BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf - BAB II DEBBY INDIAN NIRANDI MTK 13

BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis

  dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex) dan E adalah himpunan sisi (mungkin kosong) yang menghubungkan sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Sisi e = (u,v) dapat ditulis e = uv (Chartrand dan Lesniak, 1996). Sebagai contoh: V(G

  1 ) = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } dan E(G 1 ) =

  {v

  1 v 2 , v 2 v 3 , v 3 v 4 }.

  Sisi yang menghubungkan dua titik yang sama disebut loop. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi tersebut dinamakan sisi ganda (multiple edge). Suatu graf yang mengandung loop atau mengandung sisi ganda dinamakan multigraf.

  v e ₁ v ⁵ ₁ v ₃ e ₄ e e _{2 1} e e _{1 3} e ₂ v ₃ v v v _{2 4} ² e ₃

  (a) (b)

Gambar 2.1. Graf (a) dan Multigraf (b)

  5

Gambar 2.1 adalah contoh multigraf karena mengandung loop, yaitu sisi e

  5 dan mengandung sisi ganda yaitu sisi e 2 dan e 3 . Banyaknya unsur di V

  disebut order dari G dinotasikan dengan n(G) dan banyaknya unsur di E disebut size dari G dinotasikan dengan m(G). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan size dari G tersebut cukup ditulis dengan n dan

  m (Chartrand dan Lesniak, 1996). Gambar 2.1 terlihat bahwa, Graf G

  1

  mempunyai 4 titik sehingga order G adalah n = 4 dapat ditulis n(G

  1 ) = 4 dan mempunyai 3 sisi sehingga size graf G adalah m = 3 dapat ditulis m(G ) = 3.

  1

  1 2.

   Terminologi Dasar pada Graf

  Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut bertetangga (adjacent), u dan e serta v dan e disebut bersisian (incident). Sebagai contoh diberikan graf G yang memuat himpunan titik V = {u, v, w, x} dan himpunan sisi

  E = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } berikut: u e _{1 e 4} v x e ₂ e ₅ e ₃ w

Gambar 2.2. Graf G

  Pada Gambar 2.2, titik yang bertetangga di graf G adalah titik v dan

  u , titik v dan x, titik x dan w, titik w dan v, titik u dan x, dapat dikatakan

  bahwa titik v adjacent dengan u, titik v adjacent dengan x, titik x adjacent dengan w, titik w adjacent dengan v, titik u adjacent dengan x. Berikut merupakan titik yang bersisian (incident) pada graf G: u dan e

  1 serta v dan e 1 , v dan e 2 serta x dan e 2 , w dan e 3 serta x dan e 3 , x dan e 4 serta u dan e 4 , v

  dan e

  5 serta w dan e 5 .

  Derajat dari titik v di graf G, adalah banyaknya sisi di G yang bersisian (incident) dengan v (Chartrand dan Leniak, 1996). Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan degG(v) disingkat menjadi deg(v). Titik yang berderajat genap disebut titik genap (even

  

vertices ) dan titik yang berderajat ganjil disebut titik ganjil (odd vertices).

  Titik yang berderajat nol disebut isolated vertices dan titik yang berderajat satu disebut titik ujung (end vertices) (Chartrand dan Leniak, 1996).

  Diberikan contoh graf G yang akan ditentukan derajat titiknya:

  e ₄ v ^{1 v}

³

e e _{5 2} e ₁

e

₃

v ₂

v

⁴

Gambar 2.3. Graf yang akan dicari derajat titiknya

  Berdasarkan gambar 2.3, diperolah bahwa deg(v ) = 3

  1

  deg(v

  2 ) = 2

  deg(v ) = 3

  3

  deg(v

  4 ) = 2 Titik v

  1 dan v 3 adalah titik ganjil, titik v 2 dan v 4 adalah titik genap.

  Karena tidak ada yang berderajat 1, maka graf G tidak mempunyai titik ujung. Hubungan antara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf G dengan banyak sisi, dinyatakan dalam teorema berikut:

  Teorema 1

  Jumlah derajat semua titik pada graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Jika G(V, E) dengan m merupakan banyaknya unsur di E maka:

  Akibat 1 Pada sebarang graf, jumlah derajat titik ganjil adalah genap. Bukti:

  Misalkan graf G dengan size m. Misalkan W himpunan yang memuat titik ganjil pada G serta U himpunan yang memuat titik genap di G.

  Karena deg(v) genap untuk v U, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan pada persamaan di atas juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua ruas kiri adalah genap sehingga

  Genap + genap = genap Karena deg(v) ganjil untuk v W, maka banyaknya simpul v di dalam W harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap.

3. Beberapa Graf Sederhana Khusus

  Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung loop maupun sisi ganda. Ada beberapa graf sederhana khusus yang dijumpai seperti berikut:

a. Graf Komplit (Complete Graph)

  Sebuah graf yang memiliki n titik yang setiap titiknya mempunyai sisi ke setiap titik di graf tersebut disebut juga graf komplit. Graf komplit dengan n titik dinotasikan dengan K n . Setiap titik di K n berderajat n – 1. (Chartrand dan Lesniak, 1996 dan Munir, 2006)

  Contoh: K K ^{1 2 K 4 K 5} K ³ Gambar 2.4. Graf Komplit b.

   Graf Sikel

  Graf sikel adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n titik dinotasikan dengan C n . Jika titik pada C n adalah v , v , v maka sisi-sisinya adalah (v v ), (v ,v ,v ),

  1

  2 3 , …, v n

  1

  2

  2 3 n-1 n

  ), …, (v dan (v n ,v

  1 ). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir v n ke titik pertama v 1 (Munir, 2005). Graf sikel merupakan graf dengan n titik dengan simpul n ≥ 3 dimana setiap titik saling terhubung dan membentuk cincin. Setiap titik pada graf sikel berderajat dua (Biggs, Lloyd, and Wilson: 1936).

  Contoh: C ^{3 C 4 C 5 C 6} Gambar 2.5. Graf Sikel c.

   Graf Teratur (Regular Graph) Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya berderajat sama.

  Apabila derajat setiap titik adalah r maka graf terdebut dinamakan sebagai graf teratur berderajat r (Munir, 2005). Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r dengan n buah titik adalah nr/2.

  Contoh: (b) n = 6, r = 3 (a) n = 4, r = 3

Gambar 2.6. graf teratur berderajat 3, dengan 4 dan 6 titik d.

   Graf Bipartit (Bipartite Graph)

  Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokan menjadi dua himpunan bagian V

  1 dan V 2 , sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan titik di V

  1 ke titik di V 2 yang disebut juga dengan graf bipartit (Munir, 2005).

  Contoh: a b c d p q r

Gambar 2.7. Graf Bipartit

  Graf G pada Gambar 2.7 adalah graf bipartit karena himpunan titik di G dapat di partisi menjadi dua himpunan, yaitu:

  V = {a, b, c, d} dan V = {p, q, r}

  1

2 Berdasarkan gambar 2.7 masing-masing sisi di G mempunyai

  ujung di V dan di V . Himpunan titik dalam satu partisi tidak boleh

  1

  2 terhubung langsung.

e. Graf Bipartit Lengkap (Complete Bipartite Graph)

  Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan setiap titik di V

  1

  bertetangga dengan semua titik di V

  2 . Graf bipartit lengkap dinotasikan sebagai K dengan jumlah sisi adalah mn (Munir, 2005). n,m

  Contoh: K 1,3 K 2,3 K 3,3

Gambar 2.8. Graf Bipartit Lengkap

f. Graf lintasan

  Graf lintasan (path) adalah graf dengan menarik garis pada setiap titik sehingga membentuk satu garis lurus dan graf yang terdiri dari satu lintasan.

  Graf lintasan dengan n titik, dinotasikan dengan P n , contoh dari graf lintasan sebagai berikut: P ^{2 :} P ^{3 :}

  : P ⁴ Gambar 2.9. Graf Lintasan B.

   Graf Terhubung

  Diberikan u dan v merupakan titik di graf G. Sebuah jalan di graf G dinamakan walk dan dinotasikan dengan W. Walk u-v pada graf G adalah barisan hingga u = u , e

  1 , u 1 , e 2 , u 2 ,...,u k-1 , e k , u n = v yang merupakan titik dan sisi,

  diawali dengan titik u dan diakhiri dengan titik v, dengan e

  1 = u i-1 u i untuk i = 1, 2,

  3, ..., k. k sering disebut dengan panjang dari sebuah walk (Chartrand dan Lesniak, 1996). Jika u = v maka W disebut dengan jalan tetutup. Tetapi jika

  u ≠ v maka W disebut dengan jalan terbuka (Chartrand dan Lesniak, 1996).

  Jika terdapat jalan u-v yang semua sisinya berbeda maka jalan tersebut merupakan trail u-v. Tetapi jika jalan u-v yang semua sisi dan titiknya berbeda maka disebut dengan lintasan (path) u-v. Dengan demikian, semua lintasan adalah trail (Chartrand dan Lesniak, 1996).

  Trail tertutup dan tak trivial pada G disebut sirkuit di G. Sirkuit v ^{1 , v 2 n , v 1} , …, v

  (n = v disebut siklus (cycle).

  ≥ 3) dengan semua titik interval yang berbeda kecuali v ^{1 n}

(Chartrand dan Lesniak, 1996). Graf terhubung yang tidak mengandung siklus disebut

dengan pohon.

  Contoh: v ⁴ e ⁷ e ⁸ e ³ v ^{5 v 3} e ⁵ e ^{4 e 2} e ⁶ v ₁ e ^{1 v 2} Gambar 2.10. Graf untuk Mengilustrasikan Jalan, Jalan Tertutup, Trail, Lintasan.

  Jalan: v

  1 , e 1 , v 2 , e 5 , v 5 , e 4 , v 1 , e

6 , v

3 , e 7 , v 4 , e 8 , v 5 , e 5 , v

  2 Jalan tertutup: v , e , v , e , v , e , v , e , v , e , v , e , v , e ,v , e , v

  1

  1

  2

  5

  5

  4

  1

  6

  3

  7

  4

  8

  5

  5

  2

  1

  1 Trail : v 1 , e 1 , v 2 , e 5 , v 5 , e 3 , v

3 , e

2 , v

  2 Lintasan: v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , e

7 , v

4 , e 8 , v

  5 Siklus: v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , e 3, v 5 , e

4 , v

  1 Misalkan u dan v titik berbeda pada graf G, maka titik u dan v dapat

  dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u

• – v di G. Suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terhubung.

  v v _{4 4} Contoh: v ₅ v v _{3 5} v ₃ G : _{1 G : 2} v v v v _{1 2 1} ² Gambar 1.11. Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung

  Graf G

  1 merupakan graf terhubung karena setiap titiknya terhubung dan

  terdapat lintasan dari setiap titik ke tiap titik lain di graf G

  1 , sedangkan G 2 adalah

  graf tak terhubung karena terdapat titik yang tak terhubung dengan titik yang lain, yaitu titik v

  1 dan v 2 tidak terhubung dengan titik v 3 ,v 4 , dan v 5.

  C. Operasi pada Graf

  Gabungan dua graf G dan G dinotasikan dengan G = G G yang

  1

  

2

  1

  2

  memiliki himpunan titik V(G) = V(G )

   V (G ) dan himpunan sisi E(G) =

  

1

  2 E (G 1 ) E(G 2 ). Jika suatu graf G memuat lebih dari n graf, dimana n

  ≥ 2 graf H, dapat ditulis dengan G = nH (Chartrand dan Lesniak, 1996). Gambar 2.12 merupakan contoh dari gabungan graf.

Gambar 2.12. Gabungan Graf

  Karena graf G memuat 3 graf P

  2 dan 2 graf C 2 , maka graf tersebut dapat

  dinotasikan dengan 3P

  2

  2C 2 .

  D. Graf Planar

  Graf planar adalah graf pada bidang datar dimana sisi pada graf tersebut tidak bersiangan dengan sisi yang lain, jika graf yang sisinya bersilangan disebut juga graf tidak planar (Chartrand dan Lesniak, 1996).

  (a) (b)

Gambar 2.13. Graf planar (a)

  K 4 merupakan graf planar dimana sisi pada graf K 4 saling bersilangan

  seperti yang ditunjukan pada gambar 2.13 (a), lalu dapat digambarkan kembali tanpa ada sisi yang bersilangan pada gambar 2.13 (b).

  Representasi graf planar dengan sisi yang tidak saling memotong disebut graf bidang (plane graph). Berikut merupakan graf planar dan graf bidang:

  (b) (a) (c) Gambar 2.14.(a) Graf planar. (b) dan (c) adalah graf bidang

  Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau disebut dengan wajah (face). Wilayah pada graf bidang dapat ditentukan dengan mudah perhatikan gambar 2.15 di bawah:

  R ⁵ R ₂ R ₆ R

³

R ₁ R ⁴ Gambar 2.15. Graf planar yang terdiri dari 6 wilayah

Gambar 2.15 di atas merupakan graf bidang yang terdiri dari 6 wilayah (termasuk wilayah terluar).

  Teorema 2 (Formula Euler)

  Diketahui graf G adalah graf terhubung planar dengan v adalah titik, e adalah sisi, f adalah wajah, maka :

  v

• – e + f = 2

  Bukti:

  Dibuktikan dengan menginduksi pada jumlah sisi. Jika e = 0, maka graf G hanya mempunyai satu titik, dan jumlah wajah pada graf G tersebut adalah satu. Jelas bahwa v – e + f = 2. Anggap benar untuk graf planar dengan k sisi, dengan k ≥ 0. Dimisalkan sebuah graf terhubung planar dengan k + 1 sisi, maka graf G bisa memiliki siklus, dan tidak memiliki siklus. Jika G tidak memiliki siklus, maka graf G merupakan sebuah pohon, maka e = v

• – 1 (setiap pohon dengan titik v

  memiliki v

• – 1 sisi) dan f = 1 jadi dapat disimpulkan v – e + f = 2. Jika graf G memiliki siklus C, memilih sisi x di C dan menghapus x dari graf G maka akan mendapatkan graf planar baru yaitu

  G’. Karena x ada pada siklus, G’

  masih terhubung dan memiliki titik yang sama dengan graf G, tetapi

  G

  ’memiliki k sisi. Induksi di atas diperoleh v’ – e’ + f’ = 2. Jika x tidak dihapus, maka terdapat 2 wilayah, yaitu terletak di dalam siklus dan di luar siklus tersebut. Jadi v’ = v, e’ = e – 1, f’ = f – 1 berakibat v – e + f = 2.

E. Graf Platonik

  Graf platonik adalah graf sederhana karena tidak memiliki loop dan juga sisi ganda yang dibentuk dari bangun polyhedron yang semua wajahnya merupakan bangun segi-n beraturan dan semua wajah bertemu di setiap titik yang

  d

  sama yang disebut platonic solid. Graf platonik dinotasikan dengan P dengan n

  n adalah jumlah sisi pada polyhedron dan d adalah derajat titik.

  Terdapat 5 platonic solid yang meliputi cube, dodecahedron,

  icosahedron, octahedron, dan tetrahedron. Gambar 2.16 merupakan platonic solid .

  Cube Dodecahedron Icosahedron Octahedron Tetrahedron

Gambar 2.16. Platonic SolidTabel 2.1 adalah 5 nama platonic solid, dimana V adalah banyaknya titik, E adalah banyaknya sisi, dan F adalah banyaknya wajah pada platonic solid.Tabel 2.1. Platonic Solid

  Simbol Nama polyhedron

  V E F Cube

  8

  12

  6 Dodecahedron

  20

  30

  12

  12

  30

  20 Icosahedron

  8

  12

  8 Octahedron

  Tetrahedron

  4

  6

  4 Teorema 3 Hanya ada 5 platonic solid yang terdiri dari cube, dodecahedron, icosahedrons, octahedron, dan tetrahedron (Fleck, 2004).

  Bukti

  Dari teorema 1, jumlah derajat titik adalah 2 kali jumlah sisi dengan derajat titik adalah d, maka didapatkan

  dv = 2e ………………. (1)

  dari teorema 1 untuk wajah, jumlah wilayah juga 2 kali jumlah sisinya, ini berarti

  nf = 2e ………………. (2)

  Subtitusi persamaan (1) dan (2) ke formula euler v

• – e + f = 2, didapatkan

  Kedua ruas di bagi dengan 2e:

  Jika dianalisi persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa d dan n tidak dapat lebih besar dari 3. Jika d dan n adalah 4 atau lebih, maka ruas kiri pada persamaan di atas akan lebih kecil dari ½. Sehingga salah satu antara d dan n harus sama dengan 3.

  Untuk d = 3, Karena 1/e positif, ini berarti n tidak boleh lebih besar dari 5, dengan demikian jika n = 3 maka d tidak boleh lebih besar dari 5. Dapat diperoleh 5 kemungkinan untuk derajat d dan banyak sisi n yaitu: (3,3) bentuk dari tetrahedron, (3,4) bentuk dari octahedron, (3,5) bentuk dari icosahedrons.

  (4,3) bentuk dari cube, (5,3) bentuk dari dodecahedron F.

   Graf Archimedean

  Graf Archimedean adalah graf sederhana dan graf planar yang dibentuk dari bangun ruang yang semua wajahnya merupakan regular polyhedron, dimana setiap wajah terdapat lebih dari satu macam polygon yang disebut Archimedean solid .

  Terdapat 13 Archimedean solid seperti gambar di bawah:

  Great rhombicuboctahedron Great rhombicosidodecahedron Truncated tetrahedron Truncated cube Truncated octahedron Truncated dodecahedron Truncated icosahedron cuboctahedron rhombicuboctahedron icosidodecahedron rhombicosidodecahedron

  

Snub cube Snub dodecahedron

Gambar 2.17. Archimedean Solid

  11 dari 13 Archimedean solid dibentuk oleh proses pemotongan (truncation). 7 Archmedean solid dibentuk dari proses pemotongan platonic solid meliputi truncated cube, truncated dodecahedron, truncated icosahedron,

  

truncated icosahedron, truncated tetrahedron, cuboctahedron,

icosidodecahedron,

  4 Archimedean solid dibentuk dari pemotongan

  

Archimedean solid meliputi great rhombicosidodecahedron, great

rhombicuboctahedron, small rhombicosidodecahedron, small

rhombicuboctahedron, dan 2 Archimedean solid yang lainnya diperoleh dengan

proses snubbing yaitu snub cube dan snub dodecahedron.

  Snubbing adalah proses yang digunakan pada polyhedral. 3 langkah dalam

  proses snubbing meliputi:

  a. Menarik setiap wajah secara terpisah pada setiap polyhedron

  b. Mengganti sisi pada setiap wajah dengan segitiga. Masing-masing segitiga dapat dipasangkan ke kiri atau ke kanan.

  c. Mengganti titik dimana n wajah bertemu dengan n sisi polygon.

Tabel 2.2 adalah 13 nama Archimedean solid, dimana V adalah banyaknya titik, E adalah banyaknya sisi, dan F adalah banyaknya wajah pada Archimedean

  solid .

Tabel 2.2. Archimedean Solid

  Simbol Nama polyhedron ₂ V E F

  24

  36

  14

  3.8 A Truncated Cube ₂

  60

  90

  32

  3.10 A Truncated Dodecahedron ₂

  60

  90

  32

  5.6 A Truncated Icosahedron ₂

  24

  36

  14

  4.6 A Truncated Octahedron

  A

  30

  72

  48

  4.6.8 Great Rhombicuboctahedron

  62 A

  4.6.10 Great Rhombicosidodecahedron 120 180

  32 A

  60

  (3.5) ² Icosidodecahedron

  3.6 ² Truncated Tetrahedron

  14 A

  24

  12

  (3.4) ² Cuboctahedron

  8 A

  18

  12

  26 A

3.4.5.4 Small Rhombicosidodecahedron

  60 120

  60 150

  u v w

Gambar 2.18. Digraf D

  

m (Chartrand dan Lesniak, 1996). Diberikan digraf D dengan himpunan titik

V (D) = {u, v, w} dan himpunan busur E(D) = {(u, w), (w, u), (u, v)} berikut:

  Himpunan titik pada digraf D disebut order dari D dan dilambangkan dengan n(D) atau n. Sedangkan himpunan busur digraf D adalah size m(D) atau

  Digraf (Graf berarah/ Directed Graph) adalah struktur yang terdiri dari pasangan himpunan (V, E) dimana V adalah himpunan tak kosong yang disebut titik (vertex) dan E adalah himpunan sisi (mungkin kosong) yang mempunyai arah dari u ke v. Sisi berarah disebut busur (arc). Himpunan titik di D dinotasikan dengan V(D) dan himpunan busur dinotasikan dengan E(D) (Chartrand dan Lesniak, 1996).

   Digraf

  92 G.

  3 ⁴ .5 Snub Dodecahedron

  3.4 ³ Small Rhombicuboctahedron

  38 A

  60

  24

  4 Snub Cube

  3 ⁴ _.

  26 A

  48

  24

  62 A Misal D digraf dan u dan v adalah titik-titik pada digraf D. Jika e = (u, v) adalah busur pada digraf D, maka e dikatakan menghubungkan antara titik u dan

  

v , u adjacent ke v dan v adjacent dari u. Jika busur e diarahkan dari u ke v maka

  busur e disebut incident dari u dan incident ke v. Dicontohkan pada digraf di bawah:

  e u v

Gambar 2.19. Adjacent dan incident di Digraf D

  Digraf D dikatakan terhubung jika ada lintasan di D antara pasangan titik yang diketahui (Chartrand dan Lesniak, 1986). Suatu walk dengan panjang k pada suatu digraf D adalah rangkian k busur D dengan bentuk uv untuk (u,v) dimana

  1 e 2 k : u v pada digraf D jika e i D uv ≠ vu. Sebuah walk, W = e …e

  untuk semua i [i, k]. Jika semua busur (tetapi tidak perlu semua titik) suatu berbeda disebut trail. Jika walk dengan semua titiknya berbeda maka trail

  walk itu disebut lintasan (path) (Harju, 1994).

v v

_{4 4} v ₅

v v

_{3 5} v ₃ D ^{1 :}

  D ^{2 :} v v v v _{1 2 1} ² Gambar 2.20. Digraf Terhubung dan Graf Tak Terhubung

  D 1 merupakan digraf terhubung karena setiap titiknya terhubung dan

  terdapat lintasan dari setiap titik ke tiap titik yang lain di digraf D

  1 , D 2 adalah

  digraf tak terhubung karena terdapat titik yang tak terhubung dengan titik yang lain, yaitu titik v dan v tidak terhubung dengan titik v dan v .

  1

  2

  3

  4

H. Eksentrik Digraf

  Diberikan suatu graf terhubung G, jarak (distance) antara dua titik u dan v di G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v di G. Jika tidak ada lintasan dari simpul u ke v, maka kita definisikan jarak d(u,v) =

  ∞ (Chartrand dan Lesniak, 1996). Eksentrisitas (eccentricity) titik v pada graf G dinotasikan dengan e(v) dari suatu titik v pada graf terhubung G adalah jarak terjauh dari titik v ke setiap titik di G dapat dituliskan e(v) = max{d(u,v)

  │u V(G )} (Deo, 1994).

  Radius dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan rad G = min{e(v),v V}. Sedangkan diameter dari graf G adalah eksentrisitas maksimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan diamG = max {e(v), v V} (Kusmayadi dan Sudibyo, 2011).

  Eksentrik digraf dari suatu graf adalah suatu graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G, dan terdapat suatu busur (sisi berarah) yang menghubungkan titik u ke v jika v adalah suatu titik eksentrik dari u. Eksentrik digraf dinotasikan dengan ED(G) (Kusmayadi dan Sudibyo: 2011).

  Terdapat beberapa langkah untuk menentukan eksentrik digraf pada digraf, menentukan jarak setiap titik di G ke titik yang lain di G merupakan langkah awal, menentukan eksentrisitas dan titik eksentrik setiap titik dari jarak yang telah diketahui, kemudian menggambar eksentrik digrafnya. Himpunan titik pada eksentrik digraf sama dengan himpunan titik di graf G dan jika v adalah titik eksentrik dari u, maka terdapat busur yang menghubungkan titik u ke v.

  Berdasarkan gambar 2.21 dapat menentukan jarak antara titik satu dengan titik yang lain pada graf G adalah:

  2

  3

  2

  1

  1

  2

  3

  v

  3

  4

  2

  1

  1

  2

  v

  1

  2

  3

  v

  3

  1

  1

  1 Gambar 2.21. Graf yang akan dicari Eksentrik Digrafnya

  2

  3

  2

  1

  6

  v

  1

  2

  2

  3

  2

  5

  v

  2

  1

  1

  2

  1

  d (v 1 ,v 2 ) = 1, d(v 2 ,v 1 ) = 1, d(v 3 ,v 1 ) = 2, d(v 4 ,v 1 ) = 3, d(v 5 ,v 1 ) = 1, d(v 6 ,v 1 ) = 2 d (v 1 ,v 3 ) = 2, d(v 2 ,v 3 ) = 1, d(v 3 ,v 2 ) = 1, d(v 4 ,v 2 ) = 2, d(v 5 ,v 2 ) = 1, d(v 6 ,v 2 ) = 1 d (v

  4 ,v

  3

  6 ,v

  ) = 1, d(v

  3

  5 ,v

  ) = 1, d(v

  3

  ) = 1, d(v

  d (v 1 ,v 5 ) = 1, d(v 2 ,v 5 ) = 1, d(v 3 ,v 5 ) = 1, d(v 4 ,v 5 ) = 2, d(v 5 ,v 4 ) = 2, d(v 6 ,v 4 ) = 1 d (v

  4

  3 ,v

  ) = 2, d(v

  4

  2 ,v

  ) = 3, d(v

  4

  1 ,v

  ) = 1

  1 ,v

  6 v

  ) = 1, d(v

  v 1 v 2 v

3 v

4 v 5 v

  ) = 2 Jarak antara jarak titik satu dan titik lainnya seperti di atas dapat dibuat tabel seperti tabel jarak di bawah:

  5

  6 ,v

  ) = 2, d(v

  6

  5 ,v

  6

  6

  4 ,v

  ) = 1, d(v

  6

  3 ,v

  ) = 1, d(v

  6

  2 ,v

  ) = 2, d(v

  v ^{1 v 2} v ^{3 v 4} v ₆ v ₅ Tabel 2.3. Jarak titik dari graf G Pada gambar 2.21, setelah menentukan jarak pada setiap titik ke titik lain di graf G, maka akan didapat eksentrisitas dari titik tersebut: Titik Eksentrisitas Titik eksentrik

  v

  5

Gambar 2.22. Eksentrik Digraf dari Graf GTabel 2.4. Tabel Eksentrisitas

  pada gambar 2.22 sebagai berikut:

  5 Hasil titik eksentrik pada tabel di atas, diperoleh eksentrik digraf dari graf

  1 , v

  2 v

  6

  6 v

  4 , v

  2 v

  1 v

  1

  3 v

  4

  1 v

  2 v

  3

  4 v

  2 v

  2

  4 v

  3 v

  v ₁ v _{2 v 3 v 4} v ⁶

v

⁵