prosiding sem aljabar 2009pembelajaran faktorisasi kuadrat

ISBN : 978-979-16353-2-5

PROSIDING

SEMINARNASIONAL

ALJABAR,

PEMBELAJARAN

ALJABAR

DAN

PENERAPANNYA

“K

K

o

o

n

n

t

t

r

r

i

i

b

b

u

u

s

s

i

i

A

A

l

l

j

j

a

a

b

b

a

a

r

r

d

d

a

a

l

l

a

a

m

m

U

U

p

p

a

a

y

y

a

a

M

M

e

e

n

n

i

i

n

n

g

g

k

k

a

a

t

t

k

k

a

a

n

n

K

K

u

u

a

a

l

l

i

i

t

t

a

a

s

s

P

P

e

e

n

n

e

e

l

l

i

i

t

t

i

i

a

a

n

n

d

d

a

a

n

n

P

P

e

e

m

m

b

b

e

e

l

l

a

a

j

j

a

a

r

r

a

a

n

n

M

M

a

a

t

t

e

e

m

m

a

a

t

t

i

i

k

k

a

a

u

u

n

n

t

t

u

u

k

k

M

M

e

e

n

n

c

c

a

a

p

p

a

a

i

i

W

W

o

o

r

r

l

l

d

d

C

C

l

l

a

a

s

s

s

s

U

U

n

n

i

i

v

v

e

e

r

r

s

s

i

i

t

t

y

y

”

”

Yogyakarta, 31 Januari 2009

Penyelenggara

:

Jurusan

Pendidikan

Matematika

FMIPA

UNY

Kerjasama

dengan

Himpunan

Matematika

Indonesia

(Indo

Ͳ

MS)

Wilayah

Jateng

dan

DIY

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

ALJABAR, PEMBELAJARAN ALJABAR

DAN PENERAPANNYA

31 Januari 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

ArtikelͲartikeldalamprosidinginitelahdipresentasikanpada

SeminarNasionalAljabar,PengajarandanTerapannya

padatanggal31Januari2009

diJurusanPendidikanMatematika

FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam

UniversitasNegeriYogyakarta

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

Tim

Penyunting

Artikel

Seminar

:

1.

Sukirman,

M.Pd

2.

Dr.

Hartono

3.

R.

Rosnawati,

M.Si

4.

Emut,

M.Si

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

SAMBUTAN

DEKAN

PADA

SEMINAR

NASIONAL

JURDIK

MATEMATIKA

PertamaͲtamamarilahkitapanjatkanpujisyukurkehadiratAllahSWTyangtelah melimpahkanberbagaikenikmatankepadakitasekalian.Salahsatunikmatyangsekarang kitarasakanadalahnikmatkesehatansehinggakitadapatmenyelenggarakanseminar nasionalini.

Selanjutnyaperkenankansayamenyampaikanpenghargaandanucapanterima kasihkepadaKetuabesertaseluruhpengurusjurusandandosenJurdik.Matematikayang telahmempersiapkanterselenggaranyaseminarnasionalini.Halinisangatpentinguntuk sayasampaikanmengingatFMIPAUniversitasNegeriYogyakarta(UNY)sedangbekerja keras untuk menggapai pengakuan publik sebagai fakultas yang berkualitas dalam melaksanakansistemmanajemenmutumenujuworldclassuniversity(WCU).Kualitasdi atasadalahkualitasyangberimbangdalamseluruhbidangTriDarmaPerguruanTinggi. SecarakhususperkenankanpulasayasampaikanterimakasihkepadayangterhormatIbu Dr.IntanDetienaMuchtadiAlamsyah(DosenFMIPAInstitutTeknologiBandungdan BapakSukirman,M.Pd (DosenJurdikMatematikaFMIPAUNY)yangtelahberkenan menjadipembicarakuncipadaseminarnasionalini.

Seminarnasionaldengantema”Kontribusialjabardalamupayameningkatkan kualitaspenelitiandanpembelajaranMatematikauntukmencapaiWCU”diharapkanakan bermanfaatbagipengembanganilmumatematikadanIPApadamasayangakandatang. Pengembangantersebuttentusaja baikditinjaudarisisimateri,penelitianmaupun teknologipembelajarannya.Kitatelah menyadaribahwa pemahaman terhadapilmu pengetahuandanteknologiakandicapaimanakalapemahamanterhadapilmudasarnya sangat memadai. Matematika khususnya Aljabar berkembang seiring dengan berkembangnyasainsdanteknologi.Dimulaidaripersoalanhitungsederhanasampaipada aplikasinyapadabidangFisika,Kimia,danbahkanpadabidangEkonomi.Olehkarenaitu penelitiantentangAljabardanteknikpembelajaranyaperludilakukanterusmenerusagar aplikasipadabidangͲbidangdiatasdapatdipahamiolehpembelajarnya.Seminarnasional iniharusmampumendorongparapenelitidanprakstisipendidikanbidangmatemtika mampumeramubidangini,sehinggamudahdipahamiolehsiswadidalamkelas,mampu melakukanpenelitian,danmengimplementasikanterapannyapadabidangFisika,Kimia, EkonomidanlainͲlain.

Akhirnyasayamengucapkanterimakasihataspartisipasinyadalamseminaryang diselenggarakan oleh Jurdik. Matematika FMIPA UNY ini dengan harapan semoga memberikanpencerahanbagikitakhususnyayangtelibatdalampenelitian,pembelajaran danaplikasipadabidangAljabar.

Yogyakarta,27Januari2009 Dekan

Dr.Ariswan NIP131791367

KATAPENGANTAR

PujiSyukurkeHadiratTuhanYangMahaEsaatassegalaKaruniadanRahmatͲ Nya sehinggaprosidinginidapatdiselesaikan.Prosidinginimerupakankumpulan makalahdaripeneliti,pemerhatidandosenbidangAljabar,PembelajaranAljabardan Penerapannya dari berbagai daerah di Indonesia. Makalah yang dipresentasikan meliputi makalahutamadan makalahpendamping,terdiridarimakalahbidang Aljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

Padakesempataninipanitiamengucapkanterimakasihkepadasemuapihak yangtelah membantudan mendukungpenyelenggaraanseminarini.Khususnya, kepada seluruh peserta seminar diucapkan terima kasih atas partisipasinya dan selamatberseminar,semogabermanfaat.

KetuaPanitia

Daftar

Isi

SambutanDekan KataPengantar MakalahUtama

QuiverSebagaiRepresentasiAljabar (IntanMuchtadiͲAlamsyah)

UpayaMeningkatanMutuPerkuliahanPadaPerguruanTinggiMelaluiLesson Study

(Sukirman) MakalahPendamping

Kode Judul Hal

M–1 Efektivitas Pembelajaran Aljabar Dengan Pendekatan Metakognisi

(AkhsanulIn’am)

1

M–2 Penerapan AljabarMaxͲPlusInterval padaJaringanAntrian denganWaktuAktifitasInterval

(M.AndyRudhito,SriWahyuni,AriSuparwanto,F.Susilo)

11

M–3 PembelajaranFaktorisasiKuadratMelaluiManipulasiBenda Konkret

(EndahRetnowati,M.Ed)

19

M–4 DesainPembelajaranMatematikaBagiCalonGuruMatematika (MathematicsLearningDesign forPreͲServiceMathematics Teacher)

(INengahParta)

31

M–5 ModulPerkalian

(SamsulArifin)

47 M–6 ProsesBerpikirAnakTunanetraDalamMenyelesaikanOperasi

AljabarPadaPermasalahanLuasDanKelilingPersegiPanjang

(Susanto)

57

M–7 Peningkatan Pemahaman Aljabar LlnierDengan Sintaks Model Pembelajaran Pencapaian Konsep Pada Mahasiswa JurdikMatematika

(SusiloBekti)

71

M–8 PemetaanLinearYangMengawetkanInversDrazinMatriksAtas Lapangan

(Sutopo)

83

M–9 Permainan (Tradisional) untuk Mengembangkan Interaksi Sosial, Norma Sosial dan Norma Sosiomatematik pada Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Matematika Realistik(AriyadiWijaya)

95

M–10 Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan Sikap Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran BerbasisKomputer

(BambangPriyoDarminto)

Pembelajaran

Faktorisasi

Kuadrat

Melalui

Manipulasi

Benda

Konkret

EndahRetnowati,M.Ed. JurusanPendidikanMatematika FMIPAUniversitasNegeriYogyakarta

Email:e.retno@uny.ac.id

Abstrak

Salahsatucarauntukmenyampaikansuatuidedenganlebihbermaknaadalahmembuatnyalebihnyata(konkrit), terutamabagipembelajarbaru(novices).Misalnyadalampembelajaranaritmetika,gurudapatmenyampaikan konseppenjumlahanbilanganpuluhanlebihbermaknadenganmenggunakanbatangͲbatanglidiataudalam pembelajarangeometri,gurudapatmenyampaikankonsepluasbangundatardenganmenggunakanpersegiͲ persegisatuan.DenganbendaͲbendakonkrittersebut,siswaterlibatsecarafisikdalammengatur,memanipulasi danmenemukanstrukturyangmendasarisuatukonsepmatematikayangsedangdipelajari.Artikelinimembahas pembelajaranaljabarmenggunakanbendakonkret,khususnyapadapemfaktoranbentukkuadrat.Pembahasan meliputibagaimanapelaksanaanpembelajaranyangsistematisdananalisisefektivitasprosespembelajaran, melaluiperspektifkognitivisme.

Katakunci:bendakonkrit,aljabar,pembelajaranbermakna

Learning

Quadratic

Factorisation

through

Concrete

Manipulative

Abstract

Onewaytomakeanideamoremeaningfulistomakeitmoreconcrete,particularlyfornovicelearners.For instances,inarithmetic,teachermaymaketheconceptofadditionoftwodigitnumbersmoreconcreteusing bundlesofsticksoringeometry,teachermaymaketheconceptofareaofaplaneusing1x1unitsquares.Using concretes,studentscanphysicallyrearrange,manipulateandfindtheunderlyingstructureofamathematical concept.Thispaperdiscussesconcretemanipulativeforlearningthestructureofquadraticfactorisation.The discussioncovershowtosystematicallyteachthetopicandpresentsananalysisofitseffectivenessinthe cognitivismperspectives.

Keywords:concretemanipulative,algebra,meaningfullearning

A. Pendahuluan

AljabaradalahsalahsatubagiandariMatematikayangmempelajaritentangkonsep bilangandanoperasinya.KonsepͲkonsepdalamaljabarseringkalidisajikanmelalui variabelͲvariabel atau simbolͲsimbolyangbersifatabstrak.Bagi siswa yang beru pertamakalimempelajarialjabar,penyajianmaterialjabarsecaraabstraktersebut dapatmenjadikurangbermakna.Sehingga,siswaakanmengalamikesulitandalam mempelajari dasar pengembangan konsep aljabar tersebut, berikut aplikasinya. Meskipunmungkinsajasiswamempelajarialjabardenganhafalanatautanpamakna tetapi mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait. Namun pembelajaran

DipresentasikandalamSeminarNasional Aljabar,PengajaranDanTerapannyadengantemaKontribusiAljabardalamUpaya MeningkatkanKualitasPenelitiandanPembelajaranMatematikauntukMencapaiWorldClassUniversityyangdiselenggarakan olehJurusanPendidikanMatematikaFMIPAUNYYogyakartapadatanggal31Januari2009

EndahRetnowati,M.Ed

dengan hafalan tidak akan menjadikan siswa lebih baik dalam mentransfer kemampuannya ke tingkat yang lebih tinggi, selain mungkin saja menurunkan kesenangansiswadalambelajaraljabar(Hirdjan,1997).Selainitu,siswajugabelum tentumampumenjelaskanketerkaitanantarkonsep,mengaplikasikankonsepatau prosedursecaraluwesdantepatdalampemecahanmasalah.Artikelinimembahas pembelajaranaljabar,khususnyapadapemfaktoranbentukkuadrat,menggunakan benda konkret. Lebih khusus lagi, artikel ini membahas mengenai perencanaan pembelajarannyayangsistematis,sehinggadapatmenjadireferensibagiguruatau calongurudalammelaksanakanpembelajaranaljabar.

B. Pembahasan

Siswa akan lebih mudah memahami suatu konsep atau lebih terampil dalam menjalankansuatu prosedur apabila pembelajarannya dilakukan melalui aktivitas menggunakankonteksyangtelahdimilikiolehsiswa.Konteksinimenjadipengetahuan awalyangmembimbingsiswauntukmempelajarikonsepatauproseduryangbaru. Mayer(1999)menjelaskanbahwaprosespembelajaranakanlebihbermaknajikasiswa mampu menggunakan pengetahuanyang telah dimilikiuntuk mengorganisirdan mengaitkanmateripembelajaranbarudenganpengetahuanawaltersebut.Selainitu, untuk menyampaikankonsepabstrak, sepertikonsepͲkonsepdalamMatematika, menjadilebihbermaknadapatmenggunakanpendekatanbendakonkritkarenabenda konkritinimemvisualisasikonsepabstraksehinggakaitanataupoladarikonsep tersebutlebihmudahditemukan.Simanjuntak(1993)jugaberpendapatbahwamelalui kerja praktek menggunakan benda konkrit, siswa dapat lebih mudah dalam mengabstraksikonsepͲkonsepmatematika.

Salahsatutopikpadapembelajaranaljabaradalahmemfaktorkanbentukkuadrat, yangsecaraumumdinyatakansebagaiax2+bx+c,denganxadalahvariabel,a,bdanc adalahbilanganreal._{Sepertibanyakdisajikandibukupelajaransekolah,banyakguru}

yangmembelajarkancaramemfaktorkanbentukkuadratdenganmenerapkansifat distributif.Penyajianmateripembelajarannyadapatdicontohkansepertiberikutini:

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

1. Untukmemfaktorkanbentukx2+bx+c,dapatmenggunakanhukumdistributif. MulaͲmulasiswadibericontohpenerapanhukumdistributifmelaluipenyelesaian masalahperkalianduabuahfaktor,seperti:

(x+4)(x+5) =x(x+5)+4(x+5) =x2+5x+4x+20 =x2+9x+20

Kemudian,gurumenjelaskanbahwa(x+4)dan(x+5)adalahfaktorͲfaktordarix2+ 9x+20.Sehinggadapatditulis:x2+9x+20=(x+4)(x+5).Untukmenemukan prosesmemfaktorkan(kebalikandarimengalikan),gurumemintasiswauntuk memperhatikan bahwakoefisienxdiruaskiri,yaitu9,samadenganjumlah konstantadidalamkurungpadaruaskanan,yaitu4+5.Sementaraitu,konstanta diruaskiri,yaitu20,samadenganhasilkalikonstantadalamkurungpadaruas kanan,yaitu4u5.

Jadi,

x

2

+

9x

+

20

=

(x

+

4)(x

+

5)

4u 5 4 + 5

Setelah itu, disimpulkan bahwa pemfaktoran bentuk kuadrat adalah sebagai berikut:

x2+bx+c=(x+p)(x+q)dengansyarat

p+q=bdanpuq=c.

2. Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat ax2 + bx + c, pada umumnya juga menggunakanhukumdistributif.Misalnyadenganmenggunakancontoh:6x2+23x +20,mulaͲmuladibahasterlebihdahuluhasilperkalian(2x+5)dan(3x+4).Uraian perkalianduafaktorinimenggunakanhukumdistributifadalah:

(2x+5)(3x+4) =2x(3x+4)+5(3x+4) =6x2+8x+15x+20 =6x2+23x+20

Kemudian,guruakanmengarahkankepadasiswauntukmenemukanhubunganͲ hubungansepertiberikutini:120=puqdan 23 =p+q.Pertanyaanyang

ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5

EndahRetnowati,M.Ed

diajukanolehguru:Carilahduabilanganpdanqyangapabiladikalikanhasilnya 120danapabiladijumlahkanhasilnya23.Jawabanyangdiharapkanadalah8dan 15.SehinggaprosesmemfaktorkansebagaikebalikandarimengalikanfaktorͲ faktordapatditulissebagai:

6x2+23x+20=6x2+8x+15x+20

=(6x2+8x)+(15x+20)

=2x(3x+4)+5(3x+4)

=(2x+5)(3x+4)

Ataumenggunakandiagramsebagaiberikut:

KemudiandisimpulkanbahwafaktorͲfaktordariax2+bx+cdapatditentukan dengancaramengubahbmenjadipenjumlahanduabilangan,misalnyapdanq dengansyaratp+q=bdanpuq=auc.

Memfaktorkanbentukkuadratdenganmenggunakanhukumdistributifsepertidiatas tidaklahsalah,namunlogisdanrasional.Yangkurangtepatjikasiswamempelajaricara memfaktorkandenganmenghafalsaja,misalnyauntukmemfaktorkanx2+bx+c dilakukandenganmencariduasebarangbilanganyanghasiljumlahnyaadalahbdan hasilkalinyaadalahc.Denganhafalansepertiini,siswamungkinakankurangmampu menjelaskanrasionalyangmendasaripemfaktoranbentukkuadrat.Sehingga,siswa

8 + 15

15x+20

6x + 8

6 u 20 = 120

6x

2

+ 23x + 20

2x(3x+4)

5(3x+4)

(2x+5)(3x+4)

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

mungkinakanmengalamikesulitanuntukmemfaktorkanbentukkuadratyangjarang muncul,bentuk kuadrat yang tidak dapatdifaktorkan dengan cara yang dihafal tersebutataumengubahnyakebentukkuadratsempurna.

Alternatif membelajarkan prosedur memfaktorkan bentuk kuadrat dengan menggunakanbendakonkret,misalnyaDienesBlocksyangdimodifikasiolehBruner danKenney(1966)sepertipadagambar1berikut.

ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5

23

Gambar1

x

x

x 1

1 1

(i) (ii) (iii)

Gambar1(i)adalahpersegidenganpanjangsisixsatuan,sehinggaluasnyaadalahx2 satuanluas.Gambar1(ii)adalahpersegipanjangdenganpanjangsisiͲsisi xdan1 satuan,sehinggaluasnyaadalahxsatuanluas.Gambar1(iii)adalahpersegisatuan denganpanjangsisi1satuan,sehinggaluasnyaadalah1.Untukmembuatmedia peragaini,dapatdigunakankertaskarton(yangkaku)ataubahanyanglebihbaik.Pada saatsiswamempelajaripemfaktoranbentukaljabarini,siswadiasumsikansudah mempunyaikonteksawalmengenaikonsepluasdansifatkekekalanluas.

DenganmendemonstrasikanpotonganͲpotongantersebut,gurumenjelaskanbahwa untukmembuatpersegidenganukuran(x+1)u(x+1)diperlukansebuahpersegi(i), duapersegipanjang(ii)dansatupersegisatuan(iii),sehinggaluasnyaadalahgabungan dariluasmasingͲmasingpotongan,yangdapatditulissebagai:x2+2x+1.Dengankata lain:x2+2x+1=(x+1)(x+1).Perhatikangambar2berikutini.

x

x

x 1

1 1 1

x

x + 1

EndahRetnowati,M.Ed

Gambar2.x2+2x+1=(x+1)(x+1)

Kemudian,untukmembuatpersegipanjangdenganukuran(x+2)u(x+3)diperlukan sebuahpersegi(i),limapersegipanjang(ii)danenampersegisatuan(iii),sehingga luasnya adalah gabungan dari luas masingͲmasing potongan, yang dapat ditulis sebagai:x2+5x+6.Dengankatalain:x2+5x+6=(x+2)(x+3).Perhatikangambar3 berikutini.

Gambar3.x2+5x+6=(x+2)(x+3)

x

x

x 1

1 1

1

x

x 1

1 1

1 1

1 1 1

x

1 1

1 1 1

x

x + 3

x + 2

Sedangkanuntuk membuatpersegi panjangdengan ukuran(2x+ 1) (x+3) diperlukanduapersegi(i),tujuhpersegipanjang(ii)dantigapersegisatuan(iii), sehinggaluasnyaadalahgabungandariluasmasingͲmasingpotongan,yangdapat ditulissebagai:2x

u

2

+7x+3.Dengankatalain:2x2+7x+3=(2x+1)(x+3).Perhatikan gambar4berikutini.

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

x

x

ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5

25

x

x

x 1

x + 3

2x + 1

1

x

1

x ₁ 1

1

x

1

x ₁ 1

1

x

1

x 1

1

Gambar4.2x2+7x+3=(2x+1)(x+3)

SiswasecaraindividuataukelompokdiberimediaperagaberbentukbangunͲbangun sepertipadagambar1diatas.Denganmenggunakanberbagaibentukkuadrat,siswa dapatmemanipulasimodifikasiDienesBlockstersebutuntukmenemukanfaktorͲfaktor daribentukkuadrattersebut.Melaluikegiataspraktekini,gurudisarankanuntuk membimbingsiswamenemukan(1)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan;(2) penyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecarautuh(adasisakonstan); dan(3)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,sehinggakeduafactorͲfaktornya sama(membentukkuadratsempurna).Prosespenemuaninidapatdilakukanmelalui kegiatanͲkegiatansebagaiberikut.

1. Untukmenemukansyaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,siswadapatdiberikan pasangancontohbentukkuadratyangdapatdifaktorkandanyangtidakdapat difaktorkan.Bentukkuadratdapatdifaktorkanberartimediaperaganyadapat disusundalambentukpersegiataupersegipanjang.Contohbentukkuadratyang dapatdifaktorkanadalahx2+5x+6dancontohyangtidakdapatdifaktorkan adalahx2+5x+7.Pasanganyanglainadalahx2+4x+3danx2+4x+1;x2+7x+10 danx2+7x+8;2x2+5x+2dan2x2+5x+5serta2x2+11x+12dan2x2+11x+6.

Denganmenyusunpersegidanpersegipanjangsebagaimediapembelajaran,siswa dibimbinguntukmenemukansyaratbentukkuadratx2+bx+cdapatdifaktorkan denganmengetahuihubunganbanyaknyapersegipanjang(ii)sebagairepresentasi

EndahRetnowati,M.Ed

darikoefisienxdalambentukkuadrattersebutdenganbanyaknyapersegisatuan (iii) sebagai representasi dari konstanta dalam bentuk kuadrat itu. Juga, menemukanhubungan antara banyaknyapersegi(i), persegipanjang(ii)dan persegisatuan(iii)untukmenemukansyaratbentukkuadratax2+bx+cdapat difaktorkan.

Dengandemikian,siswadiharapkandapatmenemukansendiri,misalnya,bahwa untukdapatmenyusunbentukkuadratdalamperkalianduafaktor,konstanta bentukkuadratx2+bx+charusdapatdisajikandalambentukperkaliandua bilanganyanghasiljumlahkeduabilanganiniadalahkoefisiendarixdibentuk kuadratnya.

2. Untukmenemukanpenyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecara utuh(adasisaxatausisakonstan)dapatmenggunakancontohbentukkuadrat yangtidakdapatdifaktorkandiatas.Contohnyauntukx2+5x+7,tidakdapat diubahdalamperkalianduabuahfaktorkarenaseluruhmediaperaganyayang merepresentasikannyatidakdapatdisusunmenjadipersegiataupersegipanjang, sepertipadagambar5berikut.Karenasebagianmedianyadapatdibentukdalam persegi atau persegi panjang, bearti sebagian dari bentuk kuadratnya dapat difaktorkan,makapenyajianhasilpemfaktorannyadapatditulissebagaijumlah perkalianfaktorͲfaktordansisanya.Sehingga,x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1.

x x x 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x

x + 3

x + 2

1

+ 1

1

Gambar15.x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

Untukmenemukansyaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,sehinggafaktorͲfaktornya sama(membentukkuadratsempurna)denganmemberikancontohbentukͲbentuk kuadratyangmedianyadapatdisusundalampersegi.Jikamedianyadapatdisusun dalambentukpersegi,makabentukkuadrattersebutakanmempunyaiduafaktoryang sama.SebagaimanapersegimempunyaisisiͲsisiyangsamapanjang.Dengankatalain, jikamedianyatidakdapatdisusundalambentukpersegi,makabentukkuadratnya tidakmempunyaifaktorͲfaktoryangsama.Contohyangdapatdiberikanadalahx2+2x +1,sepertitelahditunjukkanpadagambar2diatasataubentukkuadratx2+4x+4, seperti ditunjukkan pada gambar 6 berikut. Pemfaktoran bentuk kuadrat ini menghasilkanduafaktoryangsama,yaitu(x+2)(x+1).

x + 2

x + 2

x x x 1 1 1 1 x 1 1 1 x x 1 1 1 1 1

Gambar6.x2+4x+4=(x+2)2

Permasalahanlainyangdapatdiajukanadalahbentukkuadratx2+3x+2.Media peragaannyaditunjukkanpadagambar7berikut.

x + 1½

x x 1 x x 1 1 1 x 1 1 1

x + 1½

Gambar7.x2+3x+2=(x+1½)2–¼

Menggunakanperagaansepertidiatas,siswadapatmenemukanbahwauntuk membentuknyamenjadipersegi,salahsatupersegipanjang(ii)perludipotong

ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5

EndahRetnowati,M.Ed

menjadiduabagian,demikianjugapersegisatuannya.Perlakuaninimenghasilkan persegi,namunluasannyakurang¼satuan(padagambar7ditunjukkanoleh bagianyangdiarsir).Sehingga,x2+3x+2=(x+1½)2–¼.MenggunakanbentukͲ bentukkuadratsemacamini,siswadiarahkanuntukmenemukanhubunganantara banyaknyaxdan besarnya konstantapada bentuk kuadrat, sehinggabentuk kuadrattersebutdapatdiubahmenjadibentukyangmemuatperkalianduafaktor yang sama(kuadratsempurna).Selain itu, siswaperlu jugadiarahkanuntuk membentukkuadratsempurnadaribentukkuadrat,seperti2x2+4x+2.Media peragaanuntukbentukkuadratiniditunjukkanolehgambar8berikutini.

x + 1

x

x

x 1

x + 1

x

x

x 1

+

x + 1

1

x

x 1

1

1 _{x + 1}

1

1

Gambar8.2x2+4x+2=2(x+1)2

Melaluikegiatandenganbendakonkretsepertiini,siswamelakukanpembelajaran konsepaljabaryangbersifatabstrakdenganvisualisasikonsepyanglebihmudah diamati.KegiatanmemanipulasibendakonkritsecaraberulangͲulangakanmembantu proseskognitifsiswadalammemahamiprosedurdansehinggamengingatnyadengan lebihbaik.SepertipendapatSweller(2004),pengetahuanyangdigunakansecara ekstensifakanmenjadiotomasishadirdalamproseskognitifselanjutnya.Jikakegiatan

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5

29 inidilaksanakandenganmanajemenyangbaik,antaralainketersediaanmediaperaga yangmemadai,setingkelasyangkondusif,waktupembelajarancukupuntukmemberi ruang bagi siswa berkreasi dan tindak lanjut berupa latihan dan aplikasi yang menantang tentu juga akan meningkatkan capaian hasil belajar siswa. Dengan menemukansendirisuatuprosedur,siswajugamungkinmeningkatkankesenangan atauminatsiswabelajarmatematika(Simanjuntak,1993).

KegiataninitentusajamembutuhkankejeliandariguruuntukmemilihsoalͲsoalyang membimbingsiswadalammenemukankonsepdasardarimateripembelajaran.Selain itu,guruperlumendorongsiswauntuksecaraaktifmengintepretasikanhasilyang ditemukandenganmengurangidominasiguruuntukmemimpinpenemuan(Mayer, 1999). Sebagaipendamping kegiatan manipulasibendakonkrit, perlu disediakan lembarkerja(worksheet)yangmengarahkansiswadalamkegiatannya.Namun,materi didalamlembarkerjainiperludisajikandenganmemperhatikanproseskognitifyang akandicapai,misalnyadenganmenghindarisplitͲattentioninformation(pemisahan informasiyangberkaitan)atauredundantinformation(informasiyangberlebihan) (Sweller,2004).Selanjutnya,untukmenegaskankeefektivandarimetodeiniperlu dilaksanakaneksperimen,agarapabilaadaketidakefektivan,dapatdiajukaninovasi strategiyanglebihbaikdalammenyajikanmateripembelajaranaljabar.

C. Penutup

Pembelajaran aljabar, khususnya pada pemfaktoran bentuk kuadrat dapat dilaksanakanmelaluikegiatanmemanipulasibendakonkrityangdiadaptasidariDienes Blocks. Agar pelaksanaanya dapat efektif, perlu dirancang langkahͲlangkah pembelajaranyangmembimbingsiswamenemukanprosedurͲprosedurterkaitdengan pemilihanpemecahanmasalahyangtepat.Kegiatanpraktekdenganbendakonkritini dapatmembantusiswamemvisualisasikonsepabstrakyangdikandungdalamaljabar, sehinggadiharapkansiswadapatbelajardenganlebihbermakna.

EndahRetnowati,M.Ed

Bruner,J.S.&Kenney,H.(1966).MultipleOrdering,dalamJ.S.Bruner,R.R.Oliver&P. M.Greenfeld(Eds.).StudiesinCognitiveGrowth.NewYork:JohnWiley.

Hirdjan.(1997).BelajarPembelajaranMatematika.Yogyakarta:UniversitasSarjana Wiyata.

Mayer,Richard.1999.ThePromiseofEducationalPsychology,VolumeII:Teachingfor MeaningfulLearning.NewJersey,USA:Merill,PrenticeHall.

Sweller, John. 2004. Instructional Design Consequences of an Analogy between EvolutionbyNaturalSelectionandHumanCognitiveArchitecture.Instructional Science32:9Ͳ31.

Simanjuntak,Lisnawaty.1993.MetodeMengajarMatematika.Jakarta:RinekaCipta.

SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya

x

x x

x + 3 1

x

1

x ₁ 1

1

x

1

x ₁ 1

1

x

1

x 1

1

Gambar4.2x2+7x+3=(2x+1)(x+3)

SiswasecaraindividuataukelompokdiberimediaperagaberbentukbangunͲbangun sepertipadagambar1diatas.Denganmenggunakanberbagaibentukkuadrat,siswa dapatmemanipulasimodifikasiDienesBlockstersebutuntukmenemukanfaktorͲfaktor daribentukkuadrattersebut.Melaluikegiataspraktekini,gurudisarankanuntuk membimbingsiswamenemukan(1)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan;(2) penyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecarautuh(adasisakonstan); dan(3)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,sehinggakeduafactorͲfaktornya sama(membentukkuadratsempurna).Prosespenemuaninidapatdilakukanmelalui kegiatanͲkegiatansebagaiberikut.

1. Untukmenemukansyaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,siswadapatdiberikan pasangancontohbentukkuadratyangdapatdifaktorkandanyangtidakdapat difaktorkan.Bentukkuadratdapatdifaktorkanberartimediaperaganyadapat disusundalambentukpersegiataupersegipanjang.Contohbentukkuadratyang dapatdifaktorkanadalahx2+5x+6dancontohyangtidakdapatdifaktorkan adalahx2+5x+7.Pasanganyanglainadalahx2+4x+3danx2+4x+1;x2+7x+10 danx2+7x+8;2x2+5x+2dan2x2+5x+5serta2x2+11x+12dan2x2+11x+6.

Denganmenyusunpersegidanpersegipanjangsebagaimediapembelajaran,siswa dibimbinguntukmenemukansyaratbentukkuadratx2+bx+cdapatdifaktorkan

EndahRetnowati,M.Ed

darikoefisienxdalambentukkuadrattersebutdenganbanyaknyapersegisatuan (iii) sebagai representasi dari konstanta dalam bentuk kuadrat itu. Juga, menemukanhubungan antara banyaknyapersegi(i), persegipanjang(ii)dan persegisatuan(iii)untukmenemukansyaratbentukkuadratax2+bx+cdapat difaktorkan.

Dengandemikian,siswadiharapkandapatmenemukansendiri,misalnya,bahwa untukdapatmenyusunbentukkuadratdalamperkalianduafaktor,konstanta bentukkuadratx2+bx+charusdapatdisajikandalambentukperkaliandua bilanganyanghasiljumlahkeduabilanganiniadalahkoefisiendarixdibentuk kuadratnya.

2. Untukmenemukanpenyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecara utuh(adasisaxatausisakonstan)dapatmenggunakancontohbentukkuadrat yangtidakdapatdifaktorkandiatas.Contohnyauntukx2+5x+7,tidakdapat diubahdalamperkalianduabuahfaktorkarenaseluruhmediaperaganyayang merepresentasikannyatidakdapatdisusunmenjadipersegiataupersegipanjang, sepertipadagambar5berikut.Karenasebagianmedianyadapatdibentukdalam persegi atau persegi panjang, bearti sebagian dari bentuk kuadratnya dapat difaktorkan,makapenyajianhasilpemfaktorannyadapatditulissebagaijumlah perkalianfaktorͲfaktordansisanya.Sehingga,x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1.

x

x

x 1

1 1

1

x

x 1

1 1

1 1

1 1 1

x

1 1

1 1 1

x

x + 3

x + 2

1

+ 1

1

Gambar15.x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1

kuadratyangmedianyadapatdisusundalampersegi.Jikamedianyadapatdisusun dalambentukpersegi,makabentukkuadrattersebutakanmempunyaiduafaktoryang sama.SebagaimanapersegimempunyaisisiͲsisiyangsamapanjang.Dengankatalain, jikamedianyatidakdapatdisusundalambentukpersegi,makabentukkuadratnya tidakmempunyaifaktorͲfaktoryangsama.Contohyangdapatdiberikanadalahx2+2x

+1,sepertitelahditunjukkanpadagambar2diatasataubentukkuadratx2+4x+4, seperti ditunjukkan pada gambar 6 berikut. Pemfaktoran bentuk kuadrat ini menghasilkanduafaktoryangsama,yaitu(x+2)(x+1).

x + 2

x + 2

x

x

x 1

1 1 1

x

1 1 1

x

x 1

1 1

1 1

Gambar6.x2+4x+4=(x+2)2

Permasalahanlainyangdapatdiajukanadalahbentukkuadratx2+3x+2.Media peragaannyaditunjukkanpadagambar7berikut.

x + 1½

x

x

1

x

x 1

1 1

x 1

1 1

x + 1½

Gambar7.x2+3x+2=(x+1½)2–¼

Menggunakanperagaansepertidiatas,siswadapatmenemukanbahwauntuk membentuknyamenjadipersegi,salahsatupersegipanjang(ii)perludipotong

EndahRetnowati,M.Ed

menjadiduabagian,demikianjugapersegisatuannya.Perlakuaninimenghasilkan persegi,namunluasannyakurang¼satuan(padagambar7ditunjukkanoleh bagianyangdiarsir).Sehingga,x2+3x+2=(x+1½)2–¼.MenggunakanbentukͲ

bentukkuadratsemacamini,siswadiarahkanuntukmenemukanhubunganantara banyaknyaxdan besarnya konstantapada bentuk kuadrat, sehinggabentuk

kuadrattersebutdapatdiubahmenjadibentukyangmemuatperkalianduafaktor yang sama(kuadratsempurna).Selain itu, siswaperlu jugadiarahkanuntuk membentukkuadratsempurnadaribentukkuadrat,seperti2x2+4x+2.Media

peragaanuntukbentukkuadratiniditunjukkanolehgambar8berikutini. x + 1

x

x

x 1

x + 1

x

x

x 1

+

x + 1

1

x x 1

1

1 _{x + 1}

1

1

Gambar8.2x2+4x+2=2(x+1)2

Melaluikegiatandenganbendakonkretsepertiini,siswamelakukanpembelajaran konsepaljabaryangbersifatabstrakdenganvisualisasikonsepyanglebihmudah diamati.KegiatanmemanipulasibendakonkritsecaraberulangͲulangakanmembantu proseskognitifsiswadalammemahamiprosedurdansehinggamengingatnyadengan lebihbaik.SepertipendapatSweller(2004),pengetahuanyangdigunakansecara ekstensifakanmenjadiotomasishadirdalamproseskognitifselanjutnya.Jikakegiatan

ruang bagi siswa berkreasi dan tindak lanjut berupa latihan dan aplikasi yang menantang tentu juga akan meningkatkan capaian hasil belajar siswa. Dengan menemukansendirisuatuprosedur,siswajugamungkinmeningkatkankesenangan atauminatsiswabelajarmatematika(Simanjuntak,1993).

KegiataninitentusajamembutuhkankejeliandariguruuntukmemilihsoalͲsoalyang membimbingsiswadalammenemukankonsepdasardarimateripembelajaran.Selain itu,guruperlumendorongsiswauntuksecaraaktifmengintepretasikanhasilyang ditemukandenganmengurangidominasiguruuntukmemimpinpenemuan(Mayer, 1999). Sebagaipendamping kegiatan manipulasibendakonkrit, perlu disediakan lembarkerja(worksheet)yangmengarahkansiswadalamkegiatannya.Namun,materi

didalamlembarkerjainiperludisajikandenganmemperhatikanproseskognitifyang akandicapai,misalnyadenganmenghindarisplitͲattentioninformation(pemisahan

informasiyangberkaitan)atauredundantinformation(informasiyangberlebihan)

(Sweller,2004).Selanjutnya,untukmenegaskankeefektivandarimetodeiniperlu dilaksanakaneksperimen,agarapabilaadaketidakefektivan,dapatdiajukaninovasi strategiyanglebihbaikdalammenyajikanmateripembelajaranaljabar.

C. Penutup

Pembelajaran aljabar, khususnya pada pemfaktoran bentuk kuadrat dapat dilaksanakanmelaluikegiatanmemanipulasibendakonkrityangdiadaptasidariDienes Blocks. Agar pelaksanaanya dapat efektif, perlu dirancang langkahͲlangkah pembelajaranyangmembimbingsiswamenemukanprosedurͲprosedurterkaitdengan pemilihanpemecahanmasalahyangtepat.Kegiatanpraktekdenganbendakonkritini dapatmembantusiswamemvisualisasikonsepabstrakyangdikandungdalamaljabar, sehinggadiharapkansiswadapatbelajardenganlebihbermakna.

EndahRetnowati,M.Ed

Bruner,J.S.&Kenney,H.(1966).MultipleOrdering,dalamJ.S.Bruner,R.R.Oliver&P.

M.Greenfeld(Eds.).StudiesinCognitiveGrowth.NewYork:JohnWiley.

Hirdjan.(1997).BelajarPembelajaranMatematika.Yogyakarta:UniversitasSarjana

Wiyata.

Mayer,Richard.1999.ThePromiseofEducationalPsychology,VolumeII:Teachingfor MeaningfulLearning.NewJersey,USA:Merill,PrenticeHall.

Sweller, John. 2004. Instructional Design Consequences of an Analogy between EvolutionbyNaturalSelectionandHumanCognitiveArchitecture.Instructional Science32:9Ͳ31.

Simanjuntak,Lisnawaty.1993.MetodeMengajarMatematika.Jakarta:RinekaCipta.