Iswatun Arifin Faktorisasi Aljabar
FAKTORISASI ALJABAR
Pemfaktoran
Pemfaktoran
A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis
bentuk aljabar yang lain disebut faktor dari bentuk
aljabar yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar
memiliki minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan
itu sendiri. Pemfaktoran merupakan proses
menyatakan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk
perkalian faktor-faktornya.
A.1 Pemfaktoran dengan
Hukum Distributif
Hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan bilangan bulat menyatakan
bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap
a,b,dan c bilangan real.
Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan
dari suku-suku yang mempunyai faktor
persekutuan dapat dinyatakan sebagai
bentuk perkalian.
a(b + c)
a
b+c
Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk
penjumlahan menjadi bentuk perkalian
Bentuk penjumlahan suku-suku yang
memiliki faktor yang sama dapat
difaktorkan dengan menggunakan hukum
distributif
Contoh:
Faktorkan bentuk-bentuk berikut :
a.
4a+8
b. 6ab-4a²
Jawab :
b. 4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka:
4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2)
b. 6ab dan 4a² = 2a(3b)-2a(2a)=2a(3b-2a)
A.2 Pemfaktoran Bentuk
x²+2xy+y² dan x²-2xy+y²
Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku
dua dapat dijabarkan sebagai berikut :
1. (x+3)²= x²+6x+9
2. (3x-4)²= 9x²-24x+6
Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil
pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciriciri sebagai berikut :
I.
Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk
kuadrat.
II.
Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar
kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.
x² + 6x + 9
(3)
²
(x²)
2(x)
(3)
9x² – 24x + 16
(3x) ²
(4) ²
2(3x)
(4)
Dengan demikian, kedua bentuk
penjumlahan di atas dapat difaktorkan
dengan cara sebagai berikut :
1. x² + 6x + 9 = (x²)+2(x)(3)+(3)² = (x+3)²
2. 9x² – 24x + 16 = (3x) ² - 2(3x)(4)+(4)² =
x² + 2xy + y² = (x + y) ²
(3x-4)²
x² - 2xy + y² = (x - y) ²
Contoh
Faktorkan Bentuk aljabar berikut!
x²+10xy+25y²
Jawab:
x²+10xy+25y² = x²+5xy+5xy+ (5y)²
= x(x+5y) + 5y(x+5y)
= (x+5y)(x+5y)
c. Pemfaktoran Bentuk Selisih
Dua Kuadrat
Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah
dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di
jabarkan sebagai berikut:
(x+y)(x-y)= x²+xy-xy-y²
= x²-y²
Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk
pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan
merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.
Pemfaktoran selisih dua kuadrat
adalah:
x²-y² = (x+y)(x-y)
Contoh:
Faktorkan bentuk berikut!
a.
9p²-25q² b. 4x²-16y²
Jawab:
b. 9p²-25q² =3(p)²-(5q)²
=(3p+5q)(3p-5q)
b. 4x²-16y² = (2x)²-(4y)²
= (2x+4y)(2x-4y)
d. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1.
Misalnya bentuk seperti berikut :
x² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21
Pada bentuk ax²+bx+c, a disebut koefisien x², b
koefisien x dan c bilangan konstan (tetap)
Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan
x²+bx+c.
perhatikanlah uraian beikut :
(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12
= x² + 7x +12
Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut :
x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)
3+4 3x4
Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat
dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan
yang memenuhi syarat sebagi berikut.
a. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.
b. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.
Pemfaktoran bentuk x²+bx+c adalah:
x²+bx+c = (x+p)(x+q)
Dengan syarat c = p x q dan b = p + q
e. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c dengan a=1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a≠1 seperti berikut :
8 x 15 = 120
10 X 12 = 120
(2x+3)(4x+5) = 8x² + 10x +12x + 15
= 8x² + 22x
+ 15
Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk
memfaktorkan 8x²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi
dua suku dengan aturan sebagai berikut :
a.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan koefisien
x
b.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil
kali koefisien x² dengan bilangan konstan.
Contoh:
Faktorkan bentuk aljabar berikut!
2p²-20p+18
Jawab:
2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9)
Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup
mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10
dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga
2p²-20p+18= 2(p²-10p+9)=2(p-1)(p-9)
=(2p-2)(p-9)
Pemfaktoran
Pemfaktoran
A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis
bentuk aljabar yang lain disebut faktor dari bentuk
aljabar yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar
memiliki minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan
itu sendiri. Pemfaktoran merupakan proses
menyatakan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk
perkalian faktor-faktornya.
A.1 Pemfaktoran dengan
Hukum Distributif
Hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan bilangan bulat menyatakan
bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap
a,b,dan c bilangan real.
Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan
dari suku-suku yang mempunyai faktor
persekutuan dapat dinyatakan sebagai
bentuk perkalian.
a(b + c)
a
b+c
Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk
penjumlahan menjadi bentuk perkalian
Bentuk penjumlahan suku-suku yang
memiliki faktor yang sama dapat
difaktorkan dengan menggunakan hukum
distributif
Contoh:
Faktorkan bentuk-bentuk berikut :
a.
4a+8
b. 6ab-4a²
Jawab :
b. 4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka:
4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2)
b. 6ab dan 4a² = 2a(3b)-2a(2a)=2a(3b-2a)
A.2 Pemfaktoran Bentuk
x²+2xy+y² dan x²-2xy+y²
Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku
dua dapat dijabarkan sebagai berikut :
1. (x+3)²= x²+6x+9
2. (3x-4)²= 9x²-24x+6
Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil
pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciriciri sebagai berikut :
I.
Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk
kuadrat.
II.
Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar
kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.
x² + 6x + 9
(3)
²
(x²)
2(x)
(3)
9x² – 24x + 16
(3x) ²
(4) ²
2(3x)
(4)
Dengan demikian, kedua bentuk
penjumlahan di atas dapat difaktorkan
dengan cara sebagai berikut :
1. x² + 6x + 9 = (x²)+2(x)(3)+(3)² = (x+3)²
2. 9x² – 24x + 16 = (3x) ² - 2(3x)(4)+(4)² =
x² + 2xy + y² = (x + y) ²
(3x-4)²
x² - 2xy + y² = (x - y) ²
Contoh
Faktorkan Bentuk aljabar berikut!
x²+10xy+25y²
Jawab:
x²+10xy+25y² = x²+5xy+5xy+ (5y)²
= x(x+5y) + 5y(x+5y)
= (x+5y)(x+5y)
c. Pemfaktoran Bentuk Selisih
Dua Kuadrat
Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah
dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di
jabarkan sebagai berikut:
(x+y)(x-y)= x²+xy-xy-y²
= x²-y²
Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk
pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan
merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.
Pemfaktoran selisih dua kuadrat
adalah:
x²-y² = (x+y)(x-y)
Contoh:
Faktorkan bentuk berikut!
a.
9p²-25q² b. 4x²-16y²
Jawab:
b. 9p²-25q² =3(p)²-(5q)²
=(3p+5q)(3p-5q)
b. 4x²-16y² = (2x)²-(4y)²
= (2x+4y)(2x-4y)
d. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1.
Misalnya bentuk seperti berikut :
x² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21
Pada bentuk ax²+bx+c, a disebut koefisien x², b
koefisien x dan c bilangan konstan (tetap)
Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan
x²+bx+c.
perhatikanlah uraian beikut :
(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12
= x² + 7x +12
Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut :
x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)
3+4 3x4
Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat
dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan
yang memenuhi syarat sebagi berikut.
a. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.
b. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.
Pemfaktoran bentuk x²+bx+c adalah:
x²+bx+c = (x+p)(x+q)
Dengan syarat c = p x q dan b = p + q
e. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c dengan a=1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a≠1 seperti berikut :
8 x 15 = 120
10 X 12 = 120
(2x+3)(4x+5) = 8x² + 10x +12x + 15
= 8x² + 22x
+ 15
Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk
memfaktorkan 8x²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi
dua suku dengan aturan sebagai berikut :
a.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan koefisien
x
b.
Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil
kali koefisien x² dengan bilangan konstan.
Contoh:
Faktorkan bentuk aljabar berikut!
2p²-20p+18
Jawab:
2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9)
Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup
mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10
dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga
2p²-20p+18= 2(p²-10p+9)=2(p-1)(p-9)
=(2p-2)(p-9)