Modul Matrikulasi Matematika SMA Dan Soal Latihan
BAB I
BILANGAN BULAT
A. MATERI
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif
(bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dapat di gambarkan dalam bentuk
garis bilangan :
dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan
tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil.
Misalnya:
-2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;
0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;
-5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5
….
-3;
-4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 ….
-6.
INVERS / LAWAN BILANGAN BULAT
Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Misalnya :
a. Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
b. Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
c. Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = ….
d. Lawan dari 3 adalah …. , sebab 3 + ( …. ) = 0
e. Lawan dari ….
adalah -10, sebab …. + (-10) = 0
f. Lawan dari 0 adalah …. , sebab 0 + ….
=0
SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT
1. Penjumlah dan Pengurangan Bilangan Bulat
1.1 Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat
1.1.1. Sifat tertutup : a + b = n jika a dan b adalah bilangan bulat, maka n adalah bilangan bulat.
1.1.2. Sifat komutatif : a + b = b + a
1.1.3. Sifat assosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
1.1.4. Unsur identitas penjumlahan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dijumlahkan dengan
bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.
1.1.5. Invers/lawan penjumlahan : Jika a adalah bilangan bulat, maka lawan dari a adalah -a
yang jika saling dijumlahkan akan menghasilkan bilangan nol "0". a + (-a) = 0
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 1
a. Model a + b = b + a
d. Model a + (-b) = a - b
contoh : 24 + 13 = 13 + 24 = 37
b. Model -a + b = b - a, jika b > a
contoh : 23 + (-4) = 23 - 4 = 19
e. Model -a + (-b) = - (a + b)
contoh : -23 + 26 = 26 - 23 = 3
contoh : -68 + (-15) = - (68 + 15) = -83
c. Model -a + b = - (a - b), jika a > b
contoh : -24 + 8 = - (24 - 8) = 16
1.2. Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat
1.2.1. Sifat Tertutup : Untuk setiap a, b anggota himpunan bilangan bulat, jika a – b = c maka c
pasti anggota bilangan bulat.
1.2.2. Unsur identitas pengurangan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dikurangkan dengan
bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.
1.2.3. Pengurangan pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.
a. Model a - (-b) = a + b
c. Model -a - (-b) = -a + b = b - a, jika b > a
contoh : 23 - (-33) = 23 + 33 = 56
b. Model -a - b = - (a + b)
contoh : -22 - (-41) = -22 + 41 = 41 - 22 = 17
d. Model -a - (-b) = -a + b = - (a - b), jika a > b
contoh : -55 - 25 = - (55 + 25) = 80
contoh :
-43 – (-13) = -43 + 13 = - (43 - 13) = 30
2. Perkalian bilangan bulat
2.1 Sifat-sifat perkalian bilangan bulat :
2.1.1 Bersifat tertutup: Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a × b akan menghasilkan
bilangan bulat juga.
2.1.2 Sifat komutatif : a × b = b × a
2.1.3 Unsur identitas perkalian adalah 1 : Jika a adalah bilangan bulat dikalikan dengan 1 maka
hasilnya adalah bilangan itu sendiri. a × 1 = a
2.1.4 Perkalian dengan nol, Jika a adalah bilangan bulat dan dikalikan dengan "0", maka
hasilnya adalah "0". a × 0 = 0
2.1.5 Sifat Assosoatif : a × (b × c) = (a × b) × c
2.1.6 Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
2.1.7 Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, a × (b - c) = (a × b) - (a × c)
2.2 Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat
2.2.1 Bersifat Terbuka : Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a : b belum tentu
menghasilkan bilangan bulat.
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 2
2.2.2 Unsur identitas : Jika a adalah bilangan bulat dibagi dengan 1 maka hasilnya adalah
bilangan itu sendiri.
2.2.3 Pembagian pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Jika a suatu bilangan bulat bila dibagi dengan b bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga
jika a habis dibagi oleh b. Ciri-ciri suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat lainnya dapat
dilihat pada tabel di bawah ini :
Habis dibagi
2
3
4
5
6
7
Ciri-ciri
Digit terakhirnya bilangan genap
Jumlah digitnya habis dibagi dengan 3
Dua digit terakhirnya habis dibagi 4
Digit terakhirnya 0 atau 5
Jumlah dari semua digit habis dibagi 3 dan digit satuannya genap
M habis dibagi 6, dimana M adalah bilangan yang lebih kecil yang
berasal dari bilangan N yang ditambahkan dua kali pada digit terakhir
8
9
11
12
dari bilangan yang dibentuk dari sisa digit.
Tiga digit terakhir habis dibagi dengan 8
Jumlah digitnya habis dibagi dengan 9
Selisih digit-digit pada tempat ganjil dan tempat genap adalah 0
Bilangan yang dibentuk dua digit terakhir habis dibagi 4 dan jumlah
digitnya habis dibagi 3
Pola Perkalian Bilangan Bulat
(+) x (+) = (+)
(+) x (–) = (–)
(–) x (+) = (–)
(–) x (–) = (+)
Pola Pembagian Bilangan Bulat
(+) : (+) = (+)
(+) : (–) = (–)
(–) : (+) = (–)
(–) : (–) = (+)
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung,
pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah
kiri dikerjakan terlebih dahulu.
b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) sama kuat artinya operasi yang terletak di sebelah kiri
dikerjakan terlebih dahulu.
c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan
pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu
daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).
B. PENERAPAN
Penerapan pada Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru
Para peserta seleksi penerimaan mahasiswa baru (SPMB) pada ujian matematika ditetapkan aturan
bahwa jika siswa menjawab benar suatu butir soal diberi skor 4, jika tidak menjawab diberi skor 0, dan
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 3
jika menjawab salah diberi skor -1.Misalnya, jika ada 40 soal. Kamu bisa menjawab 25 soal dan dari
jawaban soal tersebut ternyata yang benar hanya 10 soal. Berapakah nilai kamu jadinya?
Jawab :
C. PEMAHAMAN KONSEP
1. Lengkapi titik-titik berikut dengan tanda ">" atau "
BILANGAN BULAT
A. MATERI
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif
(bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dapat di gambarkan dalam bentuk
garis bilangan :
dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan
tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil.
Misalnya:
-2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;
0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;
-5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5
….
-3;
-4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 ….
-6.
INVERS / LAWAN BILANGAN BULAT
Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Misalnya :
a. Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
b. Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
c. Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = ….
d. Lawan dari 3 adalah …. , sebab 3 + ( …. ) = 0
e. Lawan dari ….
adalah -10, sebab …. + (-10) = 0
f. Lawan dari 0 adalah …. , sebab 0 + ….
=0
SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BULAT
1. Penjumlah dan Pengurangan Bilangan Bulat
1.1 Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat
1.1.1. Sifat tertutup : a + b = n jika a dan b adalah bilangan bulat, maka n adalah bilangan bulat.
1.1.2. Sifat komutatif : a + b = b + a
1.1.3. Sifat assosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
1.1.4. Unsur identitas penjumlahan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dijumlahkan dengan
bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.
1.1.5. Invers/lawan penjumlahan : Jika a adalah bilangan bulat, maka lawan dari a adalah -a
yang jika saling dijumlahkan akan menghasilkan bilangan nol "0". a + (-a) = 0
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 1
a. Model a + b = b + a
d. Model a + (-b) = a - b
contoh : 24 + 13 = 13 + 24 = 37
b. Model -a + b = b - a, jika b > a
contoh : 23 + (-4) = 23 - 4 = 19
e. Model -a + (-b) = - (a + b)
contoh : -23 + 26 = 26 - 23 = 3
contoh : -68 + (-15) = - (68 + 15) = -83
c. Model -a + b = - (a - b), jika a > b
contoh : -24 + 8 = - (24 - 8) = 16
1.2. Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat
1.2.1. Sifat Tertutup : Untuk setiap a, b anggota himpunan bilangan bulat, jika a – b = c maka c
pasti anggota bilangan bulat.
1.2.2. Unsur identitas pengurangan adalah 0 : Suatu bilangan bulat jika dikurangkan dengan
bilangan nol "0", maka hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.
1.2.3. Pengurangan pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.
a. Model a - (-b) = a + b
c. Model -a - (-b) = -a + b = b - a, jika b > a
contoh : 23 - (-33) = 23 + 33 = 56
b. Model -a - b = - (a + b)
contoh : -22 - (-41) = -22 + 41 = 41 - 22 = 17
d. Model -a - (-b) = -a + b = - (a - b), jika a > b
contoh : -55 - 25 = - (55 + 25) = 80
contoh :
-43 – (-13) = -43 + 13 = - (43 - 13) = 30
2. Perkalian bilangan bulat
2.1 Sifat-sifat perkalian bilangan bulat :
2.1.1 Bersifat tertutup: Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a × b akan menghasilkan
bilangan bulat juga.
2.1.2 Sifat komutatif : a × b = b × a
2.1.3 Unsur identitas perkalian adalah 1 : Jika a adalah bilangan bulat dikalikan dengan 1 maka
hasilnya adalah bilangan itu sendiri. a × 1 = a
2.1.4 Perkalian dengan nol, Jika a adalah bilangan bulat dan dikalikan dengan "0", maka
hasilnya adalah "0". a × 0 = 0
2.1.5 Sifat Assosoatif : a × (b × c) = (a × b) × c
2.1.6 Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
2.1.7 Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, a × (b - c) = (a × b) - (a × c)
2.2 Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat
2.2.1 Bersifat Terbuka : Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a : b belum tentu
menghasilkan bilangan bulat.
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 2
2.2.2 Unsur identitas : Jika a adalah bilangan bulat dibagi dengan 1 maka hasilnya adalah
bilangan itu sendiri.
2.2.3 Pembagian pada bilangan bulat tidak memiliki sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Jika a suatu bilangan bulat bila dibagi dengan b bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga
jika a habis dibagi oleh b. Ciri-ciri suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat lainnya dapat
dilihat pada tabel di bawah ini :
Habis dibagi
2
3
4
5
6
7
Ciri-ciri
Digit terakhirnya bilangan genap
Jumlah digitnya habis dibagi dengan 3
Dua digit terakhirnya habis dibagi 4
Digit terakhirnya 0 atau 5
Jumlah dari semua digit habis dibagi 3 dan digit satuannya genap
M habis dibagi 6, dimana M adalah bilangan yang lebih kecil yang
berasal dari bilangan N yang ditambahkan dua kali pada digit terakhir
8
9
11
12
dari bilangan yang dibentuk dari sisa digit.
Tiga digit terakhir habis dibagi dengan 8
Jumlah digitnya habis dibagi dengan 9
Selisih digit-digit pada tempat ganjil dan tempat genap adalah 0
Bilangan yang dibentuk dua digit terakhir habis dibagi 4 dan jumlah
digitnya habis dibagi 3
Pola Perkalian Bilangan Bulat
(+) x (+) = (+)
(+) x (–) = (–)
(–) x (+) = (–)
(–) x (–) = (+)
Pola Pembagian Bilangan Bulat
(+) : (+) = (+)
(+) : (–) = (–)
(–) : (+) = (–)
(–) : (–) = (+)
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung,
pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah
kiri dikerjakan terlebih dahulu.
b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) sama kuat artinya operasi yang terletak di sebelah kiri
dikerjakan terlebih dahulu.
c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian ( : ) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan
pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu
daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).
B. PENERAPAN
Penerapan pada Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru
Para peserta seleksi penerimaan mahasiswa baru (SPMB) pada ujian matematika ditetapkan aturan
bahwa jika siswa menjawab benar suatu butir soal diberi skor 4, jika tidak menjawab diberi skor 0, dan
Modul Matrikulasi Matematika – SMAKIM – 2013/1014
Page 3
jika menjawab salah diberi skor -1.Misalnya, jika ada 40 soal. Kamu bisa menjawab 25 soal dan dari
jawaban soal tersebut ternyata yang benar hanya 10 soal. Berapakah nilai kamu jadinya?
Jawab :
C. PEMAHAMAN KONSEP
1. Lengkapi titik-titik berikut dengan tanda ">" atau "