Modul Matematika SMA dan Soal Latihan

LOGIKA MATEMATIKA
C. Ekivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekivalen jika memiliki nilai kebenaran
yang sama, ditulis p ≡ q
Salah satu cara untuk membuktikan ekivalensi ini adalah dengan menggunakan tabel.
Sebelumnya akan diingatkan kembali nilai kebenaran untuk empat pernyataan
majemuk yakni konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
p

q

pɅq

p→q

p↔q

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

S

S

B

B

pVq

Untuk lebih jelasnya tentang ekivalensi, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini :
(a) –(p  q) ≡ p  –q
(b) p ↔ q ≡ (p  q)  (q  p)
Jawab
(a) –(p → q) ≡ p  –q
p

q

–q

B

B

S

B

S

S
S

p→q

–(p → q)

p Ʌ –q

B

S

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

S

S

Karena kolom ke 5 dan ke-6 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka
kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi

Logika Matematika

1

(b) p ↔ q ≡ (p → q) Ʌ (q → p)
p

q

p→q

q→p

p↔q

(p → q) Ʌ (q → p)

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

B

B

B

Karena kolom ke 5 dan ke-6 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka

kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
02. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini :
(a) (p Ʌ q) V –p ≡ p → q
(b) (p  –q)  q ≡ –q  (q V –p)
Jawab
(a) (p Ʌ q) V –p ≡ p → q
p

q

–p

pɅq

(p Ʌ q) V –p

p→q

B

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

B

B

S

B

B

S

S

B

S

B

B

Karena kolom ke 5 dan ke-6 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka
kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
(b) (p Ʌ –q) → q ≡ –q → (q V –p)
p

q

–p

–q

p Ʌ –q

q V –p

(p Ʌ –q) → q –q → (q V –p)

B

B

S

S

S

B

B

B

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

Karena kolom ke 6 dan ke-7 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka
kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi

Logika Matematika

2

03. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini :
(a) p Ʌ (q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
(b) p  (q v r) ≡ (p  q) v (p  r)
Jawab
(a) p Ʌ (q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
qVr

pɅq

pɅr

p Ʌ (q V r)

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

S

S

B

S

B

S

S

S

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

p

q

r

B

B

B

(p Ʌ q) V (p Ʌ r)

Karena kolom ke 7 dan ke-8 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka
kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
(b) p → (q V r) ≡ (p → q) V (p → r)
qVr

p→q

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

B

B

p

q

r

B

B

B

p→r

p → (q V r) (p → q) V (p → r)

Karena kolom ke 7 dan ke-8 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka
kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar
Jika pada tautologi tersebut memuat implikasi, maka tautologi tersebut dinamakan
Implikasi logis. Sedangkan Jika pada tautologi tersebut memuat biimplikasi, maka
tautologi tersebut dinamakan Bimplikasi logis.

Logika Matematika

3

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah
Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya memuat
benar dan salah.
Untuk lebih jelasnya tentang tautologi, kontradiksi dan kontingensi, ikutilah contoh
soal berikut ini :
04. Dengan menggunakan tabel, selidikilah apakah pernyataan majemuk berikut ini
tautologi, kontradiksi atau kontingensi
(a) (p  –q)  (q  –p)
(b) [p V (q → r)] Ʌ [p V r]
(c) (p → q) ↔ (p Ʌ –q)
Jawab
(a) (p → –q) ↔ (q → –p)
p

q

–p

–q

p → –q

q → –p

(p → –q) ↔ (q → –p)

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

S

S

B

B

B

B

B

Karena kolom terakhir berisi nilai benar semua, maka kalimat majemuk
tersebut terbukti sebuah tautologi
(b) [p V (q → r)] Ʌ [p V r]
q→r

pVr

[p V (q → r)]

[p V (q → r)] Ʌ [p V r]

p

q

r

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

S

Karena kolom terakhir berisi nilai benar dan nilai salah, maka kalimat
majemuk tersebut terbukti sebuah kontingensi

Logika Matematika

4

(c) (p → q) ↔ (p Ʌ –q)
p

q

–q

p→q

(p Ʌ –q)

(p → q) ↔ (p Ʌ –q)

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

S

Karena kolom terakhir berisi nilai salah semua, maka kalimat majemuk
tersebut terbukti sebuah kontradiksi

Logika Matematika

5