PROS Hanna A Parhusip Y Martono Kadar steviosida maksimum Full text
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
KADAR STEVIOSIDA MAKSIMUM
PADA WAKTU DAN MASSA YANG MINIMUM
H.A. Parhusip dan Y. Martono
Center of Applied Science and Mathematics
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
hannaariniparhusip@ yahoo.co.id
ABSTRAK
Kadar steviosida maksimum pada waktu dan massa minimum dijelaskan pada makalah ini. Beberapa
hasil pengukuran laboratorium diformulasikan dalam model fungsi kuadratik 2 peubah (waktu dan
massa). Fungsi ini dipilih karena secara teoritis mempunyai peminimum (nilai waktu dan massa minimum
yang meminimumkan fungsi tujuan). Karena yang dikehendaki adalah kadar steviosida maksimum maka
problem diubah menjadi masalah minimax dalam optimasi. Fungsi leastsquare pada MATLAB 6.5
digunakan untuk mencari parameter pada fungsi kuadratik.
Data dinyatakan dalam bentuk takberdimensi terlebih dahulu dengan membagi setiap data dalam 1
variabel dengan maksimumnya. Setelah dianalisa, maka diperoleh bahwa pada sekitar 2.5 hari dan massa
260.89gr diperoleh 0.05 (prosentase kadar steviosida) maksimum.
Keywords: minimax, leastsquare, steviosida.
PENDAHULUAN
Steviosida adalah suatu pemanis rendah kalori sebagai hasil ekstrasi dari daun Stevia rebaudiana
Bertoni yang dinyatakan aman bagi penderita penyakit diabetes maupun yang mengalami
obesitas (Web 1). Karena sifat alami pemanis ini (stevioside and cyclamate-saccharin) maka
pengembangan produksi steviosida terus diupayakan. Beberapa kandungan anorganik pada
pemanis inipun menjadi kajian peneliti [1]. untuk dapat kemudian diproduksi secara komersial.
Selain itu proses adsorpsi steviosida dari campuran ekstrasi pada XAD-7 pada keadaan
ekuilibrium diamati [2] termasuk pengaruh pH dan suhu dipelajari pada tulisan tersebut.
Steviosida juga dinyatakan tidak mengganggu pertumbuhan dan fertilitas yang dibuktikan
pengujiannya pada hamster [3]. Karena berbagai manfaat maupun akibat penggunaan steviosida
berdampak positif, maka penulis melakukan penelitian tentang pengembangan steviosida yang
pada masa yang akan dating dapat diproduksi massal hingga dapat dikonsumsi oleh
masyarakat. Untuk itu perlu diketahui hubungan massa yang digunakan untuk ekstrasi
steviosida sehingga dapat diperoleh hasil yang optimal. Paper ini menjelaskan tentang hubungan
tersebut dengan data hasil pengukuran pada Laboratorium Kimia Fakultas Sains dan
Matematika Januari-Maret 2011. Data hasil pengukuran ditunjukkan pada Tabel 1.
Sebagai permulaan pendekatan maka data kadar steviosida (S) sebagai fungsi hari (t) dan massa
(m), atau ditulis S = f(t,m) = S(t,m) . Kita dapat memformulasikan masalah mencari waktu dan
massa minimal untuk S yang optimal. Oleh karena itu waktu dan massa minimal sebutlah
( x * (t * , m * ) T (dengan T menyatakan transpose) maka kita mempunya masalah optimasi .
Kasus optimasi yang diperlukan adalah memaksimalkan S dengan waktu dan massa yang
minimal.
645
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Secara umum dapat ditulis
min
max S ( x ) .
x
(*)
S
Tabel 1. Hasil pengukuran kadar steviosida (%) dalam massa dan waktu yang
ditetapkan
kadar
steviosida (%)
Massa
hari
50
0
0,38
100
0
0,10
200
0
0,04
300
0
0,04
50
2
0,28
100
2
0,33
200
2
0,10
300
2
0,07
50
4
0,76
100
4
0,20
200
4
0,15
300
4
0,06
50
6
0,45
100
6
0,27
200
6
0,14
300
6
0,11
Dalam optimasi hal ini disebut minimax problem atau dapat ditulis menentukan peminimal
x * sehingga S(t,m) optimaldengan kendala t 0 , m 0 .Pada literatur optimasi [4] seringkali
S(t,m) telah diketahui sehingga teori optimasi dapat langsung digunakan. Karena pada makalah
ini data masih diskrit, maka kita perlu memilih suatu fungsi kontinu yang dianggap tepat untuk
merepresentasikan data Tabel 1. Hal inilah yang akan dibahas pada makalah ini.
Model Steviosida sebagai fungsi massa dan waktu
Diketahui bahwa fungsi yang strictly convex yang menjamin peminimum x * ada. Adapun
definisi tersebut ditunjukkan pada Teorema berikut ini tanpa menunjukkan bukti untuk
penyederhanaan.
Teorema 1[4] Anggap bahwa f (x ) fungsi yang mempunyai derivatif pertama parsial yang
kontinu pada suatu himpunan convex D R n , maka
(a) Fungsi f (x ) dikatakan convex jika dan hanya jika f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk
semua x , y D .
f (x ) dikatakan strictly convex
jika
dan
(b) Fungsi
f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk semua x , y D dengan x y .
hanya
jika
Telah diketahui pula [4] bahwa fungsi kuadratik multivariabel mempunyai sifat konveks dan
fungsi ini jelas mempunyai peminimum. Oleh karena itu dipilih model kuadratik
(1)
S (t , m) (t ) 2 ( m ) 2 := S model
dengan , ditentukan dari data.
Agar peminimum terjamin ada, maka , harus ditentukan dengan memenuhi kondisi pada
Teorema 1. Artinya, kondisi (a-b) dapat digunakan sebagai kendala dalam menemukan , .
646
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Akan tetapi hal ini menjadi terlalu sulit pada awal pembahasan. Untuk mempermudah kita
hanya mencari , berdasarkan data tanpa menggunakan kondisi tersebut. Jadi , dapat
dicari dengan prosedur fitting atau interpolasi nonlinear. Secara sederhana ide interpolasi atau
fitting tersebut adalah meminimalkan kuadrat residu sebagaimana dinyatakan oleh least square
[5] yaitu
.
=
0 . Tiap elemen vektor dari
Minimumkan R , S i ,data S i ,mod el = S i ,data ti 2 (mi ) 2
2
n
n
2
(2)
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis R , diperoleh harus memenuhi kondisi
i 1
i 1
R 0 . Secara detail berarti
R R
R
adalah
R R
R
T
T
n
R
2
2 Si ,data ti ( mi ) 2 2ti
i 1
n
n
n
3
4 Si ,data ti ti ( mi ) 2 ti 0.
i 1
i 1
i 1
Demikian pula
(3a)
n
R
2
2 Si ,data ti ( mi ) 2 2( mi )
i 1
n
n
n
2
(3b)
4 Si ,data (mi ) ti ( mi ) (mi )3 0.
i 1
i 1
i 1
Kedua persamaan (3a-3b) itulah yang perlu diselesaikan dan merupakan sistem persamaan
nonlinear homogen. Ada beberapa algoritma yang dapat digunakan tetapi pada makalah ini kita
menggunakan fungsi lsqnonlin.m yang telah disediakan oleh MATLAB 6.5.
METODE PENELITIAN
1. Menyatakan data dalam bentuk tak berdimensi
Perlu diperhatikan bahwa teori diberikan secara umum yang artinya bebas dari dimensi. Oleh
karena itu agar analisa dapat dilakukan dengan benar, maka data perlu ditulis tak berdimensi.
Data dinyatakan dalam bentuk tak berdimensi dengan cara membagi setiap data tiap kolom
dengan maksimum tiap kolom. Jika t dan m menyatakan masing-masing waktu dan massa yang
berdimensi maka
t ,
m ,
S
(4)
t
m
S
t Re f
mRe f
S Re f
menyatakan variabel waktu dan massa yang tak berdimensi dengan t Re f , mRe f , S Re f masingmasing menyatakan referensi waktu, referensi massa dan referensi kadar steviosida. Pada
makalah ini kita menggunakan data referensi adalah maksimum data.
2. Memilih fungsi kontinu untuk menyatakan data kadar steviosida sebagai fungsi waktu dan
massa serta mencari parameter dengan menggunakan least square. Fungsi yang dipilih adalah
fungsi kuadratik pada persamaan (1) dan nilai parameter dicari dengan menyelesaikan sistem
persamaan nonlinear (3a-3b).
3. Jika nilai parameter telah diperoleh, maka perlu dicari S dengan t dan m minimal.
4. Menyatakan waktu, massa dan S yang optimal dalam bentuk berdimensi menggunakan
persamaan (4).
5. Mengevaluasi model (1) dan mengupdate model menjadi model (1’).
647
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendekatan pertama
Dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m pada MATLAB 6.5 kita dapat menentukan parameter
, dan diperoleh 0.4295, =0.8194. Artinya , data dalam bentuk tak berdimensi dapat
dinyatakan sebagai
S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2 .
Fungsi ini diilustrasikan dan perbandingannya dalam Tabel 2 dan Gambar 1.
1
Tabel 2. Hasil data (kolom 1) dan pendekatan
(kolom 2 untuk kadar steviosida
kadar stevisida (tak berdimensi)
0.5000
data
pendekatan
0.9
0.6105
0.1316 0.4207
0.0526 0.2078
0.0526 0.2171
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3684 0.4353
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
data ke−
0.4342 0.2455
Gambar 1.perbandingan pengukuran dan hasil pendekatan kadar steviosida
0.1316 0.0326
0.0921 0.0419
1.0000 0.4822
0.2632 0.2925
0.1974 0.0796
0.0789 0.0889
0.5921 0.7515
Gambar 2. Ilustrasi
S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2
0.3553 0.5617
0.1842 0.3488
0.1447 0.3581
Dalam bentuk 3 dimensi fungsi S yang diperoleh dapat diilustrasikan dengan menggunakan
MAPLE dan ditunjukkan pada Gambar 2.
Fungsi yang dipilih merupakan fungsi kuadratik yang secara teoritis jelas merupakan fungsi
konveks. Untuk menyelidiki hal ini sebagaimana dinyatakan dalam dasar teori kita perlu
menunjukkan sifat fungsi S Untuk menggunakan Teorema 1 kita perlu mencari S yaitu
T
S S
T
2(t ) 2(m ) .
S
t m
Dari hasil penyelidikan melalui program maka Teorema 1 berlaku bahwa fungsi S konveks
sehingga terjamin adanya peminimum.
648
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Selain itu kita perlu mempelajari Hessian S, diperoleh H t
S
S
2S
2S
tm
2S
m 2
tm
2
2
2 0 yang jelas
0 2
positive definite (matriks mempunyai nilai eigen positif) sehingga titik kritis sebagai
peminimum global.
Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi
S S
T
T .
Hal ini terjadi untuk t*=
S
2(t ) 2( x ) 0 0
t x
T
0.4295 dan
m*= =0.8194. Dalam bentuk dimensi sebutlah berturut turut ( t * , m * ) dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan (4) yaitu
t * t *tmaksimum 0.4295 x 6 hari = 2.5771 hari dan
m * = m * mmaksimum =0.8194x300gr=245.8084gr.
Hasil yang diperoleh juga merupakan peminimum global karena matriks Hessian berlaku
positive definite untuk sembarang (t,m) karena tidak tergantung (t,m). Secara aplikasi hal ini
berarti berapapun pengukuran yang dilakukan maka nilai peminimal t*= , m*= . Sedangkan
nilai peminimal yang berdimensi tergantung dari maksimum data yang digunakan sebagai
referensi.
Untuk S optimal dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t*= , m*= . (masih dalam
bentuk tak berdimensi). Akan tetapi jelas diperoleh S * 0 . Hal ini tidak benar secara aplikatif
sekalipun benar secara teoritis. Oleh karena itu model perlu dimodifikasi yang tidak
mengijinkan S = 0 pada setiap t,m.
Pendekatan kedua
Kita dapat memodifikasi model (1) menjadi
(1’)
S (t , m) (t ) 2 ( m ) 2 := S model
dengan , , ditentukan dari data. Artinya, dengan least square sebagaimana telah
dijelaskan di depan perlu diselesaikan masalah
Minimumkan R , , S i , data S i ,mod el = S i , data t i 2 (m i ) 2
2
n
i 1
R
n
4 S i ,data
i 1
n
i 1
ti ti 3 (mi ) 2 ti ti 0.
.
2
(5a)
Dengan prosedur yang sama pada pendekatan pertama maka kita perlu menyelesaikan
n
n
n
i 1
i 1
i 1
(5b)
n
n
n
R
n
4 S i ,data ( mi ) (ti ) 2 ( mi ) ( mi ) 3 ( mi ) 0.
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
R
n
2 S i ,data (ti ) 2 ( mi ) 2 n 0.
i 1
i 1
i 1
Diperoleh nilai parameter yaitu
(5c)
(5d)
, , T = (0.4201, 0.8696,- 0.0688)T.
Dengan parameter ini, kita dapat menuliskan (1’) sebagai
S (t , m ) (t 0.4201) 2 ( m 0.8696) 2 0.0688 := S model.
Fungsi ini diilustrasikan pada Gambar 3.
(6)
649
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
S (t , m ) (t 0.4201) 2 ( m 0.8696) 2 0.0688 .
Selanjutnya fungsi persamaan (6) kita substitusikan pada problem (*) yang kemudian kita perlu
menyelesaikan (*). Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi
Gambar 3. Ilustrasi fungsi
S S
T
T
2(t ) 2( m ) 0 0 . Hal ini terjadi untuk t*= 0.4201 dan
S
t m
m*= =0.8696. Dalam bentuk dimensi dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (4)
T
t * t *tmaksimum 0.4201 x 6 hari = 2.5207 hari dan m * = m * mmaksimum =0.8696x300gr=260.89gr.
yaitu
Sehingga nilai minimal S * adalah = -0.0689. Karena kita menghendaki nilai S maksimal dan
dalam bentuk berdimensi diperoleh
S * 0.0689 xS Re f 0.0689 xS maksimum 0.0524 (prosentase kadar steviosida).
Jadi nilai optimal untuk semua variabel telah dipenuhi. Tentunya hasil ini dianggap cukup baik
karena dari data Tabel 1, hingga saat ini hasil yang diperoleh dengan optimasi ini dapat
memberikan jawaban yang dikehendaki.
Tentunya dapat pula dikehendaki bahwa pada himpunan data (t,m) yang berada pada interval
pengamatan dapat pula didekati nilai S yang mungkin. Artinya kita dapat menggunakan
persamaan (6).
DAFTAR PUSTAKA
[1] Sousa, R.A, Baccan, N., Cadore, S., 2006. Analysis of Liquid Stevioside and CyclamateSaccharin Dietetic Sweeteners by Inductively Coupled Plasma Optical Emission Spectrometry
without Sample Treatment, J.Braz, Chem, Soc, Vol 17(7),1393-1399.
[2] Hafizuddin, W.M., Yussof, W., Sarmidi, M.R.,2003. Equilibrium and Kinetic Modeling of
the Adorption of Stevioside on Amberlite XAD-7 Beads, Proceedings of International
Conference On Chemical and Bioprocess Engineering, Universiti Malaysia Sabah, Kota
Kinabalu. [3] Yodyingyuad, V and Bunyawong, S., 1991. Effect of stevioside on growth and
reproduction , Hum. Reprod. 6 (1): 158-165.
[4] Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming,
Springer Verlag, New York, Inc.
[5] Parhusip, H. A. 2009. Determination Parameter by Nonlinear Least Square, Proceedings of
4th International Conference on Mathematics and Statistics (ICOMS 2009) , Universitas
Malahayati Badar Lampung @MSMSSEA and Univ.Malahayati, 295-304, ISSN 2085-7748.
Pustaka internet
Web1, http://www.steviosidesafety.info/
650
KADAR STEVIOSIDA MAKSIMUM
PADA WAKTU DAN MASSA YANG MINIMUM
H.A. Parhusip dan Y. Martono
Center of Applied Science and Mathematics
Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
hannaariniparhusip@ yahoo.co.id
ABSTRAK
Kadar steviosida maksimum pada waktu dan massa minimum dijelaskan pada makalah ini. Beberapa
hasil pengukuran laboratorium diformulasikan dalam model fungsi kuadratik 2 peubah (waktu dan
massa). Fungsi ini dipilih karena secara teoritis mempunyai peminimum (nilai waktu dan massa minimum
yang meminimumkan fungsi tujuan). Karena yang dikehendaki adalah kadar steviosida maksimum maka
problem diubah menjadi masalah minimax dalam optimasi. Fungsi leastsquare pada MATLAB 6.5
digunakan untuk mencari parameter pada fungsi kuadratik.
Data dinyatakan dalam bentuk takberdimensi terlebih dahulu dengan membagi setiap data dalam 1
variabel dengan maksimumnya. Setelah dianalisa, maka diperoleh bahwa pada sekitar 2.5 hari dan massa
260.89gr diperoleh 0.05 (prosentase kadar steviosida) maksimum.
Keywords: minimax, leastsquare, steviosida.
PENDAHULUAN
Steviosida adalah suatu pemanis rendah kalori sebagai hasil ekstrasi dari daun Stevia rebaudiana
Bertoni yang dinyatakan aman bagi penderita penyakit diabetes maupun yang mengalami
obesitas (Web 1). Karena sifat alami pemanis ini (stevioside and cyclamate-saccharin) maka
pengembangan produksi steviosida terus diupayakan. Beberapa kandungan anorganik pada
pemanis inipun menjadi kajian peneliti [1]. untuk dapat kemudian diproduksi secara komersial.
Selain itu proses adsorpsi steviosida dari campuran ekstrasi pada XAD-7 pada keadaan
ekuilibrium diamati [2] termasuk pengaruh pH dan suhu dipelajari pada tulisan tersebut.
Steviosida juga dinyatakan tidak mengganggu pertumbuhan dan fertilitas yang dibuktikan
pengujiannya pada hamster [3]. Karena berbagai manfaat maupun akibat penggunaan steviosida
berdampak positif, maka penulis melakukan penelitian tentang pengembangan steviosida yang
pada masa yang akan dating dapat diproduksi massal hingga dapat dikonsumsi oleh
masyarakat. Untuk itu perlu diketahui hubungan massa yang digunakan untuk ekstrasi
steviosida sehingga dapat diperoleh hasil yang optimal. Paper ini menjelaskan tentang hubungan
tersebut dengan data hasil pengukuran pada Laboratorium Kimia Fakultas Sains dan
Matematika Januari-Maret 2011. Data hasil pengukuran ditunjukkan pada Tabel 1.
Sebagai permulaan pendekatan maka data kadar steviosida (S) sebagai fungsi hari (t) dan massa
(m), atau ditulis S = f(t,m) = S(t,m) . Kita dapat memformulasikan masalah mencari waktu dan
massa minimal untuk S yang optimal. Oleh karena itu waktu dan massa minimal sebutlah
( x * (t * , m * ) T (dengan T menyatakan transpose) maka kita mempunya masalah optimasi .
Kasus optimasi yang diperlukan adalah memaksimalkan S dengan waktu dan massa yang
minimal.
645
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Secara umum dapat ditulis
min
max S ( x ) .
x
(*)
S
Tabel 1. Hasil pengukuran kadar steviosida (%) dalam massa dan waktu yang
ditetapkan
kadar
steviosida (%)
Massa
hari
50
0
0,38
100
0
0,10
200
0
0,04
300
0
0,04
50
2
0,28
100
2
0,33
200
2
0,10
300
2
0,07
50
4
0,76
100
4
0,20
200
4
0,15
300
4
0,06
50
6
0,45
100
6
0,27
200
6
0,14
300
6
0,11
Dalam optimasi hal ini disebut minimax problem atau dapat ditulis menentukan peminimal
x * sehingga S(t,m) optimaldengan kendala t 0 , m 0 .Pada literatur optimasi [4] seringkali
S(t,m) telah diketahui sehingga teori optimasi dapat langsung digunakan. Karena pada makalah
ini data masih diskrit, maka kita perlu memilih suatu fungsi kontinu yang dianggap tepat untuk
merepresentasikan data Tabel 1. Hal inilah yang akan dibahas pada makalah ini.
Model Steviosida sebagai fungsi massa dan waktu
Diketahui bahwa fungsi yang strictly convex yang menjamin peminimum x * ada. Adapun
definisi tersebut ditunjukkan pada Teorema berikut ini tanpa menunjukkan bukti untuk
penyederhanaan.
Teorema 1[4] Anggap bahwa f (x ) fungsi yang mempunyai derivatif pertama parsial yang
kontinu pada suatu himpunan convex D R n , maka
(a) Fungsi f (x ) dikatakan convex jika dan hanya jika f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk
semua x , y D .
f (x ) dikatakan strictly convex
jika
dan
(b) Fungsi
f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk semua x , y D dengan x y .
hanya
jika
Telah diketahui pula [4] bahwa fungsi kuadratik multivariabel mempunyai sifat konveks dan
fungsi ini jelas mempunyai peminimum. Oleh karena itu dipilih model kuadratik
(1)
S (t , m) (t ) 2 ( m ) 2 := S model
dengan , ditentukan dari data.
Agar peminimum terjamin ada, maka , harus ditentukan dengan memenuhi kondisi pada
Teorema 1. Artinya, kondisi (a-b) dapat digunakan sebagai kendala dalam menemukan , .
646
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Akan tetapi hal ini menjadi terlalu sulit pada awal pembahasan. Untuk mempermudah kita
hanya mencari , berdasarkan data tanpa menggunakan kondisi tersebut. Jadi , dapat
dicari dengan prosedur fitting atau interpolasi nonlinear. Secara sederhana ide interpolasi atau
fitting tersebut adalah meminimalkan kuadrat residu sebagaimana dinyatakan oleh least square
[5] yaitu
.
=
0 . Tiap elemen vektor dari
Minimumkan R , S i ,data S i ,mod el = S i ,data ti 2 (mi ) 2
2
n
n
2
(2)
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis R , diperoleh harus memenuhi kondisi
i 1
i 1
R 0 . Secara detail berarti
R R
R
adalah
R R
R
T
T
n
R
2
2 Si ,data ti ( mi ) 2 2ti
i 1
n
n
n
3
4 Si ,data ti ti ( mi ) 2 ti 0.
i 1
i 1
i 1
Demikian pula
(3a)
n
R
2
2 Si ,data ti ( mi ) 2 2( mi )
i 1
n
n
n
2
(3b)
4 Si ,data (mi ) ti ( mi ) (mi )3 0.
i 1
i 1
i 1
Kedua persamaan (3a-3b) itulah yang perlu diselesaikan dan merupakan sistem persamaan
nonlinear homogen. Ada beberapa algoritma yang dapat digunakan tetapi pada makalah ini kita
menggunakan fungsi lsqnonlin.m yang telah disediakan oleh MATLAB 6.5.
METODE PENELITIAN
1. Menyatakan data dalam bentuk tak berdimensi
Perlu diperhatikan bahwa teori diberikan secara umum yang artinya bebas dari dimensi. Oleh
karena itu agar analisa dapat dilakukan dengan benar, maka data perlu ditulis tak berdimensi.
Data dinyatakan dalam bentuk tak berdimensi dengan cara membagi setiap data tiap kolom
dengan maksimum tiap kolom. Jika t dan m menyatakan masing-masing waktu dan massa yang
berdimensi maka
t ,
m ,
S
(4)
t
m
S
t Re f
mRe f
S Re f
menyatakan variabel waktu dan massa yang tak berdimensi dengan t Re f , mRe f , S Re f masingmasing menyatakan referensi waktu, referensi massa dan referensi kadar steviosida. Pada
makalah ini kita menggunakan data referensi adalah maksimum data.
2. Memilih fungsi kontinu untuk menyatakan data kadar steviosida sebagai fungsi waktu dan
massa serta mencari parameter dengan menggunakan least square. Fungsi yang dipilih adalah
fungsi kuadratik pada persamaan (1) dan nilai parameter dicari dengan menyelesaikan sistem
persamaan nonlinear (3a-3b).
3. Jika nilai parameter telah diperoleh, maka perlu dicari S dengan t dan m minimal.
4. Menyatakan waktu, massa dan S yang optimal dalam bentuk berdimensi menggunakan
persamaan (4).
5. Mengevaluasi model (1) dan mengupdate model menjadi model (1’).
647
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendekatan pertama
Dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m pada MATLAB 6.5 kita dapat menentukan parameter
, dan diperoleh 0.4295, =0.8194. Artinya , data dalam bentuk tak berdimensi dapat
dinyatakan sebagai
S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2 .
Fungsi ini diilustrasikan dan perbandingannya dalam Tabel 2 dan Gambar 1.
1
Tabel 2. Hasil data (kolom 1) dan pendekatan
(kolom 2 untuk kadar steviosida
kadar stevisida (tak berdimensi)
0.5000
data
pendekatan
0.9
0.6105
0.1316 0.4207
0.0526 0.2078
0.0526 0.2171
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3684 0.4353
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
data ke−
0.4342 0.2455
Gambar 1.perbandingan pengukuran dan hasil pendekatan kadar steviosida
0.1316 0.0326
0.0921 0.0419
1.0000 0.4822
0.2632 0.2925
0.1974 0.0796
0.0789 0.0889
0.5921 0.7515
Gambar 2. Ilustrasi
S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2
0.3553 0.5617
0.1842 0.3488
0.1447 0.3581
Dalam bentuk 3 dimensi fungsi S yang diperoleh dapat diilustrasikan dengan menggunakan
MAPLE dan ditunjukkan pada Gambar 2.
Fungsi yang dipilih merupakan fungsi kuadratik yang secara teoritis jelas merupakan fungsi
konveks. Untuk menyelidiki hal ini sebagaimana dinyatakan dalam dasar teori kita perlu
menunjukkan sifat fungsi S Untuk menggunakan Teorema 1 kita perlu mencari S yaitu
T
S S
T
2(t ) 2(m ) .
S
t m
Dari hasil penyelidikan melalui program maka Teorema 1 berlaku bahwa fungsi S konveks
sehingga terjamin adanya peminimum.
648
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Selain itu kita perlu mempelajari Hessian S, diperoleh H t
S
S
2S
2S
tm
2S
m 2
tm
2
2
2 0 yang jelas
0 2
positive definite (matriks mempunyai nilai eigen positif) sehingga titik kritis sebagai
peminimum global.
Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi
S S
T
T .
Hal ini terjadi untuk t*=
S
2(t ) 2( x ) 0 0
t x
T
0.4295 dan
m*= =0.8194. Dalam bentuk dimensi sebutlah berturut turut ( t * , m * ) dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan (4) yaitu
t * t *tmaksimum 0.4295 x 6 hari = 2.5771 hari dan
m * = m * mmaksimum =0.8194x300gr=245.8084gr.
Hasil yang diperoleh juga merupakan peminimum global karena matriks Hessian berlaku
positive definite untuk sembarang (t,m) karena tidak tergantung (t,m). Secara aplikasi hal ini
berarti berapapun pengukuran yang dilakukan maka nilai peminimal t*= , m*= . Sedangkan
nilai peminimal yang berdimensi tergantung dari maksimum data yang digunakan sebagai
referensi.
Untuk S optimal dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t*= , m*= . (masih dalam
bentuk tak berdimensi). Akan tetapi jelas diperoleh S * 0 . Hal ini tidak benar secara aplikatif
sekalipun benar secara teoritis. Oleh karena itu model perlu dimodifikasi yang tidak
mengijinkan S = 0 pada setiap t,m.
Pendekatan kedua
Kita dapat memodifikasi model (1) menjadi
(1’)
S (t , m) (t ) 2 ( m ) 2 := S model
dengan , , ditentukan dari data. Artinya, dengan least square sebagaimana telah
dijelaskan di depan perlu diselesaikan masalah
Minimumkan R , , S i , data S i ,mod el = S i , data t i 2 (m i ) 2
2
n
i 1
R
n
4 S i ,data
i 1
n
i 1
ti ti 3 (mi ) 2 ti ti 0.
.
2
(5a)
Dengan prosedur yang sama pada pendekatan pertama maka kita perlu menyelesaikan
n
n
n
i 1
i 1
i 1
(5b)
n
n
n
R
n
4 S i ,data ( mi ) (ti ) 2 ( mi ) ( mi ) 3 ( mi ) 0.
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
R
n
2 S i ,data (ti ) 2 ( mi ) 2 n 0.
i 1
i 1
i 1
Diperoleh nilai parameter yaitu
(5c)
(5d)
, , T = (0.4201, 0.8696,- 0.0688)T.
Dengan parameter ini, kita dapat menuliskan (1’) sebagai
S (t , m ) (t 0.4201) 2 ( m 0.8696) 2 0.0688 := S model.
Fungsi ini diilustrasikan pada Gambar 3.
(6)
649
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
S (t , m ) (t 0.4201) 2 ( m 0.8696) 2 0.0688 .
Selanjutnya fungsi persamaan (6) kita substitusikan pada problem (*) yang kemudian kita perlu
menyelesaikan (*). Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi
Gambar 3. Ilustrasi fungsi
S S
T
T
2(t ) 2( m ) 0 0 . Hal ini terjadi untuk t*= 0.4201 dan
S
t m
m*= =0.8696. Dalam bentuk dimensi dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (4)
T
t * t *tmaksimum 0.4201 x 6 hari = 2.5207 hari dan m * = m * mmaksimum =0.8696x300gr=260.89gr.
yaitu
Sehingga nilai minimal S * adalah = -0.0689. Karena kita menghendaki nilai S maksimal dan
dalam bentuk berdimensi diperoleh
S * 0.0689 xS Re f 0.0689 xS maksimum 0.0524 (prosentase kadar steviosida).
Jadi nilai optimal untuk semua variabel telah dipenuhi. Tentunya hasil ini dianggap cukup baik
karena dari data Tabel 1, hingga saat ini hasil yang diperoleh dengan optimasi ini dapat
memberikan jawaban yang dikehendaki.
Tentunya dapat pula dikehendaki bahwa pada himpunan data (t,m) yang berada pada interval
pengamatan dapat pula didekati nilai S yang mungkin. Artinya kita dapat menggunakan
persamaan (6).
DAFTAR PUSTAKA
[1] Sousa, R.A, Baccan, N., Cadore, S., 2006. Analysis of Liquid Stevioside and CyclamateSaccharin Dietetic Sweeteners by Inductively Coupled Plasma Optical Emission Spectrometry
without Sample Treatment, J.Braz, Chem, Soc, Vol 17(7),1393-1399.
[2] Hafizuddin, W.M., Yussof, W., Sarmidi, M.R.,2003. Equilibrium and Kinetic Modeling of
the Adorption of Stevioside on Amberlite XAD-7 Beads, Proceedings of International
Conference On Chemical and Bioprocess Engineering, Universiti Malaysia Sabah, Kota
Kinabalu. [3] Yodyingyuad, V and Bunyawong, S., 1991. Effect of stevioside on growth and
reproduction , Hum. Reprod. 6 (1): 158-165.
[4] Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming,
Springer Verlag, New York, Inc.
[5] Parhusip, H. A. 2009. Determination Parameter by Nonlinear Least Square, Proceedings of
4th International Conference on Mathematics and Statistics (ICOMS 2009) , Universitas
Malahayati Badar Lampung @MSMSSEA and Univ.Malahayati, 295-304, ISSN 2085-7748.
Pustaka internet
Web1, http://www.steviosidesafety.info/
650