DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

  

DESAI N SI STEM KENDALI MELALUI

TANGGAPAN FREKUENSI

Ì Pendahuluan Ì Tahap Awal Desain

  Kompensasi Lead Ì Ì Kompensasi Lag Ì Kompensasi Lag-Lead Ì Kontroler P, PI , PD dan PI D Ì

  Hubungan antara Kompensator Lead, Lag & Lag-Lead dengan Kontroler PD, PI dan PI D

• PENDAHULUAN *

  Dalam desain sistem kendali (secara konvensional),

  ♦

  unjuk kerja respons transient umumnya merupakan hal yang terpenting .

  Spesifikasi transient dinyatakan (secara tak langsung)

  ♦

  dalam: phase margin (faktor redaman)

  ⇒ gain margin (batas kestabilan)

  ⇒

  lebar bidang frekuensi (kecepatan transient)

  ⇒

  simpangan puncak resonansi (faktor

  ⇒

  redaman) frekuensi resonansi

  ⇒

  frekuensi gain crossover

  ⇒

  konstanta-konstanta error statik (ketelitian

  ⇒

  steady state) Alat bantu perancangan: Bode Plot (lebih praktis) ,

  ♦ Nyquist, dst.

  Terbatas pada SI SO, linear, invarian waktu.

  ♦

• Spesifikasi dicoba dipenuhi melalui gain adjustment dengan cara coba-coba.
• Tak selalu berhasil mengingat plant tak selalu dapat diubah.
• Perlu rancangan ulang : kompensasi (seri).

Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead

  ♦

  Lead: fasa output mendahului input Lag : fasa output terbelakang dari input Lag-lead : phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah,

  phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi.

  Kompensasi di domain frekuensi: merancang suatu

  ♦

  filter untuk mengkompensasi karakteristik plant yang tak diinginkan / tak dapat diubah.

  ♦

  Karakteristik respons transient harus di cek lagi setelah perancangan selesai.

  ♦

  Pendekatan respons frekuensi dapat digunakan untuk penurunan karakteristik dinamis komponen-komponen tertentu (pnematik & hidraulik).

  Perancangan dengan pendekatan Diagram ♦

  Bode:

  1. Atur penguatan lup terbuka (untuk memenuhi spek akurasi steady state).

  2. Gambar diagram Bode sistem semula.

  3. Tentukan apakah gain & phase margins memenuhi spek.

  4. Bila tidak, tentukan kompensator yang sesuai agar diperoleh respons frekuensi yang sesuai.

  I nformasi pada Diagram Bode: ♦

• Daerah frekuensi rendah ( < < ):

  ω ω gco

  menggambarkan karakteristik steady state sistem.

• Daerah frekuensi tengah (frekuensi sekitar titik -1+ j0 pada polar plot): menggambarkan kestabilan relatif.
• Daerah frekuensi tinggi ( > > ):

  ω ω gco menggambarkan kompleksitas sistem.

• Respons Frekuensi (Loop Terbuka) I deal:
• Gain pada daerah frekuensi rendah harus cukup tinggi.
• Slope kurva log magnitude (Bode Plot) dekat f :

  gco

• 20db/ decade dan memanjang yang memadai agar diperoleh phase margin yang memadai.
• Gain harus cukup cepat diredam pada daerah frekuensi tinggi untuk mengurangi efek derau.
• KOMPENSASI LEAD

• Tujuan Kompensasi Lead: Mengubah kurva respons frekuensi agar diperoleh sudut phase lead yang cukup untuk mengkompensasi phase lag yang disebabkan oleh komponen-komponen sistem.
• Asumsi:
• Spesifikasi unjuk kerja diberikan dalam phase & gain margins, konstanta error statik dst.
• Respons transient tak memuaskan.
• Kompensasi dapat dicapai dengan penambahan kompensator seri.
• Karakteristik Kompensator Lead

• =
• =

  α = R ^{2 C 2 / R 1 C 1 (}

  α T= R ₂ C ₂ ; K _c = R ₄ C ₁ / R ₃ C ₂ ;

  α dengan: T = R ₁ C ₁ ;

  1 α α

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  3

  1

  4

  ( ) ( ) =

  K Ts Ts K s T s T ^{o i c c}

  E s E s R C R C s R C s R C

  

α

< 1)

• Untuk Domain Frekuensi:

  1 G j K ( ω ) α ; ( α 1 )

• j T

  ω

  = < <

  1

  

j T

ωα

• c c
• Polar Plotnya (untuk K = 1)

  c

  1

  − α

  1

  α

  2 sin φ

  = = −

  1 α 1 α ^m

  2

• Bode Plotnya (untuk K = 1): HPF

  c

  Perhatikan bahwa : = frekuensi tengah geometri antara 2 frekuensi

  ω m

  sudut, sehingga:

  1

  1

  1

  1

  ω =

  m

  log = [ log log ]

• ω

  m atau α T

2 T α T

• Prosedur Perancangan:

  1. Anggap kompensator lead:

  1

• +

  s

1 T

• Ts

  G s ( ) = K α = K ( < < α 1 ) ^{c c c} +

  1 α Ts

  1

• s T α

  atau:

• Ts

  1 G s K dengan K K α ( ) = =

• Ts α

  1 ^{c c}

  Sehingga OLTF sistem terkompensasi:

  1

• Ts

  | G s G s K G s G s G s

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  = = ^{c c} +

  1 Ts α

  1 dengan:

  G s ( ) KG s ( ) =

  1

• Ts

  1 |

  G s ( )

  =

  α Ts

1 Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.

• c

  2. Gambar diagram Bode G (j ) dengan K yang diperoleh

  

1 ω

dari butir 1.

  Tentukan phase margin. Tentukan apakah phase margin yang diinginkan dapat dicapai melalui gain adjustment.

  3. Hitung sudut phase lead yang perlu ditambahkan

  φ pada sistem.

  4. Hitung faktor redaman melalui rumus:

  α 1 α sin φ = −

• α

  1 ^m

  Hitung frekuensi gain crossover baru pada diagram Bode sistem G (j ) dengan mengingat bahwa frekuensi

  1 ω

  tsb terjadi pada:

  1

  magnitude

  20 log

  = − α

  Hitung T melalui rumus:

  1

  ;

  ω _m =

  α T = frekuensi gain crossover.

  ω m

  5. Tentukan kedua frekuensi sudut kompensator sbb:

  1

  1 zero ω pole ω

  : = ; : = T α T

  6. Tentukan penguatan kompensator K melalui:

  c K K α

  = c 7. Teliti lagi apakah gain margin tercapai. Bila tidak, ulangi proses perancangan dengan mengubah lokasi pole & zero kompensator.

CONTOH SOAL

4 G(s)

  Sistem semula : G s ( ) =

  s s ( 2 )

• −

  1 K = 20 s v PM

  ≥ GM 10 db

50 Diinginkan :

  ≥ Rancanglah kompensator yang diperlukan.

  Solusi :

  1

• Ts

  1. G s = K α ; < < 1 Anggap kompensator lead : c ( ) c α

  Ts

  1 α +

  Sistem terkompensasi : '

• c

  G s ( ) G s ( )

  

1

• G s ( ) K G s ( )

  Ambil : = α 1 c

  4 K dengan K K = = α c

  2 )

• s s (

  1 '

• Ts

  G s ( ) = c

  Ts

  1 α +

  2. v Tentukan K dari syarat K

  4 K K = lim sG s ( ) → 20 = lim s → = K

  10 v

  1

  

2 )

→ syarat K v sudah dipenuhi 3.

• s s (

  Gambar Bode Plot sistem semula dengan gain adjustment :

20 G j

  ω = 1 ( )

   

  

1

ω ω  

• +

  j j

  2 Hitung : → terjadi pd g j

  1 ω gco ω =

  ( )

  1

  20

  1 =

  2  

  1 ω ω   +

  2

  2

  2 Pers : 400 0 25 , 1 6 17 , rad s / = ω ω + ⇒ ω = gco

  ( ) − ₁ 6 ,

  17 G j ω 90 tan 162

  ∠ ( ) = − − = − _{1 ω = 6 , 17}

  2 PM G j ω = 180 − ( ) = _{1 ω = 6 , 17}

  18 GM = ~

  PM tak terpenuhi , perlu kompensato r Lead ⇒ 4.

  Phase lead yang perlu dikontribusi oleh kompensator :

• φ = − =

  50

  18

  5

  37

  m offset offset : perlu untuk kompensasi pergeseran kekanan akibat

  ω gco penambahan kompensator lead.

  1

  α

  sin 0 24 , untuk

  38

  φ = − ⇒ α = φ = m m

• 1

  α 5.

  Tentukan pole dan zero kompensator :

  1

  

1

zero ; pole = =

  T T

α

  Ingat terjadi pada tengah-tengah kedua frekuensi diatas atau pada φ m

  1 ω =

  T α

  1 Besarnya perubahan kurva magnitude pada ω = akibat T α

  1

• Ts

  1 G s ( ) = adalah c

  1 α

• Ts

  1 ω =

• 1 j T

  1 j T ω α α

• 1

  ω = α T

  1

  1 untuk α = 0 24 , ⇒ = = 6 2 , db

  0 49 , α

  Sehingga untuk mengkompensasi kenaikan gain 6,2 db, maka G j ω = − 6 2 , db , atau:

  1 ( )

  20 20 log 6 2 , db = −

  2   ω ω +

  

1

 

  2

  2

  4 2 '

  9 rad s / Persamaan : = ω ω ⇒ ω = ≅

geo

• 40 8 , 0 25 , 8 92 , rad s /

  Sehingga frekuensi gain cross over baru

  

1

'

  9 rad s / T 0 227 , , ω = = ⇒ = gco

  T

α

  Diperoleh :

  

1

G s ( )

• +

  0 227 , s

  10 = c

  

1

K

• +

  0 054 , s

  10

6 Menentukan K = = = 41 7 ,

  c 0 24 ,

  α Catatan :

  G s ( ) Ts

1 0 227 , s

  1

• + +

  c = =

  10 Ts

1 0 054 , s

  1

• + α +

  

40

G s ( )

  10 G s ( ) = =

  1

  1 )

• s s (

  7. Pengecekan ulang setelah kompensasi : OLTF Sistem terkompensasi : 40 0 227 ,

  1 ( )

• s G s G s ( ) ( )

  = c s s ( 2 0 054 ) , s

  1

  ( ) sudut fasa pada frekuensi gain crosssover 8,92 rad/s G s G s ( ) ( ) c

  = s j 8,92

  =

  2 8 92 , 0 48 , − 1 − 1 −

  1 tan 90 tan tan

  − − − =

  1

  2

  1 63 4 , 90 77 4 , 25 6 , 129 6 ,

  − − − = −

• 129,6 = 50,4 terpenuhi

  PM = 180 ⇒

• terpenuhi

  GM = ~ ⇒

• 8,92 rad/s Terjadi kenaikan frekuensi gain crossover 6,17 rad/s

  ⇒ : berarti kenaikan bandwidth (kenaikan kecepatan respons)

• Terjadi kenaikan frekuensi resonansi : 6 rad/s 7 rad/s

  ⇒ KOMPENSASI LAG

  Meredam daerah frekuensi tinggi agar

  Tujuan: diperoleh cukup phase margin.

• Karakteristik Kompensator Lag

  1

• s

  ( ) Ts

  1 o

• E s

  T K K β ; β

  1 = = >

  1 E s Ts ( ) β

  1

• c c

  s T β

• i

  dengan: T = R C ; T= R C ; = R C / R C > 1

  1 1 β

  2 2 β

  2

  2

  1

  1

• Polar Plotnya
• Bode Plotnya (untuk K = .1; = 10)

  c β

  LPF

  Prosedur:

  1. Anggap kompensator lag:

  1

• s

• Ts

1 T

  G s K β K β ( ) = = ; >

  1 ^{c c c} +

  1 β Ts

  1

• +

  s β T

  1 G s ( ) K dengan K K β = =

• Ts

  c

  atau:

  β Ts

  1 Sehingga OLTF sistem terkompensasi:

• c

  1 |

• Ts

  G s G s K G s G s G s

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{c = = c} +

  1 β Ts

  1 dengan:

  |

• Ts

  1 G s KG s G s ( ) = ( ) ( ) =

  β Ts

• 1 c

  1 Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.

  2. Gambar diagram Bode G (j ) dengan K yang diperoleh

  

1 ω

  dari butir 1. Bila gain & phase margins tak dipenuhi, tentukan frekuensi gain crossover baru sbb:

• f = frekuensi pada sudut fasa sistem G (j )

  ω gco

  1 o

  bernilai = -180 + spek phase margin + .

  φ offset o o

  dengan .= 5 sampai 12 untuk

  φ offset mengkompensasi phase lag kompensator .

3. Pole dan zero kompensator harus terletak jauh lebih

  rendah dari pada frekuensi gain crossover baru untuk menghindari efek detrimental.

1 Pilih frekuensi sudut ω lebih rendah 1 octave

  =

T

• sampai 1 decade dari f . (Hindari konstanta waktu

  

gco

kompensator terlalu besar).

  4. Tentukan redaman yang diperlukan untuk membawa

• kurva magnitude turun 0 db pada f .

  gco

  dapat ditentukan dengan mengingat :

  β redaman = -20 log .

  β

  Tentukan frekuensi sudut kedua:

  1 ω

  = T β

  5. Tentukan penguatan kompensator K melalui:

  c K K α

  = c

CONTOH SOAL

• KOMPENSASI LAG-LEAD
• Kompensator Lead:
• memperbesar bandwidth:
• mempercepat respons,
• memperkecil % M

  p pada respons step.

• Kompensator Lag:
• - memperbesar gain pada frekuensi rendah

  (akurasi steady state membaik), - memperlambat respons (bandwidth mengecil).

• Kompensator Lag-Lead:
• - memperbesar bandwidth dan
• - memperbesar gain pada frekuensi rendah.
• Karakteristik Kompensator Lag- Lead

•     
•     

•     
•     

• Polar Plotnya (K

  bagian lead (

  =

  γ

  ) dengan:

  ω

  1 1 2

  1 =

  T T

  1

  ω

  <

  ω

  < ~ ) bagian lag (0 <

  ω

  <

  ω

  1

  β

  c

  = 1;

   > > ⇓ ⇓

  G s K s T s T s

  T s

T

lead lag ^{c c}

  ( ) ; ;

  =

  

  

  

  1

  γ β

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  

2

  

2

γ β

  )

• Diagram Bode nya (K = 1; = = 10; T = 10T )

  c β γ

  2

  1

• Prosedur Perancangan:

  Kombinasi prosedur Perancangan untuk Kompensasi Lead dan Kompensasi Lag.

  Anggap OLTF sistem semula G(s) dan kompensator

      T s T s

  1

  1

 

+ +

  1

  2  

  G s K ( )

  = ^{c c  } + T β T s

  1  

 

  

2

s

  1  

• 1

  β      

  1

  1 s s

•    

  T T    

  1

  2 K = _c

  β    1  s s

•    

  T β T    

  1

  2 dengan

  : β

  >

  1

CONTOH SOAL:

• Kontroler PI :

•    

• Kompensator Lag:
• >
• Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s= - 1/ T
• Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady state.
• Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.

  i

  dan T

  p

  pada frekuensi 0)

  ∞

  dan pole pada s= 0 (penguatan

  i

  1

  1

  1

  β β β

  ( ) ;

  =

  G s K

Ts

Ts

^{c c}

  1

  1

  1

     =

  = +   

  ( )

  T s s ^{c p} _i ^p _i ⁱ

  G s K T s K T

  Kontroler PI dan Kompensator Lag:

  harus cermat agar diperoleh respons transient memadai: overshoot kecil atau nol, tetapi respons lebih lambat.

• Pemilihan nilai K

  Kontroler PD dan Kompensator Lead Kontroler PD:

1 T s )

  = c p d

• G s ( ) K (

  Kompensator Lead:

• Ts

  

1

G s K α α ( ) ( 1 )

  = < <

  α Ts

• +

  c c

  1

• Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead.
• K ditentukan dari spesifikasi steady state

  p

• Frekuensi sudut 1/ T dipilih agar phase lead terjadi

  d sekitar .

  ω gco

  Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler naik terus untuk frekuensi tinggi > 1/ T , sehingga

  ω d memperkuat derau pada frekuensi tinggi.

• Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan kontroler PD.
• Kontroler PD tak dapat direalisasikan dengan elemen pasif RLC, harus dengan Op Am, R dan C.
• Realisasi dengan rangkaian elektronik dapat menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik.

• Kontroler PD memperbaiki karakteristik respons transient (t < , % M < ).

  r p

• Kontroler PI D:

•     
• Kompensator Lag-Lead:
•     
•     
•     
•     
• Bode Plot Kontroler PI D untuk
• Kontroler PI D adalah Kompensator Lag-Lead.

  1

  2

0 1

  ( ) ( , )( ) =

  G s s s s c

  γ β

  1 ¹ ₁ ² ₂

γ

β

  1

  1

  1

  

1

   > > ⇓ ⇓

  

  

  

  ( ) ; ; =

  T s T lead lag ^{c c}

  G s K s

T

s

T

s

  2

  1

  1

  1

  

  = + + =

  ( ) ( )

  T T T s T s s ^{c p i d p} _i ^{i d i}

  G s K T s T s K

  Kontroler PI D dan Kompensator Lag-Lead:

  1 Fig 7-47 p595

• Bila K dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil

  p kondisional.