ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ] [ ] [ ]

DAFTAR PUSTAKA

Ashkar, F dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized

moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.

Brain, I.J. and Engelhardt, M. 2000. Introduction to Probability and

Mathematical Statistics. Brooks/Cole. Duxbury.

Cassela, G. and Berger, R. L. 2002. Statistical Inference. Second Edition. Thomson Learning Inc., USA.

Hall, A.R. 2009. Generalized Methode Of Moments. The University of Manchester. Manchester, UK2 .

Hermita. R.S. 2008. Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Weibull Dengan Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Hogg, R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics. Prentice-Hall Inc. New Jersey.

Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.

Kundu, D. dan Mangalick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log

Normal Distribution. Journal.

Larsen, R.J. and Marx, M.L. 2012. An Introduction to mathematical statistics and

its applications. Fifth Edition. Pearson Education Inc., United States of

America.

Speigel, M.R., 1968. Schaum’s Outline Series: Mathematical Handbook of