Soal soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN SNMPTN 2012

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 1

Soal-Soal dan Pembahasan

Matematika IPA

SNMPTN 2012

Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

1. Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik... A. ( -6, 4 ) C. ( -1, 4 ) E. ( 5 , 4 ) B. ( 6 , 4) D. ( 1, 4 )

Jawab:

BAB XI Lingkaran

Masukkan nilai y=4 pada persamaan (x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25

(x + 6)2 = 25 – 25 = 0 x = -6

Didapat titik x = -6 dan y = 4  (-6,4)

Jawabannya A

2. Jika 2x3 – 5x2 – kx + 18 dibagi x - 1 mempunyai sisa 5, maka nilai k adalah... A. -15 C. 0 E. 10

B. -10 D. 5 Jawab:

BAB XII Suku Banyak

Metoda Horner

x3 x2 x

x = 1 2 -5 -k 18

= kalikan dengan x =1 2 -3 -3 - k +

2 -3 ( -3- k) (15 – k)  sisa =5

15 – k = 5

k = 15 – 5 = 10

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 2

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 1, dan x = 2 adalah...

A. ∫ ( 1− ) C. ∫ ( −1) E. ∫ ( −1) B. ∫ ( −1) D. ∫ ( 1− )

Jawab

BAB XVI Integral

Buat sketsa gambar untuk mengetahui batas luas:

terlihat bahwa bidang luasnya (arsiran) bagian atasnya adalah y = x2 dan bagian bawahnya y = 1 dengan dibatasi oleh batas atas x = 2 dan batas bawah x =1. Dalam notasi integralnya :

L =



b

a

y2dx -



b

a

y1dx =



 b

a

y y2 1)

( dx

∫ ( −1)

Jawabannya C

4. ( )

( )

= ....

A. C. E.

B. D.

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 3 Jaw ab:

BAB VII Trigonomet ri

( )

( )

=

=

=

+ = 1

2 sin cos = 2

Jaw abannya E

5. Lingkaran (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25 memotong sumbu –x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = ...

A. C. E. B. D.

Jawab:

BAB XI Lingkaran dan BAB VII Trigonometri

Sketsa gambar:

Lingkaran dengan pusat (3,4) APB merupakan segitiga.

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 4 Untuk menjawab soal ini digunakan teorema di bawah ini:

Aturan sinus dan cosinus C

b  a   A c B Aturan cosinus

1. a2= b2+ c2 - 2bc cos  2. 2

b = 2

a + 2

c - 2ac cos  3. c2= a2+ b2 - 2ab cos  Kita pakai rumus (3) c = AB = 6

a = b = AP = PB = √3 + 4 = √25 = 5

2

c = 2

a + 2

b - 2ab cos P

2ab cos P = + −

cos P =

=

. . .

= =

Jaw abannya A

6. Grafik fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 12 naik jika....

A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0 B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0 C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0

Jawab:

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 5

Syarat fungsi naik ( ) > 0

3ax2 - 2bx + c > 0

 fungsi naik ( - , 0, + ) * variabel x2 > 0

3a > 0 a > 0

* D < 0  karena ( ) > 0 , maka tidak ada titik potong dan singgung di sb x sehingga D < 0

(-2b)2 – 4.3a.c < 0 4b2 – 12.a.c < 0 b2 – 3 ac < 0

didapat a > 0 dan b2 – 3 ac < 0

Jawabannya D

7.

→

0

= ....

A. -1 C. 1 E. √3

B. -0 D. √ Jawab:

XIV Limit Fungsi

→ 0 = →0

=

→0

=

→ 0 1. 1.

= = = = 1

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 6

8. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing-masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah...

A. 10 C. 24 E. 96 B. 14 D. 54

Jawab:

BAB X Peluang

Dari 6 orang, 2 orang sebagai pemilik mobil dan mengemudikan mobil masing-masing.

Sehingga yang dicari adalah probabilitas untuk 6 – 2 = 4 orang.

Masing-masing mobil mempunyai kapasitas untuk 4 orang termasuk pengemudi.

Jumlah cara yang mungkin: Mobil 1 Mobil 2 1. 3 orang 1 orang 2. 2 orang 2 orang 3. 1 orang 3 orang ada 3 cara penyusunan :

4 3

C , C dan ₂4 C₁4

Banyak cara penyusunan adalah total 3 cara penyusunan tsb:

4 3

C + C + ₂4 C = ₁4

)! 3 4 ( ! 3

! 4

 + 2!(4 2)! ! 4

 + 1!(4 1)! ! 4



= 4 + 6 + 4 = 14 cara Jawabannya B

9. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali

banyak bola putih yang terambil adalah ....

A. C. E. B. D.

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 7

Jawab:

BAB X Peluang

Peluang banyak bola merah terambil = PM

Peluang banyak bola putih terambil = PP Peluang banyak bola biru terambil = PB

Peluang yang dicari adalah peluang terambilnya 4 bola merah, 2 bola putih dan 1 bola biru.

Peluangnya = P (PM ∩ PP ∩ PB ) =

=

!

!( ) ! !

!( ) ! !

!( ) !

!

!( ) !

=

= =

Jawabannya B

10. Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 12 dan TA = TB = TC = 10. Jarak dari titik T ke bidang ABC adalah....

A. 2 √13 C. 8 E. 4 √3

B. √13 D. 5 √3 Jawab:

BAB VIII Dimensi Tiga T

10 10

C 12 D

A O B 12

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 8

Teorema titik berat: TA = 10

AO = AD DO = AD

AD = √ −  BD = ½ BC = ½ .12 = 6 AD = √12 − 6

= √144− 36 =√108 = 6√3

AO = AD = .6 √3 = 4√3

TO = √ − = 10 −( 4√3)

= √100−48

= √52 = 2√13 Jawabannya A

11. Nilai cos x – sin x > 0 jika ....

A. < x < D. < x < B. < x < E. < x < C. < x <

Jawab:

BAB VII Trigonometri cos x – sin x > 0 cos x – sin x = 0 cos x = sin x

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 9

gunakan garis bilangan: cos x – sin x > 0

+ + - - - - - - - - + + + + + + 0

π

2π

daerahnya adalah 0≤ x <

atau

<x

≤

2π

jawaban yang memenuhi adalah < x < karena masuk di daerah

<x

≤

2π Jawabannya E

12. Diketahui vektor

⃗

dan vektor

⃗

membentuk sudut . Jika panjang proyeksi

⃗

pada

⃗

sama dengan dua kali panjang

⃗

, maka perbandingan panjang

⃗

terhadap panjang

⃗

adalah...

A. 1 : 2cos C. 2cos : 1 E. cos : 2 B. 2 : cos D. 1 : cos

Jawab:

BAB XX Vektor

Proyeksi skalar ort ogonal / Panjang Pr oyeksi

U

⃗



⃗

0

⃗

R V | OR | = |

⃗

| = ⃗ .⃗

| |⃗  Proyeksi skalar ortogonal

⃗

pada

⃗

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

|⃗| = 2 |⃗|

2 |⃗| = ⃗ .⃗ | |⃗

= ⃗ ⃗cos

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 10

2 |⃗| = ⃗ cos

cos = ⃗

|⃗|  2 : cos Jawabannya B

13. Vektor

⃗

dicerminkan terhadap garis y = x. Kemudaian hasilnya diputar terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor

⃗

. Jika

⃗

= A

⃗

,

maka matriks A = ...

A. cos sin

−sin cos

0 1

1 0 D.

cos sin

−sin cos

0 −1

−1 0

B. 0 1

1 0

cos −sin

sin cos E.

1 0

0 −1

cos sin

−sin cos

C. cos −sin

sin cos

0 1

1 0

Jawab:

BAB XXI Transformasi Geometri dan BAB VII Trigonometri Pencerminan terhadap garis y = x, Matriksnya = M1 =

    0 1 1 0

Rotasi terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, Matriksnya =M2 =

Teori yang ada adalah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam: x = r cos α

y = r sin α

Jika rotasi searah dengan arah jarum jam maka: x = r cos α

y = - r sin α sehingga :

= r cos ( α+ )

= r cos α cos - r sin α sin = x cos + y sin

=- - r sin ( α+ )

= - r sin α cos - r cos α sin = y cos - x sin

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 11     ' ' y x =    

sin cos sin cos     y x

Matriknya = M2 =

  



sin cos sin cos

Matriks A = M2. M1

=

  



sin cos sin cos     0 1 1 0

Jaw abannya A

14. Diberikan persamaan sin x = ,

, . Banyak bilangan bulat a sehingga persamaan

tersebut mempunyai penyelesaian adalah....

A. 1 C. 3 E. 6 B. 2 D. 4

Jawab:

BAB V Pertidaksamaan

Persamaan mempunyai penyelesaian jika | sin x | ≤ 1

-1 ≤ sin x ≤ 1 -1 ≤ ,

, ≤ 1

Untuk ,

, ≤ 1

−1,5≤ 2 −0,5 a – 1,5 – 2 + 0,5a ≤ 0 1,5a – 3,5 ≤ 0

1,5a ≤ 3,5 a ≤ ,

,

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 12

Untuk -1≤ ,

,

− ( 2 −0,5 ) ≤ −1,5 −2 + 0,5a ≤ −1,5 -2 + 0,5a – a + 1,5 ≤ 0 -0,5 – 0,5a ≤ 0

-0,5 ≤ 0,5a

-1 ≤ a ⟺ a ≥ -1....(2)

dari (1) dan (2) didapat nilai a: -1 ≤ a ≤

Himpunan Penyelesaian yang merupakan bilangan bulat adalah {-1, 0, 1, 2 } Jumlahnya adalah 4

Jawabannya D

15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... A. 1 C. E. 0

B. D. Jawab:

p(x) = ax2 + bx + 1

p(x) tidak mempunyai akar apabila D < 0 b2 – 4. a. 1 < 0

b2 < 4a

⟺ a >

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 13

a > adalah daerah yang diarsir (nilai a dan b yg memenuhi)

ingat bahwa range a dan b adalah 0 s/d 3

sehingga banyak kemungkinan sampelnya adalah :

luas persegi = 3 x 3 =9 n(S)

Luas yang diarsir = luas persegi – luas yg tidak terarsir

Luas yang tidak terarsir = ∫ db

= | = . 33 = =

Luas yang diarsir = 9 - = = n(A)

P(A) = ( )

( ) = = =

Jawabannya B

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 8 Teorema titik berat:

TA = 10 AO = AD DO = AD

AD = √ −  BD = ½ BC = ½ .12 = 6 AD = √12 − 6

= √144− 36 =√108 = 6√3

AO = AD = .6 √3 = 4√3 TO = √ −

= 10 −( 4√3)

= √100−48 = √52 = 2√13 Jawabannya A

11. Nilai cos x – sin x > 0 jika ....

A. < x < D. < x < B. < x < E. < x < C. < x <

Jawab:

BAB VII Trigonometri cos x – sin x > 0 cos x – sin x = 0 cos x = sin x

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 9 gunakan garis bilangan:

cos x – sin x > 0

+ + - - - - - - - - + + + + + + 0

π

2π

daerahnya adalah 0≤ x <

atau

<x

≤

2π

jawaban yang memenuhi adalah < x < karena masuk di daerah

<x

≤

2π Jawabannya E

12. Diketahui vektor

⃗

dan vektor

⃗

membentuk sudut . Jika panjang proyeksi

⃗

pada

⃗

sama dengan dua kali panjang

⃗

, maka perbandingan panjang

⃗

terhadap panjang

⃗

adalah...

A. 1 : 2cos C. 2cos : 1 E. cos : 2 B. 2 : cos D. 1 : cos

Jawab:

BAB XX Vektor

Proyeksi skalar ort ogonal / Panjang Pr oyeksi

U

⃗



⃗

0

⃗

R V | OR | = |

⃗

| = ⃗ .⃗

| |⃗  Proyeksi skalar ortogonal

⃗

pada

⃗

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

|⃗| = 2 |⃗| 2 |⃗| = ⃗ .⃗

| |⃗ = ⃗ ⃗cos

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 10 2 |⃗| = ⃗ cos

cos = ⃗

|⃗|  2 : cos Jawabannya B

13. Vektor

⃗

dicerminkan terhadap garis y = x. Kemudaian hasilnya diputar terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor

⃗

. Jika

⃗

= A

⃗

,

maka matriks A = ...

A. cos sin −sin cos

0 1

1 0 D.

cos sin

−sin cos

0 −1

−1 0 B. 0 1

1 0

cos −sin

sin cos E.

1 0

0 −1

cos sin

−sin cos C. cos −sin

sin cos

0 1

1 0 Jawab:

BAB XXI Transformasi Geometri dan BAB VII Trigonometri

Pencerminan terhadap garis y = x, Matriksnya = M1 =

   

0 1

1 0

Rotasi terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, Matriksnya =M2 = Teori yang ada adalah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam:

x = r cos α y = r sin α

Jika rotasi searah dengan arah jarum jam maka: x = r cos α

y = - r sin α sehingga :

= r cos ( α+ )

= r cos α cos - r sin α sin = x cos + y sin

=- - r sin ( α+ )

= - r sin α cos - r cos α sin = y cos - x sin

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 11     ' ' y x =    

sin cos

sin cos     y x

Matriknya = M2 =

  



sin cos

sin cos

Matriks A = M2. M1 =

  



sin cos

sin cos     0 1 1 0

Jaw abannya A

14. Diberikan persamaan sin x = ,

, . Banyak bilangan bulat a sehingga persamaan tersebut mempunyai penyelesaian adalah....

A. 1 C. 3 E. 6 B. 2 D. 4

Jawab:

BAB V Pertidaksamaan

Persamaan mempunyai penyelesaian jika | sin x | ≤ 1

-1 ≤ sin x ≤ 1 -1 ≤ ,

, ≤ 1

Untuk , , ≤ 1 −1,5 ≤ 2 −0,5 a – 1,5 – 2 + 0,5a ≤ 0 1,5a – 3,5 ≤ 0

1,5a ≤ 3,5 a ≤ ,

,

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 12 Untuk -1≤ ,

,

− ( 2 −0,5 ) ≤ −1,5 −2 + 0,5a ≤ −1,5 -2 + 0,5a – a + 1,5 ≤ 0 -0,5 – 0,5a ≤ 0

-0,5 ≤ 0,5a

-1 ≤ a ⟺ a ≥ -1....(2)

dari (1) dan (2) didapat nilai a: -1 ≤ a ≤

Himpunan Penyelesaian yang merupakan bilangan bulat adalah {-1, 0, 1, 2 } Jumlahnya adalah 4

Jawabannya D

15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... A. 1 C. E. 0

B. D. Jawab:

p(x) = ax2 + bx + 1

p(x) tidak mempunyai akar apabila D < 0 b2 – 4. a. 1 < 0

b2 < 4a ⟺ a >

w w w .pur w antow ahyudi.com Hal - 13 a > adalah daerah yang diarsir (nilai a dan b yg memenuhi)

ingat bahwa range a dan b adalah 0 s/d 3

sehingga banyak kemungkinan sampelnya adalah :

luas persegi = 3 x 3 =9 n(S)

Luas yang diarsir = luas persegi – luas yg tidak terarsir Luas yang tidak terarsir = ∫ db

= | = . 33 = = Luas yang diarsir = 9 - = = n(A)

P(A) = ( )

( ) = = = Jawabannya B